Vortrag

Proseminar: Theoretische Physik
und Astroteilchenphysik
Thermodynamisches
Gleichgewicht
Fermi- und Bose Gase
Inhalt
1. Entropie
2. 2ter Hauptsatz der Thermodynamik
3. Verteilungsfunktion
1. Bosonen und Fermionen
2. Fermi – Dirac – Statistik / Bose – Einstein Statistik
3. Anwendungen
4. Bose – und Fermigase
1. Beispiele
Entropie
• beschreibt die Zahl der Mikrozustände des beobachteten
Makrozustands des Systems
• extensive Zustandsgröße (S = Ʃi Si)
• kann als Funktion der extensiven Parameter eines
Systems ausgedrückt werden
• stetig und differenzierbar, proportional zur Energie
(monoton wachsend)
• im Gleichgewichtszustand: Entropie S = maximal (vgl.
klassische Mechanik)
• nimmt bei irreversiblen Zustandsänderungen zu
• bleibt bei reversiblen Zustandsänderungen konstant
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Der zweite Hauptsatz der
Thermodynamik
zwei Formulierungen (Clausius, Kelvin)
Clausius: „Es gibt keine Zustandsänderung, die allein
darin besteht, dass Wärme von einem kälteren auf ein
wärmeres System übergeht.“
Kelvin: „Es gibt keine Zustandsänderung, die allein darin
besteht, dass eine Wärmemenge einem Wärmespeicher
entzogen und vollständig in Arbeit umgesetzt wird.“
(Verbot Perpetuum Mobile 2ter Art)
implizieren sich gegenseitig: Clausius → Kelvin,
Kelvin → Clausius
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Verteilungsfunktion
alle Teilchen & Moleküle sind entweder Fermionen oder
Bosonen → keine gleichzeitige Beschreibung möglich (s.
SUSY - Theorien): separate Behandlung
für Bosonen: Bose – Einstein – Statistik:
f(i) = 1 / (exp(- β (εi – µ)) - 1), mit εi = (p² + mi²)½
für Fermionen: Fermi – Dirac – Statistik:
f(i) = 1 / (exp(- β (εi – µ)) + 1), mit εi = (p² + mi²)½
zusammengefasst: f(i) = 1 / (exp(- β (εi – µ)) ∓1),
mit εi = (p² + mi²)½
basiert auf Statistik idealer Quantengase: System im
großkanonischen Ensemble
Fermionen
• beliebig elementar oder zusammengesetzt (Quarks und
Leptonen)
• bilden Materie (p, n, e,…)
• halbzahliger Spin → ungerade Anzahl von Teilchen mit
Spin S = ½
• Pauli – Prinzip gilt → keine gleichen Quantenzustände
• gehorchen der Fermi – Dirac - Statistik
• mögliche Zustände I = {0,1}
Bosonen
• beliebig elementar oder zusammengesetzt (z.B.. H – Atom)
• Austauschteilchen der Wechselwirkungen (Eichbosonen, Carriers):
- Photonen für EM - WW
- W – Z – Bosonen für schwache WW
- Gluonen für starke WW
- Graviton für Gravitation
• Spin ganzzahlig (auch S = 0) → gerade Anzahl von Teilchen mit
S=½
Pauli – Prinzip gilt nicht
folgen der Bose – Einstein – Statistik
mögliche Zustände I = {0,1,2,3…,∞}
absoluter Nullpunkt.: Grundzustand mit allen Teilchen besetzt
angeregte Niveaus besitzen relativ kleine Anzahl Teilchen
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Anwendungen der
Verteilungsfunktion
• behandelt eigentlich nur Mittelwerte (kb und chemisches Potenzial häufig
vernachlässigt bzw. = 1 gesetzt)
• Teilchendichte: ni = gi / (2π)³ ∫ f(p) d³p
• Energiedichte: ρi = gi / (2π)³ ∫ E(p) f(p) d³p
• Druck: Pi = gi /(2π)³ ∫ |P|² /(3Ei(P)) f(p) d³p
• gi abhängig von Polarisation der Teilchenart (Photon = 2, Neutrinos = 1,
Elektronen & Muonen = 2)
• nicht - relativistischer Ansatz liefert für beide Statistiken:
- nnon-rel = gi (mT / 2π)2/3 exp(-m/T)
- ρnon-rel = m · nnon-rel
• voll relativistischer Ansatz liefert:
- nrel = ζ(3) / π² gi T³, für Bose – Einstein; Riemann Zeta Funktion ζ(3) = 1,20206…
- nrel = ¾ (ζ(3) / π² gi T³) , für Fermi – Dirac
∞
- ρrel = gi / (6 π²) ∫0 E³ / (exp (E/T) ± 1) dE = π² / 30 gi T4 , für Bose - Einstein
∞
- ρrel = gi / (6 π²) ∫0 E³ / (exp (E/T) ± 1) dE = 7/8 (π² / 30 gi T4) , für Fermi - Dirac
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Fermigas
besteht aus Fermionen
hohe kinetische Energie (auch bei T = 0)
geringe Wärmekapazität
niedrige Stoßrate zwischen Teilchen
entartet wenn T < εf (bzw. TFermi)
Energiezustände mit E < εf (fast) ganz besetzt,
Energiezustände mit E > εf (fast) leer
hat bei T = 0 einen Druck ungleich null (Entartungsdruck)
→ Gegensatz zum idealen Gas
Pauli – Prinzip hält Teilchen auseinander und in
Bewegung → keine Bose – Einstein - Kondensation
Beispiele eines Fermigases
• Weißer Zwerg:
-
entartetes Elektronengas
1 Sonnenmasse, Erdradius
Dichte 1.5 x 106 größer als in der Sonne
Entartungsdruck wirkt Gravitation entgegen → kein Kollaps
erst bei Überschreitung von bestimmter Masse (Chandrasekhar
– Limit: 1.44 Sonnenmassen) Kollaps zum Neutronenstern bzw.
schwarzen Loch
• Neutronenstern:
- entartetes Neutronengas
- 1.3 – 2.1 Sonnenmassen, 12 km Radius
- gleiches Prinzip wie beim Weißen Zwerg
• Leitungselektronen in (Alkali-)Metallen: TFermi > 10³ Kelvin
• flüssiges He³
Bosegas
• besteht aus Bosonen (ursprünglich für
Photonen, dann auf massive Teilchen
ausgeweitet)
niedrige kinetische Energie
Pauli – Prinzip gilt nicht
hohe Teilchenkonzentration im Grundzustand
höhere Zustände kaum/nicht besetzt
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Bose – Einstein – Kondensation
• das Beispiel für Bosegas, Anwendung in Atomphysik
(ILP)
• ab kritischer Temperatur Tc (fast) alle Teilchen im
niedrigsten Quantenzustand → nur möglich mit Bosonen
• Quanteneffekte sichtbar im makroskopischen Bereich
• Teilchen vollständig delokalisiert:
Aufenthaltswahrscheinlichkeit für jedes Teilchen gleich
• Beschreibung durch eine Wellenfunktion möglich:
- Suprafluidität
- Supraleitung
- Kohärenz (Interferenz, Atom – Laser)