40. ¨Osterreichische Mathematik

40. Österreichische Mathematik-Olympiade
Kurswettbewerb Lösungen
TU Graz, 29. Mai 2009
1. Für welche Primzahlen p ist 2p + 1 die dritte Potenz einer natürlichen Zahl?
Lösung. Es soll also gelten 2p + 1 = n3 für eine natürliche Zahl n. Die linke Seite ist
sicher ungerade, daher muss auch die rechte Seite ungerade sein. Dies ist genau dann
der Fall, wenn n ungerade ist. Sei daher n = 2m + 1.
Wir erhalten nun:
2p + 1 = (2m + 1)3
2p + 1 = 8m3 + 12m2 + 6m + 1
−1
:2
p = 4m3 + 12m2 + 6m
= m · (4m2 + 12m + 6)
Falls m und (4m2 + 12m + 6) beide größer als 1 sind, ist p das Produkt zweier
natürlicher Zahlen und somit keine Primzahl. Es bleibt somit nur noch der Fall
m = 1 zu betrachten. Hier erhalten wir m · (4m2 + 12m + 6) = 13, und dies ist eine
Primzahl. Wir erhalten somit die einzige Lösung p = 13 mit 2 · 13 + 1 = 27 = 33 .
2. (a) Man zeige, dass für alle reellen Zahlen x, y, z die Ungleichung
10x2 + 2y 2 + 5z 2 ≥ 2xy + 4yz + 6zx
gilt. Wann gilt Gleichheit?
Lösung. Wir bringen die Terme auf die linke Seite und fassen zusammen:
10x2 + 2y 2 + 5z 2 ≥ 2xy + 4yz + 6zx
10x2 + 2y 2 + 5z 2 − 2xy − 4yz − 6zx ≥ 0 ⇐⇒
x2 − 2xy + y 2 + y 2 − 4yz + 4z 2 + z 2 − 6(zx) + 9x2 ≥ 0 ⇐⇒
(x − y)2 + (y − 2z)2 + (z − 3x)2 ≥ 0
⇐⇒
Die letzte Ungleichung gilt immer, da eine Summe von Quadraten reeller Zahlen
immer größer oder gleich 0 ist. Da alle Umformungen Äquivalenzumformungen
waren, ist damit auch die ursprüngliche Ungleichung bewiesen.
(b) Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen n, für die
n2 + 2008 < 3n
gilt.
Lösung. Zunächst betrachten wir die ersten Werte von n:
n n2 n2 + 2008 3n
1 1
2009
3
2 4
2012
9
3 9
2017
27
2024
81
4 16
5 25
2033
243
2044
729
6 36
7 49
2057
2187
Wir sehen, dass die Ungleichung für n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} gilt. Da 3n “schneller
wächst” als n2 + 2008 vermuten wir, dass es keine weiteren Lösungen gibt, und
beweisen dies mit vollständiger Induktion:
Induktionsbasis haben wir bereits.
Induktionsvoraussetzung: n2 + 2008 < 3n für 7 ≤ n ≤ N .
Induktionsschritt: Wir müssen zeigen, dass auch (N + 1)2 + 2008 < 3N +1 gilt.
Dies erhalten wir durch Umformung:
(N + 1)2 + 2008 = N 2 + 2N + 1 + 2008
≤ N 2 + N 2 + 2009
< 3N + 3N + 2009
N
N
≤3 +3 +3
N
(da 2N < N 2 für N > 2)
(nach Induktionsvoraussetzung)
(da 2009 < 3N für N ≥ 7)
= 3 · 3N = 3N +1
Die Ungleichung gilt daher genau für n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3. Man bestimme alle x ∈ R, sodass
q
x2 − [x]2 = 3 − x
gilt.
Lösung. Wir sehen sofort, dass für x > 3 die linke Seite positiv, die rechte jedoch
negativ ist. Daher kann es keine Lösung mit x > 3 geben.
Ist x negativ, so gilt [x]2 ≥ x2 (da zum Beispiel [−3.2] = −4) mit Gleichheit nur bei
ganzzahligen x. Der Ausdruck unter der Wurzel ist für nicht ganzzahlige, negative x
somit negativ. Für ganzzahlige negative x ist der Ausdruck unter der Wurzel gleich
0, die rechte Seite 3 − x aber sicher größer als 3. Somit kann es auch keine Lösungen
mit x < 0 geben.
Zur leichteren Berechnung der verbleibenden Fälle formen wir den Ausdruck um:
q
2
2
2
x − [x] = 3 − x
2
x2 − [x]2 = 9 + x2 − 6x
− x2 + 6x + [x]
6x = 9 + [x]2
Wir schreiben x an als x = m + r mit m ∈ Z und 0 ≤ r < 1, und erhalten:
2
6m + 6r = 9 + m
− 6m
6r = 9 + m2 − 6m
:6
r=
9 + m2 − 6m
6
Da wir alle Fälle außer m ∈ {0, 1, 2, 3} bereits ausgeschlossen haben, bleiben nur
noch diese vier Fälle zu betrachten:
• m = 0: Wir erhalten r = 96 , dies widerspricht aber der Definition von r.
• m = 1: Wir erhalten r = 46 = 23 und somit die Lösung x = 1 +
zeigt, dass dies eine gültige Lösung ist.
• m = 2: Wir erhalten r = 61 und somit die Lösung x = 2 +
zeigt, dass dies eine gültige Lösung ist.
1
6
2
3
= 53 . Einsetzen
=
13
.
6
Einsetzen
• m = 3: Wir erhalten r = 0 und somit die Lösung x = 3. Einsetzen zeigt, dass
dies eine gültige Lösung ist.
Insgesamt erhalten wir daher die drei Lösungen x = 53 , x =
13
6
und x = 3.
Lösung. (Alternativer Lösungsweg) Bei der Gleichung 6r = 9 + m2 − 6m können
wir auch erkennen, dass die rechte Seite ein vollständiges Quadrat ist und erhalten
6r = (m − 3)2 . Da die rechte Seite das Quadrat einer ganzen Zahl ist, muss dies auch
auf die linke Seite zutreffen. Wegen r < 1 und somit 6r < 6 kommt nur 02 = 6r,
12 = 6r oder 22 = 6r in Frage, und wir erhalten dieselben drei Lösungen:
6r = 02
=⇒
r = 0, m = 3
2
6r = 1
=⇒
r = 61 , m = 2
6r = 22
=⇒
r = 64 , m = 1
4. Sei ABCD ein konvexes Viereck mit AB = BC = AD. Weiters sei M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen AC und BD, und es gelte ^AMB = 70◦ und ^ACB =
50◦ .
a) Man bestimme die Winkel ^DAM und ^DCM .
b) Wie kann man das Viereck ABCD konstruieren?
C
D
50◦
M
70◦
A
B
Abbildung 1: Skizze 1
Lösung.
•
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•
•
•
•
•
a) • Das Dreieck ABC ist gleichschenkelig, daher gilt ^CAB = ^ACB =
50◦ .
Aus der Winkelsumme im Dreieck ABM folgt ^MBA = 180◦ − ^AMB −
^MAB = 180◦ − 70◦ − 50◦ = 60◦ .
Das Dreieck ABD ist gleichschenkelig, daher gilt ^ADB = ^ABD = 60◦ .
Aus der Winkelsumme im Dreieck ABD folgt ^DAB = 180◦ − ^DBA −
^ADB = 180◦ − 60◦ − 60◦ = 60◦ .
Es folgt ^DAM = ^DAB + ^MAB = 60◦ − 50◦ = 10◦ .
Aus der Winkelsumme im Dreieck ABC folgt ^ABC = 180◦ − ^ACB −
^CAB = 180◦ − 50◦ − 50◦ = 80◦ , und somit weiters ^DBC = ^ABC −
^ABD = 80◦ − 60◦ = 20◦ .
Auf Grund der drei 60◦ -Winkel sehen wir, dass das Dreieck ABD gleichseitig
ist. Damit ist das Dreieck DBC gleichschenkelig, und wir erhalten ^BDC =
◦
◦
^BCD = 180 2−20 = 80◦ .
Damit folgt nun ^DCM = ^DCB − ^ACB = 80◦ − 50◦ = 30◦ .
b)
• Konstruiere den Peripheriewinkelkreis über AB zum Winkel 70◦ .
• Der Punkt C muss sowohl auf diesem Kreis als auch (wegen AB = BC ) auf
dem Kreis mit Mittelpunkt B und Radius AB liegen. Wir erhalten C daher
als Schnittpunkt dieser beiden Kreise.
• Konstruiere den Peripheriewinkelkreis über AB zum Winkel 50◦ .
• Der Punkt M muss sowohl auf diesem Kreis liegen als auch auf der Strecke
AC . Wir erhalten M daher als Schnittpunkt dieser beiden.
• Der Punkt D schließlich muss sowohl auf der Verlängerung von BM liegen
als auch (wegen AB = AD) auf dem Kreis mit Mittelpunkt A und Radius
AB . Wir erhalten D daher als Schnittpunkt dieser beiden, und haben das
Viereck ABCD somit eindeutig konstruiert.
Weitere Informationen über die ÖMO findet man auf http://www.oemo.at/ .