Teleskopreihen und -produkte

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Schweizer Mathematik-Olympiade
Teleskopreihen und -produkte
Aktualisiert: 5. Juli 2016
vers. 1.0.0
Oft kann man Summen und Produkte geschickt umformen, sodass sie eine besonders einfache
Struktur erhalten. Eine Summe der Form
n
X
F (k + 1) − F (k)
k=1
heisst Teleskopsumme. Natürlich heben sich die meisten Terme weg, sodass der Wert der Summe
gleich F (n + 1) − F (1) ist. Analog nennt man ein Produkt der Form
n
Y
F (k + 1)
k=1
F (k)
ein Teleskopprodukt. Sein Wert ist F (n + 1)/F (1). Die Schwierigkeit bei der ganzen Sache ist
natürlich, einen gegebenen Ausdruck so umzuschreiben, dass er die gewünschte Form erhält.
Es folgen nun einige Beispiele.
Beispiel 1.
Berechne die Summe
Pn
k=1
k · k!.
Lösung. Es gilt k · k! = (k + 1 − 1)k! = (k + 1)! − k!. Damit wird die Summe zu
n
X
(k + 1)! − k! = (n + 1)! − 1.
k=1
Beispiel 2.
Zeige, dass für jede natürliche Zahl N gilt
N Y
n=2
1
1− 2
n
1
> .
2
Lösung. Die Idee ist, zu faktorisieren. Es gilt
Y
N N N
N
Y
Y
1
1
1
n−1 Y n+1
1− 2
=
1−
1+
=
n
n
n
n n=2 n
n=2
n=2
n=2
=
1 N +1
N +1
1
·
=
> .
N
2
2N
2
Beachte, dass das ursprüngliche Produkt kein Teleskopprodukt ist. Erst die Aufspaltung in zwei
Teile macht die Berechnung möglich.
1
Ein polynomialer Bruch, dessen Nenner das Produkt von zwei Polynomen ist, lässt sich stets
als Summe (oder eben als Dierenz ) von zwei einfacheren Brüchen schreiben. Dies ist ein
Spezialfall der sogenannten Partialbruchzerlegung. Diese Beobachtung hilft beim Aunden
von Teleskopsummen, wie das nächste (etwas schwierigere) Beispiel zeigt.
Beispiel 3.
Berechne die Summe
n
X
k=1
4k
.
4k 4 + 1
Lösung. Der Nenner erinnert an die Identität von Sophie Germain:
4a4 + b4 = (2a2 + 2ab + b2 )(2a2 − 2ab + b2 ).
Damit erhält man nun
n
X
k=1
n
X
4k
(2k 2 + 2k + 1) − (2k 2 − 2k + 1)
=
4k 4 + 1
(2k 2 + 2k + 1)(2k 2 − 2k + 1)
k=1
n X
1
1
=
− 2
2 − 2k + 1
2k
2k + 2k + 1
k=1
n X
1
1
−
=
2k 2 − 2k + 1 2(k + 1)2 − 2(k + 1) + 1
k=1
= 1−
2n2
1
.
+ 2n + 1
Manche Summen und Produkte, die trigonometrische Ausdrücke enthalten, lassen sich mit
dieser Methode ebenfalls berechnen. Wichtig ist dabei die Kenntnis der gebräuchlichsten Additionstheoreme und der Summen-zu-Produkt Formeln.
Beispiel 4.
Finde den Wert von
n
X
cos kx.
k=1
Lösung. Ist x = 2mπ für m ∈ Z, dann hat die Summe den Wert n. Ist x nicht von dieser
Form, dann multiplizieren wir die Summe mit 2 sin x/2 (das ist 6= 0 nach Voraussetzung!) und
erhalten mit Hilfe der Produkt-zu-Summen Formel für ein Produkt von Sinus und Cosinus
n
X
n X
x
1
1
2 sin cos kx =
sin k +
x − sin k −
x
2
2
2
k=1
k=1
1
1
= sin n +
x − sin x.
2
2
Die ursprüngliche Summe hat daher den Wert
sin(n + 21 )x 1
− .
2 sin(x/2)
2
2
Aufgaben
1.
Berechne die Summe
n
X
k!(k 2 + k + 1).
k=1
2.
Sei a1 , a2 , . . . , an eine arithmetische Folge mit Dierenz d. Finde den Wert von
n−1
X
k=1
3.
Berechne
1999
X
s
1+
n=1
4.
Berechne die Summe
n
X
1
.
ak ak+1
1
1
+
.
k 2 (k + 1)2
arctan
k=1
5.
k=1
7.
1
.
+k+1
(Putnam 84) Finde den Wert der (unendlichen) Summe
∞
X
6.
k2
Beweise die Ungleichung
6k
.
(3k − 2k )(3k+1 − 2k+1 )
1 3 5
999
1
· · ···
<√
.
2 4 6
1000
1001
(USA 92) Zeige, dass gilt
1
1
1
cos 1◦
+
+
.
.
.
+
=
.
cos 0◦ cos 1◦ cos 1◦ cos 2◦
cos 88◦ cos 89◦
sin2 1◦
8.
Berechne die Summe
n
X
k=1
9.
Zeige, dass gilt
√
10.
1
.
√
(k + 1) k + k k + 1
√
1
1
1
√ +√
√ + ... + √
√
> 24.
1+ 3
5+ 7
9997 + 9999
Berechne die Summe
n
X
k2 −
k=1
3
k4 +
1
2
1.
4
11.
Sei n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl, sodass der Bruch a/π irrational ist.
Finde den Wert der Summe
1
1
1
+
+ ... +
.
cos a − cos 3a cos a − cos 5a
cos a − cos(2n + 1)a
12.
13.
(USA 96) Zeige, dass das arithmetische Mittel der Zahlen n sin n◦ für n = 2, 4, 6, . . . , 180
gleich cot 1◦ ist.
(Putnam) Zeige, dass gilt
∞
Y
n3 − 1
n=2
14.
n3
2
= .
+1
3
Berechne das Produkt
(14 + 41 )(34 + 14 ) · · · ((2n − 1)4 + 14 )
.
(24 + 41 )(44 + 14 ) · · · ((2n)4 + 41 )
15.
Sei F1 = F2 = 1, F3 = 2, . . . die Fibonaccifolge. Berechne die Summe
∞
X
1
.
Fn
n=0 2
16.
(Shortlist 01) Seien x1 , . . . , xn beliebige reelle Zahlen. Zeige, dass gilt
√
x2
xn
x1
+
+
.
.
.
+
<
n.
1 + x21 1 + x21 + x22
1 + x21 + x22 + . . . + x2n
17.
Zeige, dass für jede natürliche Zahl N gilt
N Y
1
1 + 2n < 2.
2
n=0
18.
Berechne den Wert des Produkts
n Y
k=1
19.
2k π
1 − tan n
2 +1
2
.
(Shortlist 2015, A1) Suppose that a sequence a1 , a2 , . . . of positive real
ak+1 ≥
a2k
kak
+ (k − 1)
for every positive integer k. Prove thath a1 + a2 + . . . + an ≥ n for every n ≥ 2.
Tipps
1.
Siehe Beispiel 1.
4
2.
Der Nenner des Bruchs ist ein Produkt, der Bruch lässt sich als Dierenz von zwei einfacheren schreiben (vergleiche Beispiel 3.)
3.
Der Wurzelterm lässt sich vereinfachen. Danach wie Aufgabe 2.
4.
Hier benötigt man das Additionstheorem für den Arcustangens:
arctan u ± arctan v = arctan
u±v
,
1 ∓ uv
welches aus dem Additionstheorem für den Tangens folgt (Beweis?).
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Siehe Beispiel 3.
Es fehlt die Hälfte der Faktoren für ein Teleskopprodukt. Wie könnte man die herzaubern?
Wieso steht auf der rechten Seite eine Wurzel?
Verwende die Identität
sin(a − b)
= tan a − tan b.
cos a cos b
Zuerst sollte man den Nenner rationalisieren. Das heisst, erweitere so, dass der Nenner
rational wird. Danach wie Beispiel 3.
Auch hier fehlt die Hälfte der Summanden. Siehe Aufgabe 6.
Siehe Beispiel 3.
Wende erst die Dierenz-zu-Produkt Formel auf die Nenner an. Eine Formel wie im
Hinweis zu Aufgabe 7. existiert auch für den Cotangens. Leite sie her und verwende sie.
Multipliziere mit sin 1◦ und verwende die Produkt-zu-Dierenz Formel, um die Summe
zu vereinfachen. Danach muss man sich an die Symmetrie der Cosinusfunktion erinnern.
13.
Vergleiche Beispiel 2.
14.
Verwende die Identität von Sophie Germain.
15.
Beweise zuerst mit Induktion die Formel
F2m Fm−1 − F2m−1 Fm = (−1)m Fm ,
m ≥ 1.
Verwende sie für m = 2n−1 , n ≥ 2, um die Summe umzuformen.
16.
Die linke Seite ist keine Teleskopreihe, aber nicht allzuweit davon entfernt. Diesen Defekt kann man durch anwenden einer Standardungleichung beheben. Beachte die Wurzel
rechts.
17.
Siehe Beispiel 2.
18.
Verwende die Doppelwinkelformel für den Tangens.
5