Übungsblatt_06_ 07 - Goethe

Goethe-Universität Frankfurt
Sommersemester 2014
Prof. Dr. Katrin Auspurg
Einführung in die Sozialwissenschaftliche Statistik
Übungsblatt 6:
Inferenzstatistik II (Sitzung 7)
Aufgabe 1
Jedes Mitglied eines Ausschusses von 12 Personen geht mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8
zur nächsten Sitzung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ausschuss beschlussfähig
ist, wenn dazu mindestens die Hälfte der Mitglieder anwesend sein muss?
Aufgabe 2
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 6 Würfen eines Würfels mindestens 3 Sechser zu
erzielen?
Aufgabe 3
Eine Multiple Choice Klausur besteht aus 20 Fragen. Jeder Frage folgen sieben Antwortalternativen, von denen genau eine richtig ist.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei rein zufälligem Ankreuzen höchstens vier
Aufgaben richtig zu lösen?
b) Die Klausur wird von 1000 Studierenden bearbeitet. Alle Studenten raten. Von wie
vielen würden Sie einen Wert größer 4 erwarten?
Aufgabe 4
Eine Zufallsvariable sei normalverteilt mit μ und σ2. Bestimmen Sie folgende
Wahrscheinlichkeiten:
a) P(X<μ+2σ)
b) P(X>μ+2σ)
c) P(μ-2σ<X<μ+2σ).
Aufgabe 5
Eine Zufallsvariable ist normalverteilt mit μ=100 und σ2=25. Bestimmen Sie folgende
Perzentile
a) 77% Perzentil
b) 73% Perzentil
c) 11%-Perzentil.
Aufgabe 6
X sei eine N(10;25) verteilte Zufallsvariable. Man bestimme mit Hilfe der Tabelle der
Standardnormalverteilung P(0≤X≤11), P(8≤X≤12) und P(X≤15).
Aufgabe 7
Eine Maschine füllt Zucker in Tüten ab, die ein Gewicht von 1000 Gramm haben sollen. Das
tatsächliche Gewicht lässt sich als eine N(μ;σ2) verteilte Zufallsvariable auffassen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Sollgewicht um mehr als 15 Gramm
unterschritten wird, aa) wenn μ =1000 und σ2 =100 und ab) wenn μ=1050 und σ2
=121 ist?
b) Wie groß darf bei einem μ=1000 die Standabweichung σ höchstens sein, damit
P(950≤X≤1050)≥0,98 gilt?
c) Gegeben sei σ2=100 (unabhängig von μ). Auf welchen μ-Wert darf die Maschine
höchstens eingestellt werden, damit P(X≥1020)≤0,05 gilt?
Aufgabe 8
Wie lauten Erwartungswert und Varianz der stetigen Gleichverteilung?
Aufgabe 9
Geben Sie die folgenden Quantile der Standardnormalverteilung an: 1%, 5%, 10%, 50%, 75%,
90%, 99%.
Aufgabe 10
Ein Lehrling hat in einem mechanischen Verständnistest 78 Punkte und in einem
Kreativitätstest 35 Punkte erzielt. Im ersten Test erzielen Lehrlinge im Durchschnitt eine
Leistung von 60 Punkten bei einer Streuung (Standardabweichung) von 8 Punkten. Im Test
beläuft sich der Durchschnitt auf 40 und die Standardabweichung auf 5 Punkte. Die
Testleistungen seien in beiden Tests normalverteilt.
a) Wie groß ist der Prozentsatz der Lehrlinge, die mechanischen Test schlechter
abschneiden als der betrachtete Lehrling?
b) Wie groß ist der Prozentsatz der Lehrlinge, die im Kreativitätstest besser
abschneiden als der betrachtete Lehrling?
c) Ein weiterer Lehrling hat im Kreativitätstest die Leistung von 43 Punkten erreicht.
Wie viel Prozent aller Lehrlinge haben im Kreativitätstest eine bessere Leistung als
der erste und eine schlechtere Leistung als der zweite Lehrling?
Aufgabe 11
Wie lautet der χ2 Wert, der vom oberen Ende der χ2 Verteilung gerade 5% abschneidet?
Welchen Wert brauchen Sie noch, um das zu bestimmen? (Sie können diesen Wert für die
Aufgabe selbst wählen.)
Aufgabe 12
Wie lauten die t-Werte, die jeweils 0,5% vom oberen und unteren Ende der t-Verteilung mit
df=12 abschneiden?
Aufgabe 13
Welcher F-Wert schneidet vom oberen Ende der F-Verteilung mit vier Zähler- und 20
Nennerfreiheitsgraden 5% ab?
Aufgabe 14
Um die Anpassung von empirischen Verteilungen an die Normalverteilung zu überprüfen,
werden graphische Darstellungen gewählt. Die Beobachtungswerte werden dabei gegen die
Quantile der Normalverteilung abgetragen. Dieses Verfahren wird von Ben Jann auf Seite
123 beschrieben. Versuchen Sie, die Daten für die erzielten Klausurpunkte aus der EXCEL
Datei (16 Datenpunkte) zu verwenden und eine entsprechende Graphik (Normal-QuantilPlot) zu erstellen. Führen Sie zunächst eine Z-Standardisierung durch.
Aufgabe 15
Führen Sie einige Argumente an, warum der Normalverteilung eine so große Bedeutung in
der Statistik zukommt. Vergleichen Sie in diesem Zusammenhang auch die
Binomialverteilung mit der Normalverteilung.