8 Zusammenhang Einiger Diskreten

Bei großen n (mit k = 0 ; 1 ; 2 ; … ; n ) scheint die Berechnung der Formel für die
n
⋅ p k ⋅ q n − k recht schwierig zu werden. Dafür können
Binomial-Verteilung f ( k ) =
k
gewisse Nährungsmethoden benutzt werden, so dass die Binomialverteilung durch die
Gaußsche Normalverteilung ersetzt werden kann.
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable. Die Binomialverteilung lässt sich für große n
und p-Werte die sich deutlich von 0 und 1 unterscheiden in guter Näherung durch die
Dichtefunktion der Gaußschen Normalverteilung beschreiben:
f (x
)=
1
2π σ
2
exp −
1
x − µ
2
σ
2
Dabei sind σ ² = n p q die Varianz und µ = n p der Erwartungswert der Verteilung.
Die Näherung ist zulässig, wenn die Bedingung:
n p q > 9 erfüllt ist.
Für Werte von p , die sich nicht sehr von 0,5 unterscheiden, ist die Näherung auch
zulässig, wenn die Bedingungen: n p ≥ 5 UND n q ≥ 5 erfüllt sind.
Approximation der Binomi al verteil ung durch die G auß sche Normal vert eilung
n = 5 , p = 0,3
n = 10 , p = 0,3
n = 15 , p = 0,3
n = 20 , p = 0,3
1
Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit n = 15 und p = 0,4 . Berechnen Sie mit
Hilfe der Binomial- sowie der Näherung durch die Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit
für P ( X
4)
Exakte Lösung durch die Binomial-Verteilung:
f (k
15
)=
f(k)
⋅ 0 , 4 k ⋅ 0 , 6 15 − k
k
15
f(k) =
0,4 K 0,6 15 –
k
K
kc = 4
P (X k ≤ 4) =
f (k )
k=0
= f ( 0 ) + f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 )
0 1 2 3
= 0 , 217
4
5 6 7
9 10 11 12
8
k
Näherungslösung durch Approximation der Normal-Verteilung:
f(x)
= n p = 15 ⋅ 0,4 = 6
1
f(x) =
exp
2
σ ² = n p q = 15 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 3,6
3,6
1
) =
2π 3,6
exp
−
1
x − 6
2
3,6
2 ⋅ 3,6
σ = 3,6
µ =6
0.2
0.15
f (x
(x– 6)²
2
0.1
0.05
x C = k C + 0,5 = 4,5
0 1 2.5
2 3
455
6 7.5
7 8
9 1010
1112.5
12
15
x
4,5
zc
=
4,5 − 6
1, 897
= − 0 , 79
Z =
(z)
Binomial
P (Xk
4)
Gauß-Normal Standard-Normal
P (X
4,5 ) = P ( Z
X − µ
σ
1
(z)=
2
exp
z²
2
– 0,79 )
= Φ (– 0,79 )
= 0,2148
– 0,79 0
z
2
Beim Übergang von der Binomial- zur Normal-Verteilung wird die diskrete Zufallsvariable
X durch eine stetige angenähert. Bei dieser Näherung werden die Balken des
Stabdiagramms durch Rechtecke des Histogramms und anschließend durch die Fläche
unter der Gaußschen Glockenkurve ersetzt. Die Werte der diskreten Zufallsvariable X
geben jeweils die Mitten der Grundseiten der Rechtecke an. Da die Breite jedes Rechtecks
gleich 1 ist, müssen bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten xWert, die Intervallgrenzen um jeweils 0,5 nach außen hin verschoben.
Stetigkeitskorrektur bei der Aproximation der Binomialverteilung durch die
Normalverteilung
Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Binomial-Verteilungen bei der
Näherung durch die Normal-Verteilung, müssen die Intervallgrenzen einer
Stetigkeitskorrektur unterzogen werden. Seien
σ ² = n p q die Varianz und µ = n p der Mittelwert der Verteilung.
F ( x ) die Verteilungsfunktion der Gauß-Normal-Verteilung.
Φ ( z ) die Verteilungsfunktion der Standard-Normal-Verteilung
Und sei X = k0 der Wert der diskreten Zufallsvariable einer Binomial-Verteilung, so gilt für
die Approximation der Wahrscheinlichkeit P ( X
k0 ) durch die Normalverteilung
folgende Näherungsformel:
BinomialP (X ≤ k0
Gauß-Normal-
)
≈
P ( X ≤ k 0 + 0,5 ) =
F (k 0 + 0 ,5 )
≈
P (Z ≤ z0
Φ (z0
)
=
)
Standard-Normal-Verteilung
Dabei ist:
z0 =
(k0
+ 0 ,5 ) − µ
σ
Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit n = 15 und p = 0,4 . Berechnen Sie mit
Hilfe der Binomial- sowie der Näherung durch die Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit
P(7 X 9)
3
!!! "
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#$
%
#
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Die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der diskreten
Ereignisse in einem festen Zeitintervall an. Die Exponential-Verteilung dagegen gibt die
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Dauer bis zum nächsten Poisson-Ereigniss an.
Bei einem Poisson-Prozess gibt die konstante Rate α die durchschnittliche Anzahl von
Erfolgen in der Zeiteinheit an. Wir betrachten nun einen Posisson-Prozess mit der
Zufallsvariable X. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dem Zeitintervall t kein Erfolg X =
0 geschieht, ist gegeben durch:
P ( X = 0) = f (0) =
(α ⋅ t ) 0
0!
⋅e
− α ⋅ t
= e
− α ⋅ t
Definieren wir nun T als die Zufallsvariable für die Zeit bis zum ersten Erfolg, so gilt:
P(T
t ) = F(t )
P(T > t ) =
1 – P(T
t ) = 1 – F(t )
Da es keinen Erfolg in der Zeit von 0 bis t gibt, folgt:
1 − P (T ≤ t
) = P(X = 0) = e
− α ⋅ t
Setzt man dieses Ergebnis in die vorige Gleichung ein, so erhält man die Verteilungsfunktion
der Exponential-Verteilung.
F (t
)= 1 − e
− α ⋅ t
4