Wiederholung Prädikatenlogik

Wiederholung Prädikatenlogik
X) (Stuktur der Formelbäume)
I
Syntax FOL(Σ,
I
freie und gebundene Vorkommen von Variablen
I
Sätze: Formeln ohne freie Variablen
I
universeller und existenzieller Abschluß einer Formel
I
Semantik: Modellmengen for Formeln und Formelmengen
I
Charakterisierung von Strukturen durch Satzmengen
I
prominente algebraische Strukturen:
Halbgruppe, Monoid, Gruppe, Halbring, Ring, Boolesche
Algebra
I
Aussagenlogik AL(P) als Spezialfall der FOL(Σ, ∅) mit
ΣF = ∅ und ΣR = {(p, 0) | p ∈ P}
45
Semantische Äquivalenz von Formeln
(analog Aussagenlogik)
Für ϕ, ψ ∈ FOL(Σ, X ) gilt
ϕ≡ψ
gdw.
Mod(ϕ) = Mod(ψ)
Beispiele:
I
¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x)
I
∀x∃yR(x, y ) 6≡ ∀x∃yR(y , x)
I
∀x∃yR(x, y ) 6≡ ∃x∀yR(x, y )
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Wichtige Äquivalenzen mit Quantoren
¬∀xϕ ≡ ∃x¬ϕ
¬∃xϕ ≡ ∀x¬ϕ
∀xϕ ∧ ∀xψ ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
∃xϕ ∨ ∃xψ ≡ ∃x(ϕ ∨ ψ)
∀x∀y ϕ ≡ ∀y ∀xϕ
∃x∃y ϕ ≡ ∃y ∃xϕ
für x 6∈ fvar(ψ) und ∗ ∈ {∨, ∧} gilt außerdem
∀xϕ ∗ ψ ≡ ∀x(ϕ ∗ ψ)
∃xϕ ∗ ψ ≡ ∃x(ϕ ∗ ψ)
∃y ψ ≡ ∃xψ[y 7→x]
∀y ψ ≡ ∀xψ[y 7→x]
(gebundene Umbenennung)
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Pränexform
ϕ ∈ FOL(Σ, X ) heißt in Pränexform, falls
ϕ = Q1 x1 · · · Qn xn ϕ0
mit ∀i ∈ {1, . . . , n} : Qi ∈ {∀, ∃} ∧ xi ∈
quantorenfreie Formel ist.
X und ϕ0 eine
Satz
Zu jeder Formel ϕ ∈ FOL(Σ, X ) existiert eine äquivalente
Formel ψ ∈ FOL(Σ, X ) in Pränexform.
schrittweise Konstruktion von ψ aus ϕ durch äquivalente
Umformungen
evtl. Umbenennung der gebundenen Variablen
(bereinigte Form)
Beispiel: ϕ = Q(x) ∨ ∀yP(x, f (y )) ∨ ¬∀x∃yP(g(x), y )
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Semantische Folgerung
(analog Aussagenlogik)
Für Φ ⊆ FOL(Σ, X ) und ψ ∈ FOL(Σ, X ) gilt
Φ |= ψ
gdw.
Mod(Φ) ⊆ Mod(ψ)
Beispiele:
I
{∀x(P(x) ∨ Q(x)), ¬P(y )} |= Q(y )
I
{∀x(P(x) ∨ Q(x)), ¬P(x)} |= Q(x)
I
{∀x(P(x) ∨ Q(x)), ∀x¬P(x)} |= ∀xQ(x)
I
{∀x(P(x) ∨ Q(x)), ∃x¬P(x)} 6|= ∀xQ(x)
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Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit
analog zur Aussagenlogik gilt:
X
I
Eine Formel ϕ ∈ FOL(Σ, ) ist genau dann
allgemeingültig, wenn die Formel ¬ϕ unerfüllbar ist.
I
Φ |= ψ gdw. Φ ∪ {¬ψ} unerfüllbar.
I
Zwei Formeln ϕ und ψ sind genau dann äquivalent,
wenn ϕ |= ψ und ψ |= ϕ gilt.
I
Für jede unerfüllbare Formelmenge Φ und jede Formel ψ
gilt Φ |= ψ.
Für Formeln ohne Quantoren gilt außerdem:
I Zu jeder Formel ϕ ∈ AL(P) ohne Quantoren existieren
I
I
I
eine äquivalente Formel ϕ1 ∈ AL(P) in NNF,
eine äquivalente Formel ϕ2 ∈ AL(P) in CNF und
eine äquivalente Formel ϕ3 ∈ AL(P) in DNF.
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Prädikatenlogisches Ableiten
Aussagen wie z.B. die folgende lassen sich i.A. nicht durch
Nachprüfen aller Interpretationen zeigen:
In jeder Äquivalenzrelation gilt
ϕ = ∀x∀y ∀z (R(x, y ) ∧ R(x, z) → R(y , z))
d. h.


 ∀x R(x, x)

∀x∀y (R(x, y ) → R(y , x))
|= ϕ


∀x∀y ∀z (R(x, y ) ∧ R(y , z) → R(x, z))
Ableitbarkeit in Kalkülen ist daher in Prädikatenlogik noch
wichtiger als in Aussagenlogik
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Prädikatenlogische Ableitungen
Ableitungsrelation z.B. durch Erweiterung des
Resolutionsverfahrens auf Prädikatenlogik
(Grundlage der logischen Programmierung)
mehr dazu in den LV
I
Grundlagen der Wissensverarbeitung
I
Deklarative Programmierung (Wahlfach)
Mit Hilfe prädikatenlogischer Resolution (oder anderer
logischer Kalküle) lassen sich alle allgemeingültigen Formeln
ϕ ∈ FOL(Σ, ) algorithmisch aufzählen (nacheinander
angeben).
X
X
Für eine gegebene Formel ϕ ∈ FOL(Σ, ) kann man aber i.A.
nicht algorithmisch bestimmen, ob ϕ allgemeingültig ist (in der
Aufzählung vorkommt).
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Gültigkeitsproblem
(Allgemein)-Gültigkeitsproblem in einer Logik:
gegeben: Formel ϕ in dieser Logik
Frage:
Ist ϕ allgemeingültig?
für jede Logik interessant:
Gibt es automatische Verfahren (Algorithmen), die dieses
Problem entscheidet,
also zu jeder gegebenen Formel dieser Logik die Frage korrekt
mit ja oder nein beantwortet.
Logiken, für die es solche Algorithmen gibt, heißen
entscheidbar.
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Unentscheidbarkeit
der Prädikatenlogik der ersten Stufe FOL(Σ,
X)
Satz
Es existiert kein Algorithmus, der für jede beliebige Formel
ϕ ∈ FOL(Σ, X ) entscheidet, ob ϕ allgemeingültig ist.
X
FOL(Σ, ) ist also unentscheidbar.
(mehr dazu in der LV Theoretische Informatik)
Im Gegensatz dazu gilt für die Aussagenlogik AL(P):
Satz
Es existiert (wenigstens) ein Algorithmus, der für jede beliebige
Formel ϕ ∈ AL(P) entscheidet, ob ϕ allgemeingültig ist.
(Test endlich vieler endlicher Strukturen genügt,
z.B. Wahrheitswerttabellen, Resolution,. . . )
AL(P) ist also entscheidbar.
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