Folien zur Vorlesung - IMN/HTWK

Theoretische Grundlagen der Informatik
Prof. Dr. Sibylle Schwarz
Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig
Fakultät Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften
Gustav-Freytag-Str. 42a, 04277 Leipzig
Zimmer Z 411 (Zuse-Bau),
http://www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz
[email protected]
WS 2013/2014
1
Informatik
Informatik Lehre von der Darstellung und Verarbeitung von
Information durch Algorithmen
Teilgebiete der Informatik:
theoretisch
technisch
Sprachen zur Formulierung von Information und
Algorithmen,
I Möglichkeiten und Grenzen
der Berechenbarkeit durch Algorithmen,
I Grundlagen für technische und praktische
(und angewandte) Informatik
I
maschinelle Darstellung von Information
Mittel zur Ausführung von Algorithmen
(Rechnerarchitektur, Hardware-Entwurf, Netzwerk, . . . )
I
I
praktisch Entwurf und Implementierung von Algorithmen
(Betriebssysteme, Compilerbau, SE, . . . )
angewandt Anwendung von Algorithmen
(Text- und Bildverarbeitung, Datenbanken, KI, Medizin-,
Bio-, Wirtschafts-, Medieninformatik, . . . )
2
Inhalt der Lehrveranstaltung
Theoretische Grundlagen der Informatik
Einführung in formale Methoden in der Informatik,
insbesondere Modellierung von
Daten durch
I Mengen
I Wörter und formale Sprachen
I Terme
Abläufen durch
I Zustandübergangssysteme
I Abstrakte Maschinen
I Berechnungsmodelle
Eigenschaften (von Daten und Abläufen) durch Logiken
I klassische Aussagenlogik
I klassische Prädikatenlogik (der 1. Stufe)
3
Modellierung von Daten
Beispiel Skatkarten
Farben: Karo, Herz, Pik, Kreuz
Menge F = {♦, ♥, ♠, ♣}
Werte:
Zahlen: 7, 8, 9, 10
Menge Z = {7, 8, 9, 10}
I Bilder: Bube, Dame, König, As
Menge B = {B, D, K , A}
Menge aller Werte: Z ∪ B
I
Menge aller Karten: F × (Z ∪ B)
Spielkarten sind die Elemente dieser Menge,
(♠, 9) ∈ F × (Z ∪ B)
z.B. (♥, B) ∈ F × (Z ∪ B),
wichtiges Ziel der Modellierung in der Informatik:
Repräsentation von Daten in einer Form, die maschinell
dargestellt und verarbeitet werden kann
Datentypen (abstrakte und konkrete)
4
Modellierung
Modelle sind Abstraktionen
realer Dinge, Eigenschaften, Beziehungen, Vorgänge
I
Auswahl von (für den Anwendungsbereich, zur
Problemlösung) wichtigem Wissen
I
Vernachlässigung unwichtiger Details
Beispiele:
I
Liniennetzplan
I
Grundriss
I
Stundenplan
I
Kostenplan
spezielle Form der Modelle abhängig von
I
Problembereich
I
geplante Verwendung
5
Logik
Beispiel:
1. Tom besucht heute das Kino oder das Konzert.
Tom ist nicht im Kino.
Also besucht Tom das Konzert.
√
2. √2 ist eine rationale oder eine irrationale Zahl.
2 6∈ .√
Also ist 2 irrational.
Q
gemeinsames Schema:
Aus (P oder Q) und (nicht P) lässt sich Q schließen.
formal: {P ∨ Q, ¬P} |= Q
maschinelle Verarbeitung logischer Formelmengen
z.B. durch SAT-Solver, Inferenzsysteme, Prolog-Interpreter
6
Formale Sprachen
Modellierung von Daten, Abläufen und Systemen
I
Zeichen (Alphabet)
z.B. {A,E,O,M,T}, {0, 1}
I
Folgen von Zeichen (Zeichenketten, Wörter)
z.B. TOMATE, 10100
I
Mengen von Wörtern (Sprachen)
z.B. Menge aller Wörter, die das Teilwort OMA enthalten
Menge aller Wörter, die auf 00 enden
I
Mengen von Sprachen (Sprachklassen)
z.B. alle Sprachen, die nur endliche viele Wörter enthalten
endliche Darstellung unendlicher Sprachen,
z.B. durch reguläre Ausdrücke, Grammatiken
Eignung verschiedener Sprachklassen zur maschinellen
Darstellung von Daten und Abläufen
7
Zustandsübergangssysteme
Münzenspiel:
Startzustand : 6 Münzen auf einem Stapel
Spielzug : zwei Münzen von einem Stapel nehmen und auf
jeden Nachbarstapel je eine Münze legen
I
In welchen Zuständen sind gar keine Züge möglich?
I
Welche Zustände sind aus dem Startzustand erreichbar?
I
Wieviele Züge können (mindestens / höchstens) gespielt
werden, bis kein Zug mehr möglich ist?
I
Verliert (kann nicht mehr ziehen) der erste oder der zweite
Spieler, wenn zwei Spieler abwechselnd ziehen?
Startzustand:
...
6
...
8
Vorteile der formalen Darstellung
Abstraktion von unwichtigen Details
(Entwicklung und Verwendung von Modellen)
Präzisierung der relevanten Aussagen
(eindeutige Semantik)
Systematisches Lösen (auch maschinell) von formal
dargestellten Problemen möglich
Struktureigenschaften formaler Beschreibungen
Schlussweisen unabhängig von Bedeutung der
Aussagen
9
Einordnung der LV in Teilgebiete der Informatik
theoretisch
Eigenschaften formaler Beschreibungs- und
Programmiersprachen
I Möglichkeiten und Grenzen
der Berechenbarkeit durch Algorithmen,
I Logik als Modellierung-Sprache
(Formulierung von Information und Algorithmen)
I Grundlagen für technische und praktische
(und angewandte) Informatik
I
technisch Mathematische Grundlagen der digitalen
Informationsverarbeitung
(maschinelle Darstellung, Übermittlung und
Verarbeitung von Information)
praktisch Modellierung, Darstellung, Spezifikation von
Algorithmen und Daten
Grundlagen der Softwareentwicklung
Anwendung logischer Verfahren zur Verifikation der
Korrektheit von Programmen
angewandt Anwendung der in der Softwareentwicklung,
Wissensverarbeitung, KI
10
Lernziele
I
Fähigkeit zur Abstraktion
I
Grundkenntnisse in Modellbildung
I
Grundverständnis der Logik als Sprache der Informatik
I
Beweisverfahren
I
Zusammenhänge zu anderen Gebieten der Informatik und
Mathematik
11
Literatur
Folien zur Vorlesung, jeweils nach der Vorlesung veröffentlicht unter
www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz/lehre/ws13/tgi/
empfohlene Bücher: Formale Sprachen und Berechnungsmodelle
I
zur Modellierung:
I Uwe Kastens, Hans Kleine Büning:
Modellierung - Grundlagen und formale Methoden,
Hanser 2008
I
zur Logik
I Michael Huth, Mark Ryan: Logic in Computer Schience,
Cambridge University Press 2010
I Uwe Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum, 1995
I Martin Kreuzer, Stefan Kühling: Logik für Informatiker,
Pearson Studium, 2006
I
zu formalen Sprachen und Berechnungsmodellen:
I Uwe Schöning: Theoretische Informatik - kurzgefasst,
Spektrum 2001
I John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman:
Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und
Komplexitätstheorie, Addison-Wesley 1990
12
Informatik studieren
Selbstudium:
Vor- und Nachbereitung jeder Lehrveranstaltung
(Vorlesung, Seminar, Praktikum, ...)
Unterlagen zu den Lehrveranstaltungen (eigene Mitschrift,
Skript, Folien, Zusatzmaterial, Übungsaufgaben)
durcharbeiten
Übungsaufgaben regelmäßig und rechtzeitig lösen,
(Aufgaben vom Typ der) Übungsaufgaben
gehören zum Stoff der LV und werden geprüft
Bücher benutzen (Bibliothek),
enthalten oft zusätzliche Übungsaufgaben,
Informationen aus dem Internet sind oft
unzuverlässig
Lerngruppen bilden und gemeinsam lernen
Nachfragen bei Dozenten (E-Mail, Sprechzeit, nach der
Lehrveranstaltung,. . . ), Mitstudenten, älteren
Studenten, . . .
13
Organisation der Lehrveranstaltung
Folien, Übungsserien, Termine, Änderungen, ... unter
www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz/lehre/ws13/tgi/
Modulbeschreibung INB-TGI:
portal.imn.htwk-leipzig.de/studium/
ordnungen-und-modulkataloge
90 h für Präsenzstudium + 120 für Selbststudium
Lehrveranstaltungen für jeden Studenten:
I
wöchentlich zwei Vorlesungen (60 SWS)
I
wöchentlich eine Übung (30 SWS)
Vor- und Nachbereitung: schriftliche Aufgaben (ÜS)
praktische Aufgaben (Autotool)
Literaturstudium
Selbststudium: Vor- und Nachbereitung (90 h)
Prüfungsvorbereitung (30 h)
14
Schriftliche Hausaufgaben – Seminar
schriftliche Übungsserien wöchentlich unter
www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz/lehre/ws13/tgi
Lernziele bei der Bearbeitung der Übungsserien:
I
Nachbereitung der letzten Vorlesung
anhand der Vorlesungsfolien und (der angegebenen)
Literatur
I
Vorbereitung der nächsten Vorlesung
I
Vorbereitung der Seminarvorträge zu jeder Aufgabe
Übungen:
I
Besprechung der Lösungen der schriftlichen
Hausaufgaben
(Vorrechnen durch Studenten, Prüfungszulassung)
I
Fragen zum aktuellen Vorlesungsstoff und zu den neuen
schriftlichen und praktischen Hausaufgaben
15
Praktische Hausaufgaben – Autotool
https:
//autotool.imn.htwk-leipzig.de/cgi-bin/Super.cgi
Account anlegen:
1. Click „HTWK “
2. Daten eintragen (korrekte Matrikelnummer,
Email [email protected])
3. Click „absenden“
Passwort wird an die angegebene Email-Adresse geschickt
(Geduld, kann dauern).
Account benutzen:
I
Anmeldung mit Matrikelnummer (Click „Login“)
I
Passwort ändern (Click „update“)
I
„Einschreiben“ in Übungsgruppe
I
Aufgabe ansehen und lösen (Click „Solve“)
16
Prüfung
Klausur
Aufgabentypen aus den Übungsserien
Zulassungsvoraussetzungen:
regelmäßige erfolgreiche Lösung der Hausaufgaben, d.h.:
I
mindestens dreimal richtiges „Vorrechnen“ von
Übungsaufgaben in den Übungen
I
50 % aller Punkte für praktische Pflichtaufgaben (Autotool)
17
Was bisher geschah
Inhalt und Organisation der Lehrveranstaltung
Modellierungsbeispiele:
I
Modellierung von Daten:
Skatkarten, Spielzustände
I
Modellierung von Abläufen:
Münzenspiel, ÜA lineares Solitaire
I
Modellierung von Eigenschaften:
ÜA Landsleute
18
Syntax und Semantik
Semantik (Bedeutung)
Was wird dargestellt?
Syntax (Darstellungsform)
Wie wird es dargestellt?
(meist viele verschiedene Möglichkeiten)
Beispiele:
I Lineares Solitaire (Zustände)
Semantik: Spielzustand im linearen Solitaire
Syntax: Möglichkeiten, z.B.
Z ∈ {0, 1}∗ , Z ∈ {S, K }∗ , Z ∈ {, ◦}∗
I Lineares Solitaire (Ablauf)
Semantik: möglicher Verlauf eines Spieles
Syntax: Möglichkeiten, z.B.
I
I
I
Folge von Spielzuständen
Modellierung der Spielzüge (als Regeln) und
Folge der angewendeten Regeln
Weg in der graphischen Darstellung des
Spieles
19
Prozess beim Lösen von Aufgaben (Problemen)
Analyse der (informalen) Aufgabe, Identifikation von
I Aufgabenbereich (Kontext)
I Eingabedaten (Typ, mögliche Werte)
I gewünschte Lösung
(Typ, Eigenschaften, Zusammenhang mit
Eingabe)
Modellierung (Spezifikation, formale Darstellung) von
I Aufgabenbereich (Kontext)
I Eingaben
I Lösungen
Modellierung von Daten und deren Eigenschaften
Entwurf einer Lösungsstrategie für die modellierte Aufgabe
(mit vorhandenen oder neuen Methoden)
Modellierung von
Berechnungen und deren Eigenschaften
Realisierung der Lösestrategie im Modellbereich
Ausführung der Lösestrategie im Modellbereich
Übertragung der Lösung vom Modellbereich in die Realität
20
Beispiel (informale Aufgabe)
Gesucht sind alle Skatkarten, die von einer gegebenen
Skatkarte in einem Null-Spiel (also ohne Trümpfe) gestochen
werden.
21
Analyse der Aufgabe (Aufgabenbereich)
Worum geht es?
Unterscheidung der für die reale Aufgabe wichtigen bzw.
unwichtigen Eigenschaften, z.B.:
I
Blatt für welches Spiel (z.B. Skat, Doppelkopf)?
im Beispiel: Skatblatt, d.h.
Jede Karte hat genau eine der Farben ♦, ♥, ♠, ♣ ,
und ist eine Zahl zwischen 7 und 10 oder ein Bild B,D,K,A
I
deutsches oder französisches Blatt?
I
Stichregeln innerhalb einer Farbe?
Ordnung zwischen Karten derselben Farbe
I
Trumpfregeln?
22
Analyse der Aufgabe: Ein- und Ausgabedaten
Eingaben:
Welche Art Daten sind gegeben? (Typen, Bereiche)
Eingabe im Beispiel:
eine Karte aus einem Skatblatt, beschrieben durch ein Paar
(Farbe, Wert)
Was sind die gewünschten Lösungen?
Typ: z.B. ja/nein (evtl. mit Begründung), Plan,
Gewinnstrategie,
Typ der Lösung im Beispiel: Menge von Karten
Eigenschaften Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgaben
Eigenschaften der Lösung im Beispiel:
Menge aller Karten mit
1. derselben Farbe wie die gegebene Karte
2. kleinerem Wert als die gegebene Karte
23
Modellierung
(Spezifikation, formale Darstellung)
Aufgabenbereich (Kontext): Skatblatt, d.h.
Menge aller Karten: K = F × {Z ∪ B} mit
F = {♦, ♥, ♠, ♣} , Z = {7, 8, 9, 10} und B = {B, D, K , A}
Ordnung der Karten derselben Farbe
(also auf Z ∪ B): 7 < 8 < 9 < 10 < B < D < K < A
Karten unterschiedlicher Farben stechen einander nicht
Eingabedaten: eine Karte e ∈ K
Lösung:
Typ: Menge von Karten, d.h. M ⊆ K
Eigenschaften Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgaben:
für jede Karte k ∈ K gilt genau dann k ∈ M, wenn
1. Farbe(k ) = Farbe(e) und
2. Wert(k ) < Wert(e)
24
Modellierung von Daten
Darstellung der Objekte und ihrer Beziehungen zueinander
I
Spielzustände im linearen Solitaire (Z ∈ {0, 1}∗ ),
Eigenschaften, Beziehungen dazwischen
z.B. Eigenschaft „Endzustand“, Relation „geht über zu“
I
Skatkarten (k ∈ F × (Z ∪ B)),
Eigenschaften, Beziehungen dazwischen
z.B. Eigenschaften „Lusche“,„Trumpf“, Relation „sticht“
I
N, mit Eigenschaften, Beziehungen, Operationen
z.B. Eigenschaften „gerade“, „prim“, Relationen ≤, =, |,
Operationen +, −, ·, mod, div, Nachfolger
I
R, mit Eigenschaften, Beziehungen, Operationen
z.B. Eigenschaft „rational“, Relationen ≤, =, Operationen +, −, ·,
allgemein: (algebraische) Struktur (M, R, F )
M Menge von Daten (Trägermenge)
R Eigenschaften, Relationen auf M
F Operationen auf M
25
(Konkrete) Datentypen
(konkreter) Datentyp:
I
Trägermenge (nichtleer, Menge aller Werte)
I
Eigenschaften von und Relationen zwischen den
Elementen der Trägermenge
I
Operationen auf der Trägermenge
= (algebraische) Struktur
Beispiele:
I
integer mit +,-,*,/
I
string mit ++, reverse
I
boolean mit And, Or, Not
I
string ∪ integer mit length
26
Einfache und zusammengesetzte (konkrete)
Datentypen
einfache Datentypen, z.B. int, bool, float, ...
zusammengesetzte Datentypen
Konstruktion durch die Operationen
I Vereinigung ∪ von Datentypen
Beispiel Skat: W = Z ∪ B
I kartesisches Produkt × von Datentypen:
Beispiel Skat: K = F × W
mehrfaches Produkt desselben Typs, z.B.
Tupel
Beispiel Skat:
Blatt in der Hand nach dem Austeilen ∈ K 10
I rekursive Datentypen, z.B. Listen
I Abbildung zwischen Datentypen (Funktionen)
27
Zusammengesetzte Datentypen
(konkreter) Datentyp:
I Menge von Werten (Daten)
I Menge von Relationen und Operationen auf diesen Werten
Beispiele:
I Daten: Telefonnummern, Namen
Operationen: Suchen der Telefonnummer zu einem Namen
I Daten: Studentendaten
Operationen: Sortieren nach Name, Matrikelnummer,
Noten
Gruppen einteilen, zusammenlegen
I Daten: Bestellungen
Operationen: Einfügen, Löschen, Dringlichste finden, nach
Betrag sortieren
I Daten: Orte mit Verbindungen
Operationen: kürzeste Verbindung suchen
I Daten: arithmetische Ausdrücke
Operationen: Teilausdrücke ersetzen, Wert berechnen
28
Zusammengesetzter Datentyp: Papierstapel
I
Trägermengen:
I
I
Typ Blatt (oben einseitig bedruckt)
Typ Stapel (von Blättern)
I
Eigenschaft: „ist leer“
I
Operationen:
top : Stapel → Blatt
oberes Blatt auf dem Stapel
pop : Stapel → Stapel
oberes Blatt vom Stapel entfernen
push : (Blatt × Stapel) → Stapel
Blatt oben auf den Stapel legen
29
Eigenschaften der Stapel-Operationen
Operationen:
top : Stapel → Blatt
pop : Stapel → Stapel
push : (Blatt × Stapel) → Stapel
einige Zusammenhänge zwischen den Stapel-Operationen:
für alle Blätter (Stapelelemente) e und alle Stapel s gilt:
I Wird zuerst ein Blatt e auf einen Stapel s gelegt und dann
von diesem Stapel das obere Blatt weggenommen, enthält
man den ursprünglichen Stapel s
pop(push(e, s)) = s
I top(push(e, s)) = e
I push(top(s), pop(s)) = s
Beobachtung:
Dieselben Eigenschaften gelten auch für Bücher-, Teller- und
andere Stapel,
sind also unabhängig vom Typ der Stapelelemente
30
Abstrakte Datentypen
Abstraktion von der Realisierung
(Trägermenge, Implementierung der Operationen)
Abstrakter Datentyp
(ist Beschreibung einer ganzen Klasse konkreter Datentypen):
Signatur enthält Typ- und Funktionsdeklarationen (Syntax)
im Stapel-Beispiel:
top : Stapel → Blatt
pop : Stapel → Stapel
push : (Blatt × Stapel) → Stapel
Axiome: formale Definition der Eigenschaften und
Zusammenhänge zwischen Operationen (Semantik)
im Stapel-Beispiel:
I pop(push(e, s)) = s
I top(push(e, s)) = e
I push(top(s), pop(s)) = s
Ein Konkreter Datentyp (algebraische Stuktur) (M, R, F ) ist Instanz
(Implementierung, Realisierung) eines abstrakten Datentypes gdw.
alle Relationen aus R und Operationen aus F alle im ADT definierten
Bedingungen erfüllen
31
Was bisher geschah
I
Beziehung zwischen Realität und Modell
I
Semantik (Bedeutung) und Syntax (Darstellungsform)
I
Schritte zum Lösen von Aufgaben (Problemen)
I
Analyse und formale Darstellung informal gegebener
Aufgaben
I
algebraische Strukturen (M, F , R) mit
M Menge von Daten (Trägermenge)
F Funktionen auf M
R Eigenschaften, Relationen auf M
I
einfache und zusammengesetzte Datentypen
I
konkrete und abstrakte Datentypen
32
Mathematische Grundlagen
Relationen und Operationen auf Mengen (mehr dazu in LV Mathe)
I
Element-Beziehung x ∈ M zwischen Individuen und Mengen
I
Teilmengen-Relation zwischen Mengen
A ⊆ B gdw. : für alle x ∈ A gilt auch x ∈ B
I
Operationen auf Mengen:
I
I
I
Vereinigung: A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B}
(kartesisches) Produkt: A × B = {(x, y ) | x ∈ A und y ∈ B}
Folgen (mehrfaches Produkt über
S derselben Menge):
Ai = A × · · · × A, Notation A∗ = i∈N Ai
|
{z
}
i−mal
I
I
N
Für jedes i ∈ gilt Ai+1 = A × Ai , wobei A1 = A
Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) einer Menge A:
2A = {M ⊆ A}
Menge aller Funktionen von Menge A in Menge B:
B A = {f : A → B}
(Potenzmenge ist Spezialfall mit B = {0, 1})
33
Algebraische Strukturen – Beispiele
I
Menge aller Menschen
Relationen: älter-als, Geschwister (zweistellig)
einstellige Relationen (Eigenschaften): blond
Funktion (einstellig): Mutter
I
Menge aller natürlichen Zahlen
Relationen: ≥ (zweistellig), | (teilt, zweistellig)
einstellige Relationen (Eigenschaften): prim, gerade
Funktion: Nachfolger (einstellig), + (zweistellig)
I
Menge 2 aller Punkte der Ebene
Relationen: kleinerer-Abstand-von-0 (zweistellig),
bilden-gleichseitiges-Dreieck (dreistellig)
Funktionen: verschieben (einstellig), Mittelpunkt (zweistellig)
I
Menge A∗ aller endlichen Wörter (Vektoren) über Alphabet A
Relation: Anfangswort (zweistellig), lexikographische Ordnung
Funktionen: Spiegelung (einstellig), Verkettung (zweistellig)
N
R
34
Algebraische Strukturen desselben Types
A Menge {0, 1} mit
I Konstanten 0, 1
I Funktionen min, max (zweistellig)
I Eigenschaft gerade
I Relation ≤ (zweistellig)
B Menge aller Studenten im Raum mit
I Konstanten Anton, Berta
I Funktionen Älterer,
kleinere-Matrikelnummer(zweistellig)
I Eigenschaft blond
I Relation befreundet (zweistellig)
C Menge 2N mit
I Konstanten ∅,
I Funktionen ∩, ∪ (zweistellig)
I Eigenschaft endlich
I Relation ⊆ (zweistellig)
N
35
Signaturen
Gemeinsamkeiten der Strukturen A, B, C:
I
I
I
I
zwei Konstanten (nullstellige Funktionen)
zwei zweistellige Funktionen
eine Eigenschaft (einstellige Relation)
eine zweistellige Relation
Bezeichnung der Relationen und Funktionen durch Symbole
(mit zugeordneter Stelligkeit):
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit Mengen
ΣF = {(f , n) | n ∈ } von Funktionssymbolen (mit Stelligkeit)
ΣR = {(R, n) | n ∈ } von Relationssymbolen (mit Stelligkeit)
(nullstellige Funktionssymbole heißen Konstantensymbole)
Signatur definiert einen Typ von Strukturen
Strukturen mit derselben Signatur können sich unterscheiden in
N
N
I
I
Trägermenge
Bedeutung der Funktions- und Relationssymbole
36
Beispiele für Signaturen
I
Signatur für arithmetische Ausdrücke über natürlichen,
rationalen, reellen, . . . Zahlen
ΣF = {(+, 2), (−, 2), (·, 2), (/, 2)}∪ je ein nullstelliges
Symbol für jede Zahl aus der Trägermenge
ΣR = {(=, 2), (≤, 2)}
I
Signatur für aussagenlogische Formeln
ΣF = {(∨, 2), (∧, 2), (→, 2), (¬, 1), (f, 0), (t, 0)}, ΣR = ∅
I
Signatur für alle drei Strukturen A, B, C auf früherer Folie:
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
ΣR = {(zwiebel, 1), (tomate, 2)}
37
Terme
gegeben:
N
I
funktionale Signatur ΣF = {(f , n) | n ∈ }
(Relationssysmbole kommen in Termen nicht vor)
I
Menge
X von Individuenvariablen
Definition (induktiv)
X
Die Menge Term(ΣF , ) aller Terme über der (funktionalen) Signatur
ΣF mit Variablen aus der Menge ist definiert durch:
IA Jede Variable x ∈
X
X ist ein Term. (X ⊆ Term(ΣF , X))
IS Sind (f , n) ∈ ΣF (f ist n-stelliges Funktionssymbol) und t1 , . . . , tn
Terme aus Term(ΣF , ),
dann ist f (t1 , . . . , tn ) ein Term aus Term(ΣF , ).
X
X
Terme haben Baumstruktur
verschiedene Darstellungen möglich, z.B. Infix-, Präfix-, Postfixform
Terme ohne Variablen heißen Grundterme.
Menge aller Grundterme: Term (ΣF , ∅)
38
Terme – Beispiele
I
X
für ΣF = {(f , 1), (g, 2), (h, 2), (c, 0)} und = {x, y , z} gilt z.B.
c ∈ Term(ΣF , ∅) ⊆ Term(ΣF , ) (Grundterm)
z ∈ Term(ΣF , ), aber z 6∈ Term(ΣF , ∅) (kein Grundterm)
f (c) ∈ Term(ΣF , ∅) ⊆ Term(ΣF , ),
h(f (x), c) ∈ Term(ΣF , ), aber h(f (x), c) 6∈ Term(ΣF , ∅)
f 6∈ Term(ΣF , ), h(c) 6∈ Term(ΣF , ), x(c) 6∈ Term(ΣF , )
X
X
X
X
X
X
Q
X
I
für ΣF = {(+, 2), (−, 2), (·, 2), (/ 2)} ∪ {(q, 0) | q ∈ } ist
Term(ΣF , ∅) die Menge aller arithmetischen Ausdrücke (Terme)
mit rationalen Zahlen (z.B. 3/5+1/4),
Term(ΣF , {a, b, c}) die Menge aller arithmetischen Ausdrücke
(Terme) mit rationalen Zahlen und Variablen aus der Menge
{a, b, c} (z.B. 3a+2b/c),
I
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
I apfel ∈ Term(Σ , ∅), Grundterm
F
I kirsche (x, pflaume(y , banane)) ∈ Term(Σ , {x, y , z})
F
kein Grundterm
I banane(apfel(pflaume, kirsche(pflaume))) 6∈ Term(Σ ,
F
I pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel)) ∈ Term(Σ , ∅)
F
X)
39
Was bisher geschah
I
Beziehung zwischen Realität und formalem Modell
I
Semantik (Bedeutung) und Syntax (Darstellungsform)
I
algebraische Strukturen (M, F , R) mit
M Menge von Daten (Trägermenge)
F Funktionen auf M
R Eigenschaften, Relationen auf M
I
Signaturen Σ = (ΣF , ΣR )
I
Menge aller Terme Term(ΣF , ) über der funktionalen
Signatur ΣF und der Variablenmenge
X
X
40
Wiederholung Terme
Definition (induktiv)
X
Die Menge Term(ΣF , ) aller Terme über der (funktionalen) Signatur
ΣF mit Variablen aus der Menge ist definiert durch:
IA Jede Variable x ∈
X
X ist ein Term. (X ⊆ Term(ΣF , X))
IS Sind (f , n) ∈ ΣF (f ist n-stelliges Funktionssymbol) und t1 , . . . , tn
Terme aus Term(ΣF , ),
dann ist f (t1 , . . . , tn ) ein Term aus Term(ΣF , ).
X
X
Beispiele:
I
Für die Signatur ΣF = {(f , 2), (g, 1), (a, 0)} und die
Variablenmenge = {x, y , z} gilt
f (g(x), f (y , g(f (a, z)))) ∈ Term(ΣF , ),
a(f (a, f (x, b(c)))) 6∈ Term(ΣF , )
X
X
I
X
Für die Signatur ΣF = {(z, 0), (s, 1)} gilt
z ∈ Term(ΣF , ∅), s(s(z)) ∈ Term(ΣF , ∅),
allgemein:
Term(ΣF , ∅) = {s(. . . (s(z)) . . .) | i ∈
| {z }
N}
i−mal
41
Menge aller Variablen in einem Term
Definition (induktiv):
X
Für jeden Term t ∈ Term(ΣF , ) ist die Menge var(t) aller in t
vorkommenden Variablen definiert durch:
IA: falls t = x ∈
X (Variable), dann var(t) = {x}
IS: falls t = f (t1 , . . . , tn ) mit (f , n) ∈ ΣF , dann
var(t) = var(t1 ) ∪ · · · ∪ var(tn )
Beispiel: Für t = f (g(x, a), g(f (a, y ), x)) gilt var(t) = {x, y }
42
Anzahl der Variablenvorkommen in einem Term
Definition (induktiv):
X
Für jeden Term t ∈ Term(ΣF , ) ist die Anzahl varcount(t) aller
Variablenvorkommen in t definiert durch:
IA: falls t = x ∈
X (Variable), dann varcount(t) = 1
IS: falls t = f (t1 , . . . , tn ) mit (f , n) ∈ ΣF , dann
varcount(t) = varcount(t1 ) + · · · + varcount(tn )
Beispiel: Für t = f (g(x, a), g(f (a, y ), x)) gilt varcount(t) = 3
varcount(t) ist die Anzahl aller mit Variablen markierten Blätter
im Termbaum von t
Allgemein gilt varcount(t) ≥ |var(t)|
43
Tiefe des Terms
Definition (induktiv):
Für jeden Term t ∈ Term(ΣF ,
durch:
IA: falls t = x ∈
X) ist seine Tiefe tiefe(t) definiert
X (Variable), dann tiefe(t) = 0
IS: falls t = f (t1 , . . . , tn ) mit (f , n) ∈ ΣF , dann
tiefe(t) = 1 + max{tiefe(t1 ), . . . , tiefe(tn )}
(wobei max(∅) = 0)
Beispiel: Für t = f (g(x, a), g(f (a, y ), x)) gilt tiefe(t) = . . .
44
Postorder-Folge des Terms
Definition (induktiv):
Für jeden Term t ∈ Term(ΣF ,
postorder(t) definiert durch:
IA: falls t = x ∈
X) ist seine Postorder-Folge
X (Variable), dann postorder(t) = x
IS: falls t = f (t1 , . . . , tn ) mit (f , n) ∈ ΣF , dann
postorder(t) = postorder(t1 ) ◦ · · · ◦ postorder(tn ) ◦ f
(◦ Verkettung)
Beispiel: Für t = f (g(x, a), g(f (a, y ), x)) gilt postorder(t) = . . .
45
Menge aller Teilterme eines Terms
Definition (induktiv):
Für jeden Term t ∈ Term(ΣF ,
Teilterme t definiert durch:
IA: falls t = x ∈
X) ist die Menge TT(t) aller
X (Variable), dann TT(t) = {x}
IS: falls t = f (t1 , . . . , tn ) mit (f , n) ∈ ΣF , dann
TT(t) = {t} ∪ TT(t1 ) ∪ · · · ∪ TT(tn )
Beispiel: Für t = g(f (a, x), x) gilt TT(t) = . . .
46
Prinzip der strukturellen Induktion
Beobachtung:
Bestimmung von Variablenmenge, Anzahl der
Variablenvorkommen, Menge der Teilterme, Tiefe eines Terms,
Postorder-Folge geschah nach demselben Schema:
Definition einer Funktion f : Term(ΣF ,
X) → M durch
Induktion über die Struktur des Terms
Für jeden Terme t ∈ Term(ΣF ,
definiert durch:
X) ist der Funktionswert f (t)
IA: Definition des Funktionswertes f (t) für Variablen t = x ∈
(Blätter im Termbaum)
X
IS: Definition des Funktionswertes f (t) für
zusammengesetzten Terme t = f (t1 , . . . , tn ) durch eine
Kombination der Funktionswerte der
direkten Teilterme von t (also t1 , . . . , tn )
47
Beweise durch strukturelle Induktion
Nachweis, dass eine Eigenschaft E für alle Terme
t ∈ Term(ΣF , ) gilt durch
X
Induktion über die Struktur des Terms
X
Die Eigenschaft E ist für jeden Term t ∈ Term(ΣF , ) erfüllt,
wenn man die folgenden beiden Aussagen nachweisen kann:
IA: E gilt für jede Variable t = x ∈
X (Blätter im Termbaum)
IS: Falls E für n Terme t1 , . . . , tn gilt und (f , n) ∈ ΣF ,
dann gilt E auch für t = f (t1 , . . . , tn )
IV : E gilt für die Terme t1 , . . . , tn
IH : E gilt für f (t1 , . . . , tn ) (mit (f , n) ∈ ΣF )
IB : Nachweis, dass IH aus IV folgt.
prominenter Spezialfall:
Beweise durch vollständige Induktion (für
(mehr dazu in den Mathematik-LV)
N)
48
Σ-Strukturen (Semantik)
Definition
Zu einer Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) heißt A = (A, J·KA ) genau dann
Σ-Struktur, wenn
I
A 6= ∅ Trägermenge (Universum)
I
für jedes (f , n) ∈ ΣF gilt Jf KA : An → A
(Jf KA ist eine n-stellige Funktion auf A)
I
für jedes (R, n) ∈ ΣR gilt JRKA ⊆ An
(JRKA ist eine n-stellige Relation auf A)
Für jedes Symbol s aus der Signatur Σ bezeichnet JsKA
die Bedeutung (Semantik) von s in der Struktur A.
Beispiel: Für die Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(c, 0)} und ΣR = {(b, 1), (f , 2)}
ist die Struktur A = (A, J·KA ) mit A = Menge aller Studenten in
diesem Raum,
JcKA = Student links hinten, JbKA = blond, Jf KA = befreundet
eine Σ-Struktur
49
Beispiele für Σ-Strukturen
I
für die Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(+, 2), (1, 0)} und ΣR = {(≤, 2)} sind
z.B. ( , {+, 1}, {≤}) und ( , {+, 1}, {≤}) Σ-Strukturen
für die Signatur Σ = (ΣF , ΣR )
mit ΣF = {(f , 2), (c, 0)} und ΣR = {(R, 2)} sind
z.B. ( , {+, 0}, {|}) und ( , {, 2}, {≤}) Σ-Strukturen
Für die Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
ΣR = {(zwiebel, 1), (tomate, 2)}
sind z.B. die folgenden Strukturen Σ-Strukturen:
N
I
Q
N
I
I
I
Q
A = ({0, 1}, J·KA ) mit
JapfelKA = 0, JbananeKA = 1
JkirscheKA = min, JpflaumeKA = max
JzwiebelKA = {0}, JtomateKA = ≤
B = ( , J·KB ) mit
JapfelKB = 3, JbananeKB = −1
JkirscheKB (x, y ) = x y , JpflaumeKB (x, y ) = x − y
JzwiebelKB = 2 (gerade), JtomateKB = {(x, y ) | x < y }
R
Z
50
Wert von Grundtermen in Strukturen
gegeben: funktionale Signatur ΣF = {(f , n) | n ∈
ΣF -Struktur A = (A, J·KA )
N}
Definition (induktiv)
Der Wert des ΣF -Grundtermes t = f (t1 , . . . , tn ) ∈ Term(ΣF , ∅)
in der ΣF -Struktur A = (A, J·KA ) ist
JtKA = Jf KA (Jt1 KA , . . . , Jtn KA )
Fehlt hier der Induktionsanfang?
nein, als Spezialfall enthalten:
Für t = c mit (c, 0) ∈ ΣF (Konstante) gilt JtKA = JcKA
(Bedeutung der Konstante c in A, gegeben in Definition von A)
51
Beispiel
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
ΣR = {(zwiebel, 1), (tomate, 2)}
s = apfel t = pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel))
Σ-Struktur A = (A, J·KA ) mit
A =
N
JapfelKA = 5
JbananeKA = 3
für alle a, b ∈ A: JkirscheKA (a, b) = a + b
für alle a, b ∈ A: JpflaumeKA (a, b) = a · b
JzwiebelKA = {0, . . . , 10}
JtomateKA = {(2n, n) | n ∈
JsKA = 5 JtKA = . . .
N}
52
Weiteres Beispiel
s = apfel t = pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel))
Σ-Struktur B = (B, J·KB ) mit
B = {0, 1}
JapfelKB = 0
JbananeKB = 1
für alle a, b ∈ B: JkirscheKB (a, b) = min(a, b)
für alle a, b ∈ B: JpflaumeKB (a, b) = max(a, b)
JzwiebelKB = {0}
JtomateKB = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)}
JsKB = JapfelKB = 0,
JtKB = . . .
53
Noch ein Beispiel
s = apfel t = pflaume(apfel, kirsche(banane, apfel))
Σ-Struktur D = (D, J·KD ) mit
D = 2N
JapfelKD = ∅
JbananeKD =
N
für alle M, N ∈ D: JkirscheKD (M, N) = M ∩ N
für alle M, N ∈ D: JpflaumeKD (M, N) = M ∪ N
JzwiebelKD = {M ⊆
N | |M| ∈ N}
JtomateKD = {(M, N) ∈ D 2 | M ⊆ N}
JsKD = JapfelKD = ∅,
JtKD = . . .
54
Äquivalenz von Grundtermen in einer Struktur
Definition
ΣF -Grundterme s, t ∈ Term(ΣF , ∅) mit JsKA = JtKA heißen
äquivalent in A (s ≡A t).
In den Beispielen oben gilt s ≡B t, aber s 6≡A t.
aus dem Mathematik-Unterricht (Schule):
Äquivalenz von Termen lässt sich oft durch syntaktische
Umformungen (Termersetzung) testen
z.B. Ausklammern, Ausmultiplizieren, Summanden
vertauschen usw.
55
Was bisher geschah
I
Beziehung zwischen Realität und formalem Modell
I
Semantik (Bedeutung) und Syntax (Darstellungsform) von Daten
Syntax (Terme):
I
Signaturen Σ = (ΣF , ΣR )
I
Term(ΣF ,
I
strukturelle Induktion über Terme (für Funktionen, Beweise)
X): Menge aller Terme über ΣF und X
Semantik von Termen:
I
algebraische Strukturen (M, F , R)
I
Σ-Strukturen A = (A, J·KA ) mit
I
I
I
A 6= ∅ Trägermenge (Universum)
für jedes (f , n) ∈ ΣF gilt Jf KA : An → A
für jedes (R, n) ∈ ΣR gilt JRKA ⊆ An
I
Werte von Grundtermen in Σ-Strukturen (induktiv definiert)
I
Äquivalenz von Grundtermen in Σ-Strukturen
56
Interpretationen für Terme mit Variablen
gegeben: Signatur Σ = (ΣF , ΣR ), Variablenmenge
Σ-Struktur A = (A, J·KA )
Term t ∈ Term(ΣF , )
X
X
Problem:
Welchen Wert in A repräsentieren Variablen x ∈
X
X?
Lösung: Belegung β : → A der Individuenvariablen
(ordnet jeder Variablen einen Wert aus der Trägermenge von A
zu)
Definition
Eine (Σ-)Interpretation für einen Term t ∈ Term(ΣF ,
Paar (A, β) aus
I
I
X) ist ein
einer Σ-Struktur A = (A, J·KA ) und
einer Belegung β :
X → A.
57
Beispiele
Signatur Σ = {(f , 2), (g, 2), (a, 0)}, Variablenmenge
I
N
Interpretation (A, α) mit Σ-Struktur A = ( , J·KA ), wobei
∀m, n ∈
∀m, n ∈
N:
N:
JaKA = 1
Jf KA (m, n) = m + n
JgKA (m, n) = m · n
und Variablenbelegung α : {x, y } →
α(x) = 2 und α(y ) = 1
I
X = {x, y }
N, wobei
Interpretation (B, β) mit Σ-Struktur B = (2{a,b,c} , J·KB ):
2{a,b,c}
∀M, N ∈
∀M, N ∈ 2{a,b,c}
JaKB = {b, c}
: Jf KB (M, N) = M \ N
: JgKB (M, N) = M ∪ N
und Variablenbelegung β : {x, y } → 2{a,b,c} , wobei
β(x) = ∅ und β(y ) = {b}
58
Interpretation von Termen mit Variablen
Definition (induktiv)
Für jede Signatur Σ = (ΣF , ΣR ), jede Interpretation (A, β) mit
A = (A, J·KA ) und β : → A ist der Wert des Termes
t ∈ Term(ΣF , ) in (A, β) definiert durch
X
X
IA falls t = x ∈
X, dann JtK(A,β) = β(x)
IS falls t = f (t1 , . . . , tn ), dann
JtKA = Jf KA Jt1 K(A,β) , . . . , Jtn K(A,β)
Der Wert eines Termes in einer Interpretation ((A, J·KA ), α) ist
ein Element aus A.
59
Beispiele
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(a, 0), (b, 0), (f , 1), (g, 2), (h, 2)} und ΣR = ∅
Variablenmenge = {x, y }
X
Σ-Struktur S = (S, J·KS ) mit
S
JaKS
JbKS
∀d ∈ S :
Jf KS (d)
∀d, e ∈ S : JgKS (d, e)
∀d, e ∈ S : JhKS (a, b)
Variablenbelegungen
β : {x, y } →
γ : {x, y } →
=
=
=
=
=
=
N
5
3
1+d
d +e
d ·e
N mit β(x) = 0, β(y ) = 1
N mit γ(x) = 2, γ(y ) = 0
Terme s = g(h(f (a), x), h(x, y )) und t = h(f (x), g(y , a))
JsK(S,β) = . . . , JtK(S,β) = . . . , JsK(S,γ) = . . . , JtK(S,γ) = . . . (Tafel)
60
Mehrsortige Signaturen
S
mehrsortige Signatur (mit Sorten aus einer Menge ) enthält
Relationssymbole mit Argumenttypen (s ⊆ ∗ )
Funktionssymbole mit Argument-und Ergebnistypen
(f : ∗ → )
S
S
S
mehrsortige Signatur Σ mit Sorten
S = {Si | i ∈ I}
Beispiel: Bücher mit Autoren und Erscheinungsjahr
I
Sorten: B (Bücher), P (Personen), J (Jahreszahlen),
2B (Mengen von Büchern),
I
Funktionssymbole (mit Argument-und Ergebnistypen):
erscheinungsjahr
:B
→J
erstesBuch
:P
→B
gemeinsameBücher : P × P → 2B
Relationen (mit Argumenttypen):
Autor
⊆B×P
Coautor ⊆ P × P
I
61
Terme über mehrsortigen Signaturen
S
gegeben: mehrsortige Signatur Σ mit Menge von Sorten
Variablenmenge 0 = ×
(jede Variable mit einer zugeordneter Sorte aus )
X X S
S
Definition (induktiv)
S
X
Für jede Sorte S ∈ ist die Menge TermS (Σ, 0 ) aller Terme der
Sorte S mit Variablen aus der Menge 0 definiert durch:
IA: {x | (x : S) ∈
X
X0 } ⊆ TermS (ΣF , X0 )
IS: Für alle f mit (f : S1 × · · · × Sn → S) ∈ Σ und alle Tupel
(t1 , . . . , tn ), wobei für alle k ∈ {1, . . . , n} gilt
tk ∈ TermSk (Σ, 0 ),
ist f (t1 , . . . , tn ) ∈ TermS (Σ, 0 )
X
X
Spezialfall: Jede Konstante f : S ∈ Σ ist Σ-Term der Sorte S.
Beispiele: t = erscheinungsjahr(erstesBuch(x))
mit (x : P) ∈ 0 ist ein Term in TermJ (Σ, 0 )
erstesBuch(erscheinungsjahr(x)) ist kein Term
X
X
62
Mehrsortige Σ-Strukturen
S
gegeben: -sortige Signatur Σ
S
Σ-Struktur A = ({AS | S ∈ }, J·KA ) mit
S
I
für jede Sorte S ∈ eine nichtleere Menge AS
(Trägermenge, Universum der Sorte)
I
für jedes Funktionssymbol f : S1 . . . Sn → S
eine Funktion Jf KA : AS1 × . . . × ASn → AS
I
für jedes Relationssymbol R : S1 × . . . × Sn
eine Relation JRKA ⊆ AS1 × . . . × ASn
S
S
Wert von Termen mit -sortiger Signatur Σ in der -sortigen
Struktur A = ({AS | S ∈ }, J·KA )
analog zur Definition für einsortige Signaturen und Strukturen
S
63
Relationen als mehrsortige Funktionen
Beispiel:
(einsortiges) Relationssymbol (r , 2)
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣF = ∅ und ΣR = {(r , 2)}
Interpretation in einer einsortigen Σ-Struktur A mit Träger |A|
und Jr KA ⊆ |A| × |A|
Einführung der Sorten
S (für Trägermenge) und
B
= {f, t} (für Wahrheitswerte)
Definition der Funktion fr : S × S →
B mit
∀(x, y ) ∈ S 2 : (x, y ) ∈ r gdw. fR (x, y ) = t
64
Relationen als mehrsortige Funktionen
für beliebige Stelligkeit n:
Übersetzung jedes Relationssymbols (r , n) ∈ ΣR in ein
Funktionssymbol fr : S n → , so dass
B
∀(x1 , . . . , xn ) ∈ S n : (x1 , . . . , xn ) ∈ r gdw. fr (x1 , . . . , xn ) = t
Jeder relationalen (einsortigen) Signatur ΣR läßt sich eine
zweisortige funktionale Signatur Σ0 = Σ0F ∪ Σ0R zuordnen:
Σ0F
= {f : S n → S | (f , n) ∈ ΣF }
Σ0R = {fr : S n →
B | (r , n) ∈ ΣR }
Analog lassen sich mehrsortige Relationen durch mehrsortige
Funktionen ersetzen.
Es genügt also, mehrsortige Strukturen ohne Relationen zu
betrachten.
65
Abstrakter Datentyp (Interface) – Beispiel
Aufgabe: Verwaltung einer Menge ganzer Zahlen (z.B. ID-Nummern),
so dass festgestellt werden kann, ob eine Zahl darin enthalten ist und
Zahlen hinzugefügt und entfernt werden können.
B
Sorten (Wertebereiche): Zahl, Menge, Wahrheitswert ( )
Signatur: Funktionen zum Finden, Hinzufügen, Entfernen
B
B
contains :
Menge × Zahl →
add, remove : Menge × Zahl → Menge
isempty :
Menge →
emptyset :
Menge
Axiome (definieren die Semantik der Operationen):
∀n ∈ Zahl
∀s ∈ Menge ∀n ∈
∀s ∈ Menge ∀n ∈
∀s ∈ Menge ∀m, n ∈
∀s ∈ Menge ∀n ∈
N
N
N
N
:
:
:
:
:
isempty((emptyset) = t,
contains(emptyset, n) = f,
contains(add(s, n), n) = t,
contains(remove(s, n), n) = f,
add(add(s, n), m) = add(add(s, m), n),
add(add(s, n), n) = add(s, n), . . .
66
Konkreter Datentyp (Implementierung) – Beispiel
verschiedene Möglichkeiten zur Darstellung der Sorten:
1. Wahrheitswerte z.B. als {0, 1}, {−1, 0}
2. Zahlen in verschiedenen Zahlendarstellungen, z.B.
dezimal, binär, zu anderer Basis, Maschinenzahlen
(eingeschränkter Bereich)
3. Mengen als (sortierte) Folgen (mit / ohne Wiederholungen) von
Zahlen
4. Zuordnung Zahl → {f, t} mit t, falls Zahl in der Menge, f sonst
(charakteristische Funktion)
5. {0, 1}-Folgen
abstrakter Datentyp: Signatur Σ und Axiome Φ,
exakte Formulierung der Aufgabe, Spezifikation
konkreter Datentyp: Σ-Struktur, welche Φ erfüllt (Modell für Φ)
Umsetzung, Implementierung
(mehr dazu in LV Algorithmen und Datenstrukturen)
67
Wiederholung ADT Stack
(Stapel, Keller)
Sorten E: Elementtyp,
S: Stapel von Elementen vom Typ E,
(Wahrheitswerte)
B
Signatur Σ: top
pop
push
new
isEmpty
Axiome , z.B.
∀s
∀s
∀s
∀s
∈S
∈S
∈S
∈S
:S
:S
:E ×S
:
:S
∀e ∈ E
∀e ∈ E
∀e ∈ E
∀e ∈ E
:
:
:
:
→E
→S
→S
S
→
B
isEmpty(new)
isEmpty(push(e, s))
top(push(e, s))
pop(push(e, s))
push(top(s), pop(s))
=
=
=
=
=
t
f
e
s
s
68
Was bisher geschah: Modellierung von Daten
I
Beziehung zwischen Realität und formalem Modell
I
Semantik (Bedeutung) und Syntax (Darstellungsform) von Daten
I
Beispiel (ÜA) lineares Solitaire
Syntax:
I
Signaturen Σ = (ΣF , ΣR )
I
Terme in Term(ΣF ,
I
strukturelle Induktion über Terme (für Funktionen, Beweise)
X)
Semantik:
I
algebraische Strukturen (M, F , R)
I
Interpretationen (A, β) mit
I
I
I
Σ-Struktur A = (A, J·KA )
Belegung der Individuenvariablen β :
X→A
Werte von Termen in Interpretationen
69
Wörter – Beispiele
banane
ist ein Wort (Zeichenkette) mit Symbolen aus der Menge {a, b, e, n},
neben und abbbeeeab auch,
ananas und ab + bea nicht
2009
ist ein Wort mit Symbolen aus der Menge {0, 2, 9},
90 und 09020090 auch,
−2090 nicht
(x + y ) · (z − x)
ist ein Wort mit Symbolen aus der Menge {x, y , z, (, ), +, −, ·},
()xz(xy + − auch,
x + 3 · z nicht
(¬p ∧ p) → q
ist ein Wort mit Symbolen aus der Menge {p, q, ∧, ¬, →, (, )},
q → (p → q) und ∧)(¬p∧ auch,
p ↔ q nicht
otto holt obst.
ist ein Wort mit Symbolen aus der Menge {otto, obst, holt, ., },
.otto..otto auch,
los otto nicht
70
Begriffe
Notationen: Für eine Menge A heißt
An = A
· · × A} = {w1 · · · wn | ∀i : wi ∈ A}
| × ·{z
n
Menge aller Wörter der Länge n über A
(n-Tupel, Vektoren, Listen, Zeichenketten)
S
∗
A = {n∈N} An
Menge aller Wörter über A
A0 = {ε}
mit leerem Wort ε
Alphabet (endliche) Menge A von Symbolen
Wort endliche Folge von Symbolen w = w1 · · · wn mit
∀i ∈ {1, . . . , n} : wi ∈ A
Länge eines Wortes |w| = Anzahl der Symbole in w
Anzahl der Vorkommen eines Symboles in einem Wort
|w|a = Anzahl der a in w (für a ∈ A)
Sprache Menge von Wörtern L ⊆ A∗
71
Beispiele für Sprachen
I
Menge aller englischen Wörter L1 ⊂ {a, . . . , z}∗
I
Menge aller deutschen Wörter L2 ⊂ {a, . . . , z, ß,ä,ö,ü}∗
I
Menge aller möglichen DNA L3 ⊆ {A, T , G, C}∗
I
Menge aller natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung
L4 ⊆ {0, . . . , 9}∗ (evtl. mit führenden Nullen)
I
Menge aller natürlichen Zahlen in Binärdarstellung
(Bitfolgen beliebiger Länge) L5 ⊆ {0, 1}∗
I
Menge aller deutschen Sätze L6 ⊂ (L2 ∪ {., , , !, ?, (, ), −})∗
Problem:
Für die automatische Verarbeitung von Sprachen ist eine
endliche Darstellung notwendig (auch für unendliche
Sprachen).
72
Verkettung von Wörtern
Verkettung ◦ von Wörtern:
◦ : A∗ × A∗ → A∗ , wobei für alle Wörter
u = u1 · · · um ∈ A∗ , v = v1 · · · vn ∈ A∗ gilt
u ◦ v = u1 · · · um v1 · · · vn
Beispiel: anne ◦ marie = annemarie
Eigenschaften der Operation ◦:
I ◦ ist assoziativ, d.h.
∀u, v , w ∈ A∗ : (u ◦ v ) ◦ w = u ◦ (v ◦ w)
I
Das leere Wort ε ist neutrales Element für ◦, d.h.
∀w ∈ A∗ : ε ◦ w = w ◦ ε = w
◦ ist nicht kommutativ.
Gegenbeispiel: u = marie, v = anne
u ◦ v = marieanne 6= annemarie = v ◦ u
73
Umkehrung (gespiegeltes Wort)
Umkehrung von w = w1 · · · wn : w R = wn · · · w1
Beispiele: marieR = eiram, 2013R = 3102, 101R = 101
to ◦
m ◦ (ate)R
Fakt
Für jedes Wort w ∈ A∗ gilt w R
R
R
R !R
◦n
= ...
= w.
Fakt
Für zwei beliebige Wörter u, v ∈ A∗ gilt (u ◦ v )R = v R ◦ u R .
74
Palindrome
Palindrom: Wort w mit w = w R
B: anna, neben, ε, jedes Wort der Länge 1
Die Menge aller Palindrome über dem Alphabet A ist
Lpal = {w ∈ A∗ | w = w R }
= {w ◦ w R | w ∈ A∗ } ∪ {w ◦ a ◦ w R | w ∈ A∗ ∧ a ∈ A}
|
{z
} |
{z
}
Lpal0
Lpal1
Beispiele für Wörter aus Lpal :
I
otto = ot ◦ to = ot ◦ (ot)R für w = ot ∈ A∗ = {a, . . . , z}∗
I
reliefpfeiler = relief ◦ p ◦ feiler = relief ◦ p ◦ (relief )R
für w = relief ∈ A∗ = {a, . . . , z}∗
I
1 = ε ◦ 1 ◦ ε = ε ◦ 1 ◦ εR
I
ε=ε◦ε=ε◦
für A = {0, 1}
εR
75
Relationen auf Wörtern
(binäre Relation = Menge geordneter Paare)
Präfix-Relation (Anfangswort): v ⊆ A∗ × A∗
Für zwei Wörter u = u1 · · · um ∈ A∗ , v = v1 · · · vn ∈ A∗ gilt
u v v genau dann, wenn
ein Wort w ∈ A∗ existiert, so dass u ◦ w = v gilt.
Beispiele:
I
an v anna (mit w = na)
I
n 6v anna
I
tom v tomate (mit w = ate)
I
oma 6v tomate
I
für jedes Wort u ∈ A∗ gilt ε v u (mit w = u)
I
für jedes Wort u ∈ A∗ gilt u v u (mit w = ε)
76
Postfix- und Infix-Relation auf Wörtern
Postfix-Relation:
Für zwei Wörter u = u1 · · · um ∈ A∗ , v = v1 · · · vn ∈ A∗ heißt u
genau dann Postfix (Suffix) von v , wenn ein Wort w ∈ A∗
existiert, so dass w ◦ u = v gilt.
Beispiel: enten ist Postfix von studenten
Infix-Relation (Teilwort, Faktor):
Für zwei Wörter u = u1 · · · um ∈ A∗ , v = v1 · · · vn ∈ A∗ heißt u
genau dann Infix von v , wenn zwei Wörter w, w 0 ∈ A∗
existieren, so dass w ◦ u ◦ w 0 = v gilt.
Beispiel: uwe ist Infix von sauwetter
satt ist kein Infix von sauwetter
77
Sprachen als Mengen
Sprachen L ⊆ A∗ sind Mengen von Wörtern
Mengenrelationen auf Sprachen:
L ⊆ L0 gdw.
∀w ∈ A∗ : w ∈ L → w ∈ L0
L = L0 gdw.
∀w ∈ A∗ : w ∈ L ↔ w ∈ L0
Mengenoperationen auf Sprachen:
L ∪ L0 = {w | w ∈ L ∨ w ∈ L0 }
L ∩ L0 = {w | w ∈ L ∧ w ∈ L0 }
L \ L0 = {w | w ∈ L ∧ w 6∈ L0 }
Komplement einer Sprache L ⊆ A∗ : L = A∗ \ L
Beispiel:
[
[
L=
An
L=
An ∪
N
n∈3
N
n∈{3i+1|i∈ }
[
N
An
n∈{3i+2|i∈ }
78
Was bisher geschah
I
I
Alphabet, Wort, Sprache
Operationen auf Wörtern:
I
I
Spiegelung R
Verkettung ◦
I
Palindrome
I
Relationen zwischen Wörtern:
Präfix, Infix, Postfix
I
Mengenoperationen und -relationen auf Sprachen:
∪, ∩, , \, ⊆, =
79
Weitere Operationen auf Sprachen
Verkettung ◦ von Sprachen:
L1 ◦ L2 = {u ◦ v | u ∈ L1 ∧ v ∈ L2 }
Beispiel:
L1 = {111, 1, 10} L2 = {00, 0}
L1 ◦ L2 = {111, 1, 10} ◦ {00, 0}
= {1110, 11100, 10, 100, 1000}
Spiegelung LR = {w R | w ∈ L}
Beispiel: L = {a, ab, aba, abab}
LR = {a, ba, aba, baba}
80
Iterierte Verkettung
I
für Sprachen L ⊆ A∗
L0 = {ε}
∀n ∈
N:
Ln+1 = Ln ◦ L = L
· · ◦ L}
| ◦ ·{z
n+1−mal
L∗ =
[
n∈
I
N
Ln
L+ =
[
N
Ln
n∈ \{0}
für Wörter u ∈ A∗ :
∈ A∗ ,
u ∗ = {u}∗ = {u n | n ∈
un
= u
· · u}
| ·{z
u+
= u ∗ \ {ε} = {u}+ = {u n | n ∈
n−mal
N \ {0}}
N}
⊆ A∗
⊆ A∗
Beispiele:
(101)3
a∗
∗
(ab)
= 101101101
und
1013 = 10111
N} = {ε, a, aa, aaa, . . .}
| i ∈ N} = {ε, ab, abab, ababab, . . .}
= {ai | i ∈
= {(ab)
i
81
Mehr Beispiele für Sprachen
I
{aa, b}∗
N ∧ ∀i ∈ {1, . . . , n} : ui ∈ {aa, b}}
=
{u1 ◦ · · · ◦ un | n ∈
=
{ε, b, aa, bb, aab, baa, bbb, aaaa, aabb, baab, bbaa, bbbb, . . .}
I
∅ ◦ {aba, bb} = . . .
I
{ε} ◦ {aba, bb} = . . .
I
{bb}∗ = {w ∈ b∗ | |w| ∈ 2 } = . . .
{0}∗ )∗
N
= {w ∈ {0, 1}∗ | w1 = 1} ∪ {ε}
I
({1} ◦
I
({a} ∪ {b, ab})∗ = . . .
82
Reguläre Ausdrücke – Syntax
Die Menge RegExp(A) aller regulären Ausdrücke über einem
Alphabet A ist (induktiv) definiert durch:
IA: ∅ ∈ RegExp(A),
ε ∈ RegExp(A) und
für jedes Symbol a ∈ A gilt a ∈ RegExp(A)
IS: für alle E ∈ RegExp(A) und F ∈ RegExp(A) gilt
(E + F ), EF , (E)∗ ∈ RegExp(A).
Beispiele: ε + a, ε + ∅, (a + ∅)∗ , ε + ((ab)∗ a)∗
dieselbe Definition kürzer: RegExp(A) = Term(ΣF , ∅)
für die Signatur
ΣF = {(∅, 0), (ε, 0), (∗ , 1), (+, 2), (·, 2)} ∪ {(a, 0) | a ∈ A}
(Baumdarstellung)
83
Beispiele
(ohne überflüssige Klammern)
I
Für A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} gilt
0+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)∗
∈ RegExp(A)
I
Für A = {0, 1} gilt
I
I
(1 + ε)∗ + (10)∗ ∈ RegExp(A)
(0 + 11)∗ + ((0 + (1)∗ )0)∗ ∈ RegExp(A)
Oft werden
A
E + = EE ∗
En = E
· · E}
| ·{z
n−mal
∗

E n∗ = E
· · E}
| ·{z
n−mal
für n ∈
N als Kurzbezeichnungen verwendet.
84
Reguläre Ausdrücke – Semantik
Jeder reguläre Ausdruck E ∈ RegExp(A) repräsentiert eine Sprache
L(E) ⊆ A∗ .
L(∅)
L(ε)
∀a ∈ A :
L(a)
∀E, F ∈ RegExp(A) : L(E + F )
∀E, F ∈ RegExp(A) :
L(EF )
∀E, F ∈ RegExp(A) :
L(E ∗ )
= ∅
= {ε}
= {a}
= L(E) ∪ L(F )
= L(E) ◦ L(F )
∗
= (L(E))
Eine Sprache L ⊆ A∗ heißt genau dann regulär, wenn ein regulärer
Ausdruck E ∈ RegExp(A) existiert, so dass L = L(E).
Beispiel: Die Menge L aller Dezimaldarstellungen natürlicher Zahlen
ist regulär wegen L = L (0 + (1 + 2 + · · · + 9)(0 + 1 + · · · + 9)∗ )
85
Beispiele
Für A = {a, b} gilt
N}
| i ∈ N}
L(ab∗ ) = {a, ab, abb, abbb, abbbb, . . .} = {abi | i ∈
∗
L((ab) ) = {ε, ab, abab, ababab, . . .} = {(ab)
L((a + b)∗ ) = {a, b}∗
i
L(a∗ b∗ ) = {u ◦ v | u ∈ a∗ ∧ v ∈ b∗ }
L((a∗ b∗ )∗ ) = {a, b}∗
L(A∗ aba) = {u ◦ aba | u ∈ A∗ }∗
Reguläre Ausdrücke ermöglichen eine endliche Darstellung
unendlicher Sprachen.
86
Beispiele regulärer Sprachen
I
L1 = ∅, wegen ∅ ∈ RegExp(A) und L(∅) = ∅ = L1
I
L2 = {a, bab}, wegen a + bab ∈ RegExp(A) und
L(a + bab) = L2
I
L3 = {w ∈ {a, b, c}∗ | abba v w}, wegen
abba(a + b + c)∗ ∈ RegExp(A) und
L(abba(a + b + c)∗ ) = L3
I
{w ∈ {a, b, c}∗ | aa oder bbb sind Infix von w}
I
I
I
N
{w ∈ {a, b}∗ | |w|a ∈ 2N}
{w ∈ {a, b}∗ | |w| ∈ 2 }
alle möglichen HTWK-Email-Adressen
87
Äquivalenz regulärer Ausdrücke
Zwei reguläre Ausdrücke E, F ∈ RegExp(A) heißen genau
dann äquivalent, wenn L(E) = L(F ) gilt.
Beispiele:
I
(a + b)∗ , (a∗ + b∗ )∗ und a∗ (ba∗ )∗ sind äquivalent
I
ab∗ und (ab)∗ sind nicht äquivalent
I
(11 + 0 + 110 + 011)∗ und (11 + 0)∗ sind . . .
88
Was bisher geschah
Alphabet, Wort, Sprache
Wörter:
I
Operationen auf Wörtern: Verkettung ◦, Spiegelung
I
Relationen auf Wörtern:
Palindrom (Eigenschaft), Präfix (v), Infix, Postfix
R
Sprachen (Mengen von Wörtern)
I
Operationen auf Sprachen:
Mengenoperationen ∪, ∩, , \
Verkettung ◦ und Spiegelung R von Sprachen
iterierte Verkettung ∗
I
Relationen zwischen Sprachen: Mengenrelationen ⊆, =
Reguläre Ausdrücke, reguläre Sprachen
89
Weitere Relationen auf A∗
(Halb-)Ordnungen (Definition in Mathe-LV)
Präfix-, Postfix-, Infix-Relation auf A∗
bei gegebener Reihenfolge < auf dem Alphabet A:
lexikographische Ordnung auf A∗ :
∀u, v ∈ A∗ : u ≤lex v gdw.
1. u v v oder
2. ∃w ∈ A∗ ∃a, b ∈ A : a < b ∧ wa v u ∧ wb v v
quasi-lexikographische Ordnung auf A∗ :
∀u, v ∈ A∗ : u ≤qlex v gdw.
1. |u| ≤ |v | oder
2. |u| = |v | ∧ u ≤lex v
Beispiele: für A = {a, b} mit a < b
I ab v aba, ab ≤lex aba, ab ≤qlex aba
I abab 6v abba, aber abab ≤lex abba und abab ≤qlex abba,
I aaa ≤lex ab, aber aaa 6≤qlex ab
I ab 6≤lex aaba, aber ab ≤qlex aaba
90
Interessante Fragen für Sprachen
I
Ist ein gegebenes Wort w ∈ A∗ in der Sprache L ⊆ A∗
enthalten? (Wortproblem)
I
Enthält die Sprache L ⊆ A∗ nur endlich viele Wörter?
I
Gilt L1 ⊆ L2 für zwei Sprachen L1 , L2 ⊆ A∗ ?
I
Gilt L1 = L2 für zwei Sprachen L1 , L2 ⊆ A∗ ?
I
Ist eine gegebene Sprache L ⊆ A∗ regulär?
(d.h. L = L(E) für einen regulären Ausdruck E ∈ RegExp(A))
I
Woran erkennt man, dass eine Sprache nicht regulär ist?
Alle Antworten sind für endliche Sprachen einfach,
aber für unendliche Sprachen in endlicher Darstellung
(z.B. durch reguläre Ausdrücke) meist schwierig.
91
Interessante Fragen für reguläre Ausdrücke
I
Ist für einen gegebenen regulären Ausdruck
E ∈ RegExp(A) ein gegebenes Wort w ∈ A∗ in der
Sprache L(E) enthalten? (Wortproblem)
I
Gilt L(E) = ∅ für einen gegebenen regulären Ausdruck
E ∈ RegExp(A)?
I
Gilt L(E) = A∗ für einen gegebenen regulären Ausdruck
E ∈ RegExp(A)?
I
Sind zwei gegebene reguläre Ausdrücke E ∈ RegExp(A)
und F ∈ RegExp(A) äquivalent? (also L(E) = L(F ))
I
Gilt L(E) ⊆ L(F ) für zwei gegebene reguläre Ausdrücke
E ∈ RegExp(A) und F ∈ RegExp(A)?
I
Existiert für zwei gegebene reguläre Ausdrücke
E ∈ RegExp(A) und F ∈ RegExp(A) ein Wort w ∈ A∗ mit
w ∈ L(E) \ L(F )?
92
Wortproblem praktisch – Beispiele
Eingabe : Sprache L ⊆ A∗ , z.B. durch regulären Ausdruck E mit L = L(E),
Wort w ∈ A∗
Frage:
Gilt w ∈ L?
Ausgabe: ja oder nein (evtl. mit Begründung)
I
Syntaktische Tests:
I Ist die gegebene Zeichenkette die Dezimaldarstellung einer
ganzen Zahl?
(Sprache: Menge aller gültigen Dezimaldarstellungen)
I Ist die gegebene Zeichenkette eine korrekt geformte
Email-Adresse (der HTWK)?
I Ist der gegebene Quelltext ein syntaktisch korrektes
Java-Programm?
I Ist die gegebene Zeichenkette die Binärdarstellung einer
geraden Zahl? (durch drei teilbaren Zahl, usw.)
I
Folgen von Aktionen:
I An- und Ausziehen (in umgekehrter Reihenfolge)
I Ist eine Folge von Aktionen möglich / zulässig ?
I Führt eine Folge von Nutzereingaben zu einem Fehler?
93
Wiederholung: Lineares Solitaire
Startkonfiguration : n Spielsteine nebeneinander
(oder andere Ausgangsposition)
Spielzug : Münze springt über einen benachbarten Stein
auf dahinterliegendes leeres Feld
formale Modellierung:
Konfiguration (Spielzustand): w ∈ {0, 1}∗
Startkonfiguration: 0 . . . 0 |1 .{z
. . 1} 0 . . . 0 ∈ {0, 1}∗
n−mal
(oder anderes Wort w ∈ {0, 1}∗ )
mögliche Züge: an beliebiger passender Position
110 → 001
011 → 100
(Paare (l, r ) ∈ {0, 1}∗ × {0, 1}∗ , notiert l → r )
94
Wortersetzungssysteme
(Semi-Thue-Systeme, Axel Thue, 1914).
Alphabet A
Wortersetzungsregel (l, r ) ∈ A∗ × A∗ (notiert l → r )
Wortersetzungssystem (SRS) endliche Menge von
Wortersetzungsregeln
Beispiele:
I A = {0, 1}
I
I
I
Regel 110 → 001,
SRS S = {110 → 001, 011 → 100}
A = {a, b, c}
I
I
Regel ba → ab,
SRS S = {a → ab, ba → c, abc → ε}
95
Anwendung von Wortersetzungsregeln
Eine Regel l → r ist auf ein Wort w ∈ A∗ anwendbar,
falls l ein Infix von w ist.
Beispiel: Regel ma → ε ist
I
auf tomate anwendbar, u = to, v = te,
I
auf am, motte und meta nicht anwendbar.
Eine Anwendung der Regel l → r auf ein Wort
w = u ◦ l ◦ v ∈ ergibt das Wort u ◦ r ◦ v .
(Ersetzung des Teilwortes l durch r )
Beispiel: ab → a angewendet auf baababa = u ◦ l ◦ v
I
mit u = ba und v = aba ergibt baaaba
I
mit u = baab und v = a ergibt baabaa
96
Ableitungsschritt
Ableitungsschritt (u, (l → r ), p, v ) im Wortersetzungssystem S
mit
u ∈ A∗ : Ausgangswort
l → r ∈ S: auf u anwendbare Regel
p ∈ {1, . . . , |u|}: Position im Wort u, an der der
(gewählte) Infix l beginnt
v ∈ A∗ : nach Anwendung der Regel l → r an
Position p auf u entstandenes Wort
Beispiel:
S = {ab → ba, a → b}, u = aba
mögliche Ableitungsschritte in S
(aba, (ab → ba), 1, baa)
(aba, (a → b), 3, abb)
(aba, (a → b), 1, bba)
97
Ein-Schritt-Ableitungsrelation
Jedes Wortersetzungssystem S ⊆ A∗ × A∗ definiert eine
Relation →S ⊆ A∗ × A∗ , wobei genau dann
u →S v gilt, wenn ein Ableitungsschritt (u, (l → r ), p, v ) mit
(l → r ) ∈ S existiert.
Beispiel: Für S = {ab → ba, a → b} gilt
I
aba →S baa wegen (aba, (ab → ba), 1, bba)
I
aba →S bba wegen (aba, (a → b), 1, bba)
I
aba →S abb wegen (aba, (a → b), 3, abb)
I
aba 6→S bbb
98
Ableitungen
Eine Folge von Ableitungsschritten
(u, (l1 → r1 ), p1 , u2 ), (u2 , (l2 → r2 ), p2 , u3 ), · · · , (un−1 , (ln−1 → rn−1 , pn−1 , v )
im Wortersetzungssystem S heißt Ableitung von u nach v in S.
v heißt in S aus v ableitbar gdw.
eine Ableitung von u nach v in S existiert.
Beispiel: S = {ab → ba, a → b}, u = aba
Folge von Ableitungsschritten
(aba, (ab → ba), 1, baa), (baa, (a → b), 3, bab), (bab, (a → b), 2, bbb)
ab→ba
a→b
a→b
aba −→ baa −→ bab −→ bbb
Länge der Ableitung = Anzahl der Ableitungsschritte
In jedem System S existiert für jedes u ∈ A∗ die leere Ableitung
(der Länge 0) von u nach u.
99
Beispiele
S1 = {||| → |} mit u = ||||||| und v = ||||
Was wird hier „berechnet“?
Anderes Wortersetzungssystem mit derselben Wirkung?
S2 = {11 → 1, 00 → 1, 01 → 0, 10 → 0} und u = 1101001
Wirkung verschiedener Ableitungreihenfolgen?
S3 = {c → aca, c → bcb, c → a, c → b, c → ε} und u = c
Menge aller in S3 ableitbaren Wörter, die kein c enthalten?
100
Ersetzungsrelation
Jedes Wortersetzungssystem S ⊆ (A∗ × A∗ ) definiert die
Ersetzungsrelation →∗S ⊆ (A∗ × A∗ ), wobei genau dann
u →∗S v gilt, wenn eine Ableitung von u nach v existiert.
Beispiel: S = {a → aa},
I
für jedes n ≥ 1 gilt ba →∗S b |a ·{z
· · a}
n
wegen ba →S baa →S baaa →S · · · →S b |a ·{z
· · a}
n
I
b →∗S b, aber für kein Wort w 6= b gilt b →∗S w
(→∗S ist die reflexive transitive Hülle von →S )
101
Sprachen aus Wortersetzungssystemen
Jedes Paar (Wortersetzungssystem S, Anfangswort w ∈ A∗ )
über einem Alphabet A definiert die Sprache
L(S, w) = {v ∈ A∗ | w →∗S v }
(alle Wörter v , die von w durch eine Ableitung in S erreicht
werden)
Beispiel: S = {c → aca, c → bcb, c → ε}, w = c
L(S, w) = {w ◦ c ◦ w R } (Menge aller Palindrome über {a, b, c},
die höchstens an der mittleren Position ein c enthalten)
Jedes Paar (Wortersetzungssystem S, Menge M ⊆ A∗ ) über
einem Alphabet A definiert die Sprache
[
L(S, M) =
L(S, w)
w∈L
(alle Wörter v , die von irgendeinem w ∈ M durch eine
Ableitung in S erreicht werden)
102
Ausdrucksstärke von Wortersetzungssystemen
Wortersetzungssysteme (SRS)
I
ermöglichen eine endliche Darstellung unendlicher
Sprachen.
(als Erzeugungsvorschrift für alle Wörter der Sprache)
Beispiele: L ({ε → aaa}, ε) = {a3n | n ∈ } = L((aaa)∗ )
L ({2 → 020, 2 → 121}, 2) = {w2w R | w ∈ {0, 1}∗ }
N
I
können zur Modellierung von Zuständen und Übergängen
dazwischen verwendet werden
z.B. Spiele, Ausführung von Programmen,
Programmverifikation
Beispiel: lineares Solitaire
I
können Berechnungen simulieren
(Bestimmung von erreichbaren Wörtern ohne Nachfolger)
Beispiel: ε ∈ L ({||| → |}, ||||||)
103
Was bisher geschah
I
Alphabet, Wort, Sprache
I
Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen
I
interessante Fragen für Sprachen und Wörter (Wortproblem)
Reguläre Ausdrücke
I
Syntax, Semantik
I
endliche Darstellung evtl. unendlicher Sprachen
Wortersetzungssysteme S ⊆ A∗ × A∗
I
Wortersetzungssregel l → r mit l, r ∈ A∗
I
Ersetzungsschritt in S
I
Ableitung in S: endliche Folge von Ersetzungsschritten
I
von Wortersetzungssystem S ⊆ A∗ × A∗ und Startwort w ∈ A∗
definierte Sprache L(S, w) ⊆ A∗
104
Wortproblem für durch reguläre Ausdrücke definierte
Sprachen
∗
Wortproblem (L, w) ∈ 2(A ) × A∗ ist definiert durch:
I
Wort w ∈ A∗
I
Sprache L ⊆ A∗
und bedeutet: Gilt w ∈ L?
durch reguläre Ausdrücke definierte Sprachen L = L(E) sind definiert
durch
I
regulären Ausdruck E ∈ RegExp(A)
Wortproblem (L(E), w) für durch reguläre Ausdrücke definierte
Sprache L(E) ist definiert durch:
I
Wort w ∈ A∗
I
regulären Ausdruck E ∈ RegExp(A∗ )
und bedeutet: Gilt w ∈ L(E)?
Beispiele:
I
Wortproblem (L(a∗ b∗ ), ab) (Gilt ab ∈ L(a∗ b∗ )?)
I
Wortproblem (L(a∗ b∗ ), ba) (Gilt ba ∈ L(a∗ b∗ )?)
105
Wortproblem für durch SRS erzeugte Sprachen
Wortproblem (L, w) ist definiert durch:
I
Wort w ∈ A∗
I
Sprache L ⊆ A∗
und bedeutet: Gilt w ∈ L?
durch SRS erzeugte Sprache L = L(S, u) ist definiert durch
I
Wortersetzungssystem S ⊆ A∗ × A∗
I
Startwort u ∈ A∗
Wortproblem (L(S, u), w) für eine durch ein SRS erzeugte Sprache
ist definiert durch:
I
Wort w ∈ A∗
I
Wortersetzungssystem S ⊆ A∗ × A∗
I
Startwort u ∈ A∗
und bedeutet: Gilt w ∈ L(S, u)?
Beispiele:
I
Wortproblem (L({a → aa, a → bb, ba → ab}, a), abab)
I
Wortproblem (L({aa → a, bb → ε}, abba), ε)
106
SRS-Wortproblem und Ableitbarkeit
Wortproblem (L(S, u), w) mit
I
Wort w ∈ A∗
I
Wortersetzungssystem S ⊆ A∗ × A∗
I
Startwort u ∈ A∗
bedeutet: Gilt w ∈ L(S, u)?
alternative Formulierung: Gilt u →∗S w?
Darstellung der Ableitungsrelation →S als
(unendlicher) gerichteter Graph GS = (V , E) mit
Knoten: V = A∗
Kanten: E = {(u, v ) ∈ A∗ | u →S v } ⊆ V 2
u →∗S w gilt genau dann, wenn in GS ein Pfad
(zusammenhängende Folge von Kanten) von u nach w
existiert.
Beispiel: (Tafel) S = {ab → ba},
abab →∗S baba, aber abab 6→∗S abaa, abab 6→∗S aabb
107
Lösungsverfahren für SRS-Wortprobleme
Lösung des Wortproblems und anderer Fragen zu Sprachen ist
für endliche Sprachen einfach, für unendliche Sprachen oft
nicht.
Darstellung der Sprache durch ein Wortersetzungssystem kann
helfen.
Idee:
Lösung des Wortproblem w ∈ L(S, u) durch Standardverfahren:
Suche eines Pfades von u nach w im Ableitungsgraphen des
Wortersetzungssystems S
Problem:
I
Pfadsuche ist Standardverfahren für endliche Graphen.
(mehr dazu in LV Algorithmen und Datenstrukturen)
I
Ableitungsgraphen von Wortersetzungssystemen sind
meist unendlich.
Standardverfahren anwendbar, wenn Suche in einer endlichen
Menge von Wörtern (endlichem Teilgraphen) genügt
108
Nichtverlängernde Wortersetzungssysteme
Ein Wortersetzungssystem S heißt genau dann
nichtverlängernd, wenn für jede Regel (l → r ) ∈ S gilt: |l| ≥ |r |.
Wortproblem (L, w):
Eingabe : Sprache L ⊆ A∗ , Wort w ∈ A∗
Frage:
Gilt w ∈ L?
Ausgabe: ja oder nein
Beispiel: S = {ab → ba, ac → a}, u = abcac, w = aacb
Satz
Für jedes nichtverlängernde Wortersetzungssystem
S ⊆ A∗ × A∗ und beliebige Wörter u, w ∈ A∗ ist das
Wortproblem (L(S, u), w) in endlicher Zeit maschinell korrekt
lösbar.
Idee: Pfadsuche im endlichen Teilgraphen aller Wörter v ∈ A∗
mit |v | ≤ |u|
109
Nichtverkürzende Wortersetzungssysteme
Ein Wortersetzungssystem S heißt genau dann
nichtverkürzend, wenn für jede Regel (l → r ) ∈ S gilt: |l| ≤ |r |.
Beispiel: S = {a → ba, b → a}, u = ba, w = bba, w 0 = aab
Satz
Für jedes nichtverkürzende Wortersetzungssystem S ⊆ A∗ × A∗
und beliebige Wörter u, w ∈ A∗ ist das Wortproblem
(L(S, u), w) in endlicher Zeit maschinell korrekt lösbar.
Idee: Pfaduche im endlichen Teilgraphen aller Wörter v ∈ A∗
mit |u| ≤ |v | ≤ |w|
110
Wortersetzungssysteme mit verlängernden und
verkürzenden Regeln
Beispiel:

c




c




 c
aca
S=


 bcb




ada


bdb
→
→
→
→
→
→
→
baaca,
aacba,
bbcabb,
d,
d,
d,
d



















Für Wortersetzungssysteme S mit verlängernden und
verkürzenden Regeln existiert im Allgemeinen kein
maschinelles Verfahren, welches für beliebige Wörter u, w ∈ A∗
feststellt, ob u →∗s w gilt.
111
Ableitbare Wörter über Teilalphabet
Beispiele: A = {a, b, c},

c →




 c →
c →
S=


c →



c →
aca,
bcb,
ε,
a,
b











L(S, c) = {u ◦ d ◦ u R | u ∈ {a, b}∗ ∧ d ∈ {a, b, c, ε}}
Menge aller Wörter in L(S, c) ∩ {a, b}∗ :
Palindrome über {a, b}
c ist Hilfssymbol zur Erzeugung der Palindrome
112
Natürliche Sprache
Wortersetzungssystem S enthält die Regeln:
Satz
→ Subjekt Prädikat .
Subjekt
→ mArtikel mSubstantiv
Subjekt
→ wArtikel wSubstantiv
mArtikel
→ Der
wArtikel
→ Die
mSubstantiv → Hund
wSubstantiv → Sonne
Prädikat
→ bellt
Prädikat
→ scheint
Alphabet A = {Der, Die, Hund, Sonne, bellt, scheint, .}∪
{ Satz, Subjekt, Prädikat, nArtikel, mArtikel, nSubstantiv,
mSubstantiv}
Ableitbare Wörter in L(S, Satz ) ohne Hilfssymbole aus der Menge
{Satz, Subjekt, Prädikat, mArtikel, wArtikel, mSubstantiv,
wSubstantiv}:
Menge korrekter deutscher Sätze (dieser einfachen Form mit
ausschließlich den Worten Der, Die, Hund, Sonne, bellt, scheint).
113
Aussagenlogik
Wortersetzungssystem S enthält die Regeln:
Formel
→ Variable
Formel
→ Konstante
Formel
→ ( ¬ Formel )
Formel
→ ( Formel ∨ Formel )
Formel
→ ( Formel ∧ Formel )
Variable
→ p
Variable
→ q
Konstante → t
Konstante → f
Alphabet A =
{t, f, p, q, ¬, ∨, ∧, (, )}
∪{ Formel,Variable, Konstante}
Wörter in L(S, Formel ) ∩ {t, f, p, q, ¬, ∨, ∧, (, )}∗ :
Menge AL({p, q}) aller aussagenlogischen Formeln mit
Aussagenvariablen aus der Menge {p, q}
114
Dezimaldarstellung natürlicher Zahlen
Wortersetzungssystem S enthält die Regeln
Zahl
→ 0
Zahl
→ 1Ziffernfolge
..
.
Zahl
Ziffernfolge
→
→
..
.
9Ziffernfolge
0Ziffernfolge
Ziffernfolge
Ziffernfolge
→
→
9Ziffernfolge
ε
Alphabet {0, . . . , 9} ∪ { Zahl, Ziffernfolge }
Wörter in L(S, Zahl ) ∩ {0, . . . , 9}∗ :
Menge aller Dezimaldarstellungen natürlicher Zahlen
115
Programmiersprachen
Java-Syntax (Ausschnitt) in Backus-Naur Form (BNF)
(John Backus, Peter Naur)
a → r1 |r2 | . . . |rn statt mehrerer Regeln a → r1 , . . . , a → rn
::= statt → (in ASCII darstellbar)
Hilfssymbole markiert durch < und >
116
Definition Grammatik
Grammatik G = (N, T , P, S) mit
Nichtterminalsymbole endliche Menge N
(Hilfssymbole)
Terminalsymbole endliche Menge T
(Alphabet der erzeugten Sprache)
Wortersetzungssystem P ⊆ (N ∪ T )+ × (N ∪ T )∗
(Produktionen)
Startsymbol S ∈ N
Beispiel: G = (N, T , P, S) mit
N = {S},
= {0, 1},
S → 0S1
P =
S → ε
T
117
Grammatiken: Beispiele
I
G = (N, T , P, E) mit N = {E, F , G}, T = {(, ), a, +, ·} und


E → G,








E
→
E
+
G,






G → F,
P=
G → G · F, 









F → a,




F → (E)
I
G = (N, T , P, S) mit N = {S, A, B, C}, T

S
→ aSBC,




S
→ aBC,




 CB → BC,
aB → ab,
P=


bB → bb,





bC → bc,


cC → cc
= {a, b, c}



















118
Ableitungen in Grammatiken
Ableitung in Grammatik G = (N, T , P, S):
Ableitung im Ersetzungssystem P mit Startwort S
Beispiel: G = (N, T , P, S) mit
N = {S, A, B}
= {0, 1}

S



S
P =
A



B
T
→
→
→
→
0SA
0A
1
A







Ableitung: S → 0SA → 0S1 → 00A1 → 0011
119
Durch Grammatiken definierte Sprachen
Grammatik G = (N, T , P, S) definiert die Sprache
L(G) = {w ∈ T ∗ | S →∗P w} = L(P, S) ∩ T ∗
Beispiel: G = (N, T , P, S) mit
N = {S, Z }
= {0, 1}

S




 S
Z
P =


Z



Z
T
→
→
→
→
→
1Z ,
0,
0Z ,
1Z ,
ε











definiert die Sprache L(G) = . . .
120
Äquivalenz von Grammatiken
Zwei Grammatiken G1 und G2 heißen genau dann äquivalent,
wenn L(G1 ) = L(G2 ) gilt.
Beispiel: G1 = (N1 , {0, 1}, P1 , S) mit N1 = {S, A, B} und


S → 0SA 





S → 0A
P1 =
A → 1






B → A
und G2 = (N2 , {0, 1}, P2 , S 0 ) mit N2 = {S 0 } und
P2 = S 0 → 0S 0 1, S 0 → 01
sind äquivalent wegen L(G1 ) = L(G2 ) = . . .
121
Chomsky-Hierarchie
(Noam Chomsky, 1956)
Eine Grammatik G = (N, T , P, S) ist vom Chomsky-Typ
0 immer,
1 falls für jede Regel (l → r ) ∈ P gilt: |l| ≤ |r |
(monoton, kontextsensitiv)
2 falls Typ 1 und für jede Regel (l → r ) ∈ P gilt: l ∈ N
(kontextfrei)
3 falls Typ 2 und für jede Regel (l → r ) ∈ P gilt: r ∈ (T ∪ TN)
(regulär)
Eine Sprache L ⊆ T ∗ heißt vom Typ i für i ∈ {0, . . . , 3}, falls
L \ {ε} = L(G) für eine Grammatik G vom Typ i.
Li bezeichnet die Menge aller Sprachen vom Typ i.
Es gibt Sprachen, die durch keine Grammatik erzeugt werden,
also keinen Chomsky-Typ haben (Begründung später).
122
Beispiele
I
G = ({S}, {a, b}, P, S) mit
P = {S → aSb, S → ab, S → a, S → b} ist vom Typ 2
I
G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S) mit
P = {S → aA, A → aB, B → bB, B → b} ist vom Typ 3
I
G = ({A, B, C}, {a, b, c}, P, A) mit

A
→ aABC,




A
→ aBC,




CB
→ BC,

aB → ab,
P=


bB → bb,





bC → bc,


cC → cc



















ist vom Typ 1
erzeugt die Sprache L(G) = . . .
123
Was bisher geschah
I
Alphabet, Wort, Sprache
I
Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen
I
interessante Fragen für Sprachen und Wörter
z.B. Wortproblem
endliche Darstellungen von (möglicherweise unendlichen)
Sprachen:
I
Reguläre Ausdrücke (Terme, Syntax)
und durch sie beschriebene Sprachen (Semantik)
I
Wortersetzungssysteme (Konstruktionsanleitung)
und durch sie erzeugte Sprachen
Grammatiken (Konstruktionsanleitung)
I
I
I
I
I
I
Terminal-, Nichtterminalsymbole
Ableitungen in Grammatiken
durch Grammatiken erzeugte Sprachen
Äquivalenz von Grammatiken
Chomsky-Hierarchie für Grammatiken und Sprachen
124
Dyck-Sprache
Klammerpaar (, )
Dyck-Sprache: Menge aller korrekt geklammerten Ausdrücke
erzeugt durch Grammatik
G = ({S}, {(, )}, P, S) mit


 S → ε 
S → SS
P =


S → (S)
Beispiele:
I
()(()()) ∈ L(G)
I
())(6∈ L(G)
125
Allgemeine Dyck-Sprachen
Menge aller korrekt geklammerten Ausdrücke
mit n Paaren von Klammern: (i , )i für i ∈ {1, . . . , n}
erzeugt durch Grammatik
G = ({S}, {(i , )i | i ∈ {1, . . . , n}}, P, S) mit
S → ε
P =
∪ {S → (i S)i | i ∈ {1, . . . , n}}
S → SS
Symbole müssen nicht notwendig Klammern sein, z.B.
aacdacababdbbcabdb ∈ Dyck-Sprache mit
a statt (1 , b statt )1 , c statt (2 und d statt )2
126
Beispiel
G = ({A, B, C}, {a, b, c}, P, A) mit

A
→




A
→




 CB →
aB →
P=


bB →




 bC →


cC →
aABC,
aBC,
BC,
ab,
bb,
bc,
cc



















erzeugt die Sprache L(G) = . . .
127
Beispiel
G = ({Z , F }, {ab}, P, Z ) mit

Z




 Z
F
P=


F



F
→
→
→
→
→
0,
1F ,
ε
0F ,
1F











erzeugt die Sprache L(G) = . . .
128
Wiederholung Chomsky-Hierarchie
Eine Grammatik G = (N, T , P, S) ist vom Chomsky-Typ
0 immer,
1 falls für jede Regel (l → r ) ∈ P gilt: |l| ≤ |r |
(monoton, kontextsensitiv)
2 falls Typ 1 und für jede Regel (l → r ) ∈ P gilt: l ∈ N
(kontextfrei)
3 falls Typ 2 und für jede Regel (l → r ) ∈ P gilt: r ∈ (T ∪ TN)
(regulär)
Eine Sprache L ⊆ T ∗ heißt vom Typ i für i ∈ {0, . . . , 3}, falls
L \ {ε} = L(G) für eine Grammatik G vom Typ i.
Li bezeichnet die Menge aller Sprachen vom Typ i.
Es gibt Sprachen, die durch keine Grammatik erzeugt werden,
also keinen Chomsky-Typ haben (Begründung später).
129
Grammatiken mit ε-Regeln
ε-Regel : Wortersetzungsregel der Form l → ε
Beispiele:
I
G1 = ({A, B}, {0, 1}, P1 , A) mit
P1 = {A → 1B0, B → 1B0, B → ε}
ist äquivalent zu
G2 = ({A}, {0, 1}, P2 , A) mit P2 = {A → 1A0, A → 10}
(ohne ε-Regel)
I
G = ({A}, {0, 1}, P, A) mit P = {A → 1A0, A → ε}
ist nicht äquivalent zu einer Grammatik ohne ε-Regel,
weil ε ∈ L(G)
Aber:
L(G) \ {ε} wird von einer Grammatik ohne ε-Regel erzeugt
(L(G) \ {ε} = L(G2 ))
130
ε-Sonderregel in kontextfreien Grammatiken
Wiederholung:
Sprache L ⊆ T ∗ heißt kontextfrei (Typ 2), wenn eine
kontextfreie Grammatik G mit L(G) = L \ ε existiert.
ästhetischer wäre: L(G) = L, deshalb
kontextfreie Grammatik G = (N, X , P, S) mit ε-Sonderregel:
Regel S → ε erlaubt (aber nicht benötigt), falls
S in keiner rechten Regelseite in P vorkommt.
Fakt
Zu jeder kontextfreien Sprache L existiert eine kontextfreie
Grammatik mit ε-Sonderregel, so dass L = L(G) gilt.
(neues Startsymbol S 0 und Regeln S 0 → ε, S 0 → S hinzufügen)
Folgerung
Zu jeder regulären Sprache L existiert eine reguläre Grammatik
mit ε-Sonderregel, so dass L = L(G) gilt.
131
Eliminierung der ε-Regeln – Beispiel
G = ({A, B, S}, {0, 1}, P, S) mit
P = {S → AB, A → 1AB, A → ε, B → 0, B → ε, }
1. (schrittweise) Berechnung der Menge aller NT A mit A →∗P ε
(löschbare NT):
hier: M = {A, B, S}
2. Hinzufügen modifizierter Kopien jeder Regel, die NT aus M auf
der rechten Seite enthält.
Modifikation: Weglassen des NT rechts, auch Kombinationen
hier neu: S → A, S → B, S → ε, A → 1A, A → 1B, A → 1
3. Löschen aller ε-Regeln bis auf ε-Sonderregel
Die so konstruierte Grammatik ist kontextfrei, enthält höchstens die
ε-Sonderregel und ist äquivalent zu G.
132
Reguläre Sprachen
Jede reguläre Sprache L ⊆ A∗
I
ist definiert durch einen regulären Ausdruck E ∈ RegExpA
I
wird erzeugt von einer regulären Grammatik
G = (N, T , P, S) mit T = A
Beispiel:
Die Sprache aller Binärdarstellungen natürlicher Zahlen ohne
führende Nullen
L(G) = {0} ∪ {1} ◦ {0, 1}∗
I
ist definiert durch den regulären Ausdruck 0 + 1(0 + 1)∗
I
wird erzeugt von der regulären Grammatik
G = ({Z , F }, {ab}, P, Z ) mit
P = {Z → 0, Z → 1F , F → ε, F → 0F , F → 1F }
oder nur mit ε-Sonderregel (Tafel)
133
Ableitungsbäume für kontextfreie Grammatiken
Beispiel: Grammatik G = (N, T , P, E) mit N = {E, F },
T = {a, b, c, (, ), +, ∗},
P = {E → (E + E), E → F ∗ F , F → E, E → a, E → b, E → c}
Ableitung für w = (c ∗ a + (b + a ∗ a))
allgemein: Grammatik G = (N, T , P, S)
Ableitung S →P w1 →P w2 →P · · · →P wn = w für w in G
Ableitungsbaum zu einem Wort w in der kontextfreien
Grammatik G (induktive Definition):
I
Wurzel mit Markierung S
I
für jeder Anwendung einer Regel A →P r1 · · · rn :
Verzweigung bei Symbol A in n Kinder mit Markierungen
r1 . . . , rn
I
Markierung der Blätter (von links nach rechts): Wort w
Ein Ableitungsbaum repräsentiert i.A. mehrere Ableitungen.
134
Rechts- und Linksableitungen
Eine Ableitung für w in einer kontextfreien Grammatik G heißt
Linksableitung , falls in jedem Schritt das am weitesten links
stehende Nichtterminal
Rechtsableitung , falls in jedem Schritt das am weitesten
rechts stehende Nichtterminal
ersetzt wird.
Zu jedem Ableitungsbaum für w in G existieren
I
genau eine Linksableitung für w in G und
I
genau eine Rechtsableitung für w in G.
135
Mehrdeutige kontextfreie Grammatiken
Grammatik G heißt
eindeutig , falls für jedes Wort w ∈ L(G) genau ein
Ableitungsbaum in G existiert.
mehrdeutig , sonst.
Beispiel: Grammatik G = (N, T , P, E) mit N = {S}, T = {a}
und P = {S → SS, S → a}
für w = aaa
Eindeutigkeit von Grammatiken ist z.B. beim Entwurf von
Programmiersprachen (Syntax) wichtig.
„dangling else“-Problem (z.B. in C, Java):
<Anw> ::= if <Ausdr> then <Anw>
<Anw> ::= if <Ausdr> then <Anw> else <Anw>
Was bedeutet:
if C1 then if C2 then A else B
136
Inhärent mehrdeutige Sprachen
Sprachen L, für die keine eindeutige Grammatik G mit L = L(G)
existiert, heißen inhärent mehrdeutig.
Beispiel:
L = {al bm c n | l, m, n > 0 ∧ (l = m ∨ m = n)}
ist inhärent mehrdeutig.
L = L1 ∪ L2 mit
L1 = {al bm c n | l, m, n > 0 ∧ l = m} = {al bl c n | l, n > 0}
L2 = {al bm c n | l, m, n > 0 ∧ m = n} = {al bn c n | l, n > 0}
Für jedes Wort in L1 ∩ L2 existieren in jeder Grammatik, die L
erzeugt, zwei Ableitungsbäume.
137
Was bisher geschah
Alphabet, Wort, Sprache
Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen
I interessante Fragen für Sprachen und Wörter
z.B. Wortproblem
endliche Darstellungen von (möglicherweise unendlichen)
Sprachen:
I Reguläre Ausdrücke (Terme, Syntax)
und durch sie beschriebene Sprachen (Semantik)
I Wortersetzungssysteme (Konstruktionsanleitung)
und durch sie erzeugte Sprachen
I Grammatiken (Konstruktionsanleitung)
und durch sie erzeugte Sprachen
I reguläre Sprachen
I
I
I
I
I
beschrieben durch reguläre Ausdrücke
erzeugt von regulären Grammatiken
kontextfreie Sprachen
I
I
Ableitungsbäume
Mehrdeutigkeit
138
Mächtigkeitsvergleich unendlicher Mengen
Eine Menge M heißt genau dann höchstens so mächtig wie die
Menge N, wenn eine surjektive Funktion f : N → M existiert.
(f : N → M ist surjektiv, gdw. ∀x ∈ M∃n ∈ N : f (n) = x)
Beispiele:
I
I
M = {1, 2, 3} ist höchstens so mächtig wie N = {a, b, c, d}
N ist höchstens so mächtig wie 3N
Zwei Mengen M und N heißen genau dann gleichmächtig,
wenn
I
M höchstens so mächtig wie N und
I
N höchstens so mächtig wie M ist.
(genau dann, wenn eine bijektive Funktion f : N → M existiert)
Beispiele:
I
I
M = {1, 2, 3, 4} und N = {a, b, c, d} sind gleichmächtig
N und 3N sind gleichmächtig.
139
Abzählbarkeit
Eine Menge M heißt genau dann abzählbar, wenn sie
höchstens so mächtig wie ist.
(also eine surjektive Funktion f : → M existiert)
N
N
(Unendliche) Mengen, die nicht abzählbar sind, heißen
überabzählbar.
Beispiele:
I
N, Menge aller geraden Zahlen, Menge aller Primzahlen,
jede endliche Menge,
Menge aller Paare natürlicher Zahlen,
sind abzählbar,
I
Q
R ist überabzählbar.
140
Erstes Diagonalverfahren von Cantor
(z.B. zum Nachweis der Abzählbarkeit einer Menge)
Satz
Die Menge alle Paare natürlicher Zahlen ist abzählbar.
Beweisidee (Tafel):
zweidimensionale (unendliche) Darstellung
diagonale Durchquerung
Dovetailing: analoge Idee zur sequentiellen Simulation
paralleler Berechnungen
I
Für jedes endliche Alphabet A ist die Menge A∗ abzählbar.
I
Für jedes endliche Alphabet A ist jede Sprache L ⊆ A∗
abzählbar.
141
Zweites Diagonalverfahren von Cantor
(z.B. zum Nachweis der Überabzählbarkeit einer Menge)
Satz
Es existieren überabzählbar viele unendliche 01-Folgen.
({0, 1}ω ist überabzählbar.)
Beweisidee: indirekt (Tafel)
allgemeinere Aussage:
Satz (Cantor)
Für jede Menge M ist ihre Potenzmenge 2M von M mächtiger
als M.
142
Beispiele überabzählbarer Mengen
R
N
[0, 1) ⊂ ist mächtiger als .
Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen im
Intervall [0, 1].
ist mächtiger als .
Es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen.
N
2 (Menge aller Mengen natürlicher Zahlen) ist
mächtiger als .
(Überabzählbarkeit der Menge M = 2N )
Es gibt überabzählbar viele Mengen natürlicher
Zahlen.
∗
{0,1}
2
Menge aller Sprachen L ⊆ {0, 1}∗ ist mächtiger als
{0, 1}∗ .
Es gibt überabzählbar viele Sprachen über dem
Alphabet {0, 1}.
∗
A
2 für beliebiges endliches Alphabet A
Für jedes endliche Alphabet A ist die Menge aller
Sprachen über A überabzählbar.
R
N
N
143
Lässt sich jede Sprache durch eine Grammatik
repräsentieren?
Existiert zu jeder Sprache L ⊆ A∗ eine Grammatik G mit L = L(G)?
Nein (Gegenbeispiel später)
Begründung: (Aussage für A = {0, 1} zu zeigen, genügt)
1. Wieviele Grammatiken über dem endlichen Alphabet A gibt es?
abzählbar viele
(weil Grammatiken endliche Beschreibungen sind,
nach erstem Diagonalverfahren von Cantor)
2. Wieviele Sprachen L ⊆ A∗ gibt es?
überabzählbar viele
(zweites Diagonalverfahren von Cantor)
Damit existieren sogar sehr viel mehr (überabzählbar viele)
Sprachen, die nicht durch Grammatiken beschrieben werden können.
Warum sind Grammatiken trotzdem wichtig / interessant?
144
Wortproblem für von Grammatiken erzeugte Sprachen
Wortproblem (L, w) ist definiert durch:
Wort w ∈ A∗
I Sprache L ⊆ A∗
I
und bedeutet: Gilt w ∈ L?
Jede durch eine Grammatik G erzeugte Sprache L = L(G) ist
definiert durch die Grammatik G = (N, T , P, S) mit
I
I
endliche Mengen N, T , S ∈ N
Wortersetzungssystem P ⊆ (N ∪ T )+ × (N ∪ T )∗
Wortproblem (L(G), w) für von einer Grammatik erzeugten Sprache
ist definiert durch:
Wort w ∈ A∗
I Grammatik G = (N, T , P, S)
I
und bedeutet: Gilt w ∈ L(G)?
Satz
Für jede monotone Grammatik G (Chomsky-Typ 1) ist das
Wortproblem (L(G), w) in endlicher Zeit maschinell korrekt lösbar.
(folgt aus entsprechendem Satz für nichtverkürzende
Wortersetzungssysteme)
145
Anwendung bei der Übersetzung von Programmen
Höhere Programmiersprachen (z.B. C, Java) erfordern
Übersetzung von Quell- in Maschinen- oder Byte-Code
Quellcode
↓
Zwischendarstellung
↓
Java-Bytecode
Übersetzung in zwei Phasen:
1. Analyse-Phase (Front-End):
Transformation des Quellcodes in eine
Zwischendarstellung
2. Synthese-Phase (Back-End):
Transformation der Zwischendarstellung in Java-Bytecode
146
Analyse-Phase
Quellcode
Scanner
Parser
−→ Folge von Token −→ Syntaxbaum
lexikalische Analyse (Scanner)
lineare Analyse des Quelltextes,
Aufteilung in Einheiten (Token)
z.B. Schlüsselwörter, Bezeichner,
Operatorsymbole, Zahlen
reguläre Sprachen
(reguläre Ausdrücke, reguläre Grammatiken, . . . )
Syntaxnalyse (Parser)
hierarchische Struktur des Quelltextes
z.B. Ausdrücke, Verzweigungen, Schleifen
kontextfreie Sprachen
(kontextfrie Grammatiken, . . . )
semantische Analyse Annotationen im Syntaxbaum,
z.B. Typprüfungen
147
Einsatz ähnlicher Analyse-Methoden
I
Übersetzung von Daten zwischen verschiedenen Formaten
I
Verarbeitung von Domain-spezifischen Sprachen
I
Textformatierung
I
kontextabhängige Hilfe in Entwicklungsumgebungen
I
statische Analyse zur Fehlersuche in Programmen
I
Interpreter
I
graphische Editoren (z.B. für UML-Diagramme) mit
automatischer Programmgenerierung
148
Darstellung von Termmengen durch kontextfreie
Grammatiken
X
Wiederholung: induktive Definition für Term(ΣF , )
Die Menge Term(ΣF , ) aller Terme über der (funktionalen) Signatur
ΣF mit Variablen aus der Menge ist definiert durch:
X
IA Jede Variable x ∈
X
X ist ein Term. (X ⊆ Term(ΣF , X))
IS Sind (f , n) ∈ ΣF (f ist n-stelliges Funktionssymbol) und t1 , . . . , tn
Terme aus Term(ΣF , ),
dann ist f (t1 , . . . , tn ) ein Term aus Term(ΣF , ).
X
X
kontextfreie Grammatik für Term(ΣF , ∅) in Präfixform:
G = ({S}, T , P, S) mit
T
= {s | ∃n : (s, n) ∈ ΣF } ∪
P
= {S → s | (s, 0) ∈ Σ}
X ∪ {(, ), , }
∪{S → s(S) | (s, 1) ∈ Σ}
∪{S → s(S, S) | (s, 2) ∈ Σ}
.
∪ ..
∪{S → x | x ∈
X}
149
Beispiel
funktionale Signatur ΣF = {(a, 0), (b, 0), (f , 1), (g, 2), (h, 3))},
Variablenmenge {x, y }
kontextfreie Grammatik für Term(ΣF , ) in Präfixform:
G = ({S}, {a, b, f , g, h, x, y , (, ), , }, P, S) mit


S → a








S
→
b








 S → f (S)

S → g(S, S)
P=



S → h(S, S, S) 








S
→
x






S → y
X
Ableitung des Terms f (h(g(a, x), b, y ):
S
→ f (S) → f (h(S, S, S)) → f (h(S, b, S)) → f (h(S, b, y ))
→ f (h(g(S, S), b, y )) → f (h(g(a, S), b, y )) → f (h(g(a, x), b, y ))
ähnlich für Postfix- und Infixform
(ggf. Operatorpräferenzen beachten)
150
Beispiel: HTML-Tabellen
von der Homepage zu dieser LV:
<table>
<tr><td>
<td>
<td>
<tr><td>
<td>
<td>
<tr><td>
<td>
<td>
<tr><td>
<td>
<td>
</table>
ungerade Woche: </td><td>Montag</td>
9:30 - 11:00 </td><td> Uhr </td>
in LNW006 </td></tr>
</td><td>Dienstag </td>
15:30 - 17:00 </td><td> Uhr </td>
in G327</td></tr>
gerade Woche: </td><td>Dienstag</td>
9:30 - 11:00 </td><td> Uhr </td>
in LNW006 </td></tr>
</td><td> Mittwoch</td>
11:15 - 12:45 </td><td> Uhr </td>
in LNW006</td></tr>
151
Grammatik für HTML-Tabellen
Grammatik G = ({T , R, C, S}, ASCII, P, T ) mit
Beispiel-Ableitung (Linksableitung):
T → <table> R </table>
→ <table> <tr> C </tr> R </table>
→ <table> <tr> <td> S </td> C </tr> R </table>
→∗ <table> <tr> <td> ungerade Woche: </td> C </tr> R </table>
→ <table> <tr> <td> ungerade Woche: </td> <td> S </td> C </tr> R </table>
→∗ <table> <tr> <td> ungerade Woche: </td> <td> Montag </td> C </tr> R </table>
→ ...
Jedes in G ableitbare Wort ist Quelltext einer HTML-Tabelle.
152
Formale Sprachen – Zusammenfassung
I
Alphabet, Wort, Sprache
I
Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen
I
interessante Fragen für Sprachen und Wörter
z.B. Wortproblem
endliche Darstellungen von (möglicherweise unendlichen)
Sprachen:
I
Reguläre Ausdrücke (Terme, Syntax)
und durch sie beschriebene Sprachen (Semantik)
I
Wortersetzungssysteme (Konstruktionsanleitung)
und durch sie erzeugte Sprachen
I
Grammatiken (Konstruktionsanleitung)
und durch sie erzeugte Sprachen (Chmosky-Hierarchie)
I
Äquivalenz
153
Formale Sprachen – Spezialfälle
kontextfreie Sprachen (Chomsky-Typ 2)
erzeugt von kontextfreien Grammatiken
Ableitungsbäume, Mehrdeutigkeit
schnelle Verfahren zur Lösung des Wortproblems
Anwendungen z.B. in Parsern für
Programmtransformationen (z.B. Compiler),
Verarbeitung natürlicher Sprache
reguläre Sprachen (Chomsky-Typ 3)
definiert durch reguläre Ausdrücke,
erzeugt von regulären Grammatiken
sehr schnelle Verfahren zur Lösung des
Wortproblems
Anwendungen z.B. in Scannern für
Programmtransformationen (z.B. Compiler),
Suche in Texten
154
Logik in der Informatik
theoretische Informatik, Grundlagen:
Beschreibung von formalen Sprachen und Berechnungsmodellen
(klassische Prädikatenlogik)
technische Informatik, z.B. Digitaltechnik:
Logikgatter / Schaltnetze (klassische Aussagenlogik)
Spezifikation: Definition der Anforderungen an Hardware
Verifikation der Korrektheit von Hardware
praktische Informatik, z.B. Programmierung:
Spezifikation: Definition der Anforderungen an Software
Verifikation der Korrektheit von Software
Datentypen: definiert durch Eigenschaften (statt Realisierung)
(klassische Prädikatenlogik, modale und temporale Logiken)
angewandte Informatik, z.B. Datenbanken, künstliche Intelligenz:
Wissensrepräsentation / Expertensysteme
Problemlösen / automatischen Beweisen
(klassische und nichtklassische Logiken, Fuzzy-Logik)
allgemein: Logik als Sprache zur Formulierung und Manipulation
geeigneter formaler Modelle der Realität
155
Logik – Geschichte
I
Logik in Philosophie, Rhetorik (Syllogismen)
Aristoteles (384 - 322 v.Chr.)
I
Grundlagen der Rechentechnik
Aussagenlogik
George Boole (1815 - 1864)
I
Mathematische Logik
Formalisierung des Beweisens (Begriffe und Schlußregeln)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Gottlob Frege (1848 - 1925)
David Hilbert (1862 - 1943)
Kurt Gödel (1906 - 1978) Unvollständigkeitssatz
I
formale Grundlagen der (theoretischen) Informatik
Alonzo Church (1903 - 1995)
Alan Turing (1912 - 1954)
156
Aussagen
Aussage = Behauptung
Beispiele:
I
Es regnet.
I
Die Straße ist naß.
I
I
9 ist eine Primzahl.
√
2∈
I
3<5
I
x < 5 (hängt von x ab, keine Aussage)
I
Ist x < 5? (keine Aussage)
I
Sei x < 5. (keine Aussage)
I
Morgen regnet es.
I
Es ist nicht alles Gold, was glänzt.
Q
157
Wahrheitswerte
Prinzipien der klassischen Logik:
Zweiwertigkeit Jede Aussage ist wahr oder falsch.
ausgeschlossener Widerspruch Keine Aussage ist sowohl
wahr als auch falsch.
Wahrheitswerte 1 (wahr) oder 0 (falsch)
Jede Aussage p hat genau einen Wahrheitswert W(p) ∈ {0, 1}.
Beispiele:
I
W(Es regnet.) = ?
I
W(Die Straße ist naß.) = ?
I
I
W(9 ist eine Primzahl.) = 0
√
W( 2 ∈ ) = 0
I
W(3 < 5) = 1
I
W(Morgen regnet es.) = ?
I
W(Es ist nicht alles Gold, was glänzt.)=1
Q
158
Zusammengesetzte Ausdrücke – Junktoren
Junktor (mit zugeordneter Stelligkeit):
Symbol (Syntax) für Verknüpfung von Aussagen
z.B. „und“ (zweistellig), „nicht“ (einstellig)
Gottlob Frege: Die Bedeutung des Ganzen ist eine Funktion
der Bedeutung seiner Teile.
Wahrheitswert eines zusammengesetzten Ausdruckes lässt
sich aus dem Wahrheitswert seiner Teilausdrücke berechnen.
Semantik (Bedeutung) eines n-stelligen Junktors ∗:
[∗] : {0, 1}n −→ {0, 1}
(n-stellige Funktion auf der Menge {0, 1})
Wahrheitswertkonstanten (nullstellige Junktoren):
t mit [t] = 1
f mit [f] = 0
159
Konjunktion ∧
Es regnet und 9 ist eine Primzahl.
I W(9 ist eine Primzahl.)= 0
I W(Es regnet.)=?
I W(Es regnet und 9 ist eine Primzahl.)=0
p ∧ q ist genau dann wahr,
wenn beide Aussagen p und q wahr sind.
W(p) W(q) W(p ∧ q)
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
W(p ∧ q) = min(W(p), W(q))
[∧] = min ist kommutativ, assoziativ
n
^
pi = p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn
i=1
160
Disjunktion ∨ (inklusiv)
Es regnet oder 3 < 5.
I W(3 < 5) = 1
I W(Es regnet)=?
I W(Es regnet oder 3 < 5.)=1
p ∨ q ist genau dann wahr,
wenn wenigstens eine der Aussagen p und q wahr ist.
W(p) W(q) W(p ∨ q)
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
W(p ∨ q) = max(W(p), W(q))
[∨] = max ist kommutativ, assoziativ
n
_
pi = p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn
i=1
161
Negation ¬
√
√
(meist 2 6∈
¬( 2 ∈ )
√
I W( 2 ∈
)=0
√
I W(¬( 2 ∈
)) = 1
Q
Q
Q)
Q
¬p ist genau dann wahr, wenn p falsch ist.
W(p) W(¬p)
0
1
1
0
W(¬p) = 1 − W(p)
162
Implikation →
Wenn es regnet, dann ist die Straße naß.
I
W(Es regnet.)=?
I
W(Die Straße ist naß.)=?
I
W(Wenn es regnet, dann ist die Straße naß.)=1
p → q ist genau dann wahr,
wenn die Aussage p falsch oder die Aussage q wahr ist.
W(p) W(q) W(p → q)
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
W(p → q) =
1 falls W(p) ≤ W(q)
0 sonst
163
Äquivalenz ↔
3 < 5 gilt genau dann, wenn 0 < 5 − 3 gilt.
I
W(3 < 5) = 1
I
W(0 < 5 − 3) = 1
I
W(3 < 5 gilt genau dann, wenn 0 < 5 − 3 gilt.)=1
p ↔ q ist genau dann wahr, wenn
entweder beide Aussagen p und q gelten
oder beide nicht gelten.
W(p) W(q) W(p ↔ q)
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
W(p ↔ q) =
1 falls W(p) = W(q)
0 sonst
164
Übersicht Junktoren und ihre Bedeutung
wahr
falsch
Konjunktion
Disjunktion
Negation
Implikation
Äquivalenz
Stelligkeit
Syntax
Symbol
Semantik
Wahrheitswertfunktion
0
0
2
2
1
2
2
t
f
∧
∨
¬
→
↔
1
0
min
max
x 7→ 1 − x
≤
=
165
Aussagenlogische Formeln (Syntax)
Definition (induktiv)
Die Menge AL(P) aller (aussagenlogischen) Formeln mit
Aussagenvariablen aus der Menge P ist definiert durch:
IA: Jede Aussagenvariable p ∈ P ist eine Formel.
(P ⊆ AL(P)).
I t und f sind Formeln.
IS:
I
I
Ist ϕ eine Formel, dann ist auch ¬ϕ eine Formel.
Sind ϕ und ψ Formeln, dann sind auch
ϕ ∨ ψ, ϕ ∧ ψ, ϕ → ψ und ϕ ↔ ψ Formeln.
IS’: (Zusammenfassung aller Unterpunkte zu IS)
Sind j ein n-stelliger Junktor und ϕ1 , . . . , ϕn Formeln,
dann ist auch j(ϕ1 , . . . , ϕn ) eine Formel.
(Aus {ϕ1 , . . . , ϕn } ⊆ AL(P) folgt j(ϕ1 , . . . , ϕn ) ∈ AL(P).)
dieselbe Definition kürzer: AL(P) = Term(ΣF , P)
mit der Signatur
ΣF = {(t, 0), (f, 0), (¬, 1), (∨, 2), (∧, 2), (→, 2), (↔, 2)}
(Baumdarstellung)
166
Menge aller Aussagenvariablen einer Formel
Definition (induktiv über Formelaufbau):
Für jede aussagenlogische Formel ϕ ∈ AL(P) ist die Menge
var(ϕ) aller in ϕ vorkommenden Aussagenvariablen definiert
durch:
IA: falls ϕ = p (Atom), dann var(ϕ) = {p}
I nullstellige Junktoren (t, f):
IS:
I
I
für ϕ = t oder ϕ = f gilt var(ϕ) = ∅
einstellige Junktoren (¬):
für ϕ = ¬ϕ1 gilt var(ϕ) = var(ϕ1 )
zweistellige Junktoren (∗ ∈ {∨, ∧, →, ↔}):
für ϕ = ϕ1 ∗ ϕ2 gilt var(ϕ) = var(ϕ1 ) ∪ var(ϕ2 )
Beispiel: Für ϕ = p → ((q ↔ t) ∨ (r → q)) gilt var(ϕ) = {p, q, r }
167
Aussagenlogische Interpretationen
(Belegungen der Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten)
Interpretation (für Formeln ϕ ∈ AL(P))
Funktion W : P −→ {0, 1}
Beispiel: P = {p, q} und W mit W (p) = 1 und W (q) = 0
Menge aller Interpretationen für Formeln ϕ ∈ AL(P)
W(P) = {W : P −→ {0, 1}} = 2P
Notation: für P = {p, q} ist W(P) = {W00 , W01 , W10 , W11 } mit
W00 (p) = W00 (q) = 0,
W01 (p) = 0 und W01 (q) = 1,
W10 (p) = 1 und W10 (q) = 0,
W11 (p) = W11 (q) = 1.
168
Wahrheitswerte für Formeln
Erweiterung der Interpretation W : P −→ {0, 1} zu einer Funktion
W : AL(P) −→ {0, 1}
Der Wert W (ϕ) der Formel ϕ in der Interpretation W wird induktiv mit
den Wahrheitswertfunktionen der Junktoren
aus den Werten der Teilformeln von ϕ bestimmt:
IA: falls ϕ = p ∈ P (Atom), dann W (ϕ) = W (p)
IS:
I
I
I
nullstellige Junktoren t, f: W (t) = 1 , W (f) = 0
einstelliger Junktor ¬:
für ϕ = ¬ψ gilt W (¬ψ) = [¬]W (ψ) = 1 − W (ψ)
zweistellige Junktoren ∨, ∧:
W (ψ1 ∧ ψ2 ) = W (ψ1 )[∧]W (ψ2 ) = min (W (ψ1 ), W (ψ2 ))
W (ψ1 ∨ ψ2 ) = W (ψ1 )[∨]W (ψ2 ) = max (W (ψ1 ), W (ψ2 ))
W (ψ1 → ψ2 ) = W (ψ1 )[→]W (ψ2 ) = 1 gdw. W (ψ1 ) ≤ W (ψ2 )
W (ψ1 ↔ ψ2 ) = W (ψ1 )[↔]W (ψ2 ) = 1 gdw. W (ψ1 ) = W (ψ2 )
Beispiel: ϕ = ((p ∧ ¬q) → (¬r ∨ (p ↔ q)))
W (p) = 0, W (q) = 1, W (r ) = 0, W (ϕ) =?
169
Wahrheitswerttabellen
Untersuchung der Werte einer Formel ϕ ∈ AL(P) in allen
möglichen Interpretationen W ∈ (P)
Darstellung in einer Tabelle mit
Zeilen
– Interpretationen W : var(ϕ) :→ {0, 1}
Spalten – Teilformeln von ϕ
W
W (p1 ) · · ·
0
···
..
.
1
···
W (pn ) W (ψ) für Teilformeln ψ von ϕ W (ϕ)
0
···
..
.
1
···
Beispiel: ϕ = p → ((q ↔ t) ∨ (r → q))
Wertetabelle einer n-stelligen Booleschen Funktion
fϕ : {0, 1}n −→ {0, 1}.
Die Semantik jeder aussagenlogischen Formel mit n
Aussagenvariablen ist eine n-stellige Boolesche Funktion.
170
Modellmenge einer Formel
Menge aller Interpretationen (Belegungen) für Formeln aus AL(P)
W(P) = {W : P −→ {0, 1}} = 2P
Die Belegung W : P → {0, 1} erfüllt die Formel ϕ ∈ AL(P) genau
dann, wenn W (ϕ) = 1.
Beispiel: erfüllende Belegungen für p ∨ (q ∧ ¬p): W10 , W01 , W11
Definition
Jede aussagenlogische Interpretation W : P → {0, 1} mit W (ϕ) = 1
heißt Modell (erfüllende Belegung der Aussagenvariablen) für ϕ.
Menge aller Modelle von ϕ ∈ AL(P):
Mod(ϕ) = {W : P −→ {0, 1} | W (ϕ) = 1}
Beispiele:
Mod(p ∨ (q ∧ ¬p)) = . . ., Mod(p → p) =
W({p}), Mod(p ∧ ¬p) = ∅
171
Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit
Definition
Eine Formel ϕ ∈ AL(P) heißt
erfüllbar , wenn sie ein Modell hat (Mod(ϕ) 6= ∅)
Beispiel: ¬p → p
unerfüllbar (Widerspruch), wenn sie kein Modell hat
(Mod(ϕ) = ∅,
für jede Interpretation W gilt W (ϕ) = 0),
Beispiel: p ∧ ¬p
allgemeingültig (Tautologie), wenn jede Belegung ein Modell
für ϕ ∈ AL(P) ist
(Mod(ϕ) = (P),
für jede Interpretation W gilt W (ϕ) = 1).
Beispiel: p ∨ ¬p
W
Fakt
Eine Formel ϕ ∈ AL(P) ist genau dann allgemeingültig, wenn
die Formel ¬ϕ unerfüllbar ist.
172
Semantische Äquivalenz aussagenlogischer Formeln
Definition
Zwei Formeln ϕ und ψ mit Mod(ϕ) = Mod(ψ)
heißen (semantisch) äquivalent (ϕ ≡ ψ).
Äquivalente Formeln haben dieselbe Wahrheitswertfunktion
(Semantik).
Nachweis z.B. durch
I Wahrheitswerttabellen
I Äquivalente Umformung der Modellmengen
Beispiele:
I p → q ≡ ¬p ∨ q
I p ∨ q ≡ ¬p → q
I p ∧ q ≡ ¬(p → ¬q)
I p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Achtung: Das Symbol ≡ ist kein Junktor (Syntax), sondern ein
Symbol für eine Relation zwischen Formeln (Semantik),
173
Wichtige Äquivalenzen
Für alle aussagenlogischen Formeln ϕ, ψ, η gilt:
I
ϕ ∨ ϕ ≡ ϕ,
I
ϕ ∨ ψ ≡ ψ ∨ ϕ, ϕ ∧ ψ ≡ ψ ∧ ϕ
(Kommutativität von ∧ und ∨)
I
ϕ ∨ (ψ ∨ η) ≡ (ϕ ∨ ψ) ∨ η
ϕ ∧ (ψ ∧ η) ≡ (ϕ ∧ ψ) ∧ η
(Assoziativität von ∧ und ∨)
I
ϕ ∧ (ψ ∨ η) ≡ (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ η)
ϕ ∨ (ψ ∧ η) ≡ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ η)
(Distributivgesetze)
I
¬¬ϕ ≡ ϕ (Doppelnegation)
I
¬(ϕ ∨ ψ) ≡ ¬ϕ ∧ ¬ψ, ¬(ϕ ∧ ψ) ≡ ¬ϕ ∨ ¬ψ
(DeMorgansche Regeln)
I
ϕ ∨ ψ ≡ ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ), ϕ ∧ ψ ≡ ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ)
(Dualität von ∧ und ∨)
I
ϕ → ψ ≡ ¬ψ → ¬ϕ (Kontraposition)
I
(ϕ ∧ ψ) ∨ (¬ϕ ∧ ψ) ≡ ψ (Fallunterscheidung)
ϕ ∧ ϕ ≡ ϕ,
ϕ ∨ f ≡ ϕ,
ϕ∧t≡ϕ
174
Umformen von Formeln
Satz (Ersetzbarkeitstheorem)
Für drei Formeln ϕ, ψ, η ∈ AL(P), wobei ψ ≡ η und ψ eine
Teilformel von ϕ ist, gilt ϕ ≡ ϕ0 ,
wobei ϕ0 entsteht, indem in ϕ ein Vorkommen von ψ durch η
ersetzt wird.
(Nachweis durch strukturelle Induktion)
Formeln können also durch Ersetzung äquivalenter Teilformeln
in semantisch äquivalente Formeln umgeformt werden.
(Änderung der Syntax bei unveränderter Semantik)
175
Junktorbasen (vollständige Operatorensysteme)
Eine Menge J von Junktoren heißt genau dann Junktorbasis,
wenn zu jeder aussagenlogische Formel ϕ eine äquivalente
aussagenlogische Formel ψ (d.h. ϕ ≡ ψ) existiert, wobei ψ nur
Junktoren aus der Menge J enthält.
Beispiele: Die Mengen
I
{¬, ∨, ∧}
I
{¬, ∨}
I
{¬, ∧}
I
{¬, →}
I
{f, →}
I
{NAND}
I
{NOR}
(x NAND y ≡ ¬(x ∧ y ))
(x NOR y ≡ ¬(x ∨ y ))
sind Junktorbasen.
Die Mengen {∨, ∧} und {∨, ∧, →} sind keine Junktorbasen.
176
Normalformen
spezielle Formeln:
Literal Atom oder negiertes Atom
NNF Formeln, in denen das Negationssymbol ¬
höchstens auf Atome angewendet wird, heißen in
Negations-Normalform.
Beispiel: ¬p ∨ ((¬q ∨ p) ∧ q), ¬p, p
W
V
mi
CNF Formeln der Form ni=1
l
i,j
j=1
mit Literalen li,j
heißen in konjunktiver Normalform.
Beispiel: (¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) ∧ ¬q, p ∨ q, p ∧ ¬q, ¬p
V
W
mi
DNF Formeln der Form ni=1
l
j=1 i,j
mit Literalen li,j
heißen in disjunktiver Normalform.
Beispiel: ¬p ∨ (¬q ∧ p) ∨ (p ∧ q), p ∨ q, p ∧ ¬q, ¬p
177
Satz über Normalformen
Satz
Zu jeder Formel ϕ ∈ AL(P) existieren
I
eine äquivalente Formel ϕ1 ∈ AL(P) in NNF,
I
eine äquivalente Formel ϕ2 ∈ AL(P) in CNF und
I
eine äquivalente Formel ϕ3 ∈ AL(P) in DNF.
Transformation beliebiger Formeln in Normalformen:
1. Formeln mit Junktoren →, ↔, t, f schrittweise durch
Formeln mit ausschließlich ∨, ∧, ¬ ersetzen
2. Konstruktion einer NNF durch (mehrmalige) Anwendung
der deMorganschen Regeln
3. Konstruktion der CNF und DNF durch (mehrmalige)
Anwendung der Distributivgesetze auf die NNF
Beispiel: p ↔ q , (a → b) → c
178
Modelle von Formelmengen
Menge aller Modelle einer Menge Φ ⊆ AL(P) von Formeln:



^
\
ϕ
Mod(Φ) =
Mod(ϕ) = Mod 
ϕ∈Φ
ϕ∈Φ
(Eine Belegung W : P −→ {0, 1} ist genau dann Modell für eine
Menge Φ ⊆ AL(P) von Formeln, wenn W Modell für jede Formel
ϕ ∈ Φ ist.)
Beispiele:
I
Mod({p, p → q}) = {W11 }
I
Mod(∅) = {W : P → {0, 1}}
(Jede Belegung ist ein Modell für die Formelmenge ∅.)
I
Beschreibung einer Situation (Menge von Aussagen):
I
I
Anna geht zur Party, wenn Tom oder Paul hingehen.
Tom geht zur Party, wenn Paul nicht hingeht.
als Formelmenge: Φ = {(T ∨ P) → A, ¬P → T }
Mod(Φ) = . . .
179
Was bisher geschah
Wiederholung: klassische Aussagenlogik
Syntax:
I AL(P) = Term(ΣF , P) mit der Signatur
ΣF = {(t, 0), (f, 0), (¬, 1), (∨, 2), (∧, 2), (→, 2), (↔, 2)}
(Baumstruktur)
I Menge der vorkommenden Variablen
Semantik:
I Belegungen W : P → {0, 1}
I Menge
(P) = {W : P → {0, 1}} = 2P aller Belegungen
I Wert W (ϕ) einer Formel ϕ ∈ AL(P) unter einer Belegung
W : P → {0, 1}
I Modelle von Formeln, Mod(ϕ)
I Semantik einer Formel: Boolesche Funktion
W
I
I
I
I
(Un-)Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit
Äquivalenz von Formeln
äquivalente Umformungen von Formeln
Normalformen
180
Zusammenhang:
logische Junktoren – Mengenoperationen
zur Erinnerung:
Mod(ϕ) = {W : P −→ {0, 1} | W (ϕ) = 1}
Fakt
Für alle Formeln ϕ, ψ ∈ AL(P) gilt
Mod(¬ϕ) =
W(P) \ Mod(ϕ)
(1)
Mod(ϕ ∨ ψ) = Mod(ϕ) ∪ Mod(ψ)
(2)
Mod(ϕ ∧ ψ) = Mod(ϕ) ∩ Mod(ψ)
(3)
181
Wiederholung: Modelle von Formelmengen
Menge aller Modelle einer Menge Φ ⊆ AL(P) von Formeln:



^
\
ϕ
Mod(Φ) =
Mod(ϕ) = Mod 
ϕ∈Φ
ϕ∈Φ
(Eine Belegung W : P −→ {0, 1} ist genau dann Modell für eine
Menge Φ ⊆ AL(P) von Formeln, wenn W Modell für jede Formel
ϕ ∈ Φ ist.)
Beispiele:
I
Mod({p, p → q}) = {W11 }
I
Mod(∅) = {W : P → {0, 1}}
(Jede Belegung ist ein Modell für die Formelmenge ∅.)
I
Beschreibung einer Situation (Menge von Aussagen):
I
I
Anna geht zur Party, wenn Tom oder Paul hingehen.
Tom geht zur Party, wenn Paul nicht hingeht.
als Formelmenge: Φ = {(T ∨ P) → A, ¬P → T }
Mod(Φ) = . . .
182
Modellierung durch aussagenlogische Formelmengen
Aussagen:
1. Es wird nicht mehr viel Eis gekauft, wenn es kalt ist.
2. Der Eisverkäufer ist traurig, wenn nicht viel Eis gekauft wird.
3. Es ist kalt.
Darstellung als Formelmenge Φ ⊆ AL({k , t, v }):
Φ = {k → ¬v , ¬v → t, k }
Menge aller Modelle von Φ: Mod(Φ) = . . .
neue zusätzliche Aussage:
4. Der Eisverkäufer ist nicht traurig.
Erweiterung der Formelmenge Φ zu
Φ0 = Φ ∩ {¬t} = {k → ¬v , ¬v → t, k , ¬t}
Menge aller Modelle von Φ0 : Mod(Φ0 ) = . . .
Fakt
Für alle Formelmengen Φ, Ψ ⊆ AL(P) gilt:
Aus Φ ⊆ Ψ folgt Mod(Φ) ⊇ Mod(Ψ).
183
Semantisches Folgern
Definition
Eine Formel ψ ∈ AL(P) heißt (semantische) Folgerung aus der
Menge Φ ⊆ AL(P) von Formeln (Φ |= ψ), falls
Mod(Φ) ⊆ Mod(ψ) gilt.
Beispiele:
I
{p, p → q} |= q
I
{p, ¬(q ∧ p)} |= ¬q
I
{p} |= q → p
I
∅ |= p ∨ ¬p
Folgerungsrelation: zweistellige Relation |= ⊆ 2AL(P) × AL(P)
Spezialfälle der Notation:
für Φ = {ϕ}: ϕ |= ψ (statt {ϕ} |= ψ)
für Φ = ∅:
|= ψ
(statt ∅ |= ψ)
184
Modellierungsbeispiel Party
Beschreibung der Situation (Menge von Aussagen):
I
Anna geht zur Party, wenn Tom oder Paul hingehen.
I
Tom geht zur Party, wenn Paul nicht hingeht.
Folgt aus diesen Aussagen, dass Anna die Party besucht?
Modellierung der Aussagen:
Φ = {(T ∨ P) → A, ¬P → T }
Modellierung der Frage:
I
Formulierung als Behauptung (Aussage): ψ = A
I
Frage umformuliert: Gilt Φ |= ψ ?
185
Sätze über das Folgern
I
Für endliche Formelmengen Φ = {ϕ1 , . . . , ϕn } gilt
Φ |= ψ
gdw.
n
^
ϕi |= ψ
i=1
I
|= ϕ gdw. ϕ allgemeingültig ist.
I
Zwei Formeln ϕ und ψ sind genau dann äquivalent (ϕ ≡ ψ),
wenn ϕ |= ψ und ψ |= ϕ gilt.
Für jede Formelmenge Φ ⊆ AL(P) und jede Formel ψ ∈ AL(P)
gilt:
I
falls ψ ∈ Φ, dann gilt Φ |= ψ.
I
Φ |= ψ gdw. Mod(Φ) = Mod(Φ ∪ {ψ})
I
Φ |= ψ gdw. Φ ∪ {¬ψ} unerfüllbar
I
Φ |= ψ gdw. Φ ∪ {¬ψ} |= f
186
Was bisher geschah (klassische Aussagenlogik)
Syntax:
I AL(P) = Term(ΣF , P) mit der Signatur
ΣF
= {(t, 0), (f, 0), (¬, 1), (∨, 2), (∧, 2), (→, 2), (↔, 2)}
∪{(p, 0) | p ∈ P}
(Baumstruktur)
I Menge der vorkommenden Variablen
Semantik:
I Belegungen W : P → {0, 1}
I Menge
(P) = {W : P → {0, 1}} = 2P aller Belegungen
I Wert W (ϕ) einer Formel ϕ ∈ AL(P) unter einer Belegung
W : P → {0, 1}
I Modelle von Formeln, W ∈ Mod(ϕ) gdw. W (ϕ) = 1
I Semantik einer Formel ϕ: Modellmenge Mod(ϕ)
für ϕ ∈ AL(P): Mod(ϕ) beschreibt Boolesche Funktion
W
187
Was bisher geschah (Logiken allgemein)
I
(Un-)Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit
I
I
I
ϕ unerfüllbar gdw. Mod(ϕ) = ∅
ϕ erfüllbar gdw. Mod(ϕ) 6= ∅
ϕ allgemeingültg gdw.
Mod(ϕ) = Menge aller Interpretationen für ϕ
I
Äquivalenz von Formeln ≡ ⊆ AL(P) × AL(P), wobei
ϕ ≡ ψ gdw. Mod(ϕ) = Mod(ψ)
I
Semantische Folgerung |= ⊆ 2AL(P) × AL(P), wobei
Φ |= ψ gdw. Mod(Φ) ⊆ Mod(ψ)
188
Typische Fragen für Formeln und Formelmengen
gegeben: Formelmenge Φ ⊆ AL(P)
(oder Formel ϕ ∈ AL(P))
Frage:
...
Antwort: ja / nein (Wahrheitswert), evtl. mit Begründung
Frage beim
Erfüllbarkeitsproblem : Ist Φ erfüllbar?
Gültigkeitsproblem : Ist Φ allgemeingültig?
(effiziente) maschinelle Lösungsverfahren erwünscht
Diese Fragen sind für alle Logiken interessant.
(AL(P) dient hier nur als Beispiel.)
189
Darstellung der Eingaben als Wörter
Wiederholung:
Jede endliche Formelmenge Φ V
⊆ AL(P) hat dieselbe Semantik
(Modellmenge) wie die Formel ϕ∈Φ ϕ ∈ AL(P).
Dies ermöglicht die Darstellung jeder Eingabe als Wort über
dem Alphabet A = P ∪ {¬, ∨, ∧, →, (, )}:
I
Jede Formel ϕ ∈ AL(P) ist ein Wort ∈ A∗
I
Darstellung
Vendlicher
Formelmengen Φ ⊆ AL(P) als
∗
Formeln
ϕ∈Φ ϕ ∈ AL(P), also auch als Wort ∈ A
Menge aller möglichen (syntaktisch korrekten) Eingaben ist
eine Sprache ⊆ A∗ (nämlich genau AL(P)).
Lässt sich diese Sprache durch eine Grammatik erzeugen?
Wenn ja, welchen Chomsky-Typ hat diese Sprache?
190
Darstellung der Probleme als formale Sprachen
Darstellung der Probleme als formale Sprachen
(Mengen von Wörtern):
Erfüllbarkeitsproblem : E = {ϕ ∈ AL(P) | ϕ erfüllbar} ⊆ AL(P)
Gültigkeitsproblem :
A = {ϕ ∈ AL(P) | ϕ allgemeingültig} ⊆ AL(P)
Erfüllbarkeits- bzw. Gültigkeitsproblem sind Wortprobleme:
?
Erfüllbarkeitsproblem : ϕ ∈ E
?
Gültigkeitsproblem : ϕ ∈ A
191
Folgerungsproblem
gegeben: Paar (Φ, ψ) mit Formelmenge Φ ⊆ AL(P)
und Formel ψ ∈ AL(P)
Frage:
Gilt Φ |= ψ
Antwort: ja / nein (Wahrheitswert), evtl. mit Begründung
Wiederholung:
Endliche Formelmenge Φ ⊆ AL(P)
V hat dieselbe Semantik
(Modellmenge) wie die Formel ϕ∈Φ ϕ.
Folgerungsproblem als formale Sprache:
n
o
F =
(Φ, ψ) ∈ 2AL(P) × AL(P) | Φ |= ψ







^
^
¬ψ ∧
=
ϕ ∈ AL(P) | ¬ψ ∧
ϕ unerfüllbar


ϕ∈Φ
ϕ∈Φ
192
Zusammenhänge zwischen Erfüllbarkeits-,
Allgemeingültigkeits- und Folgerungsproblemen
Erfüllbarkeits-, Gültigkeits- und Folgerungsproblem sind aufeinander
reduzierbar (ineinander übersetzbar):
?
Erfüllbarkeitsproblem ϕ ∈ E (Ist ϕ erfüllbar?)
äquivalentes Folgerungsproblem:
ϕ ∈ E gdw. (ϕ, f) 6∈ F
(ϕ 6|= f)
?
Allgemeingültigkeitsproblem ϕ ∈ A (Ist ϕ allgemeingültig?)
äquivalentes Erfüllbarkeitsproblem:
ϕ ∈ A gdw. ¬ϕ 6∈ E
(¬ϕ unerfüllbar)
äquivalentes Folgerungsproblem:
ϕ ∈ E gdw. (t, ϕ) ∈ F
(|= ϕ)
?
Folgerungsproblem (Φ, ψ) ∈ F (Gilt Φ |= ψ ?)
äquivalentes Erfüllbarkeitsproblem:
V
(Φ, ψ) ∈ F gdw. ¬ψ ∧ ϕ∈Φ 6∈ E
V
(¬ψ ∧ ϕ∈Φ unerfüllbar)
Hat man ein Lösungsverfahren für eins dieser Probleme,
dann kann man damit auch die beiden anderen Probleme lösen.
193
Syntaktisches Ableiten – Ziel
gegeben: Formelmenge Φ
Formel ψ
Frage : Gilt Φ |= ψ ?
Ziel:
Verfahren zur Beantwortung dieser Frage durch syntaktische
Operationen (ohne Verwendung der Semantik, Modellmengen)
Syntaktische Ableitungsrelation ` ⊆ 2AL(P) × AL(P)
passend zur
semantischen Folgerungsrelation |= ⊆ 2AL(P) × AL(P)
` passt zu |= gdw.
für jede Formelmenge Φ ∈ AL(P) und jede Formel ψ ∈ AL(P):
Φ`ψ
gdw.
Φ |= ψ
194
Kalküle – Motivation
Formale Methode zur schrittweisen syntaktischen Ableitung
von sematischen Folgerungen (Formeln) aus einer Menge von
Formeln (Hypothesen)
Definition von
Schlussregeln zur syntaktischen Ableitung von Folgerungen
aus Formelmengen (Hypothesen)
oft mehrere Voraussetzungen und eine Folgerung
(analog Spielregeln, Grammatik-Regeln)
Ableitungen : geeignete Kombinationen von Schlussregeln
(Baumstruktur)
195
Kalküle - Definition
Kalkül Menge von
Axiomenschemata , d.h. Schema für Formeln,
deren Gültigkeit vorausgesetzt wird,
Regelschemata zur syntaktischen Ableitung
weiterer gültiger Formeln aus
Formelmengen (Axiomen und
Hypothesen)
häufige Darstellung von Regelschemata:
···
An
B
I Voraussetzungen (oben): A1 , . . . , An
I Folgerung (unten): B
Beispiel:
Regelschema (Modus Ponens) mit Variablen A, B für Formeln
A1
A
A → B (MP)
B
196
Kalküle - Instanziierung
Variablen in Axiomenschemata und Regelschemata müssen
vor der Anwendung instanziiert (durch Formeln substituiert)
werden.
Axiom: instanziiertes Axiomenschema
Schlussregel: instanziiertes Regelschema
Beispiel:
A
A → B (MP)
B
mit Instanziierung A 7→ (p → q), B 7→ ¬q
p→q
(p → q) → (¬q)
(MP)
¬q
197
Ableitungen in Kalkülen
gegeben: Kalkül K = (A, R),
Formelmenge Φ (Hypothesen, Annahmen)
Definition (induktiv): Ableitung der Formel ψ aus Φ in K
IA: Ist ψ eine Hypothese (also ψ ∈ Φ) oder ein Axiom
(instanziiertes Axiomenschema), dann ist
ψ
eine Ableitung für ψ aus Φ in K .
IS: Sind
ϕ1
···
ψ
ϕn
eine Schlussregel in K und B1 , . . . , Bn Ableitungen für
ϕ1 , . . . , ϕn aus Φ in K , dann ist
B1
···
ψ
Bn
eine Ableitung für ψ aus Φ in K .
198
Vollständigkeit und Korrekheit von Kalkülen
Ableitbarkeit von Formeln aus Formelmengen im Kalkül K :
Syntax: Sequenz ϕ1 , . . . , ϕn `K ψ
Semantik: Es gibt eine Ableitung von ψ aus der
Formelmenge {ϕ1 , . . . , ϕn } im Kalkül K .
Ein Kalkül K ist nur dann sinnvoll, wenn gilt:
Korrektheit: Aus ϕ1 , . . . , ϕn `K ψ folgt {ϕ1 , . . . , ϕn } |= ψ.
Vollständigkeit: Aus {ϕ1 , . . . , ϕn } |= ψ folgt ϕ1 , . . . , ϕn `K ψ.
Nachweis über induktiven Aufbau der Ableitungen möglich:
IA: Jedes Axiom in K ist eine allgemeingültige Formel.
IS: Für jede Schlussregel
ϕ1
···
ψ
in K gilt {ϕ1 , . . . , ϕn } |= ψ
ϕn
199
Beweise in Kalkülen
Möglichkeiten zum Nachweis der Allgemeingültigkeit einer
Formel ψ:
semantisch:
I
I
syntaktisch:
I
I
Spezialfall Φ = ∅:
ψ allgemeingültig
WW-Tabellen, Modellmengen
Nachweis, dass ∅ |= ψ (|= ψ)
äquivalente Umformung von t zu ψ
(oder von ψ zu t),
Nachweis von ∅ `K ψ (`K ψ) in einem
vollständigen und korrekten Kalkül K
gdw.
|= ψ
gdw.
`K ψ
Beweis für (Allgemeingültigkeit von) ψ in K :
Ableitung von ψ aus ∅ in K
200
Beispiel: Kalkül des natürlichen Schließens
(Gerhard Gentzen, 1935)
Idee: formale Beschreibung des menschlichen Vorgehens beim
logischen Schließen und Beweisen
Für jeden Junktor ∗
I
eine Einführungsregel (∗I)
Junktor in der Folgerung (unten), aber in keiner
Voraussetzung (oben) des Regelschemas,
I
eine Eliminierungsregel (∗E)
Junktor in einer Voraussetzung (oben), aber nicht in der
Folgerung (unten) des Regelschemas,
Beispiel: Modus Ponens eliminiert →
A
A → B (→E)
B
201
Kalkül des natürlichen Schließens: Regeln für ∧
A
B (∧I)
A∧B
A ∧ B (∧E)
A
A ∧ B (∧E)
B
Schlussregeln korrekt, weil ∀ϕ, ψ:
{ϕ, ψ} |= ϕ ∧ ψ
{ϕ ∧ ψ} |= ϕ
{ϕ ∧ ψ} |= ψ
Beispiel: Ableitung für p ∧ q, r `N q ∧ r
p∧q
(∧E)
q
q∧r
r
(∧I)
(∧I) Um A ∧ B abzuleiten, muss man sowohl A als auch B
ableiten.
(∧E) Falls A ∧ B schon abgeleitet wurde, lassen sich daraus
auch A und B ableiten.
202
Kalkül des natürlichen Schließens: Regeln für ¬¬
A (¬¬I)
¬¬A
¬¬A (¬¬E)
A
Schlussregeln korrekt , weil ∀ϕ:
{ϕ} |= ¬¬ϕ
{¬¬ϕ} |= ϕ
Beispiel: Ableitung für p, ¬¬(q ∧ r ) `N ¬¬p ∧ r (Tafel)
(¬¬I) Um ¬¬A abzuleiten, muss man A ableiten.
(¬¬E) Falls ¬¬A schon abgeleitet wurde, lässt sich daraus auch
A ableiten.
203
Kalkül des natürlichen Schließens: Regeln für ∨
A
(∨I)
A∨B
B
(∨I)
A∨B
A∨B
[A]
..
.
C
C
[B]
..
.
C (∨E)
Schlussregeln korrekt, weil ∀ϕ, ψ, η:
{ϕ} |= ϕ∨ψ
{ψ} |= ϕ∨ψ
{ϕ∨ψ, ϕ → η, ψ → η} |= η
Beispiel: Ableitung für p ∨ q `N q ∨ p (Tafel)
(∨I) Um A ∨ B abzuleiten, genügt es, eine der Aussagen A oder
B ableiten.
(∨E) (Fallunterscheidung)
Wenn man A ∨ B schon abgeleitet hat und C ableiten
möchte, kann man für die Bedingungen A und B einzeln
zeigen, dass C unter dieser Bedingung gilt.
204
Kalkül des natürlichen Schließens: Regeln für →
[A]
..
.
B
(→I)
A→B
A
A → B (→E)
B
Schlussregeln korrekt, weil ∀ϕ, ψ:
{ϕ → ψ} |= ϕ → ψ
{ϕ, ϕ → ψ} |= ψ
Beispiel: Ableitung für (p ∧ q) → r `N p → (q → r ) (Tafel)
(→I) A → B lässt sich ableiten, indem man zeigt, dass sich B
ableiten lässt, wenn A als Annahme hinzugefügt wird.
(→E) Modus Ponens
205
Kalkül des natürlichen Schließens: Regeln für ¬
[A]
..
.
f (¬I)
¬A
A
f
¬A (¬E)
f (fE)
A
Schlussregeln korrekt, weil ∀ϕ:
ϕ → f |= ¬ϕ
{ϕ, ¬ϕ} |= f
f |= ϕ
Beispiel: Ableitung für (p ∧ q) → r `N p → (q → r ) (Tafel)
(¬I) ¬A lässt sich ableiten, indem man zeigt, dass sich f
ableiten lässt, wenn A angenommen wird.
(Spezialfall A = ¬ϕ: Beweis durch Widerspruch)
(¬E) Falls A und ¬A schon abgeleitet wurde, lässt sich daraus f
ableiten.
206
Was bisher geschah
Wiederholung: klassische Aussagenlogik
I
Syntax: AL(P) = Term(ΣF , P) mit der Signatur
ΣF
= {(t, 0), (f, 0), (¬, 1), (∨, 2), (∧, 2), (→, 2), (↔, 2)}
∪{(p, 0) | p ∈ P}
I
Semantik: Modellmenge Mod(ϕ) ⊆ {W : P → {0, 1}},
WW-Tabelle, Boolesche Funktion
I
Äquivalenz von Formeln ϕ ≡ ψ
I
Semantisches Folgern Φ |= ψ
I
Darstellung von Erfüllbarkeits-, Gültigkeits- und
Folgerungsproblem als formale Sprachen
I
Syntaktisches Schließen Φ `K ψ
I
Kalkül des natürlichen Schließens
207
Modellierung in Aussagenlogik – Beispiel
I
Wenn der Zug zu spät kommt und kein Taxi am Bahnhof
steht, ist Tom nicht pünktlich.
I
Der Zug kam zu spät und Tom ist pünktlich.
Frage: Stand ein Taxi am Bahnhof?
Modellierung der Aussagen:
Φ = {(z ∧ ¬t) → ¬p, z ∧ p}
Modellierung der Frage (als Behauptung): ψ = t
Folgerungsproblem (Φ, ψ) ∈ F (Gilt Φ |= ψ ? )
Lösungsansätze
semantisch: WW-Tabellen, Bestimmung der Modellmengen
syntaktisch: Ableitung Φ `N t
208
Typische praktische Probleme
kombinatorische Probleme, z.B. Planungsprobleme
(Registerzuweisung, Zeitplanung), Graphfärbung
I Verifikation digitaler Schaltungen:
I
gegeben: Schaltung:
(Ausgabe-Verhalten als boolesche Funktion, Formel ϕ)
Spezifikation (logische Formel ψ)
Frage:
Erfüllt die Schaltung die Spezifikation?
(Folgt ψ aus ϕ?)
Gegenbeispiel bei negativer Antwort:
Belegung W : P → {0, 1} mit W (ϕ ∧ ¬ψ) = 1
I Verifikation von Programmen:
gegeben: Programm (Ausgabe-Verhalten als Formelmenge Φ)
Spezifikation (logische Formel ψ)
Frage:
Erfüllt das Programm die Spezifikation?
(Folgt ψ aus Φ?)
Gegenbeispiel bei negativer Antwort:
Belegung W : P → {0, 1} mit W ∈ Mod(Φ ∪ {¬ψ})
209
DNF-SAT
Problem DNF-SAT:
W Vki
gegeben: DNF ϕ = m
i=1 j=1 li,j
Frage:
Ist ϕ erfüllbar?
Lösungsidee:
I ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn (wenigstens) eine der m
Vi
Konjunktionen kj=1
li,j erfüllbar ist.
Vki
I Konjunktion
j=1 li,j ist genau dann unerfüllbar, wenn für
eine Aussagenvariable x ∈ var(ϕ) gilt:
{x, ¬x} ⊆ {li,j | j ∈ {1, . . . , ki }} (Widerspruch).
W Vki
Lösungsverfahren: ϕ = m
i=1 j=1 li,j ist genau dann
Vi
erfüllbar , wenn eine der m Konjunktionen kj=1
li,j
widerspruchsfrei ist,
unerfüllbar , wenn alle m Konjunktionen einen Widerspruch
enthalten.
Problem DNF-SAT ist einfach (schnell) zu lösen.
210
CNF-SAT
Problem CNF-SAT:
V Wki
gegeben: CNF ϕ = m
i=1 j=1 li,j
Frage:
Ist ϕ erfüllbar?
Lösungsansätze:
I
Test aller möglichen Belegungen (aufwendig)
für große Anzahl an Aussagenvariablen ineffizient
I
Umformung in eine zu ϕ äquivalente DNF ψ (aufwendig)
Test von ψ auf Erfüllbarkeit (einfach)
für große Anzahl an Aussagenvariablen ineffizient
Konstruktion einer Formel ψ mit
I
1. ψ und ϕ erfüllbarkeitsäquivalent
(also ψ erfüllbar gdw. ϕ erfüllbar) und
2. Erfüllbarkeit für ψ einfach zu testen
Problem CNF-SAT ist schwierig (zeitaufwendig) zu lösen.
211
Erfüllbarkeitsäquivalenz
Definition
Zwei Formeln ϕ, ψ heißen erfüllbarkeitsäquivalent, wenn gilt:
ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn ψ erfüllbar ist.
Achtung: Erfüllbarkeitsäquivalenz ist schwächer als
semantische Äquivalenz.
Beispiel: p ∨ q und r sind erfüllbarkeitsäquivalent,
aber nicht äquivalent.
Erfüllbarkeitsäquivalenz bleibt beim Einsetzen in Formeln nicht
erhalten.
Beispiel: p und q sind erfüllbarkeitsäquivalent,
aber p ∧ ¬p und p ∧ ¬q nicht.
212
Spezialfall 2-SAT
2-CNF: Formel der Form
ϕ=
ki
m _
^
li,j
mit
∀i ∈ {1, . . . , m} : ki ≤ 2
i=1 j=1
Problem 2-SAT:
gegeben: 2-CNF ϕ
Frage:
Ist ϕ erfüllbar?
Problem 2-SAT ist einfach (schnell) zu lösen.
(Lösung als Graphproblem)
Aber: Nicht zu jeder Formel ϕ ∈ AL(P) existiert eine
erfüllbarkeitsäquivalente 2-CNF.
213
3-CNF
3-CNF: Formel der Form
ϕ=
ki
m _
^
li,j
mit
∀i ∈ {1, . . . , m} : ki ≤ 3
i=1 j=1
Satz
Zu jeder Formel ϕ ∈ AL(P) existiert eine erfüllbarkeitsäquivalente
3-CNF ψ.
gegeben: CNF ϕ
Wk
Konstruktion von ψ durch Ersetzen jeder Konjunktion j=1 lj durch
(l1 ∨ q1 ) ∧
k^
−1
(¬qh−1 ∨ lh ∨ qh ) ∧ (¬qk −1 ∨ lk −1 ∨ lk )
h=2
mit neuen Aussagevariablen {q1 , . . . , qn } (für Teilformeln)
Beispiel:
(a ∨ b ∨ c ∨ d) erfüllbarkeitsäquivalent zu
(a ∨ q1 ) ∧ (¬q1 ∨ b ∨ q2 ) ∧ (¬q2 ∨ c ∨ d)
214
Spezialfall 3-SAT
Problem 3-SAT:
gegeben: 3-CNF ϕ
Frage:
Ist ϕ erfüllbar?
Problem 3-SAT ist schwierig zu lösen.
(genauso aufwendig wie CNF-SAT)
215
SAT-Solver
SAT-Solver: Werkzeug zum Lösen von CNF-SAT-Instanzen
Problem CNF-SAT schwierig (in ungünstigen Fällen)
SAT-Solver
I
benutzen heuristische Verfahren,
I
finden für praktische Probleme oft schnell eine Lösung,
I
meist Ausgabe einer erfüllenden Belegung möglich (wenn
eine existiert)
aktive Forschung auf diesem Gebiet:
jährlich Wettbewerbe (www.satcompetition.org)
typische Anwendung von SAT-Solvern:
1. Modellierung des ursprünglichen Problems P als
CNF-SAT-Instanz P 0 (Darstellung als CNF ϕ)
2. Lösung von P 0 mit SAT-Solver
3. Übersetzung erfüllender Belegung für ϕ in Lösung für P
216
Modellierungsbeispiel: n-Damen
Frage: Lassen sich n Damen so auf einem n × n-Schachbrett
anordnen, dass keine Dame eine andere bedroht?
Lösung: Anordnung, falls möglich
Bedingungen:
I
n Damen auf dem Feld
I
keine Zeilenbedrohung
I
keine Spaltenbedrohung
I
keine diagonale Bedrohung
217
Repräsentation des 3-Damen-Problems
9 Felder – Aussagenvariablen {x1 , . . . , x9 }
Bedingungen:
I
I
I
I
n Damen auf dem Feld, (in jeder Zeile eine Dame)
x1 ∨ x2 ∨ x3 ,
x4 ∨ x5 ∨ x6 ,
x7 ∨ x8 ∨ x9
keine Zeilenbedrohung
x1 → ¬x2 ,
x4 → ¬x5 ,
x7 → ¬x8 ,
x1 → ¬x3 ,
x4 → ¬x6 ,
x7 → ¬x9 ,
x2 → ¬x3
x5 → ¬x6
x8 → ¬x9
keine Spaltenbedrohung
x1 → ¬x4 ,
x2 → ¬x5 ,
x3 → ¬x6 ,
x1 → ¬x7 ,
x2 → ¬x8 ,
x3 → ¬x9 ,
x4 → ¬x7
x5 → ¬x8
x6 → ¬x9
keine diagonale Bedrohung
x1 → ¬x5 ,
x1 → ¬x9 ,
x2 → ¬x6 ,
x3 → ¬x5 ,
x3 → ¬x7 ,
x2 → ¬x4 ,
x5
x4
x5
x6
→ ¬x9
→ ¬x8
→ ¬x7
→ ¬x8
Lösung: Modell (erfüllende Belegung)
218
Lösung mit SAT-Solver
DIMACS-Format für CNF (ASCII):
erste Zeile enthält Typ (cnf), Anzahl der Klauseln und
Aussagenvariablen (z.B. p cnf 5 3)
I Aussagenvariablen {1, . . . , n}
I jede Klausel eine Zeile,
- statt ¬, Literale durch Leerzeichen getrennt,
0 markiert Ende der Klausel
I
3-Damen-Problem hat keine Lösung (unerfüllbar)
eine Lösung für das 4-Damen-Problem:
¬1 ∧ ¬2 ∧ 3 ∧ ¬4 ∧5 ∧ ¬6 ∧ ¬7 ∧ ¬8 ∧ ¬9
∧¬10 ∧ ¬11 ∧ 12 ∧¬13 ∧ 14 ∧ ¬15 ∧ ¬16
×
×
×
×
typische Anwendungen für SAT-Solver:
Schaltkreisverifikation
Model-Checking
I Planen
I Constraint-Lösen
I kombinatorische Suchprobleme, z.B. Sudoku
I
I
219
Zusammenfassung klassische Aussagenlogik
Syntax: AL(P) = Term(ΣF , P) mit der Signatur
ΣF = {(t, 0), (f, 0), (¬, 1), (∨, 2), (∧, 2), (→, 2), (↔, 2)} ∪ {(p, 0) | p ∈ P}
Semantik: Modellmenge Mod(ϕ) ⊆ {W : P → {0, 1}},
WW-Tabelle, Boolesche Funktion
semantische Äquivalenz von Formeln ϕ ≡ ψ
Semantisches Folgern Φ |= ψ
I Syntaktisches Ableiten Φ `N ψ, Kalküle
(Kalkül des natürlichen Schließens)
I Anwendungen:
I Erfüllbarkeitsprobleme,
z.B. kombinatorische Suche: n-Damen, Planen
I Allgemeingültigkeitsprobleme, z.B. Schaltungsentwurf
I Unerfüllbarkeitsprobleme,
z.B. Hardware-Verifikation (Nachweis der Korrektkeit)
I Folgerungsprobleme, z.B. automatisches Beweisen
Darstellung als formale Sprachen, Wortprobleme
I CNF und SAT-Solver
I
I
220
Algorithmische Entscheidbarkeit der Aussagenlogik
Es existieren Verfahren, welche
I
für jede Formel ϕ ∈ AL(P) entscheiden, ob
I ϕ erfüllbar ist, z.B.
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
I ϕ unerfüllbar ist, z.B.
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktisch Ableitung für ϕ `K f,
äquivalente Umformung von ϕ zu f,
I ϕ allgemeingültig ist, z.B.
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktisch Ableitung für `K ϕ,
äquivalente Umformung zu ϕ ≡ t,
I
für jedes Paar von Formeln ϕ, ψ ∈ AL(P) entscheiden, ob ϕ ≡ ψ
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktisch äquivalente Umformungen
I
für jede Formelmenge Φ ⊆ AL(P) und jede Formel ψ ∈ AL(P)
entscheiden, ob Φ |= ψ (ob ψ aus Φ folgt)
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
V
syntaktisch Ableitung für Φ `K ψ, Umformung ¬ψ ∧ ϕ∈Φ ϕ ≡ f
221
Beschränkte Ausdrucksstärke der Aussagenlogik
I
Aussagen immer zweiwertig
(nur wahr oder falsch, keine Zwischenwerte),
z.B.: Die Rose ist rot. Das Bier ist kalt. Der Student ist fleißig.
(Erweiterung zu mehrwertigen Logiken, fuzzy logic)
I
Aussagen immer absolut
(keine Abhängigkeit vom Kontext, z.B. Ort, Zeitpunkt),
z.B.: Es regnet. x > 3
(Erweiterung zur Modal- und Temporallogiken)
I
Aussagen über alle Elemente „großer“ Mengen aufwendig
(Erstellung, Platzbedarf), z.B. n-Damen-Problem
I
keine Aussagen über Elemente einer unendlichen Mengen oder
Mengen unbestimmter Mächtigkeit möglich, z.B.
I Jede durch 4 teilbare Zahl ist gerade.
I In jedem zusammenhängenden Graphen mit ≥ 2 Knoten
hat jeder Knoten einen Nachbarn.
I Es ist nicht alles Gold was glänzt.
(Erweiterung zur Prädikatenlogik)
222
Modellierung in Prädikatenlogik
Grundannahme:
Die zu modellierende Welt besteht aus Individuen, die
Eigenschaften haben und zueinander in Beziehungen
(Relationen, Funktionen) stehen.
Prädikatenlogik zur Formalisierung von Aussagen über
Eigenschaften oder Beziehungen von Individuen aus
algebraischen Strukturen
223
Prädikatenlogische Aussagen – Beispiele
Personen sind genau dann Geschwister, wenn sie dieselbe
Mutter oder denselben Vater haben.
I A ist genau dann Nachfahre von B, wenn B A’s Vater oder
A’s Mutter ist oder ein Elternteil von A Nachfahre von B ist.
I Nachfahren derselben Person sind verwandt.
Individuenbereich: Menge von Personen
Beziehungen: Nachfahre, verwandt, Geschwister
Funktionen: Mutter, Vater
I
Primzahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die
genau zwei verschiedene Teiler haben.
I Gerade Zahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen,
die durch 2 teilbar sind.
I Es existieren gerade Primzahlen.
I Nachfolger ungerader Primzahlen sind nicht prim.
I Das Quadrat jeder geraden Zahl ist gerade.
Individuenbereich: Menge aller natürlichen Zahlen
Eigenschaft: prim, gerade
Beziehung: teilt
Funktion: Nachfolger, Quadrat
I
N
224
Signaturen und Terme (Wiederholung)
Syntax: Signatur Σ = (ΣF , ΣR ),
Menge von Variablen
Terme Term(Σ, ) (nur ΣF relevant), Grundterme Term(Σ, ∅)
X
X
Semantik:
I
I
I
I
I
Σ-Struktur A = (A, J·KA ):
I nichtleere Trägermenge A
I für jedes (f , n) ∈ Σ eine Funktion Jf KA : An → A
F
n
I für jedes (R, n) ∈ Σ eine Relation JRK
A ⊆A
R
Σ-Interpretation (A, α) mit
Σ-Struktur A = (A, J·KA ) und
Belegung der Individuenvariablen α :
X→A
Wert JtKA des Grundtermes t ∈ Term(Σ, ∅) in Σ-Struktur A,
Äquivalenz von Grundtermen s, t ∈ Term(Σ, ∅) in Struktur A:
s ≡A t gdw. JsKA = JtKA
Wert JtK(A,α) des Termes t ∈ Term(Σ,
(A, α)
X) in Σ-Interpretation
225
Beispiele (Wiederholung)
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(a, 0), (f , 1)} und ΣR = {(P, 1), (R, 2)},
Variablenmenge = {x, y }
Σ-Struktur S = (S, J·KS ) mit
X
S = {0, 1, 2}
JaKS
= 1
JPKS
= {0, 2}
für alle d ∈ S: Jf KS (d) = 2 − d
JRKS
= {(1, 0), (1, 2), (2, 2)}
Belegung β : {x, y } → {0, 1, 2}: β(x) = 0, β(y ) = 1
Werte der folgenden Terme aus Term(Σ, ) in der
Interpretation (S, β):
JaK(S,β) = . . ., Jy K(S,β) = . . ., Jf (a)K(S,β) = . . .,
Jf (f (x))K(S,β) = . . .
f (f (a)) ≡S f (a) ≡S a
X
226
Atome (elementare Aussagen)
Aussagenlogik : Aussagenvariable,
bekommt festen Wahrheitswert durch Belegung
Prädikatenlogik : (parametrisierte) Aussage über
Eigenschaften von oder Beziehungen zwischen
Individuen
Wahrheitswert abhängig von beteiligten Individuen
z.B. nebeneinander(x, y ),gerade(n) , x < 3, x < y ,
geschwister(x, mutter(y ))
227
Atome – Syntax
Atom elementare Formel,
repräsentiert Eigenschaften von oder
Beziehungen zwischen Individuen
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
I
Menge ΣF von Funktionssymbolen mit Stelligkeit (f , n)
I
Menge ΣR von Relationssymbolen mit Stelligkeit (R, n)
Definition
Menge aller Σ-Atome mit Variablen aus der Menge
Atom(Σ,
X:
X) = {R(t1 , . . . , tn ) | (R, n) ∈ ΣR und t1 , . . . , tn ∈ Term(ΣF , X)}
Atome ohne Individuenvariablen heißen Grundatome.
Menge aller Grundatome: Atom(Σ, ∅)
228
Atome – Beispiele
I
Signatur Σ = (ΣF , ΣR√) mit
ΣF = {(1, 0), (2, 0), ( , 1), (+, 2)}
ΣR = {(=, 2), (≤, 2)}
Variablenmenge = {x, y , z}
X
I
I
I
I
X
X
√
√
√x = 2 ∈ Atom(Σ, )
) (aber x + 2 ∈ Term(ΣF ,
px + 2√ 6∈ Atom(Σ,
p√
1+ 2≤
2 ∈ Atom(Σ, ∅)
X))
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(a, 0), (b, 0), (k , 2), (d, 2)}
ΣR = {(P, 1), (Q, 2)}
Variablenmenge = {x, y }
X
I
I
I
I
I
X
y 6∈ Atom(Σ, )
P(x) ∈ Atom(Σ, )
P(a) ∈ Atom(Σ, ∅)
P(Q(P(a), k (x, y ))) 6∈ Atom(Σ, )
Q(k (a, d(y , a)), x) ∈ Atom(Σ, )
X
X
X
229
Atome – Semantik
X
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ), Variablenmenge
Menge Atom(Σ, ) aller Atome mit Variablen aus
Σ-Interpretation (A, α) mit
X
I
X
Σ-Struktur A = (A, J·KA )
X→A
Wert des Atomes a = P(t1 , . . . , tn ) ∈ Atom(Σ, X) in der Interpretation
I
Belegung der Individuenvariablen α :
(A, α):
JaK(A,α)
= JP(t1 , . . . , tn )K(A,α)
= JPKA Jt1 K(A,α) , . . . , Jtn K(A,α)
1 falls Jt1 K(A,α) , . . . , Jtn K(A,α) ∈ JPKA
=
0 sonst
(Spezialfall Atom a mit (a, 0) ∈ ΣF : JaK(A,α) = JaKA )
Der Wert eines Atomes in einer Interpretation (A, α) ist ein
Wahrheitswert.
Der Wert von Grundatomen in einer Interpretation (A, α) hängt nicht
von der Belegung α ab.
230
Semantik von Atomen – Beispiele
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(a, 0), (f , 1)} und ΣR = {(P, 1), (R, 2)},
Variablenmenge = {x, y }
Σ-Struktur S = (S, J·KS ) mit
X
S = {0, 1, 2}
JaKS
= 1
JPKS
= {0, 2}
für alle d ∈ S: Jf KS (d) = 2 − d
JRKS
= {(1, 0), (1, 2), (2, 2)}
Belegung β : {x, y } → {0, 1, 2}: β(x) = 0, β(y ) = 1
Wert der folgenden Atome aus Atom(Σ, ) in der Interpretation
(S, β) (Tafel):
JP(x)K(S,β) = . . . , JP(a)K(S,β) = . . .,
JP(f (a))K(S,β) = . . . , JP(f (f (x)))K(S,β) = . . .,
JR(x, a)K(S,β) = . . ., JR(f (y ), x)K(S,β) = . . .
X
231
Prädikatenlogik (der ersten Stufe) – Syntax
bekannt: aussagenlogische Junktoren t, f, ¬, ∨, ∧, →, ↔
neu: Σ-Atome, Quantoren ∀, ∃
Definition (induktiv)
X
Die Menge FOL(Σ, ) aller Formeln der Prädikatenlogik
(der ersten Stufe, first order logic) über der Signatur Σ mit
(Individuen-)Variablen aus der Menge ist definiert durch:
X
X
X
IA: Atom(Σ, ) ⊆ FOL(Σ, )
(alle Atome sind Formeln)
IS:
I
I
X
Aus {ϕ1 , . . . , ϕn } ⊆ FOL(Σ, ) folgt für jeden
n-stelligen Junktor ∗:
∗(ϕ1 , . . . , ϕn ) ∈ FOL(Σ, )
Aus ϕ ∈ FOL(Σ, ) und x ∈ folgt
{∀xϕ, ∃xϕ} ⊆ FOL(Σ, )
X
X
X
X
Baumstruktur der Formeln (analog zur Definition von Termen)
FOL(Σ, ) ist eine formale Sprache (Welcher Chomsky-Typ?))
X
232
Beispiele
I
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit
ΣF = {(a, 0), (f , 1)} und ΣR = {(P, 1), (R, 2)}
Variablenmenge = {x, y }
Formeln aus FOL(Σ, ):
X
I
X
ϕ1
=
P(f (x))
ϕ2
=
(P(x) ↔ (¬P(f (x)) ∧ (∀x∃y ((P(x) ↔ P(y )) ∧ R(x, y )))))
ϕ3
=
∀x∀y ϕ2
Σ = (∅, ΣR ) mit ΣR = {(p, 0), (q, 0)},
X=∅
Formeln aus FOL(Σ, ∅):
ψ1
= p∨q
ψ2
= ¬p ∨ ¬(q ∨ p)
(Syntax der Aussagenlogik ist Spezialfall der FOL-Syntax)
233
Variablen in Formeln
Eine Individuenvariablen x ∈
X kommt vor in
Term t, falls t = x oder
t = f (t1 , . . . , tn ) und x in einem ti vorkommt
Atom a = p(t1 , . . . , tn ), falls x in einem ti vorkommt
Formel ϕ, falls x in einem Atom in ϕ
(Teilformel von ϕ, die Atom ist) vorkommt.
var(ϕ) Menge aller in ϕ vorkommenden Indiviuenvariablen
Ein Vorkommen der Indiviuenvariablen x in ϕ heißt
gebunden , falls x in einer Teilformel von ϕ der Form ∃xψ oder
∀xψ vorkommt,
bvar(ϕ) Menge aller in ϕ gebundenen vorkommenden
Variablen
frei , sonst
fvar(ϕ) Menge aller in ϕ frei vorkommenden Variablen
var(ϕ) = fvar(ϕ) ∪ bvar(ϕ) gilt immer.
fvar(ϕ) ∩ bvar(ϕ) 6= ∅ ist möglich.
234
Beispiele
ϕ1 = R(x, a)
ϕ2 = ∃xR(x, f (y , x))
bvar(ϕ1 ) = ∅, fvar(ϕ1 ) = {x}
bvar(ϕ2 ) = {x}, fvar(ϕ2 ) = {y }
ϕ3 = (P(x) ↔ (¬P(f (x)) ∧ (∀x∃y ((P(x) ↔ P(y )) ∧ R(x, y )))))
bvar(ϕ3 ) = {x, y }, fvar(ϕ3 ) = {x}
ϕ4 = ∀x∀y ϕ3
bvar(ϕ4 ) = {x, y }, fvar(ϕ4 ) = ∅
235
Was bisher geschah
klassische Prädikatenlogik (der ersten Stufe) FOL(Σ,
X)
Syntax:
I Wiederholung:
I
I
I
I
I
Signaturen Σ = (ΣF , ΣR )
Terme Term(Σ, )
X
X)
Formeln in FOL(Σ, X)
Atome in FOL(Σ,
Variablenvorkommen in einer Formel ϕ ∈ FOL(Σ,
freie (fvar(ϕ)), gebundene (bvar(ϕ)) Vorkommen
X):
Semantik:
I Wiederholung:
I
I
I
I
Σ-Strukturen S = (S, J·KS ),
Belegungen der Individuenvariablen, Σ-Interpretationen
Wert von Termen in Σ-Interpretationen
Wert von Atomen in Σ-Interpretationen
236
Modifizierte Interpretationen
Signature Σ, Variablenmenge
X
Σ-Struktur S = (S, J·KS )
X → S der Variablen aus X in S
modifizierte Belegung β[x 7→ a] : X → S mit
Belegung β :
β[x 7→ a](y ) =
a
für y = x
β(y ) sonst
Σ-Interpretation (S, β) mit
I
I
Σ-Struktur S = (S, J·KS )
Variablenbelegung β :
X→S
modifizierte Interpretation (S, β[x 7→ a])
237
Wert in Interpretationen
Wert in Σ-Interpretation (S, β) mit S = (S, J·KS )
I
I
I
I
X: JxK(S,β) = β(x) ∈ S
eines Termes t = f (t1 , . . . , tn ) ∈ Term(Σ
F , X):
einer Individuenvariable x ∈
JtK(S,β) = Jf KS Jt1 K(S,β) , . . . , Jtn K(S,β) ∈ S
X
eines Atomes a = p(t1 , . . . , tn ) ∈ Atom(Σ, ):
JaK(S,β) = JpKS (Jt1 K(S,β) , . . . , Jtn K(S,β) ) ∈ {0, 1}
einer Formel ϕ ∈ FOL(Σ,
X): JϕK(S,β) ∈ {0, 1}
J¬ϕK(S,β) = 1 − JϕK(S,β)
Jϕ ∨ ψK(S,β) = max(JϕK(S,β) , JψK(S,β) )
Jϕ ∧ ψK(S,β) = min(JϕK(S,β) , JψK(S,β) )
J∃xϕK(S,β) = max{JϕK(S,β[x7→a]) | a ∈ S}
J∀xϕK(S,β) = min{JϕK(S,β[x7→a]) | a ∈ S}
238
Beispiele
Σ = (ΣR , ΣF ) mit ΣF = {(f , 1)},ΣR = {(R, 2)},
ϕ = ¬R(x, y ) ∧ ∃zR(z, z)
I
I
X = {x, y , z}
ψ = ∀x∃yR(x, f (y ))
Σ-Struktur A = (A, J·KA ) mit A = {a, b, c}
Jf KA (a) = Jf KA (b) = c, Jf KA (c) = a
JRKA = {(a, a), (b, a), (a, c)}
Belegung α(x) = b, α(y ) = a , α(z) = b
JϕK(A,α) = . . .
JψK(A,α) = . . .
Z
Σ-Struktur B = (B, J·KB ) mit B =
Jf KB (d) = −d, JRKB =≤
Belegung β(x) = 5, β(y ) = 3, β(z) = −1,
JϕK(B,β) = . . .
JψK(B,β) = . . .
239
Spezialfall Aussagenlogik – Semantik
Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣR = {(p, 0) | p ∈ P} (Aussagenvariablen)
Σ-Struktur S = (S, J·KS ) definiert für jedes p ∈ P : JpKS ∈ {0, 1}
(Trägermenge S irrelevant)
Struktur S definiert also eine Belegung WS : P → {0, 1} der
Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten durch
für alle Atome p ∈ P:
WS (p) := JpKS
Dann gilt auch
für alle Formeln ϕ ∈ FOL(Σ, ∅) (= AL(P)):
JϕKS = WS (ϕ)
Beispiel: Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣF = ∅, ΣR = {(a, 0), (b, 0), (c, 0)}
ϕ = a ∧ (¬c ∨ b)
Σ-Struktur S = (S, J·KS ) mit JaKS = JcKS = 1 und JbKS = 0
WS (a) = WS (c) = 1 und WS (b) = 0
(aussagenlogischer) Wert WS (ϕ) = 0 (= JϕKS )
240
Modelle für Formeln
(analog zu Aussagenlogik)
Σ-Interpretation (S, β) erfüllt (ist Modell für) die Formel
ϕ ∈ FOL(Σ, ) genau dann, wenn JϕK(S,β) = 1.
X
X
Menge aller Modelle der Formel ϕ ∈ FOL(Σ, )
S = (S, J·KS ) ist Σ-Struktur und β :
Mod(ϕ) = (S, β) und JϕK(S,β) = 1
Formel ϕ ∈ FOL(Σ,
X→S
X) heißt
erfüllbar gdw. Mod(ϕ) 6= ∅
(z.B. ∀x (P(x) ∨ Q(x)))
unerfüllbar gdw. Mod(ϕ) = ∅
(z.B. ∀xP(x) ∧ ∃x¬P(x) )
allgemeingültig gdw.
Mod(ϕ) = {(S, β) | S = (S, J·KS ) ist Σ-Struktur und β :
X → S}
(Menge aller Σ-Interpretationen)
241
Beispiele
ϕ = R(x) ∧ ∃y ((¬R(y )) ∧ E(y , x))
I
Struktur G = ({1, . . . , 4}, J·KG ) mit
JRKG = {1, 2, 4},
JEKG = {(1, 2), (3, 2)} und
Belegung α : {x, y } → {1, . . . , 4} mit α(x) = 2, α(y ) = 2
(G, α) ∈ Mod(ϕ)
I
Struktur H = ({a, b}, J·KH ) mit
JRKH = {a},
JEKH = {(a, a), (b, b)},
Belegung β : {x, y } → {a, b} mit β(x) = a, β(y ) = a
(H, β) 6∈ Mod(ϕ)
I
Struktur J = ( , J·KJ ) mit
JRKJ = 2 (Menge aller geraden Zahlen),
JEKJ = {(i, i + 1) | i ∈ } und
Belegung γ : {x, y } → mit γ(x) = γ(y ) = 0
(J , γ) ∈ Mod(ϕ)
Z
Z
Z
Z
242
Semantische Äquivalenz von Formeln
(analog Aussagenlogik)
Für ϕ, ψ ∈ FOL(Σ, X ) gilt
ϕ≡ψ
gdw.
Mod(ϕ) = Mod(ψ)
Beispiele:
I
¬∀xP(x) ≡ ∃x¬P(x)
I
∀x∃yR(x, y ) 6≡ ∀x∃yR(y , x)
I
∀x∃yR(x, y ) 6≡ ∃x∀yR(x, y )
243
Wichtige Äquivalenzen mit Quantoren
¬∀xϕ ≡ ∃x¬ϕ
¬∃xϕ ≡ ∀x¬ϕ
∀xϕ ∧ ∀xψ ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
∃xϕ ∨ ∃xψ ≡ ∃x(ϕ ∨ ψ)
∀x∀y ϕ = ∀y ∀xϕ
∃x∃y ϕ = ∃y ∃xϕ
für x 6∈ fvar(ψ) und ∗ ∈ {∨, ∧} gilt außerdem
∀xϕ ∗ ψ ≡ ∀x(ϕ ∗ ψ)
∃xϕ ∗ ψ ≡ ∃x(ϕ ∗ ψ)
∃y ϕ ≡ ∃xϕy 7→x
(gebundene Umbenennung)
∀y ϕ ≡ ∀xϕy 7→x
(gebundene Umbenennung)
244
Was bisher geschah
X
klassische Prädikatenlogik (der ersten Stufe) FOL(Σ, )
FOL(Σ, )-Syntax:
I Wiederholung: Signaturen, Terme
I Atome, Formeln in FOL(Σ, )
I Variablenvorkommen in einer Formel ϕ ∈ FOL(Σ, ):
frei (fvar(ϕ)), gebunden (bvar(ϕ))
FOL(Σ, )-Semantik:
I Wiederholung:
X
X
X
X
I
I
I
I
Σ-Interpretationen
Werte von Termen in Σ-Interpretationen
Werte von Atomen, Formeln in Σ-Interpretationen
analog Aussagenlogik:
I
I
I
Modellmengen
(Un-)Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit
Äquivalenz von Formeln
AL(P) als Spezialfall (Syntax und Semantik):
AL(P) = FOL(Σ, ∅) mit ΣR = {(p, 0) | p ∈ P}
(Fragment der Prädikatenlogik FOL(Σ, ))
X
245
Modelle von Formelmengen
Menge aller Modelle der Formelmenge Φ ⊆ FOL(Σ,
\
Mod(Φ) =
Mod(ϕ)
X):
ϕ∈Φ
Beispiele:
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣF = {(f , 1)}, ΣR = {(P, 1), (R, 2)},
Φ = {P(x), ∀x∃yR(x, f (y ))}
I Für Σ-Interpretation (A, α) mit Struktur A = ({1, 2, 3}, J·KA )
mit Jf KA (1) = Jf KA (3) = 2, Jf KA (2) = 3, JPKA = {1, 2},
JRKA = {(1, 3), (2, 2), (3, 2)}, und Belegung
α : {x, y } → {a, b, c}, wobei α(x) = α(y ) = 2 gilt
(A, α) ∈ Mod(Φ)
I Für Σ-Interpretation (B, β) mit Struktur B = ( , J·KB ) mit
∀n ∈ : Jf KB (n) = 3n, JPKB = 3 , JRKB = ≤ und
Belegung β : {x, y } → mit β(x) = 2, β(y ) = 0 gilt
(B, β) 6∈ Mod(Φ)
N
N
N
N
246
Mehr Modelle von Formelmengen
Φ = {∀x(P(x) ∨ P(y )), ∀x∀y ((P(x) ∧ E(x, y )) → ¬P(y )))}
I
Für (A, α) mit A = ({0, . . . , 5}, J·KA ), wobei JPKA = {0, 2}
und JEKA = {(i, i + 1) | i ∈ {0, . . . , 4}}
und α(x) = 1, α(y ) = 2 gilt (A, α) ∈ Mod(Φ)
I
Für (B, β) mit B = ( , J·KB ), wobei JPKB = 2 und
JEKB = {(i, i + 1) | i ∈ }
und α(x) = α(y ) = 0 gilt (B, β) ∈ Mod(Φ)
Z
Z
Z
247
Semantische Folgerung
(analog Aussagenlogik)
Für Φ ⊆ FOL(Σ, X ) und ψ ∈ FOL(Σ, X ) gilt
Φ |= ψ
gdw.
Mod(Φ) ⊆ Mod(ψ)
Beispiele:
I
{∀x(P(x) ∨ Q(x)), ¬P(y )} |= Q(y )
I
{∀x(P(x) ∨ Q(x)), ¬P(x)} |= Q(x)
I
{∀x(P(x) ∨ Q(x)), ∀x¬P(x)} |= ∀xQ(x)
I
{∀x(P(x) ∨ Q(x)), ∃x¬P(x)} 6|= ∀xQ(x)
248
Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit, Folgerungen
analog zur Aussagenlogik gelten auch in FOL(Σ,
Zusammenhänge wie
X)
X
I
Eine Formel ϕ ∈ FOL(Σ, ) ist genau dann
allgemeingültig, wenn die Formel ¬ϕ unerfüllbar ist.
I
Φ |= ψ gdw. Φ ∪ {¬ψ} unerfüllbar.
I
ϕ ≡ ψ gdw. ϕ |= ψ und ψ |= ϕ.
I
Für jede Formelmenge Φ und jede Formel ψ ∈ Φ gilt
Φ |= ψ.
I
Für jede unerfüllbare Formelmenge Φ und jede Formel ψ
gilt Φ |= ψ.
Für Formeln ohne Quantoren gilt außerdem:
I Zu jeder Formel ϕ ∈ AL(P) ohne Quantoren existieren
I
I
I
eine äquivalente Formel ϕ1 ∈ AL(P) in NNF,
eine äquivalente Formel ϕ2 ∈ AL(P) in CNF und
eine äquivalente Formel ϕ3 ∈ AL(P) in DNF.
249
Sätze
Jede Formel ϕ ∈ FOL(Σ,
X) mit fvar(ϕ) = ∅ heißt Satz.
Beispiele:
I
∀x∀y (R(x, y ) → R(y , x)) ist ein Satz.
I
R(x, y ) → R(y , x),
∀x(R(x, y ) → R(y , x)),
∃y (R(x, y ) → R(y , x)),
∀x(R(x, y ) → ∃yR(y , x)) sind keine Sätze.
für ϕ ∈ FOL(Σ,
X) mit fvar(ϕ) = {x1, . . . , xn }:
universeller Abschluß ∀ϕ := ∀x1 · · · ∀xn ϕ
existentieller Abschluß ∃ϕ := ∃x1 · · · ∃xn ϕ
Fakt
Für jede Formel ϕ ∈ FOL(Σ,
X) sind ∀ϕ und ∃ϕ Sätze.
250
Modelle von Sätzen
X
Auf den Wert eines Satzes ϕ ∈ FOL(Σ, ) in einer
Interpretation I = (S, β) hat die Belegung β keinen Einfluss,
d.h. für beliebige Belegungen α, β : → S gilt
X
JϕK(S,α) = JϕK(S,β)
Beispiel: ϕ = ∀x∃y (P(x) ∧ E(x, y ) → ¬P(y ))
X
Für Sätze ϕ ∈ FOL(Σ, ) genügt es also, den Wert in
Strukturen (statt in Interpretationen) zu betrachten:
JϕKS := JϕK(S,β)
für eine beliebige Belegung β :
Menge aller Modelle des Satzes ϕ ∈ FOL(Σ,
X→S
X):
Mod(ϕ) = {S | S = (S, J·KS ) ist Σ-Struktur und JϕKS = 1}
251
Modelle von Satzmengen
Signatur Σ = (∅, ΣR ) mit ΣR = {(R, 2)}


 ∀x R(x, x),

∀x∀y (R(x, y ) → R(y , x)) ,
Φ=


∀x∀y ∀z ((R(x, y ) ∧ R(y , z)) → R(x, z))
I
I
I
Für Σ-Struktur A = ({a, b, c}, J·KA ) mit
JRKA = {(a, a), (a, c), (b, b), (c, a), (c, c)} gilt A ∈ Mod(Φ)
N
Für Σ-Struktur B = ( , J·KB ) mit JRKB = ≤ gilt B 6∈ Mod(Φ)
Mod(Φ) = Menge aller Σ-Strukturen S, in denen JRKS eine
Äquivalenzrelation ist.
252
Charakterisierung von Strukturen durch Sätze
Beispiel: Graphen mit Knotenfärbung
Signatur Σ = (∅, ΣR ) mit ΣR = {(R, 1), (G, 1), (B, 1), (E, 2)}


∀x¬E(x, x),








∀x∀y
(E(x,
y
)
→
E(y
,
x)),






∀x(R(x) ∨ G(x) ∨ B(x)),
Φ=
∀x(R(x) → ¬(G(x) ∨ B(x)), 




 ∀x(G(x) → ¬(R(x) ∨ B(x)), 







∀x(B(x) → ¬(G(x) ∨ R(x))
(jeder Knoten mit genau einer Farbe aus {R, G, B} gefärbt)
Mod(Φ) = Menge aller ungerichteten schlingenfreien Graphen
mit Knotenfärbung mit Farben aus {R, G, B}
253
Mehr Beispiele
Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣR = {(=, 2), (R, 2), (P, 1)}
Vereinbarung: Bedeutung von = fest, Identität auf Trägermenge
I
Strukturen mit mindestens zwei Elementen in der
Trägermenge,
∃x∃y ¬(x = y )
I
Strukturen mit unendlicher Trägermenge,


 ∀x¬R(x, x),

∀x∀y ∀z (R(x, y ) ∧ R(y , z) → R(x, z)) ,
Φ=


∀x∃y (R(x, y ))
I
2-färbbare (bipartite) Graphen
∀x∀y (R(x, y ) → (P(x) ↔ ¬P(y ))
254
Charakterisierung algebraischer Strukturen
I
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣF = ∅, ΣR = {(R, 2), (=, 2)}
∀x R(x, x), ∀x∀y ((R(x, y ) ∧ R(y , x)) → x = y ) ,
ΦPO =
∀x∀y ∀z ((R(x, y ) ∧ R(y , z)) → R(x, z))
Mod(ΦPO ) = alle Mengen mit partieller Ordnung R,
z.B. ( , ≤), ( , |), (2X , ⊆)
N
I
Z
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣF = {(◦, 2)}, ΣR = {(=, 2)}
ΦH = {∀x ∀y ∀z (x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y ) ◦ z)}
N
Z
Mod(ΦH ) = alle Halbgruppen, z.B. ( , +), (2 , ·), (A∗ , ◦)
I
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣF = {(◦, 2), (e, 0)}, ΣR = {(=, 2)}
ΦM = {∀x ∀y ∀z (x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y ) ◦ z) , ∀x(x ◦ e = x)}
∗
Mod(ΦM ) = alle Monoide, z.B. ( , ·, 1), (A∗ , ◦, ε), 2A , ∪, ∅
Z
I
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣF = {(◦, 2), (e, 0)}, ΣR = {(=, 2)}
∀x ∀y ∀z (x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y ) ◦ z) ,
ΦKG =
∀x(x ◦ e = x), ∀x∃y (x ◦ y = e), ∀x∀y (x ◦ y = y ◦ x)
N
Q
Mod(ΦKG ) = alle kommutativen Gruppen, z.B. (2 , +, 0), ( , ·, 1)
255
Was bisher geschah
klassische Prädikatenlogik (der ersten Stufe) FOL(Σ,
FOL(Σ, )-Syntax:
X
I
Signaturen, Terme, Atome, Formeln in FOL(Σ,
I
freie und gebundene Variablenvorkommen
in Formeln und Formelmengen
FOL(Σ,
X)
X)
X)-Semantik:
I
Σ-Strukturen, Σ-Interpretationen
I
Werte von Termen, Atomen, Formeln in Σ-Interpretationen
analog Aussagenlogik:
I
I
I
I
I
Modellmengen
(Un-)Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit
Äquivalenz von Formeln
semantische Folgerungen
Sätze und Satzmengen (Syntax, Semantik)
Charakterisierung von Strukturen durch Satzmengen
z.B. Äquivalenzrelationen, Graphenklassen, Halbgruppen usw.
256
Wiederholung: Abstrakte Datentypen (ADT)
Sorten (Typen)
Signatur Σ = (ΣF , ΣR )
definiert die Darstellungsform, Typdeklarationen
(Syntax)
Axiome: Menge Φ ⊆ FOL(Σ, ) von Sätzen
oft (∀-quantifizierte) Gleichungen zwischen
Termen,
beschreibt die gewünschten Eigenschaften von
und Zusammenhänge zwischen den Symbolen,
definiert die Bedeutung der Symbole (Semantik)
X
Spezifikation von Software-Schnittstellen (Interface):
Darstellung der Anforderungen an jede Implementierung
(oft durch Formelmengen ⊆ FOL(Σ, ), Axiome)
X
Abstraktion von konkreten Repräsentationen der Daten
(Trägermengen) und konkrete Implementierung der
Operationen
257
Wiederholung: Konkrete Datentypen
konkreter Datentyp (= Σ-Struktur) S = (S, J·KS ) mit
I
Menge S von Daten (Trägermengen)
I
für jedes Symbol s in Σ die Bedeutung JsKS
(Implementierung)
Jeder ADT repräsentiert eine Menge konkreter Datentypen:
genau alle Implementierungen (Σ-Strukturen), die alle Axiome
des ADT erfüllen
258
Abstrakter Datentyp (Beispiel)
ADT für (Blickrichtung in) Himmelsrichtungen Norden, Osten,
Süden, Westen
mit Operationen für Rechts- und Linksabbiegen und Umlenken
ADT Himmelsrichtungen (Spezifikation):
Sorten: Himmelsrichtung (HR) = {N, O, S, W}
Signatur:
N, O, S, W :
HR
rechts, links, um : HR → HR
Axiome:

rechts(N) = O, links(N) = W, um(N) = S, . . .



∀h ∈ HR : rechts(links(h)) = h,
∀h ∈ HR : links(rechts(h)) = h,



∀h ∈ HR : rechts(rechts(h)) = um(h), . . .







259
Konkreter Datentyp (Beispiele)
Implementierung des ADT Himmelsrichtungen, z.B.:
cos ϕ − sin ϕ
I als Punkte im 2 mit Drehmatrizen
sin ϕ cos ϕ
0 1
0 −1
ϕ = −π/2 : R =
ϕ = π/2 : L =
−1 0
1 0
R
A = ({(0, 1), (1, 0), (0, −1), (−1, 0)}, J·KA ) mit
JNKA = (0, 1), JOKA = (1, 0), JSKA = (0, −1), JWKA = (−1, 0),
x
x
∀(x, y ) : JrechtsKA (x, y ) = R
∧ JlinksKA (x, y ) = L
y
y
∀(x, y ) : JumKA (x, y ) = (−x, −y )
Ist diese Implementierung korrekt (d.h. Modell aller Axiome)?
I
B = ({0, 1, 2, 3}, J·KB ) mit
JNKB = 0, JOKB = 1, JSKB = 2, JWKB = 3,
∀x : JrechtsKB (x) = (x + 1) mod 4
∀x : JlinksKB (x) = (x − 1) mod 4,
∀x : JumKB (x) = (x + 2) mod 4
Ist diese Implementierung korrekt?
260
Spezifikation und Verifikation
Jeder ADT spezifiziert eine Menge konkreter Datentypen:
genau alle Implementierungen (Σ-Strukturen), die alle Axiome
des ADT erfüllen
Menge aller korrekten Implementierungen des ADT
= Modellmenge der Menge Φ der Axiome des ADT
Verifikation:
formaler Nachweis der Korrektheit von Implementierungen
bzgl. der Spezifikation (ADT)
oft durch Ableitungen in geeigneten Kalkülen
(maschinelle Unterstützung durch Werkzeuge wie z.B. Coq,
pvs, Isabelle, KIV, KeY)
(mehr dazu in LV im Master-Studium)
261
Prädikatenlogisches Ableiten
Aussagen wie z.B. die folgende lassen sich i.A. nicht durch
Nachprüfen aller Interpretationen zeigen:
In jeder Menge mit einer Äquivalenzrelation R gilt
ϕ = ∀x∀y ∀z (R(x, y ) ∧ R(x, z) → R(y , z))
d. h.


 ∀x R(x, x)

∀x∀y (R(x, y ) → R(y , x))
|= ϕ


∀x∀y ∀z (R(x, y ) ∧ R(y , z) → R(x, z))
Syntaktische Methoden sind daher in Prädikatenlogik noch viel
wichtiger als in Aussagenlogik
262
Gültigkeitsproblem
Wiederholung: (Allgemein)-Gültigkeitsproblem in einer Logik
gegeben: Formel ϕ in dieser Logik
Frage:
Ist ϕ allgemeingültig?
als formale Sprache (Wortproblem): G = {ϕ | Mod(¬ϕ) = ∅}
Erfüllbarkeits- und Folgerungsproblem sind darauf reduzierbar.
für jede Logik interessant:
Gibt es automatische Verfahren (Algorithmen), die dieses
Problem entscheidet,
also zu jeder gegebenen Formel dieser Logik die Frage korrekt
mit ja oder nein beantwortet?
Logiken, für die es solche Algorithmen gibt, heißen
entscheidbar.
263
Wiederholung: Kalkül des natürlichen Schließens
Kalkül: Menge von
Axiomenschemata , d.h. Schema für Formeln, deren Gültigkeit
vorausgesetzt wird,
Regelschemata zur syntaktischen Ableitung weiterer gültiger
Formeln aus Formelmengen (Axiomen und
Hypothesen)
Kalkül des natürlichen Schließens:
Für jeden Junktor ∗
eine Einführungsregel (∗I)
Junktor in der Folgerung (unten), aber in keiner Voraussetzung
(oben) des Regelschemas,
I eine Eliminierungsregel (∗E)
Junktor in einer Voraussetzung (oben), aber nicht in der
Folgerung (unten) des Regelschemas,
I
Ableitungsschritt: Anwendung einer geeignet instanziierten Regel
auf schon Hypothesen und abgeleitete Formeln
Ableitung (Beweis): Kombination von Ableitungsschritten (Baumform)
264
Kalkül des natürlichen Schließens: Junktoren
A
B (∧I)
A∧B
A ∧ B (∧E)
A
A
(∨I)
A∨B
B
(∨I)
A∨B
[A]
..
.
B
(→I)
A→B
f (fE)
A
A
A ∧ B (∧E)
B
[A]
[B]
..
..
.
.
A∨B
C
C (∨E)
C
A → B (→E)
B
[A]
..
.
f (¬I)
¬A
A
f
¬A (¬E)
265
Kalkül des natürlichen Schließens: Regeln für ∀
für neu eingeführte Konstante a
(repräsentiert „beliebiges“ Element):
A[x 7→ a]
(∀I)
∀xA
für beliebigen Term t, in welchem keine Variable durch Einsetzen für x in A gebunden wird:
∀xA
(∀E)
A[x 7→ t]
Schlussregeln korrekt , weil ∀ϕ:
{ϕ[x 7→ a]} |= ∀xϕ
{∀xϕ} |= ϕ[x 7→ t]
(∀I) Um ∀xA abzuleiten, muss man zeigen, dass A[x 7→ a] für
eine neu eingeführte Konstante a (repräsentiert beliebiges
Element) gilt.
(∀E) Falls ∀xA abgeleitet, gilt auch für jeden beliebigen Term t,
in dem keine Variable durch Einsetzen in A gebunden wird,
A[x 7→ t].
266
Beispiele für Ableitungen mit ∀-Regeln
I
Alle Hunde bellen. Max ist ein Hund. Also bellt Max.
∀x(H(x) → B(x)), H(m) `N B(m)
I
∀x(H(x) → B(x))
(∀E)
H(m) → B(m)
H(m)
(→E)
B(m)
Jede nichtnegative Zahl ist gleich ihrem Betrag.
∀x(x ≥ 0 → x = |x|), ∀x(x ≥ 0) `N ∀x(x = |x|)
∀x(x ≥ 0 → x = |x|)
(∀E)
n ≥ 0 → n = |n|
(→E)
n = |n|
(∀I mit „beliebiger“ Zahl n)
∀x(x = |x|)
∀x(P(x) ∧ Q(x)) `N ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
∀x(x ≥ 0)
(∀E)
n≥0
I
267
Kalkül des natürlichen Schließens: Regeln für ∃
für beliebigen Term t, in welchem keine Variable durch Einsetzen für x in A gebunden wird:
für neu eingeführte Konstante a:
∃xA
A[x 7→ t]
(∃I)
∃xA
[A[x 7→ a]]
..
.
B (∃E)
B
Schlussregeln korrekt , weil ∀ϕ:
{ϕ[x 7→ t]} |= ∃xϕ
{∃xϕ, ϕ[x 7→ a] → ψ} |= ψ
(∃I) Hat man für einen Term t gezeigt, dass A[x 7→ t] gilt, kann
man daraus ∃xA ableiten.
(∃E) Falls ∃xA schon abgeleitet wurde und B für eine neu
eingeführte Konstante a aus der Annahme A[x 7→ a]
abgeleitet werden kann, dann ist damit auch B abgeleitet.
(Bei jeder Anwendung von (∃E) muss eine eigene neue
Konstante eingeführt werden)
268
Beispiele für Ableitungen mit ∃-Regeln
I
2 ist gerade. 2 ist eine Primzahl.
Also gibt es gerade Primzahlen.
G(2), P(2) `N ∃x(G(x) ∧ P(x))
I
G(2)
P(2)
(∧I)
G(2) ∧ P(2)
(∃I)
∃x(G(x) ∧ P(x))
Manche Studenten sind klug und fleißig.
Also sind manche klug und manche fleißig.
∃x(K (x) ∧ F (X )) `N ∃xK (x) ∧ ∃xF (x))
[K (a) ∧ F (a)]
K (a)
∃x(K (x) ∧ F (x))
∃xK (x)
∃xK (x)
(∃I)
(∃E mit a)
∃xK (x) ∧ ∃xF (x)
I
[K (b) ∧ F (b)]
(∧E)
F (b)
∃x(K (x) ∧ F (x))
∃xF (x)
∃xF (x)
(∧E)
(∃I)
(∃E mit b)
(∧I)
∃x(P(x) ∧ ¬Q(x)), ∀x(P(x) → R(x)) `N ∃x(R(x) ∧ ¬Q(x))
269
Aufzählbarkeit
Ableitungsrelation z.B. durch Erweiterung des Kalkül des
natürlichen Schließens auf Prädikatenlogik
Mit Hilfe logischer Kalküle (z.B. des natürlichen Schließens)
lassen sich alle allgemeingültigen Formeln ϕ ∈ FOL(Σ, )
algorithmisch aufzählen (nacheinander angeben).
X
Idee:
Alle Formeln „gleichzeitig“ ableiten (dove tailing)
Bei jedem erfolgreichen Versuch Formel ausgeben und diese
Berechnung für diese Formel abbrechen.
Es gibt aber kein Verfahren, welches algorithmisch entscheidet
(d.h. für jede beliebige Formel ϕ ∈ FOL(Σ, ) in endlicher Zeit
die Antwort ja/nein berechnet), ob eine gegebene Formel
allgemeingültig ist (in der Aufzählung vorkommt).
X
270
Unentscheidbarkeit
der Prädikatenlogik der ersten Stufe FOL(Σ,
X)
Satz
Es existiert kein Algorithmus, der für jede beliebige Formel
ϕ ∈ FOL(Σ, X ) entscheidet, ob ϕ allgemeingültig ist.
(Das Gültigkeitsproblem in) FOL(Σ,
X) ist also unentscheidbar.
Im Gegensatz dazu gilt für die Aussagenlogik AL(P):
Satz
Es existiert (wenigstens) ein Algorithmus, der für jede beliebige
Formel ϕ ∈ AL(P) entscheidet, ob ϕ allgemeingültig ist.
(Test endlich vieler endlicher Strukturen genügt,
z.B. Wahrheitswerttabellen, Modellmengen, Kalküle,. . . )
(Das Gültigkeitsproblem in) AL(P) ist also entscheidbar.
271
Zusammenfassung: Logik(en) in der Informatik
einige prominente Anwendungen:
I Digitaltechnik (AL)
I Abstrakte Datentypen (FOL)
(mehr dazu in LV Algorithmen und Datenstrukturen)
I Wissensrepräsentation und -verarbeitung
(AL, FOL, nichtklassische Logiken)
mehr dazu in LV Künstliche Intelligenz
I Semantic Web (FOL, Beschreibungslogiken, OWL)
I Problemlösen, Planung (AL, FOL)
I Multiagentensysteme (FOL, Epistemische Logik)
I deklarative Programmierung (AL, FOL)
(logische Programmierung, Constraint-Programmierung)
I Beschreibung von Abläufen (FOL, temporale Logiken)
I Spezifikation des Verhaltens von Software und Systemen
(AL, FOL, Temporale Logiken, Prozesslogiken)
(mehr dazu in LV zu Verifikationstechniken)
272
Anwendung: Wissensrepräsentation und -verarbeitung
I
Entscheidungstabellen, - Bäume, -Diagramme
I
Regelbasiertes Schließen
I
unvollständiges Wissen, nichtmonotones Schließen
I
unscharfes Wissen, fuzzy logic, probabilistische Logik
I
Klassifizierung, Diagnose
I
Zusammenhänge zwischen Begriffen, Ontologien
I
Darstellung von Wissen im Semantic Web
I
Planen, z.B. Stundenpläne, Ablaufpläne
273
Anwendung: logische Programmierung
Prolog-Programm P:
liest(paul,krimi).
liest(tina,arztroman).
liest(bob,X).
mag(tina,X) :- liest(X,krimi).
repräsentiert die Formelmenge


 liest(paul, krimi), liest(tina, arztroman), 
∀x(liest(bob, x)),
P=


∀x(liest(x, krimi) → mag(tina, x))
Anfrage: ?- mag(tina,X).
repräsentiert die Formel ψ = mag(tina,X)
(Wen mag Tina?)
Paar (Programm, Anfrage) repräsentiert das Problem:
Für welche Belegungen β gilt P |= β(ψ)?
Lösung durch SLD-Resolution
(Kalkül zum Schließen in einem geeigneten FOL(Σ, )-Fragment)
X
274
Anwendung: Wortmodelle
Alphabet A: (endliche) Menge von Symbolen)
Wort w = w1 · · · wn ∈ A∗ als
I
Funktion w : {1, . . . , n} → A (von Positionen auf Symbole) mit
∀i ∈ {1, . . . , n} : w(i) = wi
I
Für Σ = (ΣF , ΣR ) mit ΣR = {(≤, 2)} ∪ {(a, 1) | a ∈ A}
Σ-Struktur w = ({1, . . . , n}, J·Kw ) mit
J≤Kw =≤
∀a ∈ A : JaKw = {i ∈ {1, . . . , n} | wi = a}
Beispiel:
A = {a, b, c}, logische Beschreibung der Mengen aller Wörter,
I
die kein a enthalten: ¬∃x a(x)
I
die mindestens ein a und ein b enthalten: ∃x a(x) ∧ ∃x b(x)
I
die mit a beginnen: ∀x (∀y (x ≤ y ) → a(x))
I
in denen nach jedem a ein b steht (nicht notwendig direkt):
∀x (a(x) → ∃y (x ≤ y ∧ b(y )))
275
Anwendung: Korrektheit von Systemen
Modellierung des Verhaltens von Systemen
(zeitliche Abläufe, Zeitpunkte in ), z.B.
N
I
∀n∃m(n ≤ m ∧ P(n) → Q(m))
I
∃n∀m(m > n → ¬P(n)))
Spezifikation (Anforderungen), z.B.:
I
Ein Fehlerzustand wird nie erreicht.
¬∃n Fehler(n)
I
Jeder Fehler wird sofort nach dem Auftreten behoben.
∀n (Fehler(n) → ¬Fehler(n + 1)))
I
Jeder einmal gestellte Auftrag a wird irgendwann erledigt.
∀a∀n ( gestellt(a, n) → ∃m(n ≤ m ∧ erledigt(a, m)))
276
Zustandsübergangssysteme
Zustandsübergangssystem (Q, X , δ)
Q (endliche) Menge von Zuständen
X endliche Menge von Aktionen
δ : X → (Q × Q) Übergangsrelationen
δ ordnet jeder Aktion a ∈ X eine Relation
δ(a) ⊆ Q × Q zu
(Graph mit Kantenfärbung, Farben: Aktionen)
Ziel: Spezifikation (formale Beschreibung von Anforderungen)
von Zustandsübergangssystemen
Prädikatenlogik zur Darstellung der Eigenschaften von
I
Zuständen
I
(zulässigen) Aktionen
I
Wirkung der Aktionen (Zustandsübergänge)
277
Beispiel: lineares Solitaire
Q = {0, 1}∗ Zustände
(mögliche Spielkonfigurationen)
X = {(011 → 100), (110 → 001)} Aktionen
(zulässige Spielzüge)
δ : {(011 → 100), (110 → 001)} → {0, 1}∗ × {0, 1}∗
(z.B. (101101, 110001) ∈ δ(011 → 100))
Zustandsübergänge bei Ausführung von Zügen,
(u, v ) ∈ δ(011 → 100) gdw.
|u| = |v | ∧

i ∈ {2, . . . , |u| − 1}
 ∧ui−1 = 0 ∧ ui = 1 ∧ ui−1 = 1
∃i 
 ∧vi−1 = 1 ∧ vi = 0 ∧ vi−1 = 0
∧∀j (j 6= i − 1 ∧ j 6= i ∧ j 6= i + 1) → uj = vj




278
Beispiel: Münzschließfach
Aktionen: A aufschließen
Eigenschaften: g bezahlt
Z zuschließen
o offen
O Tür öffnen
b belegt
S Tür schließen
G Geld einwerfen
Beispiele für Anforderungen (Spezifikation):
Am Münzschließfach sollen nur Abläufe (Wort w ∈ {A, Z , O, S, G}∗ )
möglich sein, die folgende Anforderungen (Eigenschaften) erfüllen:
I
Offene Fächer können nicht zugeschlossen werden.
∀x(o(x) → ¬∃yZ (x, y ))
I
In belegte Fächer kann kein Geld eingeworfen werden.
∀x(b(x) → ¬∃yG(x, y ))
I
Kein nicht bezahltes Fach kann zugeschlossen werden.
¬∃x(¬g(x) ∧ ∃yZ (x, y ))
Dazu werden auch häufig nichtklassische Logiken verwendet.
(z.B. Temporallogiken: (entscheidbare) FOL-Fragmente)
279
Beispiel Münzschließfach
{b}
∅
Entwurf des Systems:
S
O
{o}
G
A
S
{g, o}
Z
{g}
O
Beispiele für mögliche Abläufe (während eines Tages)
w ∈ {A, Z , O, S, G}∗ :
I
OGSZAGSZA: zwei Belegungszyklen
I
OSOSOS: Tür wiederholt öffnen und schließen
I
ε
I
OSOGSOSZASOSOGSZASO
Jeder mögliche Ablauf erfüllt die Spezifikation (Anforderungen):
∀x(o(x) → ¬∃yZ (x, y )), ∀x(b(x) → ¬∃yG(x, y )),
Φ=
¬∃x(¬g(x) ∧ ∃yZ (x, y ))
280
Berechnungen als Zustandsübergangssysteme
imperative Programmierung (von-Neumann-Modell):
Ausführungsmodell: abstrakte Maschine
Berechnung eines imperativen Programmes p:
Ausführung des Programmes p mit Eingabe i,
d.h. (endliche oder unendliche) Folge von Zuständen einer
abstrakten Maschine
Zustand: Speicherbelegung
Modellierung einer Berechnung (Ausführung eines
Programmes) durch Folge von Zustandsübergängen
(Rechenschritte)
formale Beschreibung der Semantik (Wirkung) eines
imperativen Programmes p:
Abbildung (partielle Funktion) von Eingaben auf Ausgaben (und
Nebenwirkungen)
281
Beispiel: Vertauschen
Aufgabe: Vertauschen zweier Zahlen
Zustände (x, y , z) ∈
N3, wobei
x = Wert der Variable (Speicherplatz) a
y = Wert der Variable (Speicherplatz) b
z = Wert der Variable (Speicherplatz) c
Programm:
c := a
a := b
b := c
Zustandsübergangssystem der
Berechnung für a = 3, b = 5:
(3, 5, ?)
start
c := a
(3, 5, 3)
a := b
(5, 5, 3)
b := c
(5, 3, 3)
282
Eigenschaften von Berechnungen
Spezifikation (formale Beschreibung des Verhaltens) eines
Vorbedingung:
ϕ
Programmes p:
Nachbedingung: ψ
Bedeutung:
Beginnt die Ausführung des Programmes in einem Zustand,
der die Vorbedingung ϕ erfüllt, dann gilt im Zustand nach
Programmende die Nachbedingung ψ.
Verifikation:
Nachweis, dass ein imperatives Programm korrekt ist
(also seine Spezifikation erfüllt)
Idee: Induktion über die Programmstruktur (Baum) aus
IA: elementaren Anweisungen
(Zuweisungen, Unterprogrammaufrufe) und
IS: Operationen zur Kombination von Anweisungen:
Nacheinanderausführung, Verzweigung,
Wiederholung
283
Nachweis der Eigenschaften von Berechnungen
Spezifikation durch Hoare-Tripel: {ϕ} p {ψ}
Beispiel Vertauschen:
{a = x ∧ b = y }c := a; a := b; b := c{a = y ∧ b = x}
einige Ableitungsregeln im Hoare-Kalkül:
{ϕ} c1 {ψ}
{ψ} c2 {η}
(Nacheinanderausführung)
{ϕ} c1 ; c2 {η}
ϕ → ϕ0
{ϕ0 } c {ψ 0 }
{ϕ} c {ψ}
ψ0 → ψ
(Abschwächung)
{ϕ ∧ B}c{ϕ}
(Wiederholung)
{ϕ} while B c {ϕ ∧ ¬B}
Axiom:
{ϕ[x 7→ t]} x := t {ϕ}
(Zuweisung)
284
Zustandsübergangssystem Münzschließfach
0
S
4
A
O
Z
S
1
G
3
2
O
Aktionen: A aufschließen Eigenschaften: g bezahlt (2, 3)
Z zuschließen
o offen (1, 2)
O Tür öffnen
b belegt (4)
S Tür schließen
G Geld einwerfen
285
Endliche Automaten – Definition
NFA (nondeterministic finite automaton)
A = (X , Q, δ, I, F ) mit
X endliches Alphabet,
Q endliche Menge von Zuständen,
δ Übergangsrelationen δ : X → (Q × Q),
I ⊆ Q Startzustände,
F ⊆ Q akzeptierende Zustände.
286
NFA: Beispiel
A = (X , Q, δ, {0, 3}, {2, 3, 4}) mit
X
= {a, b, c}
Q = {0, 1, 2, 3, 4}
δ(a) = {(0, 0), (0, 1), (1, 3)}
δ(b) = {(0, 0), (1, 2)}
δ(c) = {(0, 3), (3, 3), (4, 1)}
a,b
a
0
c
3
b
1
a
2
c
c
4
287
Eigenschaften endlicher Automaten
NFA A = (X , Q, δ, I, F ) heißt
vollständig , falls ∀a ∈ X ∀p ∈ Q : |{q | (p, q) ∈ δ(a)}| ≥ 1
deterministisch (DFA) , falls
1. |I| = 1 und
2. ∀a ∈ X ∀p ∈ Q : |{q | (p, q) ∈ δ(a)}| ≤ 1
Beispiele:
a,b
b
b
0
1
a
vollständig
nicht deterministisch
b
a
0
b
a
b
b
0
1
nicht vollständig
deterministisch
1
a
vollständig
deterministisch
288
Pfade in endlichen Automaten
Für einen NFA A = (X , Q, δ, I, F ) und ein Wort w ∈ X ∗ heißt
eine Folge von Zuständen p = (p0 , p1 , . . . , pn ) ∈ Q ∗ genau
dann
Pfad für w in A, wenn gilt:
1. p0 ∈ I und
2. ∀i ∈ {1, . . . , n} : (pi−1 , pi ) ∈ δ(wi )
akzeptierender Pfad für w in A, wenn zusätzlich gilt:
3. pn ∈ F
289
Beispiel
b
NFA A = ({a, b}, {0, 1}, δ, {0}, {0})
mit δ(a) = {(0, 1)} und
δ(b) = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}
a,b
0
1
b
Pfade für
I
abbb:
a
b
b
b
0 → 1 → 0 → 0 → 0 ∈ F (akzeptierend)
a
b
b
b
0 → 1 → 0 → 0 → 1 6∈ F (nicht akzeptierend)
a
b
b
b
0 → 1 → 0 → 1 → 0 ∈ F (akzeptierend)
I
aba:
a
b
a
0 → 1 → 0 → 1 6∈ F (nicht akzeptierend)
I
aa existieren nicht: 0 → 1 → ?
a
a
290
Akzeptanz durch endliche Automaten
NFA A akzeptiert ein Wort w gdw.
ein akzeptierender Pfad für w in A existiert.
Beispiel: NFA A aus vorigem Beispiel (Tafel)
I
akzeptiert das Wort abbb
(z.B.) über den akzeptierenden Pfad
a
b
b
b
0→1→0→1→0∈F
I
akzeptiert das Wort aba nicht, weil 0 → 1 → 0 → 1 der
einzige Pfad für aba in A ist und im Zustand 1 6∈ F endet,
I
akzeptiert das Wort aa nicht, weil dafür kein Pfad in A
existiert.
a
b
a
A akzeptiert genau alle Wörter, in denen auf jedes a sofort ein
b folgt, also genau die Wörter in der Sprache L(b + ab)∗ .
291
NFA-akzeptierbare Sprachen
NFA A = (X , Q, δ, I, F ) akzeptiert die Sprache
L(A)
= {w ∈ X ∗ | ∃ akzeptierender Pfad für w in A}


∃(p0 , . . . , p|w| ) ∈ Q ∗ :


p0 ∈ I ∧ p|w| ∈ F
=
w ∈ X ∗ 

∧ ∀i ∈ {1, . . . , |w|} : (pi−1 , pi ) ∈ δ(wi )
Sprache L(A) beschreibt das Verhalten (Semantik) des NFA
Beispiel: A = ({a, b}, {0, 1, 2}, δ, {0}, {2}) mit
δ(a) = {(0, 0), (2, 2)} und δ(b) = {(0, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 2)}
akzeptiert L(A) = . . .
Eine Sprache L ⊆ X ∗ heißt genau dann NFA-akzeptierbar, wenn ein
NFA A mit L = L(A) existiert.
Menge aller NFA-akzeptierbaren Sprachen: REC(NFA)
Beispiel:
L = {w | w enthält ein Infix aa oder bba} ist NFA-akzeptierbar.
292
Beispiele NFA-akzeptierbarer Sprachen
I
L1 = {w ∈ {0, 1}∗ | |w|0 ist ungerade }
I
L2 = {w ∈ {a, b}∗ | w beginnt mit ab und endet mit ba}
I
L3 = L(G) mit G = ({S, T }, {0, 1}, P, S) mit
P = {S → 11T , T → 0S, T → 0}
I
L4 = L(E) mit E = (a + b)∗ ab∗
I
L5 = L(F ) mit F = ((a + b)c)∗
Beobachtung:
Diese Sprachen lassen sich alle durch reguläre Ausdrücke
repräsentieren.
293
Was bisher geschah
I
I
Modellierung durch Zustandsübergangssysteme
NFA A = (X , Q, δ, I, F )
I
I
vollständig
deterministisch (DFA)
I
Akzeptanz von Wörtern durch NFA
I
von einem NFA A akzeptierte Sprache L(A)
Verhalten von A, Semantik
I
NFA-akzeptierbare Sprachen REC(NFA)
I
Operationen auf Sprachen:
I
I
Mengenoperationen ∪, ∩, , \
Sprachoperationen ◦, ∗ , R
I
reguläre Ausdrücke E ∈ RegExp(X ),
repräsentierte Sprache L(E) ⊆ X ∗
I
Grammatiken G = (N, X , P, S)
erzeugte Sprache L(G) ⊆ X ∗
294
Isomorphie endlicher Automaten
Zwei NFA A = (X , Q, δ, I, F ) und B = (X , Q 0 , δ 0 , I 0 , F 0 ) sind genau
dann isomorph,
wenn eine bijektive Funktion h : Q → Q 0 existiert, so daß
I
genau dann s ∈ I , wenn h(s) ∈ I 0 ,
I
genau dann f ∈ F , wenn h(f ) ∈ F 0 und
I
für jedes a ∈ X :
genau dann (p, q) ∈ δ(a), wenn (h(p), h(q)) ∈ δ 0 (a).
Beispiel:
A = ({a, b}, {0, 1, 2}, δ, {0}, {0}) mit δ(a) = {(0, 1), (1, 2), (2, 0)} und
δ(b) = {(0, 2), (1, 0), (2, 1)}
und B = ({a, b}, {α, β, γ}, δ, {β}, {β}) mit
δ(a) = {(α, β), (β, γ), (γ, α)} und δ(b) = {(α, γ), (β, α), (γ, β)}
sind isomorph mit h(0) = β, h(1) = γ, h(2) = α.
(Graphisomorphie zwischen gerichteten Graphen mit markierten
Kanten)
Fakt
Isomorphie von NFA ist eine Äquivalenzrelation.
295
Äquivalenz endlicher Automaten
Zwei NFA A, B heißen genau dann äquivalent, wenn
L(A) = L(B) gilt.
Beispiel: Der NFA A = ({a, b}, {0, 1, 2}, δ, {0}, {2}) mit
δ(a) = {(0, 1), (1, 1)} und δ(b) = {(1, 1), (1, 2)}
und der NFA B = ({a, b}, {0, 1, 2, 3}, δ, {0}, {2}) mit
δ(a) = {(0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 3)} und
δ(b) = {(0, 3), (1, 2), (2, 2), (3, 3)}
sind äquivalent. Warum?
Fakt
Äquivalenz endlicher Automaten ist eine Äquivalenzrelation.
Fakt
Isomorphe endliche Automaten sind äquivalent.
Also: Umbenennung der Zustände eines NFA ändert die
Semantik (akzeptierte Sprache) nicht.
296
Vervollständigung von NFA
Motivation:
In vollständigen NFA existiert zu jedem Wort wenigstens ein
Weg,
Akzeptanz des Wortes durch Menge der mit dem letzten
Symbol erreichten Zustände auf allen Wegen feststellbar.
Satz
Zu jedem NFA existiert ein äquivalenter vollständiger NFA.
(Hinzufügen eines zusätzlichen nichtakzeptierenden
Zustandes, falls notwendig)
Beispiel: A = ({a, b}, {0, 1, 2}, δ, {0}, {2}) mit
δ(a) = {(0, 0), (1, 2)} und δ(b) = {(0, 1)}
äquivalenter vollständiger NFA
B = ({a, b}, {0, 1, 2, 3}, δ, {0}, {2}) mit
δ(a) = {(0, 0), (1, 2), (2, 3), (3, 3)} und
δ(b) = {(0, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 3)}
297
Wiederholung: Pfade in NFA
b
NFA A = ({a, b}, {0, 1}, δ, {0}, {0})
mit δ(a) = {(0, 1)} und
δ(b) = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}
a,b
0
1
b
Pfade für
I
abbb:
a
b
b
b
0 → 1 → 0 → 0 → 0 ∈ F (akzeptierend)
a
b
b
b
0 → 1 → 0 → 0 → 1 6∈ F (nicht akzeptierend)
a
b
b
b
0 → 1 → 0 → 1 → 0 ∈ F (akzeptierend)
I
aba:
a
b
a
0 → 1 → 0 → 1 6∈ F (nicht akzeptierend)
I
aa existieren nicht: 0 → 1 → ?
a
a
Alle Pfade für ein Wort w in einem NFA A lassen sich in einem
Baum zusammenfassen. (Tafel)
298
Vorteil deterministischer Automaten
a,b
Beispiele:
0
b
a,b
a
1
0
a,b
b
1
Akzeptanz der Wörter aab, bba ?
Zu jedem DFA A = (X , Q, δ, I, F ) und jedem Wort w ∈ X ∗
I
existiert in A höchstens ein Pfad für w,
I
lässt sich in höchstens |w| Schritten feststellen, ob A das
Wort w akzeptiert,
I
lässt sich in höchstens |w| Schritten feststellen, ob A das
Wort w nicht akzeptiert.
Existiert zu jedem NFA ein äquivalenter DFA?
299
Nachfolgermengen in NFA
Nachfolgermengen im NFA A = (X , Q, δ, I, F ):
NA (a, p) = {q ∈ Q | (p, q) ∈ δ(a)}
(a-Nachfolger von p ∈ Q)
Menge aller Zustände, die über eine a-Kante aus dem
Zustand p erreichbar sind
S
NA (a, M) = p∈M NA (a, p)
(a-Nachfolger von M ⊆ Q)
Menge aller Zustände, die über eine a-Kante aus
einem Zustand aus M erreichbar sind
b
a,b
Beispiel:
0
1
b
Nachfolgermengen der Zustände:
NA (a, 0) = {1}
NA (a, 1) = ∅
NA (b, 0) = {0, 1}
NA (b, 1) = {1}
Nachfolgermengen aller Mengen von Zuständen:
NA (a, {0}) = {1}
NA (b, {0}) = {0, 1}
NA (a, ∅) = ∅
NA (a, {1}) = ∅
NA (b, {1}) = {0}
NA (b, ∅) = ∅
NA (a, {0, 1}) = {1}
NA (b, {0, 1}) = {0, 1}
300
Konstruktion von DFA aus NFA
allgemeines Verfahren:
gegeben: NFA A = (X , Q, δ, I, F )
gesucht: DFA B = (X , QB , δB , IB , FB ) mit L(A) = L(B)
Konstruktion: (Potenzmengen-Konstruktion)
Automat B = (X , QB , δB , IB , FB ) mit
Q B = 2Q
IB = {I}
FB = {M ⊆ Q | F ∩ M 6= ∅}
für jedes a ∈ X : δB (a) = {(M, NA (a, M)) | M ⊆ Q}
Beispiel: Konstruktion eines DFA B äquivalent zum NFA A aus
dem vorigen Beispiel
häufige Variante:
Einschränkung auf von IB erreichbare Zustände
301
Korrektheit der Konstruktion
Fakt
Der nach der Potenzmengenkonstruktion aus dem Automaten
A = (X , Q, δ, I, F ) konstruierte Automat B = (X , QB , δB , IB , FB )
ist ein endlicher Automat, vollständig, deterministisch und
äquivalent zu A.
Begründungen für
Endlichkeit: Weil Q endlich, ist auch 2Q = QB endlich.
Vollständigkeit: Für jedes Symbol a ∈ X und jeden Zustand M ∈ QB
existiert in B genau ein (also mindestens ein)
a-Nachfolger von M, nämlich NA (a, M).
Determinismus:
1. Startzustand IB = I ist eindeutig bestimmt,
2. Für jedes Symbol a ∈ X und jeden Zustand
M ∈ QB existiert in B genau ein (also höchstens
ein) a-Nachfolger von M, nämlich NA (a, M).
Äquivalenz: Nachweis von L(A) ⊆ L(B) und L(B) ⊆ L(A) durch
„Übersetzung“ der akzeptierenden Pfade
302
Praktische Bedeutung
Ob ein Wort w in einer regulären Sprache L enthalten ist, lässt
sich mit einem DFA A mit L(A) = L schnell bestimmen (O(|w|))
aber: (evtl. aufwendige) Vorbereitung notwendig
(Konstruktion des DFA A mit L(A) = L)
Vorbereitung lohnt sich für häufige Anwendung, z.B. in
I
Übersetzerbau
einmal Konstruktion der DFA für Schlüsselwörter und
Konstantendarstellungen (z.B. Gleitkomma-Darstellungen)
Syntaxcheck und -analyse für viele Programme
I
Suchmaschinen
einmal Konstruktion des DFA für Suchwort / Suchwörter
Durchsuchen vieler Texte (schnell)
303
Ausblick
Transformation von NFA in äquivalente DFA
(Potenzmengenkonstruktion) ist Grundlage für
I
Automatenkonstruktionen für Sprachoperationen (Komplement,
Schnitt)
I
eindeutige Darstellung regulärer Sprachen (Minimalautomat)
notwendig zur algorithmischen Feststellung der Gleichheit
zweier regulärer Sprachen
I
Transformation von DFA in reguläre Ausdrücke
später: Grundideen der Potenzmengen-Konstruktion:
I
Zusammenfassung der Nachfolgermengen garantiert
I Determinismus (und Vollständigkeit) und
I Äquivalenz der Automaten
I
Endlichkeit der Menge aller möglichen Zustände
Funktionieren ähnliche Ideen auch für andere Maschinenmodelle?
Antworten (Vorschau):
I
nein für Kellerautomaten
I
ja für Turing-Maschinen
304
NFA für Komplement NFA-akzeptierbarer Sprachen
Beispiel:
vollständiger DFA A = ({a, b}, {0, 1, 2, 3}, δ, {0}, {2}) mit
δ(a) = {(0, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3)} und
δ(b) = {(0, 3), (1, 2), (2, 2), (3, 3)}
allgemeines Verfahren:
gegeben: vollständiger DFA A = (X , Q, δ, I, F )
gesucht: NFA B mit L(B) = L(A)
Konstruktion: DFA B = (X , Q, δ, I, Q \ F )
Fakt
Der oben definierte NFA B akzeptiert die Sprache L(A).
305
NFA für Vereinigung NFA-akzeptierbarer Sprachen
Beispiel: NFA A = ({a, b}, {0, 1}, δA , {0}, {0}) mit
δA (a) = {(0, 1), (1, 0)} und δA (b) = ∅
NFA B = ({a, b}, {2, 3, 4}, δB , {2}, {4}) mit
δB (a) = {(2, 3), (4, 3)} und δB (b) = {(3, 4)}
allgemeines Verfahren:
gegeben: NFA A = (X , QA , δA , IA , FA ) und
NFA B = (X , QB , δB , IB , FB ) mit QA ∩ QB = ∅
(Zustände umbenennen, falls notwendig)
gesucht: NFA C mit L(C) = L(A) ∪ L(B)
Konstruktion: NFA C = (X , QA ∪ QB , δC , IA ∪ IB , FA ∪ FB ) mit
∀a ∈ X : δC (a) = δA (a) ∪ δB (a)
Fakt
Der oben definierte NFA C akzeptiert die Sprache L(A) ∪ L(B).
Zu gegebenen Automaten A und B lässt sich damit auch ein Automat
C mit L(C) = L(A) ∩ L(B) = L(A) ∪ L(B) (deMorgan) konstruieren.
(Dazu existieren aber auch effektivere Methoden.)
306
NFA mit ε-Übergängen
ε-NFA: NFA ohne Einschränkung δ(ε) = IQ , stattdessen δ(ε) ⊇ IQ
(zusätzliche Kanten im Automatengraphen mit Beschriftung ε)
ε-NFA vereinfachen oft die Modellierung von Sprachen und Abläufen.
Beispiel:
A = ({a, b, c}, {0, 1, 2}, δ, {0}, {2}) mit δ(a) = {(0, 0)},
δ(b) = {(1, 1)}, δ(c) = {(2, 2)} und δ(ε) = {(0, 1), (1, 2)}
Akzeptanz von Wörtern analog zu NFA:
ε-NFA A = (X , Q, δ, I, F ) akzeptiert ein Wort w ∈ X ∗ genau dann,
wenn δ ∗ (w) ∩ (I × F ) 6= ∅.
δ ∗ (w) = δ ∗ (ε) ◦ δ(w1 ) ◦ δ ∗ (ε) ◦ · · · ◦ δ ∗ (ε) ◦ δ(wn ) ◦ δ ∗ (ε)
ε-NFA A im Beispiel oben akzeptiert die Sprache L(A) = a∗ b∗ c ∗
Fakt
Zu jedem NFA A existiert ein äquivalenter ε-NFA B mit genau einem
Startzustand und genau einem akzeptierenden Zustand.
307
NFA für Verkettung NFA-akzeptierbarer Sprachen
Beispiel:
NFA A = ({a, b}, {0}, δA , {0}, {0}) mit δA (a) = ∅ und δA (b) = {(0, 0)}
NFA B = ({a, b}, {1, 2, 3}, δB , {1, 3}, {2}) mit
δB (a) = {(3, 2), (3, 3)} und δB (b) = {(1, 2)}
allgemeines Verfahren:
gegeben: NFA A = (X , QA , δA , IA , FA ) und
NFA B = (X , QB , δB , IB , FB ) mit QA ∩ QB = ∅
gesucht: NFA C mit L(C) = L(A) ◦ L(B)
Konstruktion:
1. (A0 ≡ A ∧ |FA0 | = 1): ε-NFA A0 = (X , QA ∪ {fA }, δA0 , IA , {fA }) mit
∀a ∈ X : δA0 (a) = δA (a) und δA0 (ε) = δA (ε) ∪ {(q, fA ) | q ∈ FA }
2. (B 0 ≡ B ∧ |IB 0 | = 1): ε-NFA B 0 = (X , QB ∪ {sB }, δB0 , {sB }, FB ) mit
∀a ∈ X : δB0 (a) = δB (a) und δB0 (ε) = δB (ε) ∪ {(sB , q) | q ∈ IB }
3. (◦): ε-NFA C = (X , QA ∪ QB ∪ {fA , sB }, δC , IA , FB ) mit
∀a ∈ X : δC (a) = δA0 (a) ∪ δB0 (a) und
δC (ε) = δA0 (ε) ∪ δB0 (ε) ∪ {(fA , sB )}
Fakt
Der oben definierte ε-NFA C akzeptiert die Sprache L(A) ◦ L(B).
308
NFA für iterierte Verkettung
Beispiel: NFA A = ({a, b}, {0, 1, 2, 3}, δA , {0}, {3}) mit
δA (a) = {(0, 1), (2, 3)} und δA (b) = {(1, 2)}
allgemeines Verfahren:
gegeben: NFA A = (X , Q, δA , I, F )
gesucht: NFA B mit L(B) = L(A)∗
Konstruktion:
1. (A0 ≡ A ∧ |IA0 | = 1 ∧ |FA0 | = 1):
ε-NFA A0 = (X , QA ∪ {sA , fA }, δA0 , {sA }, {fA }) mit
∀a ∈ X : δA0 (a) = δA (a) und
δA0 (ε) = {(sA , q) | q ∈ IA } ∪ {(q, fA ) | q ∈ FA }
2. (∗ ): ε-NFA B = (X , QA ∪ {sA , fA }, δB , {sA }, {fA }) mit
∀a ∈ X : δB (a) = δA0 (a) und
δB (ε) = δA0 (ε) ∪ {(sA , fA ), (fA , sA )}
Fakt
Der oben definierte ε-NFA B akzeptiert die Sprache L(A)∗ .
309
Abschlusseigenschaften von REC(NFA)
Satz
Sind L und L0 NFA-akzeptierbare Sprachen, dann sind auch die
Sprachen
I
L ∪ L0 (Vereinigung)
I
L (Komplement)
I
L ∩ L0 (Schnitt)
I
L ◦ L0 (Verkettung)
I
Ln , L∗ (iterierte Verkettung)
I
LR (Spiegelung)
NFA-akzeptierbar.
dieselbe Aussage kürzer:
Die Menge REC(NFA) ist abgeschlossen unter
I
Mengenoperationen: ∪,
I
Sprachoperationen ◦, ∗ ,
(und damit auch ∩ und \)
R
310
Reguläre Ausdrücke und NFA
Satz
Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann durch einen regulären
Ausdruck definiert, wenn sie NFA-akzeptierbar ist.
zu zeigen ist:
1. Jede durch einen regulären Ausdruck definierte Sprache
ist NFA-akzeptierbar.
(Für jeden regulären Ausdruck E existiert ein NFA A mit
L(E) = L(A).)
2. Jede NFA-akzeptierbare Sprache ist durch einen regulären
Ausdruck definiert.
(Für jeden NFA A existiert ein regulärer Ausdruck E mit
L(E) = L(A).)
311
Konstruktion: Regulärer Ausdruck → NFA
zu zeigen:
Für jeden regulären Ausdruck E existiert ein NFA A mit
L(E) = L(A).
Beispiel: E = ab∗ + b
Induktive Konstruktion des NFA A
(Induktion über die Struktur des regulären Ausdruckes E):
IA L(∅), L(ε) und L(a) für alle a ∈ X sind NFA-akzeptierbar
(Tafel)
IS sind L(E) und L(F ) NFA-akzeptierbar, dann sind auch
I
I
I
L(E + F ) = L(E) ∪ L(F ),
L(EF ) = L(E) ◦ L(F ) und
L(E ∗ ) = L(E)∗
NFA-akzeptierbar
(wegen Abgeschlossenheit von REC(NFA) unter ∪, ◦, ∗ )
312
NFA und reguläre Grammatiken
Beispiel: NFA A = ({a, b}, {0, 1, 2}, δ, {0}, {2}) mit
δ(a) = {(0, 1)} und δ(b) = {(1, 0), (1, 2)}
reguläre Grammatik G = ({S, B}, {a, b}, P, S) mit
P = {S → aB, B → bS, B → b}
definieren beide die Sprache
L(A) = L(G) = (ab)+
Satz
Eine Sprache L ⊆ X ∗ ist genau dann NFA-akzeptierbar, wenn
L \ {ε} von einer regulären Grammatik (Chomsky-Typ 3)
erzeugt wird.
313
Konstruktion: reguläre Grammatik → NFA
gegeben: reguläre Grammatik G = (N, X , P, S) (Chomsky 3)
Konstruktion: NFA A = (X , Q, δ, I, F ) mit
Q = N ∪ {f }
mit f 6∈ N
I = {S}
F
= {f }
für jedes a ∈ X : δ(a) = {(A, B) | (A → aB) ∈ P}
∪{(A, f ) | (A → a) ∈ P}
Beispiel: Zur regulären Grammatik G = ({S, B}, {0, 1}, P, S)
mit P = {S → 0B, B → 0B, B → 1S, B → 0}
wird der NFA A = ({0, 1}, {S, B, f }, δ, {S}, {f }) mit
δ(0) = {(S, B), (B, B), (B, f )} und δ(1) = {(B, S)} konstruiert.
Fakt
Für den wie oben zur Grammatik G konstruierten NFA A gilt
L(G) = L(A).
314
Konstruktion: NFA → reguläre Grammatik
gegeben: NFA A = (X , Q, δ, I, F )
Konstruktion: reguläre Grammatik G = (N, X , P, S) mit
N = Q ∪ {S} mit S 6∈ Q
[
{p → aq | (p, q) ∈ δ(a)}
P =
a∈X
∪
[
{S → aq | ∃s ∈ I : (s, q) ∈ δ(a)}
a∈X
∪
[
{p → a | ∃f ∈ F : (p, f ) ∈ δ(a)}
a∈X
Beispiel: A = ({a, b}, {0, 1, 2}, δ, {0}, {2}) mit
δ(a) = {(0, 1), (1, 2)} und δ(b) = {(1, 1), (2, 1)}
konstruierte Grammatik G = ({S, 0, 1, 2}, {a, b}, P, S) mit
P = {0 → a1, 1 → b1, 1 → a2, 2 → b1, S → a1, 1 → a}
Fakt
Für die wie oben aus dem NFA A konstruierte Grammatik G gilt
L(G) = L(A) \ {ε}.
315
Was bisher geschah
I
I
Modellierung durch Zustandsübergangssysteme, z.B.
Münzschließfach, Fahrkartenautomat, lineares Solitaire
NFA A = (X , Q, δ, I, F ) (endlicher Automat)
I
I
vollständig, Vervollständigung
deterministisch (DFA), Potenzmengenkonstruktion
I
Akzeptanz von Wörtern durch NFA
I
von einem NFA A akzeptierte Sprache L(A)
Verhalten, Semantik des NFA A
I
NFA-akzeptierbare Sprachen REC(NFA)
REC(NFA) ist abgeschlossen unter den Operationen
∪, ∩, , ◦, ∗ , R
316
Algorithmische Lösungen für reguläre Sprachen
alle Sprachen in Eingaben endlich beschrieben, z.B. als NFA
Wortproblem Eingabe: (L, w),
Ausgabe: ja, falls w ∈ L, sonst nein
(Suche nach mit w markiertem Pfad im
Automatengraphen)
Leerheit Eingabe: L, Ausgabe: ja, falls L = ∅, sonst nein
(Erreichbarkeit akzeptierender Zustände in NFA für L)
Vollständigkeit Eingabe: L,
Ausgabe: ja, falls L = X ∗ (also L = ∅), sonst nein
(Erreichbarkeit im Automaten für L)
Endlichkeit Eingabe: L, Ausgabe: ja, falls L endlich, sonst nein
(Suche nach akzeptierendem Weg mit Schleife)
Disjunktheit Eingabe: L1 , L2 ,
Ausgabe: ja, falls L1 ∩ L2 = ∅, sonst nein
Inklusion Eingabe: L1 , L2 ,
Ausgabe: ja, falls L1 ⊆ L2 , sonst nein
?
(Test L1 ∩ L2 = ∅)
Gleichheit Eingabe: L1 , L2 ,
Ausgabe: ja, falls L1 = L2 , sonst nein
?
(Test (L1 ∩ L2 ) ∪ (L2 ∩ L1 ) = ∅)
317
Wiederholung: Chomsky-Hierarchie
Eine Grammatik G = (N, T , P, S) ist vom Chomsky-Typ
0 immer,
1 falls für jede Regel (l → r ) ∈ P gilt: |l| ≤ |r |
(monoton, kontextsensitiv)
2 falls Typ 1 und für jede Regel (l → r ) ∈ P gilt: l ∈ N
(kontextfrei)
3 falls Typ 2 und für jede Regel (l → r ) ∈ P gilt: r ∈ (T ∪ TN)
(regulär)
Eine Sprache L ⊆ T ∗ heißt vom Typ i für i ∈ {0, . . . , 3}, falls
L \ {ε} = L(G) für eine Grammatik G vom Typ i.
Li bezeichnet die Menge aller Sprachen vom Typ i.
Es gibt Sprachen, die durch keine Grammatik erzeugt werden, also
keinen Chomsky-Typ haben.
Warum? Für jedes endliche Alphabet X ist
I
die Menge aller Grammatiken G = (N, X , P, S) abzählbar,
I
die Menge 2(X
∗
)
aller Sprachen über X überabzählbar.
318
Charakterisierungen regulärer Sprachen
Für jede Sprache L ⊆ X ∗ über einem endlichen Alphabet X
sind die folgenden Aussagen äquivalent:
I
L ist regulär,
I
es existiert ein regulärer Ausdruck E ∈ RegExp(X ) mit
L = L(E),
I
L ∈ L3 (L hat Chomsky-Typ 3),
I
es existiert eine reguläre Grammatik G = (N, X , P, S) mit
L \ {ε} = L(G),
I
es existiert ein NFA A = (X , QA , δA , IA , FA ) mit L = L(A),
I
es existiert ein DFA B = (X , QB , δB , IB , FB ) mit L = L(B).
Die Menge L3 aller regulären Sprachen ist abgeschlossen
unter den Operationen ∪, ∩, , ◦, ∗ , R
319
Wiederholung: Kontextfreie Grammatiken
Grammatik G = (N, T , P, S) vom Chomsky-Typ 2
Alle Regeln in P haben die Form l → r mit
l ∈ N und r ∈ (N ∪ T )+
Grammatik G = (N, T , P, S) erzeugt die Sprache
L(G) = {w ∈ T ∗ | S →∗P w}
I
Syntax regulärer (arithmetischer, logischer) Ausdrücke
I
Syntax von Programmiersprachen
(zusammengesetzte Ausdrücke und Anweisungen)
320
Wiederholung: Beispiele kontextfreier Sprachen
Dyck-Sprache:
Menge aller korrekt geklammerten Ausdrücke, a für ( und b für )
erzeugt durch die Grammatik GD = ({S}, {a, b}, PD , S) mit
PD = {S → ε, S → SS, S → aSb}
(Chomsky-Typ 2 mit ε-Sonderregel)
Palindrom-Sprache (über X = {a, b})
erzeugt durch Grammatik GP = ({S}, {a, b}, PP , S) mit
PP = {S → ε, S → a, S → b, S → aSa, S → bSb}
(Chomsky-Typ 2 mit ε-Sonderregel)
Łukasiewicz-Sprache:
Menge aller Preorder-Durchquerungen von Binärbäumen mit
Markierungen der Blätter mit a und inneren Knoten mit b
erzeugt durch Grammatik GL = ({S}, {a, b}, PL , S) mit
PL = {S → b, S → aSS}
Warum sind diese Sprachen nicht NFA-akzepzierbar?
321
Maschinenmodelle
Definition (endliche Beschreibung) durch
I interne Steuerung
(z.B. endliche Menge von Zuständen)
I externen Speicher mit speziellen
Zugriffsmöglichkeiten
I Typ des Speicherinhaltes
(z.B. endliches Wort über endlichem
Alphabet)
I Zugriffsmethode (z.B. Lesen / Schreiben,
einmal / wiederholt, feste Reihenfolge)
Konfigurationen (Momentaufnahmen)
und endlich beschriebene Menge zulässiger
Übergänge zwischen Konfigurationen
schrittweise Berechnung : Folge von Konfigurationen von einer
Startkonfiguration über zulässige
Konfigurationsübergänge
Akzeptanz einer Eingabe durch akzeptierende Berechnung:
endliche Konfigurationenfolge zu einer akzeptierenden
Konfiguration
322
NFA als Maschinenmodell
algorithmische Lösung des Wortproblems w ∈ L für reguläre
Sprachen L (gegeben durch NFA A mit L = L(A))
NFA A = (X , Q, δ, I, F ) als abstrakte Maschine:
externer Speicher Eingabeband aus einzelnen Speicherzellen
(enthält ein Wort w ∈ X ∗ )
interner Speicher enthält einen Zustand aus Q
Steuerelement Zugriff auf
I Eingabeband (externer Speicher): Lesen
Bewegung in jedem Schritt eine Zelle nach
rechts
I Zustand (interner Speicher):
Lesen und Schreiben
323
Arbeitsweise des Maschinenmodells NFA
Start Steuerelement (Lesekopf) in einem Startzustand
über der ersten Zelle des Eingabewortes
Schritt
I
I
I
NFA liest Zeichen in der Zelle unter dem
Lesekopf
Zustandsübergang im Steuerelement
(entsprechend Übergangsrelation und
gelesenem Symbol)
Lesekopf bewegt sich zur rechten
Nachbarzelle
Ende Lesekopf auf Zelle ohne Eingabesymbol
NFA akzeptiert das Eingabewort,
falls akzeptierender Zustand im internen Speicher
324
Konfigurationen eines NFA
NFA A = (X , Q, δ, I, F )
Konfiguration (q, w) mit
aktuellem Zustand q ∈ Q und
ungelesenem Teil des Eingabewortes w ∈ X ∗
Startkonfiguration (s, u) mit
Startzustand s ∈ I und Eingabewort u ∈ X ∗
Akzeptierende Konfiguration (f , ε) mit akzeptierendem Zustand f ∈ F
Folgekonfiguration zur Konfiguration (p, aw) mit a ∈ X und w ∈ X ∗ :
Konfiguration (q, w) mit (p, q) ∈ δ(a)
Notation: (p, aw) ` (q, w)
Berechnung für Eingabewort w ∈ X ∗ in A:
Folge ((q0 , u0 ), . . . , (qn , un )) von Konfigurationen, wobei
für alle i ∈ {0, . . . , n − 1} gilt (qi , ui ) ` (qi+1 , ui+1 )
akzeptierende Berechnung für Eingabewort w ∈ X ∗ in A:
Berechnung für w mit Endkonfiguration (qn , vn ) = (f , ε)
(analog zu akzeptierendem Pfad für w in A)
325
Beispiel
A = ({a, b}, {0, 1, 2}, δ, {0}, {2}) mit
δ(a) = {(0, 0), (1, 2)} und δ(b) = {(0, 1), (2, 2)}
b
a
b
0
1
a
2
Eingabewort aabab
Startkonfiguration (0, aabab)
Endkonfiguration (2, ε)
akzeptierende Berechnung für Eingabewort aabab in A:
(0, aabab) ` (0, abab) ` (0, bab) ` (1, ab) ` (2, b) ` (2, ε)
Man bemerke die Analogie zum akzeptierenden Pfad
a
a
b
a
b
0→0→0→1→2→2
für aabab in A
326
Maschinenmodelle und Algorithmen
Algorithmus:
in Schritte geordnete Arbeitsvorschrift
I
endliche Beschreibung
I
eines schrittweise ausgeführten Verfahrens
I
in einer formalen Beschreibungssprache.
Arbeitsweise abstrakter Maschinen:
I
endliche Beschreibung in einer formalen Sprache
(Übergangsrelation, Programm)
I
schrittweise Bearbeitung
I
(Ergebnis nach endlich vielen Schritten)
Jede abstrakte Maschine führt einen Algorithmus aus.
(z.B. zur Lösung des Wortproblems (L, w) für reguläre
Sprachen L)
327
Parameter abstrakter Maschinenmodelle
Verschiedene Maschinenmodelle unterscheiden sich in
I
Art (Datentyp) und Kapazität des internen und externen
Speichers
I
Art des Zugriffs auf internen und externen Speicher
I
Reihenfolge der Zugriffe (einmalig, wiederholt)
I
Determinismus
Maschinen definieren (akzeptieren) Sprachen:
Menge aller Eingaben mit akzeptierenden
Berechnungen
Maschinenmodelle definieren Sprachklassen:
Menge aller durch eine solche Maschine
definierten Sprachen
328
Kellerautomaten – Motivation
L = {wcw R | w ∈ {a, b}∗ } ist kontextfrei, aber nicht regulär
(NFA-akzeptierbar).
gesucht: (einfaches) Maschinenmodell, welches die Sprache L
akzeptiert
Maschine benötigt Speicher für Folge von Symbolen, um auf
diese in umgekehrter Reihenfolge zugreifen zu können
passender ADT für den internen Speicher mit dieser
Eigenschaft:
Stack (Keller) mit seinen Operationen zum
I
Einfügen (push)
I
Lesen des „oberen “ Symbols (top)
I
Entfernen des „oberen “ Symbols (pop)
Kellerautomat (pushdown automaton, PDA):
Erweiterung von NFA (mit ε-Übergängen)
um internen Speicher (Keller, Stack)
329
Kellerautomaten – Definition
nichtdeterministischer Kellerautomat (PDA)
A = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , ⊥) mit
X Alphabet (endlich, nichtleer)
Q Menge von Zuständen (endlich, nichtleer)
Γ Kelleralphabet (endlich, nichtleer)
q0 ∈ Q Startzustand
F ⊆ Q Menge der akzeptierenden Zustände
δ : (X ∪ {ε}) → (Q × Q × Γ × Γ∗ )
Übergangsrelationen mit Änderung des
Kellerinhaltes
⊥ ∈ Γ Kellerboden-Symbol
330
PDA – Beispiel
PDA A = ({a, b, c}, {q0 , p, q}, {⊥, A, B}, δ, q0 , {q}, ⊥) mit
δ(a) = {(q0 , q0 , K , AK ), (p, p, A, ε)} mit K ∈ {⊥, A, B}
δ(b) = {(q0 , q0 , K , BK ), (p, p, B, ε)} mit K ∈ {⊥, A, B}
δ(c) = {(q0 , p, K , K )} mit K ∈ {⊥, A, B}
δ(ε) = {(p, q, ⊥, ⊥)}
a:
b:
K | AK
K | BK
q0
a:
b:
c:K |K
A|ε
B|ε
p
ε:⊥|⊥
q
mit K ∈ {⊥, A, B}
331
PDA – Konfigurationen
Konfiguration (q, w, k ) ∈ Q × X ∗ × Γ∗ mit
I
Zustand q ∈ Q
I
(noch zu lesendes) Eingabewort w ∈ X ∗
I
Kellerinhalt k ∈ Γ∗
I
Startkonfigurationen (q0 , w, ⊥) mit w ∈ X ∗ beliebig
I
Übergang zwischen Konfigurationen:
(p, aw, Gk ) ` (q, w, k 0 k ) mit (p, q, G, k 0 ) ∈ δ(a) für k ∈ Γ∗
und (p, w, Gk ) ` (q, w, k 0 k ) mit (p, q, G, k 0 ) ∈ δ(ε) für k ∈ Γ∗
I
akzeptierende Konfigurationen (q, ε, k ) mit q ∈ F , k ∈ Γ∗
akzeptierende Berechnung (Konfigurationenfolge) für w in A:
Folge (q0 , w0 , k0 ) ` · · · ` (qn , wn , kn ) von Konfigurationen mit
1. (q0 , w0 , k0 ) ist eine Startkonfiguration mit w0 = w.
2. (qn , wn , kn ) ist eine akzeptierende Konfiguration mit wn = ε.
3. Für jedes i ∈ {1, . . . , n} gilt (qi−1 , wi−1 , ki−1 ) ` (qi , wi , ki ).
332
Von PDA akzeptierte Sprachen
PDA A = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , ⊥) akzeptiert das Wort w ∈ X ∗ gdw.
eine akzeptierende Berechnung (Konfigurationenfolge) mit der
Startkonfiguration (q0 , w, ⊥) existiert.
PDA A = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , ⊥) akzeptiert die Sprache
L(A) = {w ∈ X ∗ | A akzeptiert w}
Sprache L heißt PDA-akzeptierbar gdw. ein PDA A mit
L = L(A) existiert.
PDA A und B heißen äquivalent gdw. L(A) = L(B)
333
PDA-Akzeptanz – Beispiel
PDA A = ({a, b}, {q0 , p, q}, {⊥, x}, δ, q0 , {q}, ⊥) mit
δ(a) = {(q0 , q0 , K , xK )} für K ∈ {x, ⊥}
δ(b) = {(p, p, x, ε)}
δ(ε) = {(q0 , p, K , K ), (p, q, ⊥, ⊥)} mit K ∈ {x, ⊥}
a : K | xK
q0
b:x |ε
ε:K |K
p
ε:⊥|⊥
q
für K ∈ {x, ⊥}
A akzeptiert das Wort aabb über die Konfigurationenfolge
(q0 , aabb, ⊥) ` (q0 , abb, x⊥) ` (q0 , bb, xx⊥) ` (p, bb, xx⊥)
` (p, b, x⊥) ` (p, ε, ⊥) ` (q, ε, ⊥)
und ε über die Konfigurationenfolge (q0 , ε, ⊥) ` (p, ε, ⊥) ` (q, ε, ⊥)
aber nicht abb, aba
Es gilt L(A) = {an bn | n ∈ }
Damit ist die Sprache {an bn | n ∈ } PDA-akzeptierbar.
N
N
334
Deterministische PDA
PDA A = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , ⊥) heißt deterministisch (DPDA)
gdw.
∀a ∈ X ∀q ∈ Q ∀K ∈ Γ : |{(p, B) | (q, p, K , B) ∈ δ(a) ∪ δ(ε)}| ≤ 1
Sprache L heißt deterministisch kontextfrei gdw. ein
deterministischer PDA A mit L = L(A) existiert.
Beispiele:
N} ist deterministisch kontextfrei,
I
L = {an bn | n ∈
I
L0 = {wcw R ∈ {a, b}∗ | w ∈ {a, b}∗ } ist deterministisch
kontextfrei,
I
L00 = {waw R ∈ {a, b}∗ | w ∈ {a, b}∗ } nicht.
Die Menge aller durch deterministische PDA akzeptierbaren
Sprachen ist eine echte Teilmenge der Menge aller durch PDA
akzeptierbaren Sprachen.
335
Was bisher geschah
abstrakte Maschinenmodelle:
I
Definition:
I
I
I
Steuerelement
externer Speicher (Ein- und Ausgabe)
interner Speicher
I
Konfiguration (Start-, akzeptierend, Übergänge)
I
Berechnung
I
akzeptierte Sprache einer Maschine
I
akzeptierte Sprachklasse eines Maschinenmodells
PDA (Kellerautomat) A = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , ⊥)
I
nichtdeterministisch (PDA)
I
deterministisch (DPDA)
Menge aller durch DPDA akzeptierbaren Sprachen ist eine echte
Teilmenge der Menge aller durch PDA akzeptierbaren Sprachen.
Beispiel: L = {waw R | w ∈ {a, b}∗ } ∈ REC(PDA) \ REC(DPDA)
336
Schnitt PDA-akzeptierbarer mit regulären Sprachen
Satz
I
Sind L eine PDA-akzeptierbare und L0 eine reguläre Sprache,
dann ist die Sprache L ∩ L0 PDA-akzeptierbar.
I
Sind L eine durch einen DPDA-akzeptierbare und L0 eine
reguläre Sprache, dann ist die Sprache L ∩ L0 durch einen DPDA
akzeptierbar.
gegeben: PDA A = (X , QA , Γ, δA , iA , FA , ⊥) mit L = L(A)
DFA B = (X , QB , δB , {iB }, FB ) mit L0 = L(B)
N
Beispiel: Dyck-Sprache ∩ a∗ b∗ = {an bn | n ∈ }
Produktkonstruktion:
PDA C = (X , QA × QB , Γ, δ, (iA , iB ), FA × Fb , ⊥) mit
(pA , qA , G, k ) ∈ δA (a)
∀a ∈ X : δ(a) =
((pA , pB ), (qA , qB ), G, k ) |
∧(pB , qB ) ∈ δB (a)
δ(ε)
=
{((pA , pB ), (qA , pB ), G, k ) | (pA , qA , G, k ) ∈ δA (ε)}
Für den oben konstruierten PDA C gilt L(C) = L(A) ∩ L(B).
337
Spezialfall: Schnitt regulärer Sprachen
schon bekannt: REC(NFA) ist unter ∩ abgeschlossen.
gegeben: DFA A = (X , QA , δA , {iA }, FA )
DFA B = (X , QB , δB , {iB }, FB )
Beispiel: (ab)∗ ∩ a∗ b∗ a∗
Produktkonstruktion:
DFA C = (X , QA × QB , δ, {(iA , iB )}, FA × Fb ) mit
(pA , qA ) ∈ δA (a)
∀a ∈ X : δ(a) =
((pA , pB ), (qA , qB )) |
∧(pB , qB ) ∈ δB (a)
Für den oben konstruierten DFA C gilt L(C) = L(A) ∩ L(B).
338
PDA – Akzeptanz durch leeren Keller
alternative Akzeptanzbedingung
akzeptierende Konfigurationen: (q, ε, ε) mit q ∈ Q beliebig
Angabe akzeptierender Zustände überflüssig
Beispiel: L = {an bn | n ∈ } ist PDA-akzeptierbar durch
PDA A = ({a, b}, {q0 , p}, {⊥, x}, δ, q0 , ⊥) mit
δ(a) = {(q0 , q0 , K , xK )} für K ∈ Γ
δ(b) = {(p, p, x, ε)}
δ(ε) = {(q0 , p, K , K ), (q0 , p, ⊥, ε), (p, p, ⊥, ε)} für K ∈ {x, ⊥}
N
b:
ε:
a : K | xK
q0
ε:
ε:
K |K
⊥|ε
x |ε
⊥|ε
p
für K ∈ {x, ⊥}
339
Akzeptanzbedingungen für PDA
zwei Möglichkeiten zur Definition akzeptierender Konfigurationen:
1. Akzeptanz durch akzeptierenden Zustand (analog NFA):
(q, ε, k ) mit q ∈ F und k ∈ Γ∗ beliebig
2. Akzeptanz durch leeren Keller:
(q, ε, ε) mit q ∈ Q beliebig
Beispiel: Die Sprache L = {an bn | n ∈
durch
akzeptierende
Zustände
akzeptiert durch den PDA A =
({a, b}, {q0 , p, q}, {⊥, x}, δ, q0 , {q}, ⊥)
mit
a : K | xK
q0
b:x |ε
ε:K |K
p
ε:⊥|⊥
q
N} wird
mit leerem Keller akzeptiert durch den PDA B =
({a, b}, {q0 , p, q}, {⊥, x}, δ, q0 , ⊥)
mit
a : K | xK
ε:
ε:
q0
b:
ε:
K |K
⊥|ε
x |ε
⊥|ε
p
für K ∈ {x, ⊥}
340
Äquivalenz beider Akzeptanzbedingungen
Satz
1. Zu jedem PDA mit akzeptierenden Zuständen existiert ein
äquivalenter PDA, der mit leerem Keller akzeptiert.
2. Zu jedem PDA, der mit leerem Keller akzeptiert, existiert ein
äquivalenter PDA mit akzeptierenden Zuständen.
Idee (PDA-Transformationen):
1. PDA mit akzeptierenden Zuständen → PDA mit leerem Keller:
neues Kellerboden-Symbol und neuen Endzustand hinzufügen,
ursprünglicher Automat arbeitet „darüber“,
nach Übergang in einen akzeptierenden Zustand ε-Übergänge
in diesem akzeptierenden Zustand zum Entfernen aller
restlichen Kellersymbole
2. PDA mit leerem Keller → PDA mit akzeptierenden Zuständen:
neuen (einzigen) akzeptierenden Zustand hinzufügen,
für jeden Übergang in eine Konfiguration mit leerem Keller einen
Übergang in diesen akzeptierenden Zustand hinzufügen.
341
Kontextfreie Grammatiken und PDA
schon bekannt:
L3 = REC(NFA)
Die Menge aller regulären (Chomsky-Typ 3) Sprachen ist
genau die Menge aller NFA-akzeptierbaren Sprachen.
Nachweis durch Übersetzungen
I
reguläre Grammatik G → NFA A mit L(A) = L(G)
I
NFA A → reguläre Grammatik G mit L(A) = L(G)
Satz
L2 = REC(PDA)
Die Menge aller kontextfreien (Chomsky-Typ 2) Sprachen ist
genau die Menge aller PDA-akzeptierbaren Sprachen.
342
Kontextfreie Grammatik → PDA
Lemma
Zu jeder kontextfreien Grammatik G existiert ein PDA A mit
L(A) = L(G).
Beispiel: Łukasiewicz-Sprache erzeugt durch die Grammatik
G = ({S}, {a, b}, P, S) mit P = {S → b, S → aSS}
gegeben: kontextfreie Grammatik G = (N, X , P, S)
Idee: Tiefensuche im Ableitungsbaum (Linksableitung)
PDA A = (X , {q}, N ∪ X , δ, q, S) mit
δ(ε)
∀a ∈ X : δ(a)
= {(q, q, B, w) | B → w ∈ P}
= {(q, q, a, ε)}
akzeptiert mit leerem Keller
Für den so konstruierten PDA A gilt L(A) = L(G).
Nachweis: Eindeutige Zuordnung zwischen Linksableitungen
S → u 1 A1 v 1 → u 1 u 2 A2 v 2 → · · · → u 1 . . . u m−1 Am−1 v m−1 → w = u 1 . . . u m
und akzeptierenden Berechnungen für w = u 1 . . . u m
(q, w, S) ` (q, u 1 . . . u m , u 1 A1 v 1 ) ` · · · ` (q, u 2 . . . u m , A1 v 1 )
` (q, u 2 . . . u m , u 2 A2 v 2 ) ` · · · ` (q, u m , u m ) ` · · · ` (q, ε, ε)
343
PDA → kontextfreie Grammatik
Beispiel: PDA A = ({a, b}, {q}, {X , ⊥}, δ, q, ⊥} (LK-Akzeptanz)
mit δ(a) = {(q, q, X , XX )(q, q, ⊥, X ⊥)},
δ(b) = {(q, q, X , ε)} und δ(ε) = {(q, q, ⊥, ε)}
Lemma
Zu jedem PDA A existiert eine kontextfreie Grammatik G mit
L(A) = L(G).
Nacheinanderausführung der Konstruktionen
PDA → kontextfreie Grammatik → PDA
führt zur folgenden Aussage:
Folgerung
Zu jedem PDA existiert ein äquivalenter PDA mit einem
Zustand, der mit leerem Keller akzeptiert.
344
PDA → kontextfreie Grammatik (Vorbereitung)
Fakt
Jeder PDA A = (X , Q, Γ, δ, q0 , ⊥) (LK-Akzeptanz) ist äquivalent
zu einem PDA B = (X , Q 0 , Γ0 , δ 0 , q00 , ⊥0 ) (LK-Akzeptanz) mit der
Eigenschaft
∀a ∈ X ∪ {ε} ∀(p, q, G, w) ∈ δ 0 (a) : |w| ≤ 2
Konstruktion: für jedes a ∈ x ∪ {ε}
Ersetzung jedes Überganges (p, q, G, w) ∈ δ(a) für
w = w1 . . . wn mit n > 2 durch die Regeln
(p, p1 , G, wn−1 wn ) ∈ δ(a)
(p1 , p2 , wn−1 , wn−2 wn−1 ) ∈ δ(ε)
..
.
(pn−1 , q, w2 , w1 w2 ) ∈ δ(ε)
mit neu hinzugefügten Zuständen p1 , . . . , pn−1
345
PDA → kontextfreie Grammatik (Idee)
gegeben: PDA A = (X , Q, Γ, δ, q0 , ⊥) (LK-Akzeptanz) mit
∀a ∈ X ∪ {ε} ∀(p, q, G, w) ∈ δ(a) : |w| ≤ 2
Ziel: Konstruktion einer kontextfreien Grammatik G = (N, X , P, S), so
dass die Linksableitungen in G genau den akzeptierenden
Berechnungen in A entsprechen.
akzeptierende Berechnung für w in A:
(q0 , w, ⊥) ` · · · ` (q, ε, ε)
mögliche Konfigurationsübergänge in A:
I
oberes Kellersymbol löschen (p, q, A, ε) ∈ δ(a) für a ∈ X ∪ {ε}
entspricht Grammatikregel (p, A, q) → a
I
oberes Kellersymbol durch genau ein neues ersetzen
(p, q, A, B) ∈ δ(a) für a ∈ x ∪ {ε}
entspricht Grammatikregel (p, A, q 0 ) → a(q, B, q 0 ) für alle q 0 ∈ Q
I
oberes Kellersymbol durch genau zwei neue ersetzen
(p, q, A, BC) ∈ δ(a) für a ∈ x ∪ {ε}
entspricht Grammatikregel (p, A, q 0 ) → a(q, B, r )(r , C, q 0 ) für alle
q0, r ∈ Q
346
PDA → kontextfreie Grammatik (Konstruktion)
gegeben: PDA A = (X , Q, Γ, δ, q0 , ⊥) (LK-Akzeptanz) mit
∀a ∈ X ∪ {ε} ∀(p, q, G, w) ∈ δ(a) : |w| ≤ 2
Konstruktion kontextfreier Grammatik G = (N, X , P, S) mit
N =
(Q × Γ × Q) ∪ {S}
P = {S → (q0 , ⊥, q) | q ∈ Q}
∪ {(p, B, q) → a | (p, q, B, ε) ∈ δ(a)}
∪ {(p, B, q) → a(p0 , C, q) | (p, p0 , B, C) ∈ δ(a) ∧ q ∈ Q}
∪ {(p, B, q) → a(p0 , C, q)(q, D, q 0 ) | (p, p0 , B, CD) ∈ δ(a) ∧ q, q 0 ∈ Q}
Für die so konstruierte Grammatik G gilt L(A) = L(G).
347
PDA → kontextfreie Grammatik (Beispiel)
PDA A = ({a, b}, {q}, {X , ⊥}, δ, q, ⊥} (LK-Akzeptanz) mit
δ(a) = {(q, q, X , XX )(q, q, ⊥, X ⊥)},
δ(b) = {(q, q, X , ε)}, δ(ε) = {(q, q, ⊥, ε)}
G = (N, X , P, S) zu A mit
N = {S, (q, ⊥, q), (q, X , q)}

S → (q, ⊥, q)




 (q, X , q) → b
(q, ⊥, q) → ε
P =


(q, X , q) → a(q, X , q)(q, X , q)



(q, ⊥, q) → a(q, X , q)(q, ⊥, q)
wegen (q, q, X , ε) ∈ δ(b)
wegen (q, q, ⊥, ε) ∈ δ(ε)
wegen (q, q, X , XX ) ∈ δ(a)
wegen (q, q, ⊥, X ⊥) ∈ δ(a)
348
Abschlusseigenschaften von CF
Sind L1 und L2 kontextfreie Sprachen, dann sind auch
I
L1 ∪ L2
I
L1 ◦ L2
I
L∗1
I
L1 ∩ L0 für jede reguläre Sprache L0
kontextfreie Sprachen.
Die Menge aller kontextfreien Sprachen ist nicht abgeschlossen
unter
I
Schnitt
Beispiel: L1 = {ai bi c k | i, k > 0} ∈ CF und
L2 = {ai bk c k | i, k > 0} ∈ CF, aber
L1 ∩ L2 = {ai bi c i | i > 0} 6∈ CF nicht.
I
Komplement (Warum ?)
349
Algorithmische Lösungen für kontextfreie Sprachen
algorithmisch entscheidbar sind
Wortproblem: Eingabe (L, w) (durch PDA A mit L = L(A))
Ausgabe: ja, falls w ∈ L, sonst nein
(Akzeptanz durch A)
I Leerheit: Eingabe L (durch CFG G mit L = L(G)),
Ausgabe: ja, falls L(G) = ∅, sonst nein
(ja, falls Startsymbol der Grammatik kein Terminalwort erzeugt)
I Endlichkeit: Eingabe L,
Ausgabe: ja, falls L endlich, sonst nein
(Pumping-Lemma, hier nicht gezeigt)
I
nicht algorithmisch entscheidbar sind
Inklusion: Eingabe L1 , L2 ,
Ausgabe: ja, falls L1 ⊆ L2 , sonst nein
I Gleichheit: Eingabe L1 , L2 ,
Ausgabe: ja, falls L1 = L2 , sonst nein
I Disjunktheit: Eingabe L1 , L2 ,
Ausgabe: ja, falls L1 ∩ L2 = ∅, sonst nein
I Kontextfreiheit des Schnittes: Eingabe L1 , L2 ,
Ausgabe: ja, falls L1 ∩ L2 kontextfrei, sonst nein
I
350
Was bisher geschah
Reguläre Sprachen (REG):
erzeugt durch reguläre Grammatik (Chomsky-Typ 3),
akzeptiert von NFA, DFA
abgeschlossen unter ∪, ∩, , ◦, ∗ , R
Anwendungen z.B. Suchen von Zeichenketten in Texten,
Darstellung von Bezeichnern, Konstanten
nicht-reguläre Sprachen , z.B. {an bn | n ∈ }, Dyck-Sprachen,
2
{w ∈ {a, b}∗ | w = w R }, {an | n ∈ }
N
N
Kontextfreie Sprachen (CF):
erzeugt durch kontextfreie Grammatik (Chomsky-Typ 2)
akzeptiert von PDA
abgeschlossen unter ∪, ◦, ∗ , R
Anwendungen z.B. Syntax regulärer und arithmetischer Ausdrücke,
Formeln, Programmier- und Beschreibungssprachen,
(natürlichen Sprachen),
nicht-kontextfreie Sprachen , z.B. {an bn c n | n ∈ },
2
{ww | w ∈ {a, b}∗ }, {an | n ∈ }
N
N
351
Wiederholung: Maschinenmodelle
Definition (endliche Beschreibung) durch
I interne Steuerung
(z.B. endliche Menge von Zuständen)
I externen und internen Speicher mit speziellen
Zugriffsmöglichkeiten
I Typ des Speicherinhaltes
(z.B. endliches Wort über endlichem
Alphabet)
I Zugriffsmethode (z.B. Lesen / Schreiben,
einmal / wiederholt, feste Reihenfolge)
Konfigurationen (Momentaufnahmen)
und endliche Menge zulässiger lokaler Übergänge
zwischen Konfigurationen
schrittweise Berechnung : Folge von Konfigurationen von einer
Startkonfiguration über zulässige
Konfigurationsübergänge
Akzeptanz einer Eingabe durch akzeptierende Berechnung:
endliche Konfigurationenfolge zu einer akzeptierenden
Konfiguration
352
Unendliche Konfigurationsfolgen
Jede Instanz eines Maschinenmodells (gegebener NFA, DFA, PDA,
DPDA, TM) definiert ein Zustandsübergangssystem (gerichteter
Graph):
Knoten: Konfigurationen (Zustände)
darunter Start- und akzeptierende Konfigurationen
Kanten: zulässige Konfigurationsübergänge
Beispiel:
PDA B = ({a}, {0, 1}, {⊥, X }, δB , 0, {0}, ⊥) mit
δA (a) = {(0, 1, ⊥, ⊥), (0, 1, X , X )},
δA (ε) = {(0, 1, ⊥, X ⊥), (1, 0, X , ε)}
Beobachtung: In PDA mit ε-Übergängen können unendliche
Konfigurationsfolgen existieren.
Aber: Akzeptierende Konfigurationsfolgen für endliche Wörter sind
immer endlich.
Deshalb sind unendliche Konfigurationsfolgen für die Definition von
Sprachen und Sprachklassen endlicher Wörter irrelevant.
353
Wiederholung – Sprachen vom Chomsky-Typ 0
Regeln der Form l → r mit l ∈ (N ∪ T )+ und r ∈ (N ∪ T )∗
Beispiel: G = ({A, B, C}, {a, b, c}, P, A) mit


A
→ aABC 







A
→
aBC








 CB → BC

aB → ab
P=




 bB → bb









bC
→
bc




cC → cc
(sogar Chomsky-Typ 1)
definiert die Sprache L(G) = {an bn c n | n ∈
N \ {0}}
354
Turing-Maschine – Idee
Ziel: Maschinenmodell für Sprachen vom Chomsky-Typ 0 (und 1)
Komponenten des Maschinenmodells:
I
Steuereinheit: Lese/Schreib-Kopf
I
interner Speicher:
1. endliche Menge von Zuständen (Lesen / Schreiben)
2. beidseitig unendliches Arbeitsband aus Zellen
I
I
I
Typ des Speicherinhaltes:
endliches Wort über endlichem Alphabet (Arbeitsalphabet)
Zugriffsmethode: Lesen / Schreiben
Bewegung des Lese/Schreib-Kopfes auf ein Nachbarfeld
externer Speicher:
3. beidseitig unendliches Eingabeband aus Zellen
I
I
Typ des Speicherinhaltes:
endliches Wort über endlichem Alphabet (Eingabealphabet)
Zugriffsmethode: Lesen
Bewegung des Lese-Kopfes auf ein Nachbarfeld
übliche Vereinfachung der Struktur:
Zusammenfassen der Bänder im internen und externen Speicher zu
einem Eingabe- und Arbeitsband (2,3) mit Lese/Schreib-Zugriff
355
Turing-Maschine – Definition
Turing-Maschine (TM) M = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , ) mit
X endliches Eingabealphabet
Q endliche Menge von Zuständen
Γ ⊃ X endliches Arbeitsalphabet
δ ⊆ (Γ × Q × Γ × Q × {L, R, N})
Übergangsrelation
q0 Startzustand
F akzeptierende Zustände
∈ Γ \ X Leere-Zelle-Symbol
TM M heißt deterministisch gdw.
∀a ∈ Γ∀q ∈ Q : | {(a, q, b, p, x) | p ∈ Q, b ∈ Γ, x ∈ {L, R, N}}∩δ| ≤ 1
356
Beispiele für Turing-Maschinen
I
TM M1 = ({a, b}, {q0 , f }, {a, b, }, δ, q0 , {f }, ) mit
δ = {(a, q0 , a, q0 , L), (b, q0 , b, q0 , L), (, q0 , , f , R)}
I
TM M2 = ({a, b}, {q0 , qa , qb , f }, {a, b, }, δ, q0 , {f }, ) mit




 (a, q0 , , qa , R), (b, q0 , , qb , R),



(a, qa , a, qa , R), (b, qa , b, qa , R),
δ=
(a, qb , a, qb , R), (b, qb , b, qb , R),






(, q0 , , f , R), (, qa , a, f , R), (, qb , b, f , R)
I
TM M3 = ({1}, {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 , f }, {1, x, }, δ, q0 , {f }, ) mit
δ
= {(1, q0 , 1, q1 , R), (1, q1 , x, q2 , R), (1, q2 , 1, q3 , R)}
∪ {(1, q3 , x, q2 , R), (1, q4 , 1, q4 , L), (x, q1 , x, q1 , R)}
∪ {(x, q2 , x, q2 , R), (x, q3 , x, q3 , R), (x, q4 , x, q4 , L)}
∪ {(, q1 , , f , L), (, q2 , , q4 , L), (, q4 , , q0 , R)}
357
Konfigurationen einer TM
TM M = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , )
Konfiguration (u, q, v ) ∈ (Γ∗ × q × Γ∗ ) bedeutet:
I
I
I
aktueller Bandinhalt: w = uv
aktueller Zustand der TM: q
Schreib-/Lesekopf der TM zeigt auf erstes Symbol von v
(Leere-Zelle-Symbol, falls v = ε)
Startkonfigurationen (, q0 , w) mit w ∈ X ∗
akzeptierende Konfigurationen (u, q, v ) mit q ∈ F
Konfigurationsübergänge von (ua, p, bv ):
für (b, p, c, q, R) ∈ δ : (ua, p, bv ) ` (uac, q, v )
für (b, p, c, q, L) ∈ δ : (ua, p, bv ) ` (u, q, acv )
für (b, p, c, q, N) ∈ δ : (ua, p, bv ) ` (ua, q, cv )
358
Akzeptanz durch TM
TM M = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , )
M akzeptiert das Wort w ∈ X ∗ gdw.
eine Folge k0 , . . . , kn von Konfigurationen ki ∈ Γ∗ × Q × Γ∗
exisiert, so dass gilt:
1. k0 = (, q0 , w) ist die Startkonfiguration mit Eingabe w
2. kn ∈ Γ∗ × F × Γ∗ ist eine akzeptierende Konfiguration
3. für jedes i ∈ {1, . . . , n} ist ki−1 ` ki ein zulässiger
Konfigurationsübergang
Beispiele:
n
L(M1 ) = L(M2 ) = {a, b}∗ , L(M3 ) = {1(2 ) | n ∈
N}
M akzeptiert die Sprache L(M) = {w ∈ X ∗ | M akzeptiert w}
L ⊆ X ∗ heißt Turing-akzeptierbar gdw. eine TM M mit L = L(M)
existiert.
359
Was bisher geschah
Maschinenmodelle:
endliche Automaten: alle regulären Sprachen (Chomsky-Typ 3)
durch nichtdeterministisches (NFA) und
deterministisches (DFA) Maschinenmodell
akzeptierbar.
(Transformation von NFA in äquivalente DFA möglich.)
REC(NFA) = REG abgeschlossen unter ∪, ∩, , ◦, ∗ , R
PDA : alle kontextfreien Sprachen (Chomsky-Typ 2) durch
nichtdeterministisches Maschinenmodell (PDA)
akzeptierbar,
aber nicht durch deterministisches Maschinenmodell
(keine Transformation möglich)
REC(PDA) = CF abgeschlossen unter ∪, ◦, ∗ , R und
Schnitt mit REG, aber nicht unter ∩,
TM : REC(TM) entspricht Chomsky-Typ ?
akzeptieren deterministisches und
nichtdeterministisches Modell dieselbe Sprachklasse ?
abgeschlossen unter ?
360
NFA (X , Q, δ, I, F )
I
I
Eingabeband (externer Speicher) enthält w ∈ X ∗
Zugriff durch Lesekopf auf einer Zelle des Eingabebandes,
Bewegung auf rechte Nachbarzelle
interner Speicher: q ∈ Q, Zugriff Lesen / Schreiben
PDA (X , Q, Γ, δ, q0 , F , ⊥)
I
I
Eingabeband (externer Speicher) enthält w ∈ X ∗
Zugriff durch Lesekopf auf einer Zelle des Eingabebandes
keine Bewegung oder Bewegung auf rechte Nachbarzelle
interner Speicher:
I
I
q ∈ Q, Zugriff Lesen / Schreiben
Stack k ∈ Γ∗ (Zugriff mit push, pop, top)
TM (X , Q, Γ, δ, q0 , F , )
I
I
(Eingabe- und Arbeits-)Band (externer und interner
Speicher) enthält zu Beginn w ∈ X ∗
Zugriff durch Lese/Schreibkopf auf eine Zelle
keine, Rechts- oder Links-Bewegung auf Nachbarzelle
interner Speicher: q ∈ Q, Zugriff Lesen / Schreiben
361
Turing-Maschine – Beispiel
TM M = ({a, b, c}, {q0 , q1 , q2 , q3 , f }, {a, b, x, }, δ, q0 , {f }, ) mit


(, q0 , , f , N), 






(, q3 , , q0 , R), 








(a,
q
,
x,
q
,
R),


0
1






(a,
q
,
a,
q
,
R),


1
1






(a,
q
,
a,
q
,
L),


3
3





 (b, q1 , x, q2 , R), 

(b, q2 , b, q2 , R),
δ=



(b, q3 , b, q3 , L), 








(c,
q
,
x,
q
,
L),


2
3






(x,
q
,
x,
q
,
R),


0
0






(x,
q
,
x,
q
,
R),


1
1






(x,
q
,
x,
q
,
R),


2
2




(x, q3 , x, q3 , L)
akzeptiert L(M) = {an bn c n | n ∈
N}
362
Berechnung einer Turing-Maschine
Möglichkeiten für Berechnungen einer TM M für ein
Eingabewort w:
1. Berechnung endet in einer akzeptierenden Konfiguration
(u, p, v ) (d.h. p ∈ F ),
2. Berechnung endet in einer nicht-akzeptierenden
Konfiguration (u, p, v ) (d.h. p 6∈ F ),
3. Berechnung endet nicht (unendliche Berechnung).
Im Fall 1 akzeptiert M das Eingabewort w, in Fall 2 und 3 nicht.
Zu jeder TM M existiert eine TM M 0 , so dass L(M) = L(M 0 ) und
in M 0 jede endliche nicht-fortsetzbare Berechnung in einer
akzeptierenden Konfiguration endet.
(d.h. Fall 2 kommt in M 0 nicht vor)
363
Alternative Akzeptanzbedingung für TM
TM M = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , ) hält in einer Konfiguration
(u, q, v ) ∈ Γ∗ × Q × Γ∗ gdw. aus (u, q, v ) kein
Konfigurationsübergang in M möglich ist.
Zu jeder TM M existiert eine TM M 0 mit L(M) = L(M 0 ) ohne
Nachfolgekonfigurationen aus akzeptierenden Konfigurationen.
(evtl. neuen akzeptierenden Zustand hinzufügen)
Fakt
Zu jeder TM M existiert eine TM M 0 mit L(M) = L(M 0 ), die nur in
akzeptierenden Konfigurationen hält.
(Schleifen in nicht-akzeptierenden Zuständen hinzufügen)
Fakt
Zu jeder TM M existiert eine TM M 0 , so dass für jedes w ∈
M akzeptiert w gdw. M 0 bei Eingabe von w hält.
X∗ :
Akzeptierende Zustände sind bei Akzeptanz durch Halt irrelevant
(analog PDA-Akzeptanz durch leeren Keller).
364
TM für Verschiebung
TM
M = ({0, •, 1}, {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , f }, {0, 1, •, }, δ, q0 , {f }, )
mit


(, q1 , , q4 , L), 






(0, q0 , 0, q0 , R), 








(0,
q
,
•,
q
,
L),


1
2






(1,
q
,
1,
q
,
R),


0
0




(1, q1 , •, q3 , L),
δ=

 (•, q0 , •, q1 , R), 







(•,
q
,
0,
q
,
R),
5
2








(•,
q
,
1,
q
,
R),
5
3







(•, q4 , , f , N), 




(•, q5 , •, q1 , R)
akzeptiert jedes Eingabewort aus (0 + 1)∗ • (0 + 1)∗ ,
verschiebt dabei den Teil nach dem • um eine Zelle nach links
365
Operationen auf TM-akzeptierbaren Sprachen
gegeben: TM A, TM B (Akzeptanz durch Halt)
gesucht: TM C mit
∩: L(C) = L(A) ∩ L(B)
∪: L(C) = L(A) ∪ L(B)
◦: L(C) = L(A) ◦ L(B)
∗:
L(C) = L(A)∗
R:
L(C) = L(A)R
Skizzen zu Konstruktionen der TM C (Tafel)
mit Turing-Maschinen für „Hilfsarbeiten“, z.B.
Verschieben, Kopieren, Zerlegen von Wörtern,
Steuerung der abwechselnden Ausführung mehrerer TM
366
Was bisher geschah
Turing-Maschine (X , Q, Γ, δ, q0 , F , )
I
akzeptiert Sprache L ⊆ X ∗
(durch akzeptierende Zustände oder Halt)
I
ändert i.A. während der Berechnung den Inhalt (w ∈ Γ∗ )
des Arbeitsbandes
I
Menge REC(TM) der TM-akzeptierbaren Sprachen ist
abgeschlossen unter ∪, ∩, ◦,∗ ,R , aber nicht unter
I
Akzeptieren deterministische und nichtdeterministische TM
dieselbe Sprachklasse?
I
REC(TM) entspricht Chomsky-Typ ?
367
Nichtdeterministische TM
TM M = ({0, 1}, {p, q, f }, {0, 1, }, δ, p, {f }, ) mit


(0, p, 1, p, R), 






 (1, p, 1, p, R), 

(1, p, 1, q, R),
δ=



(1, q, 1, q, R), 






(, q, , f , N)
akzeptiert z.B. das Wort 11011 mit (u.A.) folgender Berechnung
(, p, 11011) ` (1, p, 1011) ` (11, p, 011) ` (111, p, 11)
` (1111, q, 1) ` (11111, q, ) ` (11111, f , )
368
Simulation nichtdeterministischer TM
Satz
Zu jeder nichtdeterministischen TM M existiert eine
deterministische TM M 0 mit L(M) = L(M 0 ).
Beweisidee:
Menge aller möglichen Berechnungen von M für Eingabe w
bilden einen Baum (evtl. mit unendlichen Pfaden):
Knoten : Konfigurationen
Wurzel : Startkonfiguration (Startzustand, Eingabewort)
Blätter : akzeptierende Konfigurationen
Kanten : zulässige Konfigurationsübergänge in M
M0
führt Breitensuche in diesem Baum durch
(simuliert parallele Berechnung aller Möglichkeiten),
Bandinhalt von M 0 sind Konfigurationen aus M
M 0 akzeptiert, sobald eine akzeptierende Konfiguration von M
auf dem Band steht.
369
Beispiel - Sprache vom Chomsky-Typ 0
Regeln l → r mit l ∈ (T ∪ N)+ , r ∈ (T ∪ N)∗
G = ({S, T , }, {0, 1}, P, S) mit

S
→ 1S101




S
→ 01S00




S
→ 110S11



0S0 → T
P=
0T 0 → T





1S1 → T




1T 1 → T


T
→ ε























Gilt ε ∈ L(G) ?
S
→
110S11 → 11001S0011 → 11001110S110011
→
110011101S101110011 → 11001110T 01110011
→∗ 110T 011 → 11T 11 → 1T 1 → T → ε
370
TM und Sprachen vom Chomsky-Typ 0
Satz
Die Menge aller Sprachen, die von einer TM akzeptiert werden, ist
genau die Menge aller Sprachen vom Chomsky-Typ 0.
Idee der Konstruktionen:
I
Grammatik → TM:
M berechnet für das Eingabewort w (letztes Wort einer
Ableitung) eine Ableitung in der Grammatik „rückwärts“.
(Evtl. wird dabei der Bandinhalt geeignet verschoben.)
TM akzeptiert, wenn Bandinhalt = Startsymbol
I
TM → Grammatik:
Grammatik erzeugt für jedes mögliche Eingabewort w einen
„Kandidaten“ w 0 (Startkonfiguration der TM mit Eingabe w).
Grammatik-Regeln beschreiben die lokalen Änderungen bei
Konfigurationsübergängen der TM (Simulation der Berechnung
der TM auf w durch Ableitung in der Grammatik).
Wird in der Ableitung eine akzeptierende Konfiguration errreicht,
„Übersetzung“ des Kandidaten w 0 in Terminalwort w.
371
Beispiel - Sprache vom Chomsky-Typ 1
(monotone, kontextsensitive Grammatik)
Regeln l → r mit l, r ∈ (T ∪ N)+ mit |l| ≤ |r |
G = ({S, R, T , A, B}, {a, b}, P, S) mit

S
→ RT




R
→ RB



BT → AA
P=
BA → AA





RA → ba


aA → aa















Ableitung für das Wort baaaa
S → RT → RBT → RBBT → RBBBT
→ RBBAA → RBAAA → RAAAA
→ baAAA → baaAA → baaaA → baaaa
372
TM mit linear beschränktem Band (LBA)
TM M = (X , Q, Γ, δ, q0 , F , ) heißt linear beschränkt (LBA)
gdw.
1. M nichtdeterministisch und
2. für jede bei Eingabe von w in M erreichbare Konfiguration
upv ∈ Γ∗ × Q × Γ∗ gilt |uv | ≤ |w|.
Satz
Die Menge aller Sprachen, die von einer TM mit linear
beschränktem Band akzeptiert werden, ist genau die Menge
aller Sprachen vom Chomsky-Typ 1.
373
Abschlusseigenschaften von L0 und L1
Die Menge L0 aller Turing-akzeptierbaren Sprachen
(Chomsky-Typ 0) ist abgeschlossen unter:
I
∩ (sequentieller Akzeptanztest durch beide TM)
I
∪ ((pseudo-)paralleler Akzeptanztest durch beide TM)
I
◦,
I
R
∗
(nichtdeterministische Zerlegung und Test)
Die Menge aller Turing-akzeptierbaren Sprachen ist nicht unter
Komplement abgeschlossen.
(Nachweis durch Gegenbeispiel später)
Die Menge L1 aller Sprachen vom Chomsky-Typ 1 ist
abgeschlossen unter
∪, ∩, , ◦, ∗ ,
R
Abschluss unter : Immerman, Szelepcsényi (1987)
374
Zusammenfassung: Turing-akzeptierbare Sprachen
I
Deterministische TM akzeptieren dieselbe Sprachklasse wie
nichtdeterministische TM,
und zwar genau alle Sprachen vom Chomsky-Typ 0
I
Die Menge aller TM-akzeptierbaren Sprachen ist abgeschlossen
unter ∪, ∩, ◦, ∗ ,
aber nicht unter (Gegenbeispiel später)
I
Wortproblem, Leerheit, Endlichkeit und Gleichheit sind für
TM-akzeptierbare Sprachen nicht algorithmisch entscheidbar
alternative Bezeichnung:
Die Menge aller TM-akzeptierbaren Sprachen ist genau die Menge
aller aufzählbaren Sprachen.
375
Zusammenfassung: LBA-akzeptierbare Sprachen
I
(Nichtdeterministische) linear beschränkte TM (LBA)
akzeptieren genau alle Sprachen vom Chomsky-Typ 1
(kontextsensitiv)
I
Ob deterministische und nichtdeterministische LBA
dieselbe Sprachklasse akzeptieren, ist noch unbekannt
(LBA-Problem)
I
Die Menge aller von LBA akzeptierten Sprachen
(Chomsky-Typ 1) ist abgeschlossen unter ∪, ∩, , ◦, ∗ ,
R
I
Wortproblem ist für LBA-akzeptierbare Sprachen ist
algorithmisch entscheidbar.
(schon früher gezeigt: Wortproblem für nichtverlängernde
Wortersetzungssysteme)
I
Leerheit, Endlichkeit und Gleichheit kontextsensitiver
Sprachen sind nicht algorithmisch entscheidbar.
376
Beispiel - Berechnung einer TM
M = ({a, b}, {q0 , q1 , q2 , q3 }, {a, b, }, δ, q0 , ) mit
δ = {(a, q0 , , q1 , R), (b, q0 , , q2 , R), (, q0 , , q0 , N)}
∪{(a, q1 , a, q1 , R), (b, q1 , b, q1 , R), (, q1 , a, q3 , N)}
∪{(a, q2 , a, q2 , R), (b, q2 , b, q2 , R), (, q2 , b, q3 , N)}
(deterministisch, Akzeptanz durch Halt)
akzeptiert die Sprache L(M) = (a + b)+
für Eingabewort
I
w = aw 0 : Bandinhalt bei Halt w 0 a
I
w = bw 0 : Bandinhalt bei Halt w 0 b
377
TM zur Berechnung von Funktionen
Idee: deterministische TM M berechnet eine Funktion
fM : X ∗ → Γ∗
Eingabe w ∈ X ∗ : Inhalt des Arbeitsbandes bei Start der
Berechnung (Eingabewort)
Ausgabe v ∈ Γ∗ : Inhalt des Arbeitsbandes nach Halt der TM
Wenn M bei Eingabe von w nicht hält, ist der Wert fM (w) nicht
definiert.
TM M berechnet i.A. nur eine partielle Funktion
fM : X ∗ → Γ∗
da fM nur für durch Halt akzeptierte Wörter w ∈ X ∗ definiert ist
378
Turing-berechenbare Funktionen
Jede deterministische TM M definiert die (partielle) Funktion
fM : X ∗ → Γ∗ , wobei ∀w ∈ X ∗
(
v
falls Bandinhalt v , nachdem M hält
fM (w) =
nicht definiert falls M nicht hält
Beispiel: M = ({a, b}, {q0 , q1 , q2 , q3 }, {a, b, }, δ, q0 , ) mit
δ = {(a, q0 , , q1 , R), (b, q0 , , q2 , R), (, q0 , , q0 , N)}
∪{(a, q1 , a, q1 , R), (b, q1 , b, q1 , R), (, q1 , a, q3 , N)}
∪{(a, q2 , a, q2 , R), (b, q2 , b, q2 , R), (, q2 , b, q3 , N)}
definiert die Funktion
(
vx
falls w = xv mit x ∈ {a, b} und v ∈ {a, b}∗
fM (w) =
nicht definiert falls w = ε
Eine Funktion f : X ∗ → X ∗ heißt Turing-berechenbar
gdw. eine deterministische TM M mit f = fM existiert.
379
Beispiele
I
I
g : {1}∗ → {1}∗ mit g(w) für alle w ∈ {1}∗ undefiniert
ist berechenbar durch die TM
M = ({1}, {q0 }, {1, }, δ, q0 , ) mit
δ = {(q0 , 1, q0 , 1, N), (q0 , , q0 , , N)}
f : {a, b}∗ → {a, b}∗ mit
für alle w ∈ {a, b}∗ gilt
(
am+n
falls w = am ban
f (w) =
nicht definiert sonst
ist berechenbar durch die TM
M = ({a, b}, {q0 , q1 , q2 , f }, {a, b, }, δ, q0 , ) mit
δ = {(a, q0 , a, q0 , R), (b, q0 , a, q1 , R), (, q0 , , q0 , N)}
∪{(a, q1 , a, q1 , R), (b, q1 , b, q1 , N), (, q1 , , q2 , L)}
∪{(a, q2 , , f , N)}
380
Turing-berechenbare Funktionen auf
Codierung natürlicher Zahlen, z.B. in
I
I
N
N → {1}∗
Binärcodierung c2 : N → {0, 1}∗
Unärcodierung c1 :
Beispiele:
I
M = ({1}, {q0 , q1 }, {1, }, δ, q0 , ) mit
δ = {(q0 , 1, q0 , 1, R), (q0 , , q1 , 1, N)}
berechnet die Funktion fM (x) = x + 1 in Unärcodierung
I
M = ({0, 1}, {q0 , q1 , q2 , q3 , f }, {0, 1, }, δ, q0 , ) mit
δ = {(0, q0 , 0, q0 , R), (1, q0 , 1, q0 , R), (, q0 , , q1 , L)}
∪{(0, q1 , 1, q3 , L), (1, q1 , 0, q2 , L), (, q1 , , q1 , N)}
∪{(0, q2 , 1, q3 , L), (1, q2 , 0, q2 , L), (, q2 , 1, f , R)}
∪{(0, q3 , 0, q3 , L), (1, q3 , 1, q3 , L), (, q3 , , f , R)}
berechnet die Funktion fM (x) = x + 1 in Binärcodierung
(ohne führende 0)
381
Was bisher geschah
NFA, DFA, PDA und Turing-Maschinen können
I
Sprachen L ⊆ X ∗ akzeptieren.
deterministische Turing-Maschinen können außerdem
I
(partielle) Funktionen f : X ∗ → X ∗ berechnen
(Zahlen, Tupel von Zahlen,. . . codiert als Wörter
in X ∗ , z.B. für X = {1} oder X = {0, 1} )
382
Beispiel: Unärcodierung → Binärcodierung
f : {1}∗ → {0, 1}∗ Transformation Unär- → Binärcodierung
wird (z.B.) berechnet von
TM M = ({1}, {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 , f }, {1, 0, x, y , }, δ, q0 , {f }, )
mit


(1,
q
,
x,
q
,
R),
(,
q
,
,
q
,
L),
0
0
0
1




 (x, q , x, q , L), (, q , , q , R),





1
1
1
2






(x,
q
,
y
,
q
,
L),
(,
q
,
,
q
,
L),


2
3
2
4




(y , q2 , y , q2 , R), (1, q2 , 1, q2 , R), (0, q2 , 0, q2 , R),
δ=
(, q3 , 1, q2 , R), (0, q3 , 1, q2 , R),










(1,
q
,
0,
q
,
L),
(y
,
q
,
y
,
q
,
L)
3
3
3
3







(y , q4 , , q4 , L), (0, q4 , 0, q4 , L), (1, q4 , 1, q4 , L), 




(, q4 , , f , R)
383
Mehrstellige Turing-berechenbare Funktionen auf
Codierung von Tupeln (x1 , . . . , xk ) ∈
c(x1 ) • c(x2 ) • · · · • c(xk )
N
k
N
durch
mit Trennzeichen •
Beispiel: TM M = ({1, •}, {q0 , q1 , q2 , f }, {1, •, }, δ, q0 , ) mit
δ = {(1, q0 , 1, q0 , R), (•, q0 , 1, q1 , R), (, q0 , , q0 , N)}
∪{(1, q1 , 1, q1 , R), (•, q1 , •, q1 , N), (, q1 , , q2 , L)}
∪{(1, q2 , , f , N)}
berechnet die Funktion fM (x, y ) = x + y (in Unärcodierung)
N
N
Eine Funktion f : k → heißt Turing-berechenbar gdw. eine
deterministische TM M existiert, so dass für jede Eingabe
(x1 , . . . , xk ) ∈ k gilt
N
f (x1 , . . . , xk ) = y gdw. fM (c(x1 ) • · · · • c(xk )) = c(y )
384
Codierung von TM (Gödelnummer)
(Kurt Gödel 1906 - 1978)
Darstellung jeder TM M = (X , Q, Γ, δ, q0 , ) als (endliches)
Wort über dem endlichen Alphabet
X 0 = X ∪ Γ ∪ Q ∪ {L, R, N}∪ Klammern ∪ Trennzeichen möglich
Menge aller Codierungen von TM ist Sprache über X 0
Codierung als {0, 1}-Folge:
I
Alphabet, Zustände, Richtungen in Unärcodierung (∈ 1∗ )
I
Trennzeichen, Klammern als Folgen ∈ 0∗
Gödelnummer einer TM M:
Darstellung von M in maschinenlesbarer Form, z.B. ∈ {0, 1}∗
(als Eingabe für eine TM geeignet)
Die Menge aller {0, 1}-Folgen, die korrekten Codierungen von
TM sind, ist
I
abzählbar
I
TM-akzeptierbar (sogar regulär).
385
Beispiel: Gödelnummer einer TM
Codierung einer TM als Wort aus {0, 1}∗
Beispiel: TM M = (X , Q, Γ, δ, q1 , ) in {0, 1}∗ mit
I X = {1, } mit c(1) = 1, c() = 11
I Q = {q0 , q1 } mit Startzustand q0 :
c(q0 ) = 1, c(q1 ) = 11
I B = {L, R, N} mit c(L) = 1, c(R) = 11, c(N) = 111
I δ = {(q0 , , q1 , 1, R), (q1 , , q0 , 1, L), (q0 , 1, q1 , 1, L)}
(busy beaver)
für jeden Übergang u = (p, a, q, b, r ) ∈ δ:
Codierung : c(u) = c(p)0c(a)0c(q)0c(b)0c(r )
c(q0 , , q1 , 1, R) = 101101101011
c(q1 , , q0 , 1, L) = 11011010101
c(q0 , 1, q1 , 1, L) = 1010110101
Codierung der TM M:
c(M) = 000c(q0 , , q1 , 1, R)00c(q1 , , q0 , 1, L)00c(q0 , 1, q1 , 1, L)000
386
Nicht Turing-berechenbare Funktionen
Ist jede partielle Funktion f : X ∗ → X ∗
(f : X ∗ → Y ∗ , f : → , f : n → ) Turing-berechenbar?
N N
N
N
Nein (Gegenbeispiel später)
Begründung: (Aussage für X = {0, 1} zu zeigen, genügt)
1. Wieviele Turing-Maschinen über einem endlichen Alphabet gibt
es?
abzählbar viele
(weil TM endlich codiert werden können,
nach erstem Diagonalverfahren von Cantor)
2. Wieviele partielle Funktionen f : X ∗ → X ∗ gibt es?
überabzählbar viele
(zweites Diagonalverfahren von Cantor)
Damit existieren sogar sehr viel mehr (überabzählbar viele) partielle
Funktionen f : X ∗ → X ∗ (f : X ∗ → Y ∗ , f : → , f : n → ),
die nicht von TM berechnet werden können.
N N
N
N
Warum sind TM als Berechnungsmodell trotzdem interessant?
387
Intuitiver Berechenbarkeitsbegriff
Eine partielle Funktion f : X ∗ → X ∗ ist berechenbar, falls
I
eine Rechenvorschrift oder
I
ein Algorithmus oder
I
ein Programm (in beliebiger Programmiersprache) oder
I
eine deterministische Turingmaschine
N
existiert, welche für jedes x ∈ bei Eingabe von x den Wert
f (x) ausgibt, falls f (x) definiert ist.
weitere Berechnungsmodelle:
Registermaschinen, while-Programme,
partiell rekursive Funktionen, λ-Kalkül, . . .
388
These von Church
(Alonzo Church 1903-1995)
Für alle bisher vorgeschlagenen intuitiven Definitionen für
berechenbare Funktionen lässt sich beweisen, dass sie
dieselbe Klasse von Funktionen bestimmen.
These von Church:
Die Menge aller Turing-berechenbaren Funktionen ist genau
die Menge aller intuitiv berechenbaren Funktionen.
(unbeweisbar, weil Definition durch „Intuition“ zu ungenau)
389
Programmierung
Bisher: Jede TM löst eine spezielles Problem
(Wortproblem für eine Sprache, Berechnung einer Funktion)
üblicher Computer kann
(theoretisch, bei beliebiger Rechenzeit und Speicherplatz)
I
beliebige Algorithmen (Programme) ausführen, d.h.
I
jede berechenbare Funktion berechnen
(nach These von Church)
I
ist also universell (programmierbar).
Gibt es programmierbare TM?
390
Universelle TM
TM U heißt universelle TM, falls für
I
jede TM M und
I
jedes Eingabewort v gilt
fU (c(M) • v ) = fM (v )
d.h. falls die TM M bei Eingabe v
hält , dann hält auch U bei Eingabe (c(M) • v ) mit
Ausgabe fM (v ),
nicht hält , dann hält auch U bei Eingabe (c(M) • v ) nicht.
TM U kann die Berechnung jeder TM M simulieren.
TM U interpretiert die Codierung (das Programm) c(M).
U ist also eine programmierbare Turing-Maschine.
391
Arbeitsweise einer universellen TM
Universelle TM U speichert die
I
Codierung der Machine M und
I
Startkonfiguration q0 w
auf dem Arbeitsband und berechnet
I
die Folge der Konfigurationen von M
(durch Zugriff auf die Übergangsrelation von M).
Codierung c(M) ist also beides:
1. Beschreibung einer speziellen TM M
2. Programm für eine universelle TM
392
Entscheidbarkeit von Sprachen
charakteristische Funktion einer Menge (Sprache) L ⊆ X ∗ :
(
1 falls w ∈ L
χL : X ∗ → {0, 1}, wobei ∀w ∈ X ∗ : χL (w) =
0 sonst
Sprache (Menge) L ∈ X ∗ heißt entscheidbar gdw.
die Funktion χL berechenbar ist.
(Entscheidende TM muss also bei jeder Eingabe halten.)
Sprache (Menge) L ∈ X ∗ heißt semi-entscheidbar gdw. die
„halbe“ charakteristische Funktion χ0L : X ∗ → {0, 1} berechenbar ist:
(
1
falls w ∈ L
∗
0
∀w ∈ X : χL (w) =
nicht definiert sonst
Fakt
Eine Sprache ist genau dann semi-entscheidbar, wenn sie
Turing-akzeptierbar (aufzählbar) ist.
393
Beispiele entscheidbarer Sprachen
I
jede endliche Sprache L = {w1 , . . . , wn }
(für jedes i nacheinander Test, ob Eingabe = wi )
I
jede Sprache vom Chomsky-Typ 1
(Wortproblem für monotone Grammatiken),
I
{an | n ∈
I
Menge aller Primzahlen (z.B. in Unärdarstellung),
I
Menge aller Primzahlzwillinge, d.h.
Paare (p, p + 2) mit Primzahlen p und p + 2
2
N}, {a2
n
|n∈
N},
394
Was bisher geschah
Deterministische Turingmaschinen M können
(partielle) Funktionen f : X ∗ → X ∗ berechnen,
d.h. bei Eingabe w
I falls f (w) nicht definiert ist, nicht halten,
I falls f (w) = v , mit Bandinhalt v halten.
Sprachen L ⊆ X ∗
akzeptieren durch Halt oder durch akzeptierende
Zustände,
entscheiden , d.h. χL berechnen.
I
intuitiver Berechenbarkeitsbegriff
I
These von Church
395
Beispiel
TM M = ({0, 1}, {q0 , q1 , q2 , q3 }, {0, 1, }, δ, q0 , {q3 }, ) mit


 (0, q0 , , q1 , R), (1, q0 , , q2 , R), (, q0 , , q0 , N), 
(0, q1 , , q1 , R), (1, q1 , , q2 , R), (, q1 , 1, q3 , N),
δ=


(0, q2 , , q1 , R), (1, q2 , , q2 , R), (, q2 , 0, q3 , N)
akzeptiert die Sprache LH (M) = (0 + 1)+ durch Halt
(und durch akzeptierende Zustände),
berechnet die Funktion fM :
∀x ∈
N → N (binärcodiert) mit
N : fM (x) = 1−(x
mod 2) =
entscheidet die Sprache LE (M) = (0 + 1)∗ 0
1 , falls x gerade
0 , sonst
N
(Menge 2 )
396
Menge aller entscheidbaren Sprachen –
Abschlusseigenschaften
Satz
Eine Sprache L ist genau dann entscheidbar, wenn sowohl L als auch
L TM-akzeptierbar sind.
Idee: „parallele“ Ausführung der Maschinen
M mit L(M) = L und N mit L(N) = L auf Eingabe w,
genau eine dieser beiden TM hält: M, falls w ∈ L, sonst N
Die Menge aller entscheidbaren Sprachen ist abgeschlossen unter
Vereinigung wegen
χL∪L0 (w) = max(χL (w), χL0 (w)) berechenbar
Schnitt wegen
χL∩L0 (w) = min(χL (w), χL0 (w)) berechenbar
Komplement wegen
χL (w) = 1 − χL (w) berechenbar
Achtung (Unterschied zu TM-akzeptierbaren Sprachen):
Aus der TM-Akzeptierbarkeit von L folgt i.A. nicht die
TM-Akzeptierbarkeit von L.
397
Spezielles Halteproblem für TM
Wiederholung: Gödelnummer einer TM M:
endliche Codierung c(M) von M (z.B. als Binärwort)
1. endliche Beschreibung einer speziellen TM
2. Eingabe (Programm) für eine universelle TM (Simulator)
Das spezielle Halteproblem für TM ist die Sprache
S = {c(M) | TM M hält bei Eingabe c(M)}
Satz
Die Sprache S ist Turing-akzeptierbar.
Warum?
Ist die Sprache S entscheidbar?
398
Unentscheidbarkeit des speziellen Halteproblems
Satz
Es existiert keine TM, welche das spezielle Halteproblem (die
Sprache S) entscheidet, d.h. die folgende Funktion berechnet:

 1 falls w = c(M) für eine TM M und
M hält bei Eingabe von w
χS (w) =

0 sonst
indirekter Beweis: (analog Barbier-Problem)
Annahme: N ist TM mit fN = χS
Konstruktion einer TM N 0 aus N, so dass für jede TM M gilt:
(
nicht definiert falls M bei Eingabe von c(M) hält
fN 0 (c(M)) =
1
falls M bei Eingabe von c(M) nicht hält
Ist fN 0 (c(N 0 )) definiert?
Widerspruch, eine solche TM N kann also nicht existieren.
399
Komplement des speziellen Halteproblems
Spezielles HP:
S
=
{c(M) | TM M hält bei Eingabe c(M)}
Komplement des speziellen HP:
w ist keine Codierung einer TM oder
S =
w|
w = c(M) und M hält bei Eingabe c(M) nicht
Folgerung
Die Sprache S ist nicht Turing-akzeptierbar.
Beweisidee (indirekt):
I
bekannt:
1. S ist TM-akzeptierbar.
2. S ist nicht entscheidbar.
3. S TM-akzeptierbar ∧ S TM-akzeptierbar → S entscheidbar
I
Annahme: S ist TM-akzeptierbar.
dann ist S entscheidbar wegen 1. und 3.
Widerspruch zu 2., also Annahme falsch,
also S nicht TM-akzeptierbar.
400
Folgerungen aus der Unentscheidbarkeit von S
Keine der folgenden Probleme (Sprachen) ist entscheidbar:
A = {c(M) • w | M hält bei Eingabe w}
allgemeines Halteproblem
E
= {c(M) | M hält bei Eingabe ε}
Halteproblem mit leerer Eingabe
T
= {c(M) | M hält für jede beliebige Eingabe}
Totalitätsproblem
I = {c(M) | M hält für irgendeine Eingabe}
N = {c(M) | M hält für keine Eingabe}
401
Praktische Bedeutung
nach These von Church:
Das Halteproblem ist für kein intuitives Berechnungsmodell
entscheidbar.
Es existiert kein Programm, welches für jedes beliebige
Programm P feststellt, ob P immer (für jede Eingabe) hält.
(Unentscheidbarkeit des Totalitätsproblems)
Es existiert kein Programm, welches für jedes beliebige Paar
(P, v ) feststellt, ob das Programm P bei Eingabe von v anhält.
(Unentscheidbarkeit des allgemeinen Halteproblems)
Solche negativen Aussagen sind nützlich,
z.B. um Ressourcenverschwendung (z.B. Arbeitskraft, -zeit) zu
vermeiden.
402
Spezialfälle
Für spezielle Programme P und Eingaben w lässt sich häufig
automatisch feststellen, ob P bei Eingabe von w anhält.
realistische Ziele:
Anwendung: Programme verwenden, für die Termination für
alle (relevanten) Eingaben bewiesen wurde
(z.B. als Gerätetreiber)
Forschung: möglichst viele und große Klassen von
Programmen und Eingaben finden, für die sich
Termination (oder Nicht-Termination) beweisen
lässt,
(Weiter-)Entwicklung von Verfahren zum Nachweis
der Termination von Programmen
403
Probleme und Instanzen
Problem: Sprache P ⊆ X ∗
(Codierungen einer Klasse von verwandten Aufgaben)
Instanz eines Problems: Wort w ∈ X ∗
(Codierung einer speziellen Aufgabe aus dieser
Klasse)
Lösungsverfahren für das Problem P:
Entscheidungsverfahren für P, d.h. Verfahren, welches
für jede Instanz (Wort) w ∈ X ∗ bestimmt, ob w ∈ P
Beispiel: Wortproblem für reguläre Sprachen
Problem: WP-REG = {(c(L), w) | w ∈ L} mit
endlicher Darstellung c(L) der Sprache L
z.B. c(L) = A für einen NFA A mit L = L(A)
Instanz: (c(A), aba) mit A = ({a, b}, {p, q}, δ, {p}, {p, q}) und
δ(a) = {(p, p)}, δ(b) = {(p, q), (q, q)}
Frage: Gilt (A, aba) ∈ WP-REG?
wahr gdw. aba ∈ L(A)
Lösungsungsverfahren (Entscheidungsverfahren),
z.B. Pfadsuche im Automatengraphen
404
Probleme und Instanzen – Beispiele
Enthaltensein in einer Folge (von Elementen des Typs E)
Problem: F = {((x1 , . . . , xn ), y ) ∈ E ∗ × E | ∃k ∈ {1, . . . , n} :
xk = y }
Menge aller Paare ((x1 , . . . , xn ), y ) mit
y ∈ {x1 , . . . , xn }
Instanz: ((1, 3, 4, 3), 4) (Gilt ((1, 3, 4, 3), 4) ∈ F ? )
Ja, ((1, 3, 4, 3), 4) ∈ F , weil 4 ∈ {1, 3, 4}
Lösungsverfahren (Entscheidungsverfahren):
(beliebiges) Suchverfahren in Folgen
I SAT (Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik)
Problem: SAT = {ϕ ∈ AL(P) | Mod(ϕ) 6= ∅}, Menge aller
erfüllbaren aussagenlogischen Formeln
Instanz: ¬a ∧ (a ∨ b ∨ c) ∧ ¬c ∧ ¬b
(Gilt (¬a ∧ (a ∨ b ∨ c) ∧ ¬c ∧ ¬b) ∈ SAT ?)
Nein, weil Mod(ϕ) = ∅
Lösungsverfahren (Entscheidungsverfahren):
I semantisch: Wahrheitswerttabellen
I syntaktisch: Kalküle, z.B. natürliches
Schließen, äquivalente Umformungen
I
405
Probleme und Entscheidungsverfahren
Problem P ist
unentscheidbar gdw. kein Entscheidungsverfahren (TM, Programm,
Algorithmus, . . . ) für P existiert,
z.B. spezielles Halteproblem
entscheidbar gdw. wenigstens ein Entscheidungsverfahren für P
existiert (i.A. existieren mehrere)
z.B. SAT, Suche in Folgen, Sortieren von Folgen
durch verschiedene Such- und Sortierverfahren
(mehr dazu in LV Algorithmen und Datenstrukturen)
Entscheidbarkeit eines Problems (Sprache) P wird i.A. durch
Angabe eines Entscheidungsverfahrens für P gezeigt.
Unentscheidbarkeit eines Problems P wird oft durch Reduktion
bekannter unentscheidbarer Probleme (oft HP) auf P
gezeigt.
406
Reduktion
Reduktion des Problems P auf Problem Q:
Transformation der Sprache P ⊆ X ∗ in die Sprache Q ⊆ Y ∗ ,
d.h.
berechenbare Funktion f : X ∗ → Y ∗ mit
∀w ∈ X ∗ : w ∈ P ↔ f (w) ∈ Q
(Übersetzung jeder Instanz des Problems P in eine Instanz des
Problems Q)
Problem P heißt genau dann reduzierbar auf Problem Q
(P ≤ Q), wenn eine Reduktion f von P auf Q mit existiert.
Reduzierbarkeit zwischen Problemen ist
reflexiv , denn Identität ist Reduktion
transitiv , denn Nacheinanderausführung zweier
Reduktionen ist Reduktion
407
Postsches Korrespondenzproblem (PCP)
gegeben: endliche Folge {(xi , yi ) | i ∈ {1, . . . , n}} mit xi , yi ∈ X ∗
Frage:
Existiert ein Wort u ∈ {1, . . . , n}∗ mit
xu1 · · · xuk = yu1 · · · yuk ?
Problem: PCP = {((x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )) | ∃w ∈ {1, . . . , n}+ :
xw1 ◦ · · · ◦ xw|w| = yw1 ◦ · · · ◦ yw|w| }
Menge aller „lösbaren“ PCP-Instanzen
Instanz: x1 = 1, y1 = 101, x2 = 10, y2 = 00, x3 = 011, y3 = 11
(Gilt ((1, 101), (10, 00), (011, 11)) ∈ PCP ?)
Ja, (((1, 101), (10, 00), (011, 11)), 1321) ∈ PCP,
weil w = (1, 3, 2, 3) eine Lösung dieser Instanz ist
wegen w = 101110011 = x1 x3 x2 x3 = y1 y3 y2 y3
PCP unentscheidbar, Nachweis durch Reduktion des HP auf PCP
Idee: Übersetzung von Berechnungen von TM in PCP, so dass
Berechnung nicht haltender TM auf PCP ohne Lösung abgebildet
werden.
HP unentscheidbar → PCP unentscheidbar
408
Parkettierungsproblem
Überdeckung der unendlichen Ebene mit gleichgroßen quadratischen
Kacheln (festgelegter Orientierung) mit farbigen Seiten
(2-dimensionales Domino)
n
2
Problem: Parkett = (D1 , . . . , Dn ) | ∃M ∈ D (Z ) ∀(i, j) ∈ 2 :
Z
(s(Mi,j ) = n(Mi+1,j ) ∧ o(Mj,i ) = w(Mj+1,i ))}
(Menge aller Kachelmengen, mit denen sich die
unendliche Ebene korrekt überdecken lässt)
Instanz: C = {R, G}, D = {D0 , D1 } mit
o(D0 ) = s(D0 ) = R, n(D0 ) = w(D0 ) = G
o(D1 ) = s(D1 ) = G, n(D1 ) = w(D1 ) = R
Gilt D ∈ Parkett, d.h. lässt sich die unendliche Ebene
mit Kacheln aus D überdecken?
Ja, ∀(i, j) ∈ 2 : Mj,i = D(i+j) mod 2
Z
Parkett unentscheidbar, Nachweis durch Reduktion des HP darauf
Idee: Übersetzung von TM in Kachelmengen D, so dass Berechnung
nicht haltender TM auf unendliche Parkettierung der Ebene
abgebildet werden (Zeile i: Konfiguration zum Zeitpunkt i).
HP unentscheidbar → Parkettierungsproblem unentscheidbar
409
Entscheidungsproblem der Prädikatenlogik
FOL(Σ,
X) klassische Prädikatenlogik (der ersten Stufe)
Erfüllbarkeitsproblem
Problem: E = {ϕ ∈ FOL(Σ, ) | Mod(ϕ) 6= ∅}
Instanz , z.B. ∀x(P(x, f (y )))
Frage: Gilt ∀x(P(x, f (y ))) ∈ E ?
X
Unerfüllbarkeitsproblem
Problem: U = {ϕ ∈ FOL(Σ, ) | Mod(ϕ) = ∅}
Instanz , z.B. ∃x(¬p(x) ∧ p(x))
Frage: Gilt ∃x(¬p(x) ∧ p(x)) ∈ U ?
X
(Allgemein-)Gültigkeitsproblem
Problem: A = {ϕ ∈ FOL(Σ, ) | Mod(¬ϕ) = ∅}
Instanz , z.B. ∀x(P(x, f (y )))
Frage: Gilt ∀x(P(x, f (y ))) ∈ A ?
X
Entscheidungsproblem der Prädikatenlogik (Hilbert):
algorithmische Lösung eines dieser Probleme
410
Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik
Satz
Erfüllbarkeits- Unerfüllbarkeits und Gültigkeitsproblem für
FOL(Σ, ) sind TM-akzeptierbar.
X
Beweisidee: Akzeptanz durch Herleitung in einem Beweiskalkül
Satz (Gödel, Turing, 1936/37)
Erfüllbarkeits- Unerfüllbarkeits und Gültigkeitsproblem für
FOL(Σ, ) sind unentscheidbar.
X
Nachweis durch Reduktion des PCP auf das
Gültigkeitsproblem:
Konstruktion einer Formel ϕp ∈ FOL(Σ, ) zu jeder
PCP-Instanz p, so dass
ϕp genau dann allgemeingültig, wenn p lösbar.
PCP unentscheidbar →
Gültigkeitsproblem für FOL(Σ, ) unentscheidbar
X
X
411
Organisatorisches
Modul Theoretische Grundlagen der Informatik
I
I
vorgesehener Zeitaufwand laut Modulbeschreibung:
90 h für Präsenzstudium als 4+2 SWS = 6h jede Woche
+ 120 für Selbststudium, verteilt z.B.
90h (= 6h jede Woche) + 30h Prüfungsvorbereitung
Bedingung für Prüfungszulassung:
I
I
I
Autotool: ≥ 24 Punkte
Vorrechnen: ≥ 3 Punkte
Auswertung Studentenfragebögen
412
Prüfung
Wann? am 11. 2. 2014 um 12:00 - 14:00 Uhr
Wo? in den Räumen GuH101, GuH116, LNW006
Treffpunkt zur Raumverteilung (Pläne):
vor LNW006 (ab 11:30 Uhr)
Wie? Klausur 120 min
(einzige) zugelassene Hilfsmittel:
ein A4-Blatt handbeschrieben
Was? Inhalt der LV
Aufgabentypen aus Übungsserien bekannt
Viel Erfolg!
413
TGI WS 2013/14 – Lernziele
(nach Modulbeschreibung)
I
theoretischen Grundbegriffe zur der Modellierung
praktischer Aufgabenstellungen anwenden
I
wichtige Klassen formaler Sprachen als Grundlage von
Programmier- und Beschreibungssprachen einordnen
I
die passenden abstrakten Maschinenmodelle zur
Darstellung und Lösung praktischer Aufgabenstellungen
einsetzen
I
praktische Aufgabenstellungen durch prädikatenlogische
Formeln beschreiben
I
wissen, dass die Korrektheit von Programmen mit
logischen Methoden nachweisbar ist
414
TGI WS 2013/14 – Inhalt
I
Modellierung: Grundbegriffe und -techniken der Informatik mit
praktischen Beispielen
I
Klassische Logiken:
Formalisierung praktischer Aufgabenstellungenstellungen in
Aussagen- und Prädikatenlogik (Spezifikation von Algorithmen,
abstrakte Datentypen), syntaktische und sematische
Lösungsverfahren, Ausdrucksstärke, Grenzen
I
Terme, strukturelle Induktion
I
Formale Sprachen: Modellierung durch Wörter und Sprachen,
Operationen auf Wörtern und Sprachen, Sprachklassen,
Chomsky-Hierarchie, reguläre Ausdrücke
I
Abstrakte Maschinen: Modellierung durch verschiedene
Automatentypen (endliche Automaten, Kellerautomaten,
Turing-Maschinen), Operationen auf Automaten, Akzeptanz
durch Automaten, Zusammenhang mit formalen Sprachen,
Ausdrucksstärke
I
Berechenbarkeit, These von Church, Entscheidbarkeit,
unentscheidbare Probleme
415
Modellierung
Ziel: maschinelle Darstellung und Verarbeitung von
Informationen
Weg: Formalisierung in maschinenlesbaren Sprachen
Formalisierung von
Daten durch Mengen (mit Mengenoperationen), Folgen
Datentypen (abstrakt, konkret)
Eigenschaften (Semantik) in klassischer Aussagen und
Prädikatenlogik
Abläufen als Zustandsübergangssysteme (Graphen mit
Knoten- und Kantenmarkierungen)
abstrakten Maschinen durch Maschinenmodelle
NFA (DFA), PDA (DPDA), TM (LBA)
Zusammenhänge mit formalen Sprachen
Berechnungen abstrakter Maschinen
(Spezialfall von Zustandsübergangssystemen)
Beschreibungen von Daten und Abläufen (Syntax)
in formalen Sprachen
416
Modellierung von Aufgaben (Problemen)
gegeben: informale Aufgabenstellung
Identifikation und formale Darstellung von
I
Menge der Objekte und Typen
I
Zusammenhänge (Funktionen, Relationen) zwischen
Objekten
I
Typen der Eingaben
I
Typen der Ausgaben
I
Eigenschaften der gewünschten Lösung
(Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgaben)
erst danach:
Suche nach oder Entwurf von Lösungsverfahren
417
Anwendung: Datentypen
Abstrakter Datentyp:
Spezifikation von Klassen von (meist mehrsortigen) Σ-Strukturen
durch
Syntax (Deklaration der Operationen)
I
I
S
Menge von Sorten,
-sortige Signatur
S
Semantik Axiome (Menge Φ ∈ FOL(Σ, X ) von Sätzen)
(oft allquantifizierte Gleichungen zwischen Termen)
beschreiben Eigenschaften und Zusammenhängen der
Funktionen und Relationen der Signatur
Konkreter Datentyp:
I
Σ-Stuktur (Menge von Werten mit zugeordneten Operationen),
die
I
Modell der Spezifikation Φ (Axiome) ist
Interface:
Implementierung:
Signatur im abstrakten Datentyp
konkreter Datentyp
418
Abstrakter Datentyp – Beispiel stack
Sorten E: Elementtyp,
ShEi: Stapel (stack) von Elementtyp E,
B: {t, f}
Signatur Σ: push
top
pop
new
empty
: ShEi × E
: ShEi
: ShEi
:
: ShEi
→ ShEi
→E
→ ShEi
ShEi
→ SB
(Beispiele für) Axiome:
∀s ∈ ShEi∀z ∈ E
∀s ∈ ShEi∀z ∈ E
∀s ∈ ShEi∀z ∈ E
empty(new)
empty(push(s, z))
top(push(s, z))
pop(push(s, z))
=
=
=
=
t
0
z
s
419
Diagramme (Tafel)
Syntax, Semantik Entscheidbarkeit von FOL und AL
Prominente Klassen formaler Sprachen
I
regulär
I
(deterministisch) kontextfrei
I
kontextsensitiv (Chomsky-Typ 1)
I
Turing-akzeptierbar (aufzählbar)
I
entscheidbar
mit
I
Inklusionsbeziehungen dazwischen
I
typische Vertreter der Sprachklasse
I
Chomsky-Typ
I
passenden Maschinenmodellen
I
Abschlusseigenschaften
420