Skript
Mathematik für Sek I und Sek II
Grundlagen der Mathematik
5. Eine binäre Welt von Nullen und Einsen
09:22 Minuten
00:29 Was, wenn es nur zwei Zahlen auf der Welt gäbe?
00:37 Willkommen in der Welt der binären Zahlen. Eine Welt die nur
Nullen und Einsen verwendet.
00:52 Höchste Zeit für einige Zählübungen.
01:00 Der Mensch zählt, indem er ein auf zehn basierendes System
von Zahlen verwendet. Das Dezimalsystem.
01:05 Das Dezimalsystem geht von 0 bis 9. Die Wertigkeit der Zahl
hängt dabei von ihrer Position ab.
01:19 Aber wie kann man grosse Zahlen zählen, wenn man nur eine
Hand hat?
01:24 Wenn man zum Beispiel die Stimmen für die Wahl des Klassenpräsidenten zählen will…
01:28 …kann man einen Strich für jede 5. Stimme machen.
01:33 Diese Methode des Zählens nennt man quinär. Als Basis dient
das quinäre Zahlensystem.
01:41 Es gibt aber auch ein Duodezimalsystem.
Eine Schachtel, die mit 12 Bleistiften gefüllt ist, ist ein klassisches Beispiel für ein duodezimales System.
01:50 Analoge Uhren zeigen zwölf Stunden. Das Jahr besteht aus
zwölf Monaten. Dies sind alles Beispiele für duodezimale Zählweisen.
02:01 Und dann gibt es da noch das Binärsystem.
02:04 Man ist sich der Existenz der binären Welt normalerweise nicht
bewusst. Im alltäglichen Leben kommt die binäre Zählweise aber oft
zum Einsatz.
02:10 Tatsächlich kann man natürliche Zahlen mit dem Binärsystem
ausdrücken.
02:17 Ein Paar Handschuhe… Zwei Paar Handschuhe… Drei Paar
Handschuhe…
02:28 Aber natürlich ist das auf 10 basierende Dezimalsystem die
häufigste Art, um Zahlen im Alltag wiederzugeben.
02:35 Die Zahl 357 besteht aus der Ziffer drei auf der Hunderterstelle,
fünf auf der Zehnerstelle und sieben auf der Einerstelle.
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02:47 357 kann wie folgt erweitern:
02:50 Drei ist die Ziffer in der 〖10〗^2-Position, fünf ist die Ziffer auf
der Zehnerstelle, und sieben ist auf der Einerstelle.
03:01 Wie du sicher bemerkt hast, werden im Dezimalsystem auf jeder
Stelle die Zahlen von null bis neun verwendet. Verschiebt sich die Position der Ziffer nach links, wird der Stellenwert zehnmal grösser.
03:22 Wie sieht es nun aber mit dem Binärsystem aus?
03:25 Im Binärsystem steht an jeder Position nur 0 oder 1. Ist man bei
zwei angelangt, rückt man eine Stelle weiter nach links.
03:34 Der Zahlenwert verdoppelt sich also, wenn man eine Position
nach links rückt.
03:51 Rechne nun die Zahl 1000 in das Dezimalsystem um. 1 ist die
Ziffer auf der Stelle, die 2 hoch 3 darstellt, 0 ist die Ziffer auf der Stelle
die 2 im Quadrat darstellt, eine weitere 0 ist auf der Stelle von 2 und
die letzte 0 ist auf der Einerstelle.
04:08 Am einfachsten geht dies mit einer Formel, die Potenzen verwendet.
04:13 Eins null null null in binär besteht aus 1 mal 23 , plus 0 mal 22 ,
plus 0 mal 2, plus 0.
04:30 Das Endresultat dieser Berechnung ist 8. 1000 im Binärsystem
beträgt also 8 im Dezimalsystem.
04:43 Doch wie wandelt man eine dezimale Zahl in eine binäre um?
Zum Beispiel 57.
04:55 Die einfachste Methode ist das wiederholte Teilen der Dezimalzahl durch 2, bis der Quotient 0 beträgt.
05:01 57 geteilt durch 2 ergibt einen Quotient von 28 und einen Rest
von 1. 28 durch 2 ergibt 14 und einen Rest von 0. 14 durch 2 ergibt 7
und einen Rest von 0. 7 durch 2 ergibt 3 und einen Rest von 1. 3 durch
2 ergibt 1 und einen Rest von 1.
05:34 Am Ende der Division ordnet man die Reste in umgekehrter
Reihenfolge.
05:42 Als nächstes muss man für die binäre Darstellung bloss den
binären Indikator 2 in Klammern neben die Zahl schreiben.
05:50 Die Dezimalzahl 57 wird im Binärsystem also als Eins Eins Eins
Null Null Null eins ausgedrückt.
06:01 Viele Gelehrte behaupten, dass der Mensch das Binärsystem
bereits vor der Entdeckung des Dezimalsystems verwendet hat.
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06:10 Im alten China glaubte man, dass alles auf der Welt in Harmonie
zwischen zwei Kräften existiert, Yin und Yang.
Sonne und Mond.
Männlich und weiblich .
Land und Meer.
06:35 Gemäss dem chinesischen Buch der Wandlungen wird die Welt
und die Natur durch die Linien von Yin und Yang in 8 Orakelzeichen
geteilt.
06:47 Himmel, See, Feuer, Donner, Wind, Wasser, Berg und Erde.
07:02 Die 2 Linien und 8 Orakelzeichen haben verschiedene Bedeutungen und einen engen Bezug zum Binärsystem.
07:11 Das Buch der Wandlungen wurde dem deutschen Mathematiker
und Philosophen Gottfried Wilhelm Leibniz im 17. Jahrhundert von
einem Missionar vorgestellt.
07:20 Leibniz verwendete das Yin und Yang-Prinzip als Grundlage für
die Entwicklung einer modernen Binärtheorie. E drückte Zahlen nur mit
Einsen und Nullen aus.
07:35 Das Binärsystem ist einfacher als das Dezimalsystem und ist
somit besser für die Anwendung in Maschinen geeignet.
07:43 Ein Lichtschalter hat zum Beispiel nur zwei Lagen, ein- und aus.
1 steht für ein, 0 für aus. Es fliesst Strom oder nicht.
07:51 Das Binärsystem kann so komplizierte Signale vereinfachen.
08:13 Ein Computer besteht wohl aus zahlreichen komplexen Schaltkreisen und Mikrochips, diese empfangen aber trotzdem nur zwei Signale.
08:21 1 für elektrischen Strom, 0 für keinen. Mit diesen zwei Signalen
können Computer uneingeschränkt funktionieren.
08:30 Drückt man eine Taste, zählt dies als 1. Lässt man die Taste los,
als 0.
08:37 Mit anderen Worten: Jedes Mal, wenn du eine Eingabe machst,
sendest du ein Signal, dass aus Nullen und Einsen besteht…
08:42 …und der Bildschirm stellt die empfangenen Signale dar.
08:48 Computer scheinen die kompliziertesten Geräte auf der Welt zu
sein, aber tatsächlich basieren sie auf einem sehr einfachen Zahlensystem.
08:54 Zwei Zahlen, 0 und 1…
Einfachste Berechnungen…
Mit dem Binärsystem kann man alles ausdrücken.
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