Geometrie für Dummies
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Wendu Arnone Geometrie für Dummies Übersetzung aus dem Amerikanischen Von £i/a Steffen und Markus Steffen WILEYVCH WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA Inhaltsverzeichnis Über die Autorin Danksagung 9 9 Einführung 19 Über dieses Buch Konventionen in diesem Buch Törichte Annahme über den Leser Wie dieses Buch aufgebaut ist Teil I: Sich warm machen: Geometrische Grundlagen Teil II: Sich verteidigen: Beweise erbringen Teil III: In Form kommen: Geometrische Figuren Teil IV: Partei ergreifen: Ungleichungen und Ähnlichkeiten Teil V: Aufsteigen: Geometrie für Fortgeschrittene Teil VI: Der Top-Ten-Teil Teil VII: Anhang Symbole, die in diesem Buch verwendet werden Wie es weitergeht 19 20 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 23 Teil I Sich Warm machen: Geometrische Grundlagen 25 Kapitel 1 GrundsätzlichestforneWea:Geometrische Grundbegriffe 27 Geometrie, das ist... Begriffe der Geometrie Grundbegriffe - beschreiben statt definieren Nicht mehr ganz so grundsätzlich - Begriffe mit Definitionen Axiome: Vertrauen statt Kontrolle Sätze: Beweise antreten 27 28 29 31 32 32 Kapitel 2 Geraden und Winkel, so Weit das Auge reicht 33 Geraden unter der Lupe Strecken messen Strecken zeichnen Einen Blick zwischen Endpunkte wagen 33 33 34 34 // Geometrie für Dummies Bis in den letzten Winkel Die verschiedenen Winkel kennen lernen Winkel messen und zeichnen Winkel und ihre Nachbarn Auch Winkel haben Beziehungen Sätze über Sätze über Winkel Kreuzweise: Geraden bilden Winkel Schiffe in Reih und Glied Schiffe kreuz und quer 36 38 39 42 43 45 45 47 48 Teil // Sich Verteidigen: Beweise erbringen 53 Kapitel 3 Logik: A und 0 aller Beweise 55 Aus dem Sherlock-Holmes-Handbuch: Verschiedene Beweisführungen Direkter Beweis: Der Weg durch die Mitte Induktiver Beweis: Vom Besonderen auf das Allgemeine Deduktiver Beweis: Vom Allgemeinen auf das Besondere Indirekter Beweis: Ein guter Widerspruch Alles will begründet sein Reflexivität: Spieglein, Spieglein an der Wand Symmetrie: Balance halten! Transitivität: Ein Tauschhandel Substitution: Genauso gut wie das Original Die Additionsregel Die Subtraktionsregel Die Multiplikationsregel Die Divisionsregel Regeln für Wurzeln und Potenzen Aussagen dürfen - ein paar Regeln Kapitel Ц BerteisVerfahren leicht gemacht Die formalen Schritte für Beweise oder: Geometrie-Walzer Das Spiel mit den Beweisen Auf Umwegen: indirekt beweisen Wenn Sie wollen ... dann gibt es eine Aussage 12 55 55 61 62 62 63 63 63 65 65 67 72 75 Teil III In Form kommen: Geometrische Figuren Kapitel 5 Ро1щопе als Aperitif (Ein Vorqeschmack auf geschlossene Polygon? Nie gehört! Polygone und ihre Namen Wie Winkel ins Spiel kommen Polygontypen Das Innenleben eines Polygons Konvex oder konkav - das ist hier die Frage Ab durch die Mitte: Diagonalen Innenleben erforschen: Fläche eines Polygons Kapitel 6 Eck + Eck + Eck = Dreieck Mehr als drei Teile - Dreiecke kennen lernen Seiten und Winkel Das Besondere im Dreieck: Eine Menge Punkte und Linien Grenzen ziehen - innerhalb und außerhalb eines Dreiecks Das Innengebiet Das Außengebiet Zwischendurch für Ordnung sorgen Die Grenzen ausloten - auf der Linie Seitenweise Dreiecke Besonders kreativ: Ungleichseitige Dreiecke Symmetrisch werden: Gleichschenklige Dreiecke Wie aus dem Bilderbuch: Gleichseitige Dreiecke Auf einen Blick Winkelweise Dreiecke Auf die Spitze getrieben: Spitzwinklige Dreiecke Stumpf, aber sicher nicht dumm: Stumpfwinklige Dreiecke Gerecht verteilt: Gleichwinklige Dreiecke Im rechten Licht: Rechtwinklige Dreiecke Auf einen Blick Dreiecksbaustelle Flächenweise Dreiecke Zwillingsforschung: Kongruente Dreiecke Kongruente Null-acht-fünfzehn-Dreiecke Kongruente rechtwinklige Dreiecke Kongruente Dreiecke aus kongruenten Teilen Behaupten kann jeder - Kongruenzen beweisen Geometrie für Dummies Kapitel 7 breieck + Eck = Viereck Vierecke und ihre Eigenschaften Von außen betrachtet Maß nehmen Parallelogramm-Parade Kreuz und quer: Diagonalen ins Spiel bringen Parallelogramme füllen: Flächeninhalt Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Parallelogramms Rechtecke lieben Ordnung Was ein Rechteck ausmacht Außen herum und innen drin: Umfang und Flächeninhalt Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Rechtecks Rauten sind ungeschliffene Diamanten Je größer, desto besser (gilt vor allem für Diamanten) Kurz und bündig: Die Eigenschaften einer Raute Nicht nur für Kleinkarierte: Quadrate Die Verwendung der Diagonale Umfang und Flächeninhalt von Quadraten Kurz und bündig: Die Eigenschaften eines Quadrats Trapeze und ihre Kunststücke Die Seitenhalbierende Die Diagonale Die Höhe Der Flächeninhalt Drachen (vierecke) steigen lassen Gezielt arbeiten mit Pfeilvierecken Stammbaum der Vierecke 131 131 131 132 133 135 137 138 138 138 141 141 142 146 147 147 149 149 150 151 152 153 153 154 154 155 156 Kapitel 8 Kreisu>eise 159 Das Thema einkreisen Kreise und ihr Verkehrsnetz Reise zum Mittelpunkt des Kreises: Radius Geteilt und doch so nah: Sehne Ab durch die Mitte: Durchmesser Zwischenhalt Kreis: Sekante Vorsichtige Annäherung: Tangente Winkel gibt es überall (sogar in Kreisen) Mittelpunkts- und Umfangswinkel Sehnen-Sehnen-Winkel Sehnen-Tangenten-Winkel Sekanten und Tangenten (verschiedentlich kombiniert) Darf ich vorstellen: Pi 14 159 160 160 162 162 163 163 167 167 167 169 169 170 Inhaltsverzeichnis Bogen ohne Pfeil Größer oder kleiner? Alles berechenbar Auf Winkel zielen - mit Bogens Hilfe Kongruente Bogen bestimmen Die Fläche eines Kreissektors finden Der polygame Kreis: Beziehungen in Hülle und Fülle Für Insider: Inkreis Eingekreist: Umkreis Mitten hinein: Konzentrische Kreise 172 173 175 177 180 181 181 189 193 Teil W Partei erareifen: Ungleichungen und Ähnlichkeiten 195 Kapitel 9 Das Leben ist unaerecht - Mit Ungleichungen klarkommen 197 Was Ungleichungen sind Dejä-vu-Axiome für Ungleichungen Ungleichungen - ziemliche Spießer Dreiecksungleichungen Kreisungleichungen 197 199 201 207 210 Kapitel 10 Im richtigen Verhältnis: Ähnlichkeit 219 Verhältnisse haben - mit Zahlen Maß halten Geometrische Verhältnisse Vergleiche zwischen ungleichartigen Größen Kilometer mit Litern vergleichen Kilometer mit Stunden vergleichen Preis pro Einheit Ungleichartige Größen in der Geometrie Gut proportioniert: Verhältnisgleichungen Verhältnisgleichungen und Dreiecke Kleiner Bruder: Ähnliche Polygone Ähnliche Dreiecke 219 220 221 222 222 223 224 224 224 228 233 234 15 Geometrie für Dummies Teil V Aufsteigen: Geometrie für Fortgeschrittene 2^3 Kapitel 11 Schiff Versenkt! (Mit Koordinaten arbeiten) 2Ц5 Gitter ist nicht gleich Gitter: Koordinatensystem Es gehören immer zwei dazu (Koordinaten eines Punktes) Quadranten kennen lernen Grafisch werden Entfernung ermitteln Der Mittelpunkt der Welt... äh: zweier Koordinaten Mit Koordinaten Flächen finden Zu Steigungen aufsteigen Gleichung für eine Gerade (Punktsteigungsform) Gleichung für einen Kreis Kapitel 12 ber geometrische Ort Ort - Örter - Was bedeuten diese Wörter? Geometrische Örter bestimmen Geometrische Örter im Koordinatensystem Wenn sich geometrische Örter schneiden Geometrische Örter beweisen Kapitel 13 Trickreiche Trigonometrie Eine kleine Wiederholung zu rechtwinkligen Dreiecken Rechtwinklige Dreiecke und Ähnlichkeit Rechtwinklige Dreiecke, Verhältnisse und zwei ganz spezielle Winkel Sinnvoller Sinus Sinus in Aktion - ein paar Beispiele Mit trigonometrischen Tabellen arbeiten Mit dem Taschenrechner arbeiten Kosinus kennen lernen Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans Typisch Tangens Tang ens in Aktion — ein paar Beispiele Noch ein paar Verhältnisse: Kotangens, Sekans und Kosekans IV 245 247 247 248 250 253 254 257 261 264 267 267 267 270 272 273 277 277 278 279 280 280 281 282 282 283 283 284 286 Inhaltsverzeichnis Kapitel Ц Die dritte Dimension oder: Kaum schaffen Polyeder - aufgeblasene Polygone Prisma - ein vielseitiges Polyeder Definition eines Prismas Prisma-Typen Fläche eines Prismas Volumen eines Prismas Ein Ausflug zu den Pyramiden Pyramiden-Typen Fläche einer Pyramide Volumen einer Pyramide Zylinder - eine runde Sache Fläche eines Zylinders Volumen eines Zylinders Kegel - Eistüten und Zaubererhüte Fläche eines Kegels Volumen eines Kegels Kugel - besser geht's nicht Fläche einer Kugel Volumen einer Kugel 289 289 290 290 290 291 291 293 293 294 295 295 295 296 296 297 297 297 297 298 Teil VI Der Top-Ten-Teit 299 Kapitel 15 Mehr als zehn Karrieren, für die man Geometrie braucht Fluglotse Architekt Schreiner Modedesigner Raumgestalter Baufachleute Maschinenbauingenieur Kapitän Vermessungsingenieur Werkzeugmacher 3-D-Grafiker 301 301 301 301 302 302 302 302 303 303 303 303 Kapitel 16 Mehr als zehn Tipps, die Ihnen das Geometrie-Leben erleichtern Arbeiten Sie mit einem durchsichtigen Plastik-Geodreieck Verwenden Sie ein durchsichtiges Plastik-Lineal 305 305 305 /7 Geometrie für Dummies Kaufen Sie sich einen Zirkel Zeichnen Sie mit einem guten dünnen Bleistift Besorgen Sie sich einen wissenschaftlichen Taschenrechner Notieren Sie, was Sie haben und wonach Sie suchen Erstellen Sie eine Skizze Entwickeln Sie eine Strategie Arbeiten Sie die Aussagen eines Beweises durch Assoziieren Sie geometrische Objekte mit alltäglichen Dingen Spielen Sie Poolbillard Teil VII Anhang Anhang A Quadratzahlen, Quadratwurzeln und eine Trigonometrie-Tabelle 305 305 305 306 306 306 306 306 307 309 311 Anhang В Wichtige Formeln im Überblick Formeln zu Winkelgrößen Winkelgrößen am Kreis Trigonometrische Formeln Formeln für den Flächeninhalt Beziehungen von Linien am Kreis Umfang und Bogen Formeln zu rechtwinkligen Dreiecken Formeln im Koordinatensystem Oberflächen von Polyedern Volumen-Formeln 315 315 315 316 316 317 318 319 320 320 321 Anhang С Axiome, Sätze und Was man sonst noch braucht Die Axiome Die Sätze Die Korollare Prinzipien und Regeln 323 323 325 331 332 Anhang D Glossar 333 Stichwortverzeichnis 339 18
