Formeln zur Dreiecksberechnung

Trigonometrie 1
Glege 09/99
Formeln zur Dreiecksberechnung
1. r e c h t w i n k l i g e D r e i e c k e
Skizze:
A, B, C = Ecken des Dreiecks
a, b = Katheten (liegen am rechten Winkel an)
c = Hypotenuse (gegenüber des rechten Winkels)
α, β = Winkel
• = Zeichen für den rechten Winkel (90°)
Pythagoras:
a 2 + b 2 = c2
d.h.
a = c2 − b 2
b = c2 − a 2
c = a 2 + b2
Sinus:
sinα =
Gegenkathete
Hypotenuse
d.h.
sinα =
a
c
und
sin β =
b
c
Kosinus:
cosα =
Ankathete
Hypotenuse
d.h.
cosα =
b
c
und
cos β =
a
c
Tangens:
tanα =
Gegenkathete
Ankathete
d.h.
tanα =
a
b
und
tan β =
b
a
da
γ = 90°
gilt:
α + β = 90°
Winkelsumme:
α + β + γ = 180°
Höhensatz:
h 2 =p· q
Kathetensatz:
a 2 =c· p
b 2 =c· q
Fläche:
1
A = ⋅ a ⋅b
2
beliebige Dreiecke Ä
1
2. b e l i e b i g e D r e i e c k e
Skizze:
A, B, C = Ecken des Dreiecks
a, b, c = Seiten
α, β, γ = Winkel
Sinussatz:
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
Kosinussatz: (Wird nur angewendet, wenn alle drei Seiten oder zwei Seiten und der
eingeschlossene Winkel angegeben sind!)
a² = b² + c² - 2bc · cos α
b² = a² + c² - 2ac · cos β
c² = a² + b² - 2ab · cos γ
Winkelsumme:
α + β + γ = 180°
Fläche:
1
A = ⋅ a ⋅ ha
2
1
A = ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ
2
2
; wobei ha = b ⋅ sin γ