Teilbarkeit von Zahlen - Mathematik

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Teilbarkeit von Zahlen
Teiler und Teilermengen
Teiler und Teilermenge
Der Teiler ist eine Zahl, durch die man eine andere Zahl teilen kann. Die Teilermenge
einer Zahl ist eine Menge, in der alle Zahlen enthalten sind, durch die man diese Zahl
teilen kann, ohne, dass ein Rest bleibt.
Beispiel: Teilermenge von 9
T9 = {1, 3, 9}
Weitere Teilermengen:
T2 = {1,2}
T4 = {1, 2, 4}
T10 = {1, 2, 5, 10}
T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
T18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Die erste Zahl in der Menge mal die letzte ergibt die Zahl, von der die Teilermenge
ist. Das gilt auch für die zweite mit der vorletzten, dritte mit der drittletzten, vierte mit
der viertletzten usw.
Es gibt eine Kurzschreibweise für „a ist Teiler von b“: a | b
Beispiele:
4 | 12 (4 ist Teiler von 12)
8 | 96 (8 ist Teiler von 96)
5 | 45 (5 ist Teiler von 45)
3 | 237 (3 ist Teiler von 237)
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Teilbarkeitsregeln
Eine natürliche Zahl ist genau dann teilbar durch
-
2, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, sonst nicht,
-
5, wenn ihre letzte Ziffer ein 0 oder 5 ist,
-
10, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist,
-
3, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist,
-
9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist,
-
4, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 4 teilbar ist,
-
25, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 25 teilbar ist,
-
8, wenn ihre letzten drei Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 8 teilbar ist,
-
125, wenn ihre letzten drei Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 125 teilbar ist.
ggT und kgV
ggT (größter gemeinsamer Teiler): Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist
die größte Zahl, durch die beide Zahlen teilbar sind.
Beispiele:
ggT (24, 36) = 12
ggT (4, 6, 8) = 2
ggT (13, 46) = 1
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches): Das kleinste gemeinsame Vielfache
mindestens zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch beide (oder mehr) Zahlen
teilbar ist.
Beispiele:
kgV (4, 6, 8) = 24
kgV (5, 6) = 30
kgV (2, 8) = 8
kgV (4, 8) = 8
kgV (3, 6, 9, 18) = 18
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Primfaktorzerlegung
Die Primfaktorzerlegung ist eine Möglichkeit eine Zahl zu schreiben. Dabei zerlegt
man solange eine Zahl in Produkte aus Primzahlen bis man sie nicht mehr weiter
teilen kann. Es ist eine eindeutige Zahlenschreibweise, wobei die Reihenfolge egal
ist.
Beispiele:
24 (wir wissen: durch 2 teilbar, also:) = 2 · 12
2 · 12 (wieder durch 2 teilbar) = 2 · 2 · 6
2 · 2 · 6 (und noch mal) = 2 · 2 · 2 · 3
24 = 2 · 2 · 2 · 3
25 = 5 · 5
26 = 2 · 13
36 = 2 · 2 · 3 · 3
usw.
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