Quantengase

Warum Quantengase anders
sind
Schnupperuniversität
5. August 2015
Ute Löw
(1) Klassische Gase
Luft und Wasserdampf, die Gasgleichung …
(2) Quantenwelt
Teilchen und Wellen
(3) Das Pauli-Prinzip
Verträgliche und unverträgliche Teilchen
(4) Weisse Zwerge (Fermionen)
Was unsrer Sonne bevorsteht
(5) Bose Einstein Kondensation (Bosonen)
Ein neuer Zustand der Materie
(1) Klassische Gase
Beispiele: Luft, Wasserdampf, Stickstoff
Welche Größen braucht
man, um ein Gas zu
beschreiben ?
(1) Klassische Gase
Beispiele: Luft, Wasserdampf, Stickstoff
Welche Größen braucht
man, um ein Gas zu
beschreiben ?
Volumen V
Gasmenge
Temperatur
Druck p
Typ des Gases, Luft anders
als Stickstoff ?
Im täglichen Leben verhalten sich verschiedene Gase
erstaunlich ähnlich.
Sie werden durch die allgemeine Gasgleichung oder
Gleichung des idealen Gases beschrieben.
Zusammenhang zwischen Druck, Volumen, Temperatur und
Gasmenge unabhängig
vom Typ des Gases.
Wichtig für viele
Bereiche des täglichen
Lebens.
Gleichung des idealen Gases:
pV
nR
T
p Druck
V Volumen
T Temperatur in Kelvin
n M olzahl
R allgemeine Gaskonstante
R  8,3143 J / ( Kelvin mol)
Speziell: Boyle-Mariotte´sches Gesetz
pV
nR
T
pV  n R T
Bei konstanter Temperatur und konstanter Teilchenzahl gilt also
pV=const Boyle-Mariotte´sches Gesetz.
Boyle-Mariotte‘sches Gesetz wurde bereits im
17.Jahrhunder gefunden.
Robert Boyle 1627-1691,
Edme Mariotte 1620-1684
An veschiedenen Gasen experimentell untersucht.
Robert Boyle
Ludwig Boltzmann 1844-1906
Mikroskopisches Modell eines Gases
Einfachstes mikroskopisches Modell eines Gases:
Moleküle, die sich in einer Box geradlinig bewegen.
Ideales Gas:
Gasteilchen bewegen sich
unabhängig, geradlinig,
und mit konstanter
Geschwindigkeit.
Stossen mit Wand zusammen
Gasteilchen sind punktförmig.
Einfachstes mikroskopisches Modell eines Gases:
Moleküle, die sich in einer Box geradlinig bewegen.
Ideales Gas:
Gasteilchen bewegen sich
unabhängig, geradlinig,
und mit konstanter
Geschwindigkeit.
Stossen mit Wand zusammen
1
3
2
mv  k BT
2
2
k B  1.38 10  23 J/K
Gasteilchen sind punktförmig.
v mittlere Geschwindigkeit
m Masse der Gasteilchen
Was geschieht, wenn wir das Gas immer mehr
zusammendrücken bzw immer mehr Teilchen in
den Behälter füllen und abkühlen?
Der Abstand der Teilchen wird immer kleiner.
Die Mikroskopische Natur der Teilchen, beschrieben durch
die Quantenmechnik wird wichtig.
Wie sehen die Teilchen im Innern aus?
Gasteilchen sind Atome oder Molekülen
Eigenschaften der Atome und Moleküle
=> Quantenmechanik
(2) Die Quantenwelt
Alltagswelt: Einige tausend Kilometer, bis zu einigen
Tausendstel Millimetern
Bei Abständen kleiner als 1 Millionstel
Millimeter verändert sich die Welt völlig.
Es gelten dann neue Gesetze:
Gesetze der Quantenmechanik.
Sehen einzelne
Moleküle, Atome,
Atomkerne
Bei etwa 1 Millionstel Millimeter:
Gesetze der Quantenmechanik.
Grenzlinie
zwischen
der klassischen
Welt und der
Quantenwelt
Anyone who can
contemplate quantum
mechanics without getting
dizzy, hasn´t properly
understood it.
( Jeder der die Quanten-Mechanik
studiert, ohne einen Schwindel zu
spüren hat sie nicht richtig
verstanden.)
Niels Bohr (1885-1962)
Bohr ´sches Atommodell, Mitbegründer der Quantenmechanik
Teilchen-Welle
Dualität
Wellen ( Lichtwellen,
Röntgenstrahlen,
Radiowellen, Wasserwellen )
Teilchen (z.B. Kugel,
Ball, Sandkorn)
Quantenwelt:
Mikroskopische Teilchen wie das Elektron
verhalten sich manchmal wie Wellen.
1926 Schrödingergleichung
Erwin Schrödinger (1887-1961)
Lichtwellen verhalten sich manchmal wie Teilchen.
Man spricht von Lichtquanten
1900 Lichtquantenhypothese
von Max Planck:
Photoeffekt,
Schwarzkörperstrahlung,
spezifische Wärme von Festkörpern
Mikroskopische Teilchen wie das Elektron
verhalten sich manchmal wie Wellen.
Lichtwellen verhalten sich manchmal wie Teilchen.
den sog. Photonen (= Lichtteilchen)
Teilchen-Welle Dualität

Materiewellen ( x , 2t )
Wahrscheinlichkeitsdichte
 2
( x, t )
Ununterscheidbarkeit von Teilchen.
Weiterer wesentlicher Unterschied zwischen
Quantenwelt und Alltagswelt:
Quantenmechanische Teilchen sind ununterscheidbar.
Alltagswelt: Zwei Bälle, die völlig gleich aussehen.
Werden hin und her geworfen.
Wenn Sie gut aufpassen können Sie mit dem
Auge die Bälle verfolgen und wissen
Welcher der war, der zuerst rechts in der Hand lag.
Bei Quantenteilchen ist das nicht möglich: Sie sind
Ununterscheidbar.
Spin
Fundamentale Eigenschaft von Atomen, Kernen und
Elementarteilchen:
Sie haben einen Eigendrehimpuls: Spin
Spin bedeutet eigentlich Drehung
Teilchen mit Spin zeigen ganz spezifische Änderung
ihrer Energie, wenn man sie in ein Magnetfeld bringt.
Beispiel: Elektron, Positron, Proton: Spin ½
Photon, W-Bosonen
: Spin 1
Spin-Quantenzahlen entsprechen qubits
bei Quantencomputern
(3) Pauli Prinzip
Pauli-Prinzip:
Keine zwei Elektronen können
sich im gleichen Zustand
befinden.
Anschaulich: Elektronen können
sich nicht beliebig nähern,
sie stoßen sich aufgrund des
Pauliprinzips ab.
Ein Gas von Fermionen ähnelt
einem Bienenschwarm und das
bei T=0.
Wolfgang Pauli (1900-1958)
Nobelpreis 1945
Ein Gas von Elektronen ähnelt einem Bienenschwarm.
Pauli-Prinzip: Keine zwei Elektronen können
im gleichen Zustand sein.
Das Pauliprinzip gilt nicht nur für
Elektronen, sondern für eine ganze Klasse
von Teilchen, den sog. Fermionen.
Benannt nach Enrico Fermi.
Enrico Fermi
Genauer formuliert: Teilchen mit
halbzahligem Spin ( wie das Elektron )
nennt man Fermionen.
Weitere Beispiele für Fermionen:
Proton, das Neutron, Quarks.
Pauli-Prinzip: Keine zwei Fermionen können
im gleichen Zustand sein.
Das Pauli Prinzip mathematischer ausgedrückt
Systeme bestehend aus zwei Fermionen haben eine
Wellenfunktion die antisymmetrisch ist, wenn man die
Fermionen vertauscht.
(1,2)  (2,1)
Verallgemeinerung: Systeme bestehend aus mehreren
Fermionen haben eine Wellenfunktion die
antisymmetrisch ist, wenn man zwei der Fermionen
vertauscht.
Ganz anders verhalten sich die Bose-Teilchen
oder Bosonen.
Beispiele für Bosonen: das Photon, Helium-Kerne,
Eichbosonen, Gluonen.
Beliebig viele Bosonen können sich
im gleichen Zustand befinden.
Systeme bestehend aus zwei Bosonen
haben eine Wellenfunktion die
symmetrisch ist, wenn man die
Bosonen vertauscht.
(1,2)  (2,1)
Dass Teilchen als Fermionen oder Bosonen auftreten hat
Konsequenzen in allen Bereichen der Atom, Kern und Teilchenphysik.
Atommodell: Orbitale in
den Atomen werden so
werden nach dem PauliPrinzip mit Elektronen
aufgefüllt.
Würde man mit Bosonen
auffüllen, so wären
alle Bosonen in einem
Orbital.
 Periodensystem der
Elemente
Im folgenden zwei besonders spektakuläre Beispiele:
Fermionen: Weißen Zwerge
Bosonen : Bose Einstein Kondensation
(4) Weiße Zwerge (was unserer Sonne bevorsteht)
Das Rätsel des Sirius B Begleitstern des Sirius:
8.6 Lichtjahre von uns
entfernt
Bessel 1844 aus Bahndaten:
Sirius binäres Sternsystem.
Entdeckung: 1862 Alvan Graham Clarke
18 inch Refraktor
RADIEN:
Radius von Sirius B 5500 km
Erdradius
6380 km
Sonnenradius
695 000 km
MASSEN:
Masse von Sirius B beträgt
98 % der Sonnenmasse
Sonnenmass e 1.99  10 30 kg
Erdmasse
5.98 *10 24 kg
Dichte 3 Millionen
Gramm/Kubikzentimeter
“Erdbeschleunigung”?
G M Erde
m
g Erde 
 10 2
2
rErde
s
G M SiriusB
6 m
g SiriusB 
 4.4 10 2
2
rSiriusB
s
Gravitationskonstante
G=6.673 10¯⁸ cm³/s²g
Alles ist 440 000 mal schwerer als auf der Erde
Absurd? Gerade das Absurde ist interessant.
Was wirkt einem Gravitationskollaps
entgegen?
GM m
KGrav 
2
r
1928 zur Zeit der Anfänge der
Quantemechanik
Chandrasekhar liest in Buch von
Eddington über neue Klasse
von Sternen.
Modell eines Sterns:
Unsere Sonne:
Kernfusion ( Wasserstoff -> Helium )
erzeugt Wärme => Druck
Gravitation kompensiert diesen Druck
Weißer Zwerg:
Gravitation kompensiert
Entartungsdruck der Fermionen
Gravitation: Anziehende Wechselwirkung
Zwischen Masse:
Figur aus :Kip Thorne Gekrümmter Raum und
verbogene Zeit.
Woraus besteht ein Weißer Zwerg?
Bei einer Temperatur von 10 Millionen Kelvin (im Inneren des weißen
Zwerges) ist das Helium Atom ionisiert. d.h. es liegt ein Gas aus Helium
Kernen und Elektronen vor.
Zwei Elektronen
Helium Atom
Die Elektronen bilden ein Fermi-Gas mit
Helium Kern
10
30
Elektronen/Kubikzentimeter
Welche Sterne werden zu Weißen Zwergen?
Bedingung für die Stabilität eines Weißen Zwerges:
Gravitation und Fermidruck halten sich das Gleichgewicht.
Chandrasehkar-Grenze für die Masse von Weißen Zwergen:
Sterne bis zu der 1.4 fachen Sonnenmasse werden zu Weißen
Zwergen.
Sterne mit noch größeren Massen
werden zu Neutronen-Sternen oder
Schwarzen Löchern.
(5) Bose-Einstein Kondensation
Im Jahr 1924 schickt indische Physiker Bose an Einstein eine Arbeit
zum Planck´schen Strahlungsgesetz für Photonen
Einstein verallgemeinert die Arbeit und sagt vorher, dass bei hinreichend
tiefen Temperaturen, Bosonen sich alle im tiefsten Quantenzustand des
Systems befinden Bose-Einstein Kondensation
Solche Kondendation tritt nur für Bosonen auf.
Lange Jahre versuchte man diesen
Materie-Zustand zu finden.
1995 Experimentelle Evidenz für Bose-Einstein Kondensat.
Eric A.Cornell, Wolfgang Ketterle, Carl. E. Wiemann
Nobelpreis 2001
Für die Erzeugung der Bose-Einstein-Kondensation (BEC) in verdünnten
Gasen aus Alkaliatomen, und für frühere grundsätzliche Studien
über die Eigenschaften der Kondensate
Probleme:
Geeigente Bosonen finden: Rubidium Atome
Gase müssen möglichst verdünnt sein, damit die Atome
keine Moleküle bilden, oder stark wechselwirken.
Sehr tiefe Temperaturen. BEC bei 170 Nano Kelvin.
Magnetische Falle:
Laser Kühlung
Vedampfungskühlung
Messung der Geschwindigkeitsverteilung: 200 nK, 100nK ,20 nK
Bose-Einstein Kondensation: Neuer Materiezustand
Atome befinden sich alle im selben Quantenzustand.
Anwendungen: Superfluidität, optische Eigenschaften.
Zusammenfassend:
Bei tiefen Temperaturen und hohen Dichten verhalten
sich Gase ganz anders als das einfache kinetische Modell
vorhersagt ( Allgemeine Gasgleichung ).
Quantenmechanik spielt eine zentrale Rolle
Unterschied
zwischen Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem
Spin) => Kondensation
und Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin), die sich
aufgrund des Pauli-Prinzips abstossen (Fermidruck) =>
Aufbau des Periodensystems, weisse Zwerge.