Vollständige Induktion

Vollständige Induktion
Eine vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren
für eine Aussage A(n), deren Richtigkeit ( Wahrheit“)
”
für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 nachzuweisen ist.
(Zumeist hat man n0 = 1.)
Ein Induktionsbeweis besteht aus zwei Teilen, dem
Induktionsanfang und dem Induktionsschluss.
Induktionsanfang: Es wird gezeigt, dass die Behauptung A(n) für n = n0 richtig ist. Gelingt dies, so
fahre man mit Induktionsschluss fort.
Induktionsschluss: a) Induktionsvoraussetzung:
A(m) ist wahr.
b) Induktionsbehauptung: Auch A(m + 1) ist wahr.
c) Beweis der Induktionsbehauptung: Unter der Voraussetzung A(m) ist wahr“ ist die Behauptung A(m + 1)
”
”
ist wahr“ zu zeigen. Gelingt der Nachweis der Induktionsbehauptung, so ist der Induktionsschluss erfolgreich
durchgeführt. Zusammen mit dem Induktionsanfang ergibt sich, dass A(n) für alle n ∈ N mit n ≥ n0 richtig
ist.
Analysis 1 WiSe 2003/2004 – Vollständige Induktion
1
Beispiel 1. Man diskutiere folgenden Beweis“, dem zu”
folge alle Pferde die gleiche Farbe haben. Der Beweis
erfolge durch Induktion. A(n) sei die Aussage, dass je n
Pferde die gleiche Farbe haben.
Induktionsanfang: A(n) ist für n = 1 trivialerweise richtig.
Induktionsschluss n → n + 1: Man nehme aus einer
Herde von n + 1 Pferden ein beliebiges heraus. Nach Induktionsvoraussetzung haben die verbliebenen n Pferde
die gleiche Farbe. Man tue das weggenommene Pferd
wieder zur Herde und nehme ein anderes weg. Die nun
verbliebenen n Pferde haben wieder nach Induktionsvoraussetzung die gleiche Farbe. Insgesamt haben also alle
n + 1 Pferde die gleiche Farbe.
Antwort: Der Induktionsanfang ist offensichtlich korrekt.
Der Induktionsschritt von n = 1 auf n = 2 dagegen
ist nicht möglich. Nimmt man nämlich aus einer Herde von 2 Pferden erst das eine und dann das andere
heraus, so kann man NICHT schließen, dass die beiden
die gleiche Farbe haben, da ein drittes Vergleichspferd
fehlt. Zu beachten ist jedoch, dass für n ≥ 2 der angegebene Induktionsschritt von n auf n + 1 richtig ist.
In diesen Fällen hat man nämlich mindestens ein weiteres Vergleichspferd zur Verfügung, das heißt unter der
annahme der Gültigkeit der Behauptung für ein n ≥ 2
haben das zuerst und das als zweites herausgenommene Pferd auch wird die gleiche Farbe, folglich gilt die
Behauptung auch für n + 1.
Analysis 1 WiSe 2003/2004 – Vollständige Induktion
2
Beispiel 2. Behauptung: Für jedes n ∈ N gilt:
n
k=1
1
k 2 = n(n + 1)(2n + 1).
6
Die Aussage gilt für n = 1,
Beweis:
1 Induktionsanfang:
da k=1 k 2 = 12 = 1 = 16 1(1 + 1)(2 · 1 + 1) = 1.
Induktionsschritt: Wir setzen voraus, dass die Behauptung für ein beliebiges aber festes n ∈ N gilt und
zeigen, dass sie dann auch für n + 1 gilt.
n+1
k2 =
k=1
n
k 2 + (n + 1)2
k=1
mit der Induktionsvoraussetzung folgt
=
=
=
=
=
1
n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2
6
1
(n + 1) n(2n + 1) + 6(n + 1)
6
2
1
(n + 1) 2n + 7n + 6
6
1
(n + 1) (n + 2)(2n + 3)
6
1
(n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1)
6
qed.
Analysis 1 WiSe 2003/2004 – Vollständige Induktion
3
Beispiel 3. Behauptung: Für jedes n ∈ N gilt:
n
k=1
1
k 3 = n2(n + 1)2.
4
Die Aussage gilt für n = 1,
Beweis:
1 Induktionsanfang:
da k=1 k 3 = 1 = 14 12(1 + 1)2 = 1.
Induktionsschritt: Wir setzen voraus, dass die Behauptung für ein beliebiges aber festes n ∈ N gilt und
zeigen, dass sie dann auch für n + 1 gilt.
n+1
k=1
k3 =
n
k 3 + (n + 1)3
k=1
mit der Induktionsvoraussetzung folgt
1
= n2(n + 1)2 + (n + 1)3
4
2
1
2
= (n + 1) n + 4(n + 1)
4
2
1
2
= (n + 1) n + 4n + 4
4
1
= (n + 1)2(n + 2)2
4
qed.
Analysis 1 WiSe 2003/2004 – Vollständige Induktion
4