Geometrische Deutung der Multiplikation

Geometrische Deutung der Multiplikation
1. In der komplexen Zahlenebene ist ein Dreieck mit den Ecken z1 = −1−i, z2 = −5−i
und z3 = −3 − 2i gegeben. Berechne und zeichne das Dreieck mit den Ecken z1′ , z2′
und z3′ , wenn sich zi′ (i = 1,2, 3) nach
√
(a) zi′ = 2(1 + i) · zi berechnet. Was fällt auf?
(b) zi′ = −i · zi berechnet. Was fällt auf?
(c) zi′ = (−1 + i) · zi berechnet. Was fällt auf?
√
√
Lösung: (a) z1′ = √2(1 + i)(−1 − i) = −2√2i √
z2′ = √2(1 + i)(−5 − i) = −4√2 − 6√2i
z3′ = 2(1 + i)(−3 − 2i) = − 2 −√ 5 2i
Dreieck wird um 45◦ (tan 45◦ = √22 ) gegen den Uhrzeigersinn gedreht und mit dem
√
Faktor 2 = | 2(1 + i)| gestreckt.
(b) z1′ = −i · (−1 − i) = −1 + i
z2′ = −i · (−5 − i) = −1 + 5i
z3′ = −i · (−3 − 2i) = −2 + 3i
Dreieck wird um 270◦ gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
(c) z1′ = (−1 + i)(−1 − i) = 2
z2′ = (−1 + i)(−5 − i) = 6 − 4i
z3′ = (−1 + i)(−3 − 2i) = 5 − i
1
Dreieck wird um 135◦ (tan 135◦ = −1
) gegen den Uhrzeigersinn gedreht und mit dem
√
Faktor 2 = | − 1 + i| gestreckt.
Multiplikation mit einer Zahl z = x + yi = (r, φ) entspricht in der komplexen Zahlenebene
einer Drehung um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn und einer Streckung mit dem
Faktor r.
2. w sei die Winkelhalbierende der reellen und imaginären
Achse in der Gauß’schen Ebene (siehe Abb.), y ist der
Spiegelpunkt von x = a + b i an w.
Wo in der Gauß’schen Ebene liegt das Produkt z = x·y?
Lösung: z = (a + bi)(b + ai) = (a2 + b2 ) i, d.h. z auf der imaginären Achse.
3. Das Dreieck ABC mit A(2/3), B(4/4) und C(5/7) wird um A soweit gedreht, dass
B’ auf AC liegt. Berechnen Sie die Koordinaten des gedrehten Dreiecks A’B’C’.
1
√
C−A
5
Lösung:
− A| = |B − A| = 5, B − A =
· |B − A| = (C − A) ·
|C − A|
5
√
√ !
√
5
3 5
4 5
′
i ≈ 3,34 + 4,79 i
=2+
+ 3+
B = A + (C − A) ·
5
5
5
|B ′
√
′
B′ − A
2+i
= √
B−A
5
√
2 5
C ′ = D · (C − A) + A = 2 +
+
5
Drehfaktor: D =
√ !
11 5
i ≈ 2,89 + 7,92 i
3+
5
a
?
4. (a) Welche Vektoren stehen senkrecht auf ~x =
b
(b) Welche Vektoren der Länge 1 stehen senkrecht auf ~x =
6
?
2,5
Lösung: (a) Drehung von ~x um 90◦ , d.h. Multiplikation mit D = ( 1 90◦ )p = i:
−b
(a + b i) · i = −b + a i =⇒ k ·
mit k ∈ R
a
(6 + 2,5 i) · i
−5 + 12 i
1 −5
(b) ±
=
=⇒ ±
|6 + 2,5 i|
13
13 12
5. Die Schatzkarte des Piraten Enterfix ist mit einem Koordinatensystem überzogen
und enthält folgenden Text: Start in A (300 m 0); 500 m nach NNO; Drittelkreis mit
”
r = 200 m nach links; in gerader Richtung 200 m.“ Berechnen Sie die Koordinaten
des Schatzes und zeichnen Sie die Schatzkarte.
Lösung: A = 300
B = 300 + 500 cos 67,5◦ + i · 500 sin 67,5◦ ≈
≈ 491,34 + 461,94 i
−→
AB = B − A um 90◦ drehen und mit 200
500 multiplizieren ergibt
−−→
2
BM = M −B = ·(B−A)·i ≈ −184,78+76,54 i.
5
C = M +(B−M )·( 1 120◦ )p ≈ 280,46+736,77 i
−→
CS = S − C = (C − M ) · i ≈ −198,29 − 26,10 i
S = C + (S − C) ≈ 82,2 + 710,7 i
6. Berechnen Sie den kleineren der beiden Winkel zwischen
2
3
−4
−2
.
und
−3
Lösung: 3 − 4 i = D · (−2 − 3 i)
ϕ = arctan
17
≈ 70,56◦
6
=⇒
D=
6 + 17 i
3 − 4i
=
−2 − 3 i
13
7. Welche Drehstreckung, ausgerückt durch eine komplexe Zahl s = x + i · y , führt den
Punkt A (3 4) in B (−2 − 1,5) über? Zeichnung! Rechnen Sie in der Polarform!
Lösung: s =
1
2
− 90◦
p
= − 2i
3