Kapazitäten - Physik-Institut

Anleitung zum Physikpraktikum
für Oberstufenlehrpersonen
Kapazitäten (C)
Frühjahrssemester 2017
Physik-Institut der Universität Zürich
Inhaltsverzeichnis
9 Kapazitäten (C)
9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Ziel des Versuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Theoretischer Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Laden und Entladen eines Kondensators . . . . . . . . .
9.2.2 Eigenschaften der Exponentialfunktion . . . . . . . . . .
9.3 Experimenteller Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Versuchsbericht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Erzeugen von Kippschwingungen mit einer Glimmlampe
9.5.2 Einige wichtige Anwendungen der Exponentialfunktion .
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9.1
9.1
9.1
9.1
9.1
9.4
9.6
9.6
9.7
9.8
9.10
9.10
9.12
9
Kapazitäten (C)
Vorlesungsabschnitt 4, Elektrizitätslehre
5.1 Kirchhoff’sche Regeln
5.2 Laden und Entladen eines Kondensators
9.1
Einleitung
In Physik, Chemie und auch in der Biologie sind häufig Vorgänge zu beobachten, bei welchen
die Änderung einer Grösse proportional zum momentanen Wert der Grösse selbst ist:
• Die Anzahl zerfallender Kerne in einem radioaktiven Präparat ist proportional zur Anzahl
der vorhandenen aktiven Kerne.
• Während einer einfachen chemischen Reaktion ist die Konzentrationsabnahme einer Substanz proportional zur Konzentration selbst.
• Die Wachstumsrate einer Population ist proportional zur Anzahl der lebenden Individuen.
• Bewegt sich ein Körper langsam in einer Flüssigkeit, so ist die Reibungskraft und damit
die Beschleunigung proportional zur Geschwindigkeit.
• Entlädt sich ein Kondensator über einen Widerstand, so ist der Strom proportional zur
Ladung eines Kondensators.
9.1.1
Ziel des Versuches
All diese Vorgänge lassen sich quantitativ mit Hilfe von Exponentialfunktionen beschreiben.
Die charakteristischen Eigenschaften der Exponentialfunktion werden in diesem Versuch am
Beispiel des Ladens und Entladens eines Kondensators gezeigt. Dabei geht es um:
• die charakteristischen Eigenschaften der Exponentialfunktion
• Elektrische Stromkreise
• die Regeln von Kirchhoff
• Laden und Entladen von Kondensatoren
• Messen von Spannung und Strom
9.2
9.2.1
Theoretischer Teil
Laden und Entladen eines Kondensators
Mit der Schaltung in Abbildung 9.1 wird der Kondensator mit der Kapazität C über den Wi-
9.1
derstand mit dem Widerstandswert R aufgeladen, wenn der Schalter in Stellung 1 ist. In der
Stellung 2 kann der Kondensator über den Widerstand entladen werden.
R
1
S
V0
I
2
+
_
C
+
_
VC
Abbildung 9.1: Schaltung.
Laden
Entladen
Eine Gleichspannungsquelle mit der EMK
V0 werde mit einem Widerstand (R) und
einem Kondensator (C) in Serie geschaltet. Zur Zeit t = 0 werde der Schalter
(S) in Stellung 1 gebracht (Abbildung 9.1);
der Kondensator wird über den Widerstand
(R) aufgeladen. Wir suchen den Strom I
und die Spannung VC am Kondensator als
Funktionen der Zeit.
Der Kondensator (C) sei auf die Spannung
V0 aufgeladen. Zur Zeit t = 0 werde der
Schalter S in Stellung 2 gebracht (Abbildung 9.1). Der Kondensator entlädt sich
über den Widerstand (R). Wir interessieren
uns für den zeitlichen Verlauf des Stromes
I und der Spannung VC .
Zur Zeit t = 0 gilt folgende Anfangsbedingung:
Q(0) = 0
Q(0) = Q0 = V0 C
Mit der Maschenregel nach Kirchhoff gilt für die beiden Fälle:
V0 = I R +
Q
C
0=I R+
Q
C
Setzen wir für den Strom I = dQ/dt in die Gleichungen ein, dann folgt:
V0 =
dQ
Q
R+
dt
C
(9.1)
0=
dQ
Q
R+
dt
C
Das heisst, die Ladungsänderung ist proportional zur Ladung auf dem Kondensator.
9.2
(9.2)
Die Lösung der homogenen Gleichung (9.2)
finden wir durch Separation der Variablen
Q und t:
Die Lösung der inhomogenen Gleichung
(9.1) setzt sich aus der Lösung der homogenen Gleichung und einer partikulären
Lösung zusammen.
dQ
dt
=−
Q
RC
Partikuläre Lösung: Nach sehr langer
Zeit wird die Ladung auf dem Kondensator Q0 = V0 C:
Diese Gleichung wird integriert:
Q(t = ∞) = Q0 = V0 C
t
+ ln A
RC
Mit der Integrationskonstanten ln A
ln Q = −
Somit lautet die allgemeine Lösung von
(9.1):
Q(t) = A′ e− RC + Q0
t
Q(t) = A e− RC
t
(9.3)
(9.4)
Bestimmung der Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen:
Q(O) = A′ + Q0 = 0 → A′ = −Q0
Q(0) = Q0 = A
Q(t) = Q0 (1 − e− RC )
t
= V0 C(1 − e
t
− RC
Q(t) = Q0 e− RC = V0 Ce− RC
t
)
t
Bestimmung des Stromes I = dQ/dt:
I(t) =
V0 − t
e RC
R
I(t) = −
(9.5)
V0 − t
e RC
R
(9.6)
I (t)
I (t)
V0
R
t
V0
R
t
Abbildung 9.2: Strom beim Laden und Entladen eines Kondensators.
Bestimmung der Spannung VC = Q/C:
VC (t) = V0 (1 − e− RC )
t
VC (t) = V0 e− RC
t
(9.7)
9.3
(9.8)
VC (t)
VC (t)
V0
V0
t
t
Abbildung 9.3: Spannung beim Laden und Entladen eines Kondensators.
Bemerkung: Oft gibt man die Zeit t0.9 (Anstiegszeit) an, die nötig ist, um die Spannung
VC = 0.9 V0 zu erreichen:
VC
t0.9
VC (t0.9 ) = 0.9 V0 = V0 (1 − e− RC )
V0
0.9 V0
t 0.9
Frage 1:
Abbildung 9.4: Illustration zur Bemerkung.
t
• Bestimmen Sie t0.9 , wenn R und C vorgegeben sind.
• Wie muss man R und (oder) C ändern, um eine kürzere Anstiegszeit t0.9
zu bekommen?
9.2.2
Eigenschaften der Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion f (t) = A e−αt hat folgende charakteristischen Eigenschaften:
• Die Steigung df /dt ist in jedem Punkt proportional zum Funktionswert f (t):
df
= −αAe−αt = −αf (t)
dt
Das negative Vorzeichen deutet an, dass es sich um eine Abnahme von f(t) handelt.
• In gleichen Zeitintervallen ∆t ändert sich der Funktionswert f(t) jeweils um den konstanten
Faktor
e−α∆t
Am einfachsten lässt sich dies anhand einer grafischen Darstellung erläutern (Abbildung
9.5).
9.4
f (t)
A
A
3
A
9
A
27
∆t
2∆t
3∆t
t
Abbildung 9.5: Exponentialfunktion.
Die Funktion f (t) = Ae−αt geht asymptotisch gegen 0. Deshalb gibt man für Vorgänge, die sich
mit einer Exponentialfunktion beschreiben lassen, die Halbwertszeit T1/2 oder die Zeitkonstante
τ an.
Halbwertszeit: Nach der Zeit T1/2 ist f (t) auf die Hälfte des Anfangwertes gefallen.
f (t)
f (0) = A
A
= Ae−αT1/2
f (T1/2 ) =
2
1
ln
= −αT1/2
2
ln 2
T1/2 =
α
A
A
2
α2
α1<α2
(T1/2)2 (T1/2)1
Abbildung 9.6: Illustration zur Halbwertszeit.
t
Zeitkonstante: Nach der Zeit τ ist f (t) auf den e-ten Teil des Anfangwertes abgesunken.
f (t)
e = 2.7183...
1/e = 0.3679...
A
f (0) = A
A
= Ae−1 = Ae−ατ
f (τ ) =
e
1
τα = 1 → τ =
α
A
e
Abbildung 9.7: Illustration zur Zeitkonstante.
9.5
α2 α1<α2
τ2
τ1
t
Beispiel: Entladen eines Kondensators.
Nach Gleichung (9.7) gilt:
VC
t
− RC
VC
= V0 e
1
α =
RC
also:
τ
V0
= RC
(9.9)
T1/2 = RC ln 2
(9.10)
V0
2
V0
e
T1/2 τ
t
Abbildung 9.8: Entladen eines Kondensators.
9.3
Experimenteller Teil
9.3.1
Aufgabenstellung
Ein Kondensator wird über einen Widerstand R aufgeladen und entladen. Strom und Spannung
werden als Funktionen der Zeit gemessen. Der Versuch wird für zwei verschiedene Zeitkonstanten
durchgeführt: τ1 ≃ 10s und τ2 ≃ 15s.
Schaltung
R
1
S
I
2
V0
VC
C1
C2
C3
Ci
Abbildung 9.9: Schema vom Versuchsaufbau.
Das Netzgerät und die Messinstrumente werden an den dafür vorgesehenen Buchsen angeschlossen. Mit den Schaltern Ein-Aus kann die Anzahl der parallel geschalteten Kondensatoren
verändert werden.
Bemerkung: Die Kapazitäten von parallel geschalteten Kondensatoren addieren sich zu:
∑
Ctot = Ci
Der Widerstand R wird auf die entsprechenden Buchsen gesteckt. Wählen Sie eine RC-Kombination,
deren Zeitkonstante (nach Gleichung (9.9)) ungefähr l0 s bzw. 15 s ist.
9.6
9.3.2
Vorgehen
Aufbau der Schaltung:
1. Anschliessen des Netzgerätes und der Messinstrumente
2. Wählen der Zeitkonstanten und der zugehörigen RC-Kombination
3. Aufstecken des Widerstandes R
4. Einschalten der nötigen Kapazitäten
5. Spannung des Netzgerätes auf 15 V einstellen
Messung:
1. Laden des Kondensators (Schalterstellung 1):
(a) Nach dem Schliessen des Schalters (t = 0) liest man im Abstand von 5 Sekunden die
Spannung VC auf dem Voltmeter ab. Die Zeit wird mit der Stoppuhr gemessen.
(b) Bei einem zweiten Durchgang liest man alle 5 Sekunden den Strom auf dem AmpèreMeter ab. Man beachte besonders den Strom zur Zeit t = 0.
Achtung: Vor dem 2. Durchgang müssen die Kondensatoren entladen werden.
2. Entladen des Kondensators (Schalterstellung 2):
(a) Der Kondensator ist auf die Spannung V aufgeladen (siehe Laden des Kondensators)
(b) Messen von Strom und Spannung als Funktionen der Zeit wie beim Laden des Kondensators.
Bemerkung: Jedes Voltmeter hat einen endlichen Innenwiderstand RV . Berücksichtigt man
RV , so erhält man folgende Schaltung:
R
I
V0
VC
C
Das im Versuch verwendete Voltmeter
hat einen Innenwiderstand von 107 Ω;
es ist RV ≫ R. Durch das Voltmeter
fliesst also ein sehr kleiner Strom.
Ri Voltmeter
Abbildung 9.10: Innenwiderstand vom
Voltmeter.
Frage 2: Weshalb steigt die Spannung am Kondensator nicht bis auf V0 ?
9.7
9.4
Versuchsbericht
1. Beantworten Sie die im Text gestellten Fragen.
2. Stellen Sie das Ziel und die Durchführung des Versuchs unter besonderer Berücksichtigung
folgender Punkte kurz dar:
• Charakteristische Eigenschaften der Exponentialfunktion
• Bedeutung von Halbwertszeit und Zeitkonstante τ
3. Auswertung: VC (t) und I(t) werden auf Millimeterpapier aufgezeichnet. Die abfallenden
Funktionen (Strom für Laden und Entladen, Spannung für Entladen) werden ausserdem auf halblogarithmischem Papier aufgetragen. Aus den grafischen Darstellungen liest
man die Zeitkonstanten ab (siehe unten) und vergleicht sie mit den berechneten Werten.
(Steht kein halblogarithmisches Papier zur Verfügung, dann können ln V (t) und ln I(t) auf
gewöhnliches Millimeterpapier aufgezeichnet werden.)
Bestimmen der Zeitkonstanten aus den graphischen Darstellungen
1. Aus der linearen Darstellung der Exponentialfunktion:
I
Die Zeitkonstante kann, wie man in der Abbildung 1 sieht, direkt aus der Exponentialfunktion herausgelesen werden.
V0
R
V0
R·e
τ
Abbildung 9.11: Bestimmung der Zeitkonstanten.
t
2. Aus der logarithmischen Darstellung der Exponentialfunktion: Es gilt:
I=
V0 − t
e RC
R
Bemerkung: Es können nur dimensionslose Grössen logarithmiert werden. Will man obige Gleichung logarithmieren, so müssen die Einheiten “herausgekürzt” werden. Der Logarithmus der nun dimensionslosen Grössen in den Quotienten kann jetzt als Summe von
Logarithmen geschrieben werden.
Logarithmieren ergibt:
ln
t
RI
=−
V0
RC
Nach dem “herauskürzen” der Einheiten schreiben wir für die Gleichung:
9.8
ln I + ln
R
t
=−
V0
RC
(9.11)
In 10er-Logarithmen:
log
IR
t
=−
log e
V0
RC
Nach dem “herauskürzen” der Einheiten schreiben wir für die Gleichung:
log I + log
t
R
=−
log e
V0
RC
(9.12)
Die Gleichungen (9.11) und (9.12) stellen Geraden dar. Für die entsprechenden Steigungen gilt:
lnI
log I
V
log 0
R
V
ln 0
R
∆ (ln I)
∆ (log I)
∆t
∆t
t
t
Abbildung 9.12: Steigung der Geraden.
Steigung:
∆(log I)
log e
=−
∆t
RC
∆t
RC = log e|
|
∆(log I)
∆(ln I)
1
=−
∆t
RC
∆t
RC = |
|
∆(ln I)
9.9
9.5
9.5.1
Anhang
Erzeugen von Kippschwingungen mit einer Glimmlampe
Eine Glimmlampe besteht aus einem gasgefüllten Glaskolben, in welchem sich 2 Elektroden
befinden.
I
Scheibe und Ring
als Elektroden
Zwei Drähte
als Elektroden
VL
VZ
V
Abbildung 9.14: Kennlinie einer Glimmlampe. VZ ist die Zündspannung und VL
die Löschspannung.
Abbildung 9.13: Glimmlampen.
An die Elektroden wird eine Spannung angelegt. Im elektrischen Feld zwischen den Elektroden
werden die im Gas vorhandenen freien Elektronen beschleunigt. Ist das Feld resp. die angelegte
Spannung genügend gross, so können die beschleunigten Ladungen weitere Atome ionisieren.
Die Zahl der Ladungsträger im Gas wächst lawinenartig an, es fliesst ein grosser Strom, der
Innenwiderstand Ri der Lampe sinkt stark, d.h. die Lampe zündet bei einer charakteristischen
Zündspannung VZ .
Schaltung zur Erzeugung von Kippschwingungen
R
V0
S
KO
C
GL
Abbildung 9.15: Schaltung zur Erzeugung von
Kippschwingungen.
Parallel zur Glimmlampe (GL) wird ein
Kondensator C geschaltet. Der Widerstand
R soll gross sein gegen den Innenwiderstand der gezündeten Lampe. Solange in
der Lampe ein sehr kleiner Strom fliesst,
d.h. VC < VZ , lädt sich der Kondensator über den Widerstand R auf. Sobald
die Spannung VC die Zündspannung der
Glimmlampe erreicht hat, zündet diese und
die auf C gespeicherte Ladung fliesst sehr
rasch über den Innenwiderstand Ri der
Lampe ab.
Ist R ≫ Ri , kann die Batterie nur einen kleinen Teil der notwendigen Ladung nachliefern, sodass
die Spannung VC absinkt und zwar bis auf den Wert der Löschspannung VL . Dann beginnt sich
9.10
der Kondensator von neuem aufzuladen etc. Die Spannung VC wird mit dem Kathodenstrahloszillographen (KO) gemessen. Die Spannung am Kondensator hat also folgenden Verlauf (vgl.
Abbildung 9.5):
Vc
V0
VZ
TB =Brenndauer
T2 − T1 = Zeit, um den Kondensator von
VL auf VZ aufzuladen.
VL
TB
T1
t
T2
Abbildung 9.16: Verlauf der Spannung.
Berechnung der Frequenz der Kippschwingungen
Aufladen des Kondensators (nach Gleichung (9.7)):
V0 − VL
V0
T2
V
− VZ
0
VZ = V0 (1 − e− RC ) →
V0
V0 − VL
Division ergibt:
V0 − VZ
V0 − VL
logarithmieren:
ln
V0 − VZ
T1
VL = V0 (1 − e− RC ) →
T2 − T1
T1
= e− RC
t2
= e− RC
= e− RC ·(T1 −T2 )
1
1
· (T1 − T2 )
RC
V0 − VL
= RC · ln
V0 − VZ
= −
Falls R ≫ Ri , kann die Brenndauer TB gegen T2 − T1 vernachlässigt werden und die Frequenz
ν der Kippschwingungen ist
ν≃
1
1
1
1
=
∼
V
−V
T1 − T2
RC ln V0−VL
RC
0
Z
Demonstration
Die Kippschwingungen werden vom Assistenten auf dem Kathodenstrahloszillographen demonstriert. Man wird dabei verschiedene Widerstände und Kondensatoren verwenden. Beobachten Sie
die Änderungen der Frequenz und der Brenndauer.
9.11
R
V0
Auf dem Oszillographen ist VC (t) dargestellt.
KO
C
GL
9.5.2
Abbildung 9.17: Schaltung für die Demonstration.
Einige wichtige Anwendungen der Exponentialfunktion
a) Radioaktiver Zerfall
N (t)
N0
N0 = Anzahl radioaktiver Kerne zur
Zeit t = 0
N (t) = N0 e-α t
N (t) = Anzahl radioaktiver Kerne zur
Zeit t
N0
2
T1/2
Zur Zeit T1/2 ist noch die Hälfte der
Kerne radioaktiv.
t
Abbildung 9.18: Radioaktiver Zerfall.
Die Halbwertszeiten von Kernen liegen zwischen 10−22 Sekunden und mehreren tausend Jahren.
b) Absorbtion von Licht in Materie (gilt auch für γ-Strahlung)
I (x)
I0
I (x) = I0 e-µ x
Licht
I (x)
I0
I0
2
x=0
d1/2
x
x
Abbildung 9.19: Absorbtion von
elektromagnetischer Strahlung.
x
I0 ist die Intensität bei x = 0. I(x) ist die Intensität, nachdem das Licht durch eine Schicht der
Dicke x gegangen ist. d1/2 ist die Schichtdicke, nach der die Intensität auf die Hälfte abgesunken
ist.
Bemerkung: Die Intensität von γ−Strahlung sinkt auch bei dicker Abschirmung nicht auf exakt
Null.
9.12
c) Bewegung in viskoser Flüssigkeit
Bewegungsgleichung für viskose Reibung
(Reibung proportional zur Geschwindigkeit):
v (t)
v0
d2 x
dvx
=m
= −βvx + F0
2
dt
dt
F0 = konstante Kraft, z.B. Schwerkraft,
elekromagnetische Kraft
β
v (t) = v 0 (1-e m t)
m
t
βvx = viskose Reibung, proportional zur
Geschwindigkeit
Abbildung 9.20: Bewegung in viskoser
Flüssigkeit.
v0 = stationäre Geschwindigkeit
d) In der Biologie
Bei biologischen Vorgängen, z.B. bei Abbau- und Ausscheidungsvorgängen, sind häufig mehrere
Exponentialfunktionen in komplizierter Weise überlagert.
9.13