zum Aufgabenblatt 1 - Institut für Theoretische Physik

UNIVERSITÄT LEIPZIG
INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Quantenmechanik II
Übungsblatt 1
Solutions
1. Entartungsdruck
Bekanntlich für ein Kastenpotential x ∈ [0, L] findet man die Wellenfunktionen
ψn (x) =
r
2
sin(kn x)
L
mit kn =
nπ
L
deren Energien gleich
~2 π 2 2
n
2m L2
sind.Der Zustand niedrigster Energie, für drei Bosonen, erhielt man offensichtlich wenn alle
drei Teilchen im Zustand ψ1 sind, d.h.
En =
ΨB (x1 , x2 , x3 ) = ψ1 (x1 ) ⊗ ψ1 (x2 ) ⊗ ψ1 (x3 ).
Die Energie dieses Zustands ist EB = 3E1 . Für Fermionen muss die Wellenfunktion ΨF (x1 , x2 , x3 )
antisymmetrisch unter der Vertauschung von Teilchen sein (wir haben damit angenommen,
dass die Teilchen sich im gleichen Spin-Zustand befinden). Um den Zustand niedrigster Energie für drei Fermionen zu konstruieren muss man also ψ1 bis ψ3 nutzen:
1
ΨF (x1 , x2 , x3 ) = √ ijk ψi (x1 ) ⊗ ψj (x2 ) ⊗ ψk (x3 ),
6
mit i, j, k = 1 . . . 3. Diesen Zustand enspricht die Energie
EF = E1 (12 + 22 + 32 ) = 14E1 .
Für N Bosonen wurde man EB = N E1 und EF = E1 · N (N + 1)(2N + 1)/6 erwarten.
Offensichtlich wächst die Energie viel schneller im fermionischen Fall. Weiterhin, fällt die
Energie (im beiden Fallen) mit der Abstand L ab, d.h. die Teilchen üben eine abstösende
Kraft (die proportional zu −1/L3 ist) auf die Wände.
2. Addition von Drehimpulsen
Wir fangen an mit dem Zustand |22i (d.h. der Gesamtdrehimpuls J = 2, die z-Projektion
m = 2). Offensichtlich als einzige Möglichkeit für m = 2 gibt es
| 23 32 i ⊗ | 12 21 i ≡ |22i.
Analog gilt
| 32 , − 23 i ⊗ | 21 , − 21 i ≡ |2, −2i.
Durch die Anwendung von J− auf |22i erhalten wir einerseits
J− |22i =
√
4 |21i
und anderseits
[j− ⊗ 1 + 1 ⊗ j− ]| 23 32 i ⊗ | 12 21 i =
so dass
√
3| 23 21 i ⊗ | 12 12 i + | 32 32 i ⊗ | 21 , − 21 i,
√
3 31
1
| 2 2 i ⊗ | 12 21 i + | 32 23 i ⊗ | 12 , − 21 i.
2
2
Durch die Anwendung von J− können jetzt |20i und |2, −1i bestimmt werden:
|21i =
1
1
|20i = √ | 23 , − 21 i ⊗ | 12 12 i + √ | 23 12 i ⊗ | 12 , − 21 i
2
2
√
3 3 1
1 3 3
| , − i ⊗ | 12 , − 21 i.
|2, −1i = | 2 , − 2 i ⊗ | 12 21 i +
2
2 2 2
Um |11i zu bestimmen nehmen wir den allgemeinen Ansatz
|11i = a| 32 , 32 i ⊗ | 12 , − 12 i + b| 32 21 i ⊗ | 12 12 i
und wenden J+ auf beiden Seiten an. Dies führt auf
√
0 = (a + b 3)| 32 , 23 i ⊗ | 12 12 i,
√
woraus folgt, dass a = −b 3. Anderseits, wegen der Normierung muss |a|2 + |b|2 = 1 sein,
d.h. |b| = 1/2. Die Phase von b kann noch beliebig gewählt werden ohne die Eigenschaften
von |11i zu beeinflussen. Wir wählen b = 1/2, also
|11i = −
√
1
3 3 3
| 2 , 2 i ⊗ | 12 , − 12 i + | 32 12 i ⊗ | 12 12 i.
2
2
Nun durch die Anwendung von J− kriegen wir zunächst
1
1
|10i = √ | 23 , − 21 i ⊗ | 12 21 i − √ | 23 12 i ⊗ | 12 , − 21 i
2
2
und schließlich
|1, −1i =
√
3 3 3
1
| 2 , − 2 i ⊗ | 21 12 i − | 23 , − 21 i ⊗ | 12 , − 21 i.
2
2
Auf diese Weise haben wir den Tensorprodukt-Raum H3/2 ⊗ H1/2 ins eine direkte Summe
H2 ⊕ H1 zerlegt. Somit wissen wir welche Tensorprodukt-Zustände gleich Eigenzuständen
des (quadrierten) Gesamtdrehimpulses J 2 und des J3 sind.