Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Komplexe Zahlen
Fakultät Grundlagen
Juli 2015
Fakultät Grundlagen
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Übersicht
1
Komplexe Zahlen
Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
2
Rechnen mit komplexen Zahlen
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
3
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Fakultät Grundlagen
Komplexe Zahlen
Folie: 2
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Zahlenmengen
Menge
N
Z
Q
R
C
Q
R
mögliche Rechenoperationen
+, ·
+, −, ·
+, −, ·, :, Potenzen
+, −, ·, :, √
Potenzen
Grenzwerte 2, e, π, . . .
+, −, ·, :, √
Potenzen, Wurzeln
Grenzwerte 2, e, π, . . .
algebraische Gleichungen
Zahlen des bürgerlichen Rechnens“
”
Darstellung als endliche oder periodische
Dezimalbrüche
Vervollständigung durch Grenzwerte; jeder
Punkt der Zahlengeraden entspricht einer
reellen Zahl.
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Komplexe Zahlen
C
R
Q
Z
N
Folie: 3
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
imaginäre Einheit
Problem: x 2 + 1 = 0
√
x = ± −1
keine reelle Lösung!
√
Wir führen ein neues Symbol ein und legen fest: −1 = j
Formal“ besitzt damit obige Gleichung die Lösungen x = ±j.
”
Wenn wir voraussetzen, dass diese neue Zahlen denselben
Rechengesetzen genügen, wie die reellen Zahlen, erhalten wir
damit auch Lösungen für andere bisher nicht lösbare Gleichungen.
√ √
16· (−1)
x 2 + 2x + 5 = 0
z }| {
p
√
−2 ± 16 · (−1)
−2 ± 4j
4
−
20
−2
±
x1/2 =
=
=
2
2
2
x1/2 = −1 ± 2j
Hier wird benutzt:
√
a·b =
√
a·
√
b
Linearkombinationen“ von alten“ reellen Zahlen und
”
”
Vielfachen der neuen Zahl j machen Sinn!
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Folie: 4
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Definition der komplexen Zahlen
1
2
3
4
5
√
Der Ausdruck −1 heißt imaginäre Einheit und wird mit j
bezeichnet.
Ausdrücke der Form j y mit y ∈ R heißen imaginäre Zahlen.
Ausdrücke der Form z = x + j y mit x, y ∈ R werden als
komplexe Zahlen bezeichnet.
Ist z = x + j y eine komplexe Zahl, so heißen
x = Re (z)
Realteil von z
Imaginärteil von z.
y = Im (z)
Die Menge C = {z = x + j y | x, y ∈ R} wird als Menge
der komplexen Zahlen bezeichnet.
Bemerkungen:
Der Imaginärteil y einer komplexen Zahl z = x + j y ist der Faktor
bei j und damit selbst eine reelle Zahl.
√
In der Mathematik wird die imaginäre Einheit −1 üblicherweise
mit i bezeichnet. (Technik: i: Stromstärke)
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Kartesische Darstellung der komplexen Zahlen I
Im
6
z = x + jy
s
y
Jeder komplexen Zahl z = x + j y
entspricht genau ein Punkt P(x, y )
in der komplexen Zahlenebene und
umgekehrt.
- Re
x
1
Die komplexe Zahlenebene wird als Gaußsche Zahlenebene
bezeichnet.
2
In der Gaußschen Zahlenebene heißen die Achsen des
kartesischen Koordinatensystems reelle Achse bzw.
imaginäre Achse.
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Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Kartesische Darstellung der komplexen Zahlen II
1
Wir beschriften die imaginäre Achse hier in der Form j, 2j, 3j . . .
wie dies in der Elektrotechnik üblich ist (und nicht 1, 2, 3, . . .).
Das bedeutet, dass auf dieser Achse nicht der Imaginärteil y ,
sondern die imaginäre Zahl jy dargestellt wird.
2
Für manche Anwendungen ist es
hilfreich, eine komplexe Zahl nicht
als Punkt P(x, y ) in der Gaußschen
Zahlenebene zu veranschaulichen,
sondern stattdessen den zugehörigen
Ortsvektor zu betrachten:
x
z =x +jy ⇔ z =
.
y
Im
6
s
jy
3
z
- Re
x
In diesem Fall spricht man von z als einem komplexen Zeiger.
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Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Polardarstellung der komplexen Zahlen I
Neben der oben eingeführten
kartesischen“ Darstellung
”
z = x + j y kann eine komplexe
Zahl auch entsprechend der
neben stehenden Skizze durch
ihren Abstand r vom Koordinatenursprung und den Winkel
ϕ eindeutig festgelegt werden.
Im
6
jy
z = x + jy
s
r .
......
ϕ ...
- Re
.
x
Zusammenhang zwischen den Koordinaten
(x, y ) und (r , ϕ):
p
x = r cos ϕ
r = x2 + y2
bzw.
y
y = r sin ϕ
tan ϕ = x
y
Der Zusammenhang zwischen dem Quotienten x und dem Winkel
ϕ ∈ [0, 2π) ist nicht eindeutig, da die Tangensfunktion π-periodisch ist.
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Folie: 8
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Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Polardarstellung der komplexen Zahlen II
Trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl
z = x + j y = r cos ϕ + j r sin ϕ
z = r (cos ϕ + j sin ϕ)
Im Folgenden wird der Ausdruck cos ϕ + j sin ϕ sehr häufig
auftreten. Deshalb führen wir dafür die Abkürzung“
”
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ ein.
Somit ergibt sich schließlich eine sehr kompakte Darstellung, die
sogenannte Exponential-Darstellung einer komplexen Zahl:
z = r cos ϕ + j r sin ϕ = r (cos ϕ + j sin ϕ) = r ejϕ
Bezeichnungen:
r = |z|
ϕ = arg z
Betrag von z (Abstand von z zum Koordinatenursprung)
Argument oder Phase von z
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Folie: 9
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Zusammenfassung
Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:
1) z = x + jy
(kartesische Darstellung)
2) z = r (cos ϕ + j sin ϕ)
(trigonometrische Darstellung)
3) z =
r ejϕ
(Exponential-Darstellung)
Die Darstellungen 2) und 3) werden unter dem Begriff Polardarstellung zusammengefasst.
Zusammenhang zwischen den Koordinaten
(x, y ) und (r , ϕ):
p
2
2
x = r cos ϕ
r = x +y
bzw.
y
y = r sin ϕ
tan ϕ = x
y
Vorsicht: Der Zusammenhang zwischen dem Quotienten x und dem
Winkel ϕ ∈ [0, 2π) ist nicht eindeutig, da die Tangensfunktion
π-periodisch ist.
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Folie: 10
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Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Beispiel: arg z für z1 = 1 + 2j und z2 = −1 − 2j
tan ϕ1 = 12 = 2 TR
ϕ1 = 1.1071 . . . (63.43 . . .o )
ebenso gilt: tan ϕ2 = −2
−1 = 2
Aus der Skizze ergibt sich jedoch, dass
sich ϕ1 und ϕ2 um π unterscheiden.
ϕ2 = ϕ1 + π.
Die Gleichung
y
tan ϕ = x
mit
Im
6
j ............................
.
.
.
..........
.
.
...
..........
.... ϕ2 ϕ1 .........
.
...
...
1
.... ......
s
x : Realteil,
y : Imaginärteil
besitzt in [0, 2π) zwei verschiedene
Lösungen hat, die sich um den Winkel π
unterscheiden. Welche dieser Lösungen
jeweils die Richtige ist, kann man durch
ein Handskizze leicht feststellen.
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s
z1 = 1 + 2j
- Re
z2 = −1 − 2j
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Folie: 11
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Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Arcustangens
Wird zur Berechnung von ϕ ein Rechner benutzt, so liefert dieser in der
y
π
Regel zunächst einen Winkel ψ = arctan x mit − π
2 ≤ ψ ≤ 2.
Der gesuchte Winkel ϕ = arg z ergibt sich dann gegebenenfals durch Addition eines Korrekturwinkels ∆ = ±π; abhängig vom Quadranten, in dem
die komplexe Zahl z liegt.
π
2
y
π
4
f (x) = arctan x
1
x
x
0
√1
3
1
arctan x
0
π
6
π
4
√
3
π
3
∞
π
2
0o 30o 45o 60o 90o
Ferner gilt: arctan(−x) = − arctan x
y
Für Punkte auf der Imaginärachse ist die Bestimmungsgleichung ψ = arctan x
nicht anwendbar; hier ergibt sich der Winkel aus der Lage in der Gaußschen
Zahlenebene.
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Folie: 12
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Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Beispiele I z1 = 1 + 2j
Radius und Winkel?
Im
1. Quadrant
√
√
r1 = 12 + 22 = 5
ϕ1 = arctan 21 + ∆
= 1, 1 . . . + 0 = 1, 1 . . . (= 63, 4 . . .o )
6
2j
z1 = 1 + 2j
s
r
.
......
.
ϕ ......
1 ...
- Re
1
z1 =
=
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√
√
5 e1,1...j
5 [cos(1.1 . . .) + j sin(1.1 . . .)]
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Folie: 13
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Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Beispiele II z2 = 2 − 2j
Radius und Winkel?
Im
j
6
................................
....
.....
...
..... ϕ
2
...
....
...
...
@
1
.....
...
.........................@
. ...
- Re
@
r2 @
4. Quadrant
p
√
√
r2 = (−2)2 + (−2)2 = 8 = 2 2
ϕ2 = arctan −2
2 +∆
= − π4 + 2π = 7π
(= 315o ).
4
@
@s
z2 = 2 − 2j
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√ 7π
z2 = 2 2 e 4 j
√ 7π
= 2 2 cos( 7π
4 ) + j sin( 4 )
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Folie: 14
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Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Konjugiert komplexe Zahl I
Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung mittels komplexer Zahlen
ergab sich stets ein Ausdruck der Gestalt x√1,2 = a ± jb.
x 2 + 4x + 20 = 0
x1,2 = −4 ± 216 − 80 = −2 ± 4j
Im
Zu einer gegebenen komplexen
zs= x + j y
y 6
Zahl z = x + j y ist die
r konjugiert komplexe Zahl
definiert durch
...
ϕ ......
.
- Re
Q−ϕ ......
x
z ∗ = x − jy
Q ..
In der Gaußschen Zahlenebene
erhält man z ∗ indem man die
Zahl z an der reellen Achse
spiegelt.
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−y
Q..
Q
Q
r Q
Q
Qs
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z∗ = x − j y
Folie: 15
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Erweiterung des Zahlbegriffs
Definition
Darstellung komplexer Zahlen
Konjugiert komplexe Zahl II
In der Polardarstellung ergibt sich entsprechend:
z = r (cos ϕ + j sin ϕ)
z ∗ = r (cos(−ϕ) + j sin(−ϕ))
= r (cos ϕ − j sin ϕ)
bzw.
z ∗ = r e j(−ϕ) = r e−jϕ
z = r e jϕ
Beispiele:
z = −2 − 3j
z ∗ = −2 + 3j
z = 1 + 2j
z ∗ = 1 − 2j
z = 2 · [cos( π4 ) + j sin( π4 )]
z ∗ = 2 · [cos(− π4 ) + j sin(− π4 )]
= 2 · [cos( π4 ) − j sin( π4 )]
z = 2e
3π
j
4
z ∗ = 2e−
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Komplexe Zahlen
3π
j
4
Folie: 16
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Gleichheit zweier komplexer Zahlen
Zwei Zahlen sind dann als gleich anzusehen, wenn die entsprechenden
Punkte bzw. Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene zusammen fallen.
x1 + jy1 = x2 + jy2
⇔
x1 = x2 und y1 = y2
bzw.
r1 e jϕ1 = r2 e jϕ2
⇔
r1 = r2 und ϕ1 = ϕ2 + 2πk, (k = 0, ±1, . . .)
Hierbei ist die Mehrdeutigkeit der Winkelangaben zu beachten!
Bemerkung:
Eine Gleichung mit komplexen Zahlen besitzt denselben Informationsgehalt wie zwei Gleichungen mit reellen Zahlen. Dies ist besonders für
Gleichungen in der Komponentenform deutlich. (vgl. Vektorrechnung!)
Es ergeben sich stets zwei Gleichungen für Real- und Imaginärteil.
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen I
Addition und Subtraktion ergeben sich aus den entsprechenden Rechenoperationen für reelle Zahlen, indem man die üblichen Rechengesetze
anwendet und das Symbol j wie eine reelle Zahl behandelt.
z1 = x1 + jy1
z2 = x2 + jy2 .
z1 + z2 = (x1 + jy1 ) + (x2 + jy2 ) = x1 + x2 + j(y1 + y2 )
z1 − z2 = (x1 + jy1 ) − (x2 + jy2 ) = x1 − x2 + j(y1 − y2 )
Beispiel:
z1 = 3 + j,
z2 = 1 + 2j
z1 + z2 = (3 + j) + (1 + 2j) = 4 + 3j,
z1 − z2 = (3 + j) − (1 + 2j) = 2 − j
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Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen II
Die Addition von komplexen Zahlen entspricht in der Gaußschen
Zahlenebene der Addition der entsprechenden komplexen Zeiger im
Sinne der Vektoraddition für Vektoren. Entsprechendes gilt für die Differenz von komplexen Zahlen. Es gelten die Parallelogrammregeln“.
”
Im
Im
1
>
z1 + z2 z2 1
1
z
1
- Re
6
1
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6
1
z2
1
z
1
- Re
H
HH1
−z2
H
H
j
z1 − z2 H
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Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Multiplikation zweier komplexer Zahlen I
Wir gehen von der Gültigkeit der Klammerregel aus und beachten j 2 = −1.
z1 = x1 + jy1 ,
z2 = x2 + jy2
z1 · z2 = (x1 + jy1 ) · (x2 + jy2 )
= x1 x2 + jy1 x2 + x1 jy2 + j 2 · y1 y2
|{z}
=−1
= (x1 x2 − y1 y2 ) + j(x1 y2 + x2 y1 )
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + j(x1 y2 + x2 y1 ).
Beispiel:
1
2
z1 = 3 + j, z2 = 1 + 2j
z1 ·z2 = (3+j)·(1+2j) = 3+j +6j +2j 2 = 3+7j +2·(−1) = 1+7j
z1 = 4 − 2j, z2 = −2 + j
z1 · z2 = (4 − 2j) · (−2 + j) = −8 + 4j + 4j − 2j 2
= −8 + 8j + 2 = −6 + 8j
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Folie: 20
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Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Multiplikation zweier komplexer Zahlen II
Spezialfall:
Es sei z = x + jy eine beliebige komplexe Zahl und z ∗ die zu z konjugiert
komplexe Zahl. Dann gilt für das Produkt:
z · z ∗ = (x + jy )(x − jy ) = x 2 + jxy − jxy − (jy )2
= x 2 − (−y 2 ) = x 2 + y 2
z · z ∗ = x 2 + y 2 = r 2 = |z|2
bzw.
|z| =
√
z · z∗
Insbesondere ist der Ausdruck z · z ∗ stets reell und nichtnegativ.
Beispiel:
z = 2 − 3j
z · z ∗ = (2 − 3j) · (2 + 3j) = 22 + 32 = 13
Vorsicht! z 2 = (2 − 3j) · (2 − 3j) = 4 − 9 − 12J = −5 − 12j
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Division zweier komplexer Zahlen
Spezialfall: Division einer komplexe Zahl durch eine reelle Zahl.
4 + 6j
Beweis“ (2 + 3j) · 2 = 4 + 6j
= 42 + 62 j = 2 + 3j
2
”
Real- und Imaginärteil werden getrennt durch den reellen Faktor dividiert!
Die Division von zwei beliebigen komplexen Zahlen kann durch einen kleinen
Trick“ auf diesen Spezialfall zurückgeführt werden.
”
2+j
3−j =?
Idee: Erweitere den Bruch mit 3 + j
Nenner wird reell.
(2
+
j)(3
+
j)
2+j
6 + 3j + 2j + j 2
Probe:
=
=
3−j
(3 − j)(3 + j)
32 + 12
1 (1 + j) · (3 − j)
2
6 + 5j + (−1)
5 + 5j
1 + 1j
=2+j
=
=
=
10
10
2 2
Beispiel:
(1 − j)(1 + 2j)
1−j
1 − j + 2j − 2j 2
1+j +2
3+j
=
= 5 = 35 + 51 j
5
1 − 2j = (1 − 2j)(1 + 2j) =
12 + 22
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Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Multiplikation und Division in Polardarstellung I
z1 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ),
z2 = r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 )
z1 · z2 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 )
= r1 r2 [(cos ϕ1 · cos ϕ2 − sin ϕ1 · sin ϕ2 ) . . .
+j(cos ϕ1 · sin ϕ2 + sin ϕ1 · cos ϕ2 )]
Additionstheoreme:
cos(ϕ1 + ϕ2 ) = cos ϕ1 · cos ϕ2 − sin ϕ1 · sin ϕ2
sin(ϕ1 + ϕ2 ) = cos ϕ1 · sin ϕ2 + sin ϕ1 · cos ϕ2 .
z1 · z2 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 )
= r1 r2 [(cos ϕ1 · cos ϕ2 − sin ϕ1 · sin ϕ2 ) . . .
+j(cos ϕ1 · sin ϕ2 + sin ϕ1 · cos ϕ2 )]
= r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + jsin(ϕ1 + ϕ2 )]
Regel:
Die Radien werden multipliziert und die Winkel addiert.
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Folie: 23
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Additionstheoreme
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
sin(α + β) = cos α · sin β + sin α · cos β
sin(α + β)
α
cos α · sin β
sin α · cos β
β
α
cos(α + β)
cos α · cos β
sin α · sin β
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Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Multiplikation und Division in Polardarstellung II
Die Division lässt sich durch Erweiterung mit dem konjugiert komplexen
Nenner auf das Multiplikationsproblem zurückführen.
z1 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) = r1 · (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) · (cos ϕ2 − j sin ϕ2 )
z2
r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 ) · (cos ϕ2 − j sin ϕ2 )
r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 )
|
{z
}
=cos2 ϕ2 +sin2 ϕ2 =1
= rr12 · (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) · (cos ϕ2 − j sin ϕ2 )
= rr12 [(cos ϕ1 · cos ϕ2 + sin ϕ1 · sin ϕ2 ) . . .
+j(sin ϕ1 · cos ϕ2 − cos ϕ1 · sin ϕ2 )]
= rr12 [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + jsin(ϕ1 − ϕ2 )]
Regel:
Die Radien werden dividiert und die Winkel subtrahiert.
Additionstheoreme:
cos(ϕ1 − ϕ2 ) = cos ϕ1 · cos ϕ2 + sin ϕ1 · sin ϕ2
sin(ϕ1 − ϕ2 ) = cos ϕ1 · sin ϕ2 − sin ϕ1 · cos ϕ2 .
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Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Multiplikation und Division in Polardarstellung III
Benutzen wir die Abkürzung e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ, so können wir die
Rechenregeln zur Multiplikation und Division kürzer schreiben:
z1 · z2 = r1 e jϕ1 · r2 e jϕ2 = r1 r2 e jϕ1 +jϕ2 = r1 r2 e j(ϕ1 +ϕ2 )
z1 = r1 ejϕ1 = r1 · ejϕ1 · e−jϕ2 = r1 e jϕ1 −jϕ2 = r1 e j(ϕ1 −ϕ2 )
z2
r2
r2
r2
r2 ejϕ2
Die Regeln für die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen
in Polardarstellung zeigen, dass sich der zunächst als reine Abkürzung
eingeführte Ausdruck ejϕ tatsächlich wie eine Exponentialfunktion verhält.
Zusammenfassung:
Produkt z1 · z2 : z1 · z2 = r1 r2 e j(ϕ1 +ϕ2 )
(Produkt der Beträge, Summe der Argumente)
Quotienten zz12 : zz12 = rr12 e j(ϕ1 −ϕ2 )
(Quotient der Beträge, Differenz der Argumente)
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Folie: 26
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Potenzen komplexer Zahlen
z n = |z · z ·{z. . . · z}
z = r e jϕ =⇒ z n = (r e jϕ )n = r n e jnϕ
n Faktoren
Regel:Bilde die n-te Potenz von r = |z| und multipliziere ϕ = arg z mit n.
In der trigonometrischen Darstellung erhalten wir entsprechend:
z =
z2 =
z3 =
=
=
z4 =
z = r (cos ϕ + j sin ϕ) =⇒ z n = r n [cos(nϕ) + j sin(nϕ) ]
√
π
Im
1 + j = 2 ej 4
√ 2 jπ
6
2 e 2 = 2j
3
√
3π
z
z2
( 2)3 ej√4
6
I
@
@
√
√
@
2 2(− 22 + j 22 )
z
@ j
@
−2 + 2j
z4
√ 4 jπ
@
- Re
( 2) e = 4 · (−1) = −4
1
Rechnung in kart. Darstellung zur Kontrolle!
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiel z 3 = −8
I
Wir suchen wie im Reellen eine Zahl, die entsprechend oft mit sich selber
multipliziert die Ausgangszahl ergibt. Neu Exponentialdarstellung z = r ejϕ
z3 =
r e jϕ
3
!
= r 3 e j3ϕ = −8 = 8eiπ
Gleichheit =⇒ Radius und Winkel müssen übereinstimmen!
r 3 = 8,
3ϕ = π
√
j π3
!
Damit
ist
z
=
2e
Erfüllt für r = 2 und ϕ = π
=
1
+
3j eine Lösung.
3
Frage: Wo bleibt die aus dem Reellen bekannte Lösung z = −2?
−8 lässt sich in Polarkoordinaten auch noch formal anders darstellen:
z3 =
r e jϕ
3
!
= r 3 e j3ϕ = −8 = 8e j3π
Dies liefert r = 2, ϕ = π und damit z = 2e jπ = −2
Fakultät Grundlagen
Komplexe Zahlen
Folie: 28
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiel z 3 = −8
II
Nun gibt es noch eine dritte Möglichkeit für die Darstellung der Zahl −8:
z 3 = r e jϕ
3
!
= r 3 e j3ϕ = −8 = 8e j5π
Damit erhalten wir schließlich als dritte Lösung
r = 2,
5π
√
j
z = 2e 3 = 1 − 3j
ϕ = 5π
3
Addieren wir nochmals 2π hinzu, so ergibt sich die Ausgangslösung:
z3 =
r e jϕ
3
!
= r 3 e j3ϕ = −8 = 8e j7π
π
√
j
π
3 = 1 + 3j
ϕ = 7π
=
2π
+
z
=
2e
3
3
Generelle Mehrdeutigkeit des Wurzelbegriffs im Komplexen! Im Reellen
nur bei Quadratwurzeln aus positiven Zahlen!
⇒
r = 2,
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Komplexe Zahlen
Folie: 29
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Wurzeln komplexer Zahlen
Exponential-Darstellung:
z = r ejϕ
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
z n = a ⇐⇒ z =
√
n
a
a = Ae jα
!
z n = r n e jnϕ = A e jα = a
√
r n = A ⇐⇒ r = n A bzw.
nϕ = α ⇐⇒ ϕ = α
n
√
n
jα
n
Somit ist z0 = A e n
eine Lösung der Gleichung z = a.
Dann gilt:
Die Winkel α und α + 2πk ergeben denselben Punkt in der Gaußschen Ebene.
e j(α+2πk) = e jα = a.
Daher erhalten wir weitere Lösungen von z n = a durch
√
α+2πk
n
zk = A ej n
(zk )n = A ej(α+2πk) = Aejα = a
Nur für k = 0, 1, . . . , n − 1 ergeben sich verschiedene Zahlen, denn
√
√
α+2πn
α
zn = n A e j n
= n A e j n +2π = z0 .
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Komplexe Zahlen
Folie: 30
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Wurzeln komplexer Zahlen
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
z n = a ⇐⇒ z =
√
n
a
Die Gleichung z n = a = Aejα (A > 0) besitzt genau
n verschiedene komplexe Lösungen (Wurzeln)
zk = r ejϕk = r (cos ϕk + j sin ϕk )
mit
r=
√
n
A,
ϕk = α +n2πk ;
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Diese liegen in der Gaußschen√Zahlenebene auf einem Ursprungskreis vom Radius r = n A und bilden die Eckpunkte
eines regelmäßigen n-Ecks.
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Komplexe Zahlen
Folie: 31
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiele I
z=
√
4
zk =
1
√
4
z 4 = 1 = 1 · e j0
⇐⇒
1·e
j 0+2πk
4
k = 0, 1, 2, 3
z0 = 1 · e j0 = 1
z1 = 1 · e j
z2 = 1 · e
2π
4
j 4π
4
z3 = 1 · e j
6π
4
π
= 1 · ej 2 = j
= 1·
e jπ
= 1 · ej
= −1
3π
2
= −j
Im
6z1
.......................
..............t
...........
...............
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.
.
.
..... r = 1
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
....
.
.
.
.
...
...
...
.
.
...
...
...
...
...
...
...
..
... z0
z2 ....
..t ...t
...
...
...
...
.
...
...
...
...
.
...
.
...
..
...
..
....
...
.
.
.
.....
...
.....
.....
........
.......
.
.
...........
.
.
.
.
.
.
.
....................... t
....
........................
Re
z3
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Komplexe Zahlen
Folie: 32
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiele II
z=
√
3
j
Im
π
z3 = j = 1 · e j 2
⇐⇒
6
zk =
√
3
π
1 · e j( 6 +
π
z0 = 1 · e j 6 =
z1 = 1 · e j
5π
6
z2 = 1 · e j
9π
6
2πk
3
)
k = 0, 1, 2
√
1
2(
3 + j)
√
= 12 (− 3 + j)
= ej
3π
2
= −j
.........................................
..............
..........
.........
....... r = 1
.
.
.
.
.
.
.....
....
.
....
.
.
.
.
....
.
.
.
.
...
.
.
..t
z1 .....t
... z0
...
....
...
..
...
...
...
...
... ....
..
...
.
.
...
..
...
....
...
.
...
..
...
...
.
...
.
..
....
....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
........
...........
........
..........
....................... t
........................
Re
z2
Fakultät Grundlagen
Komplexe Zahlen
Folie: 33
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Wurzeln: komplex ⇐⇒ reell
Bemerkung:
Im Reellen erhielten wir beim Wurzelziehen mit einem ungeraden
Exponenten nur eine Lösung, bei geradem Wurzelexponenten
ergaben sich (soweit überhaupt im Rellen lösbar) stets zwei
Lösungen.
Wie ist diese Beobachtung mit den obigen Resultaten verträglich?
Wie wir erkannt haben, liegen sämtliche komplexen Wurzeln einer
Zahl auf den Ecken eines regelmäßigen Vielecks mit Mittelpunkt
im Ursprung. Bei ungerader Eckenzahl kann nur eine Ecke auf der
reellen Achse liegen. Liegt bei gerader Eckenzahl eine Ecke auf der
reellen Achse, so stets auch eine zweite.
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Folie: 34
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Fundamentalsatz der Algebra
Das Polynom pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
besitzt im Reellen höchstens n Lösungen.
Die Gleichung
z n − a = 0 besitzt in C genau n Lösungen; allgemein:
pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 = 0
besitzt in der Menge der komplexen Zahlen stets genau n Lösungen
z1 , z2 , . . . zn .
pn (z) lässt sich daher komplett in (komplexe) Linearfaktoren zerlegen:
pn (z) = an (z − z1 ) · (z − z2 ) · . . . · (z − zn ).
Bemerkung: Dies ist ein reiner Existenzsatz. Explizite Lösungsformeln existieren
nur für einfache“ Gleichungen. Neben der bekannten Mitternachtsformel“ für
”
”
quadratische Gleichungen existieren nur noch für Gleichungen der Ordnung drei
und vier explizite Lösungsformeln.
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Folie: 35
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Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Quadratische Gleichung az 2 + bz + c = 0, mit a, b, c ∈ C
p
−b
±
b 2 − 4ac
Mitternachtsformel“
z1/2 =
2a
”
Sind die Koeffizienten a, b und c reelle Zahlen, so hängt die Art der
Lösungen vom Vorzeichen der (reellen) Diskriminante“ b 2 − 4ac ab.
”
a) b 2 − 4ac > 0
zwei reelle Lösungen
b
b) b 2 − 4ac = 0
eine (doppelte) reelle Lösung z1,2 = − 2a
c) b 2 − 4ac < 0
ein Paar konjugiert komplexer Lösungen
Im Fall c) z1,2
=
=
p
p
b 2 − 4ac = −b ± (4ac − b 2 )(−1)
2a
2a
p
−b ± j (4ac − b 2 )
2a
−b ±
Vieta: Sind z1 , z2 Lösungen der Gleichung z 2 + pz + q = 0, so gilt:
p = − (z1 + z2 ),
q = z1 · z2
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Folie: 36
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Quadratische Gleichung; Beispiel
z 2 − 8z + 25 = 0
z1,2 = 8 ±
√
64 − 100 = 4 ± 3j
2
Kontrolle mit Satz von Vieta:
z1 + z2 = (4 + 3j) + (4 − 3j) =
z1 · z2 = (4 + 3j) · (4 − 3j)
8
= −p
= 25 = q
Zerlegung in (komplexe) Linearfaktoren:
p2 (z) = [z − (4 + 3j)] · [z − (4 − 3j)]
= z 2 − [(4 + 3j) · z + (4 − 3j) · z] + (4 + 3j) · (4 − 3j)
= z 2 − 8z + 25
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Konjugiert komplexe Nullstellen
Viele der bei quadratischen Gleichungen festgestellten Eigenschaften finden
sich auch bei Problemen höherer Ordnung.
Sind alle Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an von pn (z) reell, so treten komplexe
Nullstellen stets als Paare konjugiert komplexer Zahlen auf.
Ist z0 Lösung von pn (z0 ) = an z0n + . . . + a1 z0 + a0 = 0, so gilt auch
pn (z0∗ ) = an (z0∗ )n + an−1 (z0∗ )n−1 + . . . + a1 (z0∗ ) + a0
∗
= an (z0n )∗ + an−1 z0n−1 + . . . + a1 (z0 )∗ + a0
∗
= (an z0n )∗ + an−1 z0n−1 + . . . + (a1 z0 )∗ + (a0 )∗
= (pn (z0 ))∗ = 0∗ = 0
⇒
z0∗ ist ebenfalls Nullstelle.
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Folie: 38
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Abspalten von Linearfaktoren
Ist z0 Lösung von pn (z) = 0, so gilt:
pn (z) = (z − z0 ) · qn−1 (z),
wobei q vom Grad (n − 1) ist.
Existiert ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen, so ergeben diese beiden
Linearfaktoren ausmultipliziert stets ein quadratisches Polynom mit reellen
Koeffizienten. Es gilt
(z − z0 )(z − z0∗ ) = z 2 − z(z0 + z0∗ ) + z0 · z0∗ = z 2 − 2Re (z0 ) · z + |z0 |2
z0 + z0∗
z0 · z0∗
= (x0 + jy0 ) + (x0 − jy0 ) = 2x0 = 2Re (z0 )
= (x0 + jy0 ) · (x0 − jy0 ) = x02 + y02 = |z0 |2
Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten ist zerlegbar in Linearfaktoren
und quadratische Polynome mit reellen Koeffizienten.
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Folie: 39
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Beispiel I
Bestimme sämtliche Lösungen von
Raten:
z 3 − z 2 + 4z − 4 = 0
z1 = 1
Polynomdivision
z 3 − z 2 + 4z − 4 : (z − 1) = (z 2 + 4)
z 2 + 4 = 0 ⇔ z 2 = −4
√
z2/3 = ± −4 = ±2j
Faktorzerlegung
z 3 − z 2 + 4z − 4 = (z − 1)(z − 2j)(z + 2j)
= (z − 1) · (z 2 + 4)
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Folie: 40
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Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Lösen algebraischer Gleichungen
Beispiel II
Bestimme sämtliche Lösungen von z 4 − 4z 3 + 6z 2 − 4z + 5 = 0
Raten:
z1 = j
Abspalten von
z2 = z1∗ = −j
(z − j)(z + j) = z 2 + 1
2
2
z 4 − 4z 3 + 6z 2 − 4z
√ + 5 : (z + 1) = (z − 4z + 5)
− 20 = 2 ± j
z 2 − 4z + 5 = 0
z3/4 = 4 ± 16
2
Polynomdivision:
Komplexe Faktorzerlegung:
z 4 − 4z 3 + 6z 2 − 4z + 5 = (z − z1 ) · (z − z2 ) · (z − z3 ) · (z − z4 )
= [(z − j) · (z + j)] · [(z − 2 − j) · (z − 2 + j)]
= (z 2 + 1) · (z 2 − 4z + 5)
In R, d. h. für z = x, so erhalten wir die reelle Faktorzerlegung
p(x) = x 4 − 4x 3 + 6x 2 − 4x + 5 = (x 2 + 1) · (x 2 − 4x + 5)
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Folie: 41
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
x = x(t) = A cos(ωt + ϕ)
A
x(t) = A cos (ωt + ϕ)
ϕ
−ω
A:
ω:
ϕ:
t
x(t) beschreibt z. B.:
mechanische Schwingungen,
elektrische Schwingkreise,
etc.
T = 2π
ω
Amplitude (Maximalauslenkung) der Schwingung (A > 0)
Kreisfrequenz (ω > 0)
ω = 2πf = 2π ; f= 1
T
T
Nullphasenwinkel
Winkel zur Zeit t = 0 (x(0) = A cos ϕ)
Gilt ϕ > 0, so bedeutet dies, dass die durch x(t) beschriebene harmonische
Schwingung der Funktion cos (ωt) um ϕ voraus eilt. Die zugehörige Kurve ist um
ϕ
ω nach links verschoben.
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Folie: 42
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
x = x(t) = A sin(ωt + ψ)
Harmonische Schwingungen lassen sich auch mittels der Sinusfunktion
als Grundfunktion darstellen. Durch eine Phasenverschiebung um π
2 geht
diese in die Kosinus-Darstellung über.
x(t) = A sin(ωt + ψ) = A cos(ωt + ψ − π
) = A cos (ωt + ϕ)
| {z 2}
ϕ
π
d. h. ψ = ϕ + π
2 bzw. ϕ = ψ − 2
Hier machen wir bevorzugt von der Kosinus-Darstellung Gebrauch!
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Folie: 43
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
x = x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt)
Eine harmonische Schwingung lässt sich auch als Summe von reinen“
”
Kosinus- und Sinusfunktionen darstellen.
Mit Hilfe der Additionstheoreme erhalten wir den Zusammenhang:
x(t)
=
A cos (ωt + ϕ)
=
A [cos ϕ cos(ωt) − sin ϕ sin(ωt)]
=
A cos ϕ cos(ωt) − A sin ϕ sin(ωt)
!
=
a cos(ωt) + b sin(ωt)
a = A cos ϕ
b = −A sin ϕ
bzw.
√
A
=
a2 + b 2
tan ϕ = − ba
Bei der Bestimmung des Phasenwinkels ist wieder eine Quadrantenbetrachtung notwendig. Der richtige“ Phasenwinkel ergibt sich dabei aus
”
den Gleichungen für die Koeffizienten a und b.
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Folie: 44
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Beispiel: x(t) = cos(t) −
√
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
3 sin(t)
√
!
x(t) = a cos(ωt)+b sin(ωt) = cos(t)− 3 sin(t)
√
1+
√ 3 = 2,
ϕ1 = π
tan ϕ = 13
3,
ω = 1
a = 1√
b = − 3
A =
4π
ϕ2 = π
3 +π = 3
Welcher Winkel ist der Richtige?
A cos ϕ1 = 2 cos π
3 = 1
√
=
−
3
−A sin ϕ1 = −2 sin π
3
A cos ϕ2 = 2 cos 4π
3 = −1
√
−A sin ϕ2 = −2 sin 4π
3 = − 3
Damit ist ϕ1 der richtige Phasenwinkel und es gilt:
√
x(t) = cos t − 3 sin t = 2 cos t + π
3
Fakultät Grundlagen
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Folie: 45
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Darstellung der Kosinus-Schwingung A cos(ωt)
z(t) = A e jωt = A [cos ωt + j sin ωt]
x(t) = A cos ωt = Re {z(t)},
In Abhängigkeit von t bewegt
sich der komplexe Zeiger auf
einem Ursprungskeis mit Radius
A. Die Projektion von z(t) auf
die reelle Achse ergibt die Kosinusfunktion x(t), während man
durch die Projektion auf die imaginäre Achse die Sinusfunktion
y (t) erhält.
Man nennt z(t) = Ae jωt die
komplexe Zeigerdarstellung einer
harmonischen Schwingung.
Fakultät Grundlagen
komplexe Erweiterung
y (t) = A sin ωt = Im {z(t)}
6
........................................
...........
.......
.......
.....
.
.
.
.
..... A e jωt = z(t)
.....
.
....
.
.
.
.
.
>.......
..
....
...
.....
...
.. A sin(ωt)
..
ωt .....
.. A = z(0)
....
.
. -.....
...
...
A cos(ωt) ......
...
...
..
...
..
....
..
.
.
.
....
..
.....
....
......
.....
.
.
.
.........
.
.
.
.................................................
MATLAB: zeig mov(1,0)
Komplexe Zahlen
Folie: 46
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Darstellung der Kosinus-Schwingung A cos(ωt + ϕ)
z(t) = A e j(ωt+ϕ) = A[cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)]
x(t) = A cos(ωt + ϕ) = Re {z(t)}
6
z(t) = A e j(ωt+ϕ) = A
e jϕ} ·e jωt
| {z
a
= a · e jωt
Geometrische Deutung: Bewegung
der komplexen Zahl a = A ejϕ mit
der Winkelgeschwindigkeit ω auf
einem Kreis um den Ursprung mit
Radius A.
Die Zahl a wird dabei als komplexe
Amplitude bezeichnet.
Fakultät Grundlagen
..........................................
.......
...........
..... a =
.......
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
....
.
.
.
...
z(t) .....
............
...
........... ................ A
.
.
...
.
Y
...H
.
....
... H ..... ωt
...
.
HH
...
...
...
ϕ ...
...
H
.....
.
...
..
.
.
...
.
.
.
...
...
...
..
...
.
.
....
...
.....
....
.....
.....
.
.
.......
.
.
.....
............
........................................
z(0)
-
MATLAB: zeig mov(1,pi/3)
Komplexe Zahlen
Folie: 47
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Komplexe Zeiger-Darstellung
Komplexe Zeiger-Darstellung von Schwingungsvorgängen
Die reelle harmonische Funktion x(t) = A cos(ωt+ϕ) und die komplexe
Erweiterung z(t) = A e(ωt+ϕ) besitzen denselben Informationsgehalt.
Bei vorgegebener Kreisfrequenz ω wird eine harmonische Schwingung
durch die Amplitude A und den Phasenwinkel ϕ bestimmt.
Die Funktion x(t) = A cos(ωt + ϕ) kann als Realteil des in der komplexen Zahlenebene mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden komplexen Zeigers a = z(0) = A · e jϕ betrachtet werden.
Der Übergang zum Realteil entspricht geometrisch der Projektion auf
die reelle Achse.
Beispiel: x(t) = 3 cos(2t − π
4 ) = Re {z(t)}
√
π
π
−j 4
−j π4
j(2t− 4 )
3
j2t
wobei a = 3e
= 2 2 [1 − j]
z(t) = 3e
= |3e{z } ·e
a
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Komplexe Zahlen
Folie: 48
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Überlagerung von: x1 (t) = 2 cos(ωt + π
4)
und
√
x2 (t) = 2 2 cos(ωt + π)
Strategie: Summe der komplexen Ersatzgrößen“
”
√ jπ
√
π
π
z1 (t) = 2e j(ωt+ 4 ) = |2e{zj 4} ·e jωt , z2 (t) = 2 2e j(ωt+π) = |2 {z
2e } ·e jωt
a1
a2
π
√
⇒ z(t) = z1 (t) + z2 (t) = 2e j 4 + 2 2e jπ e jωt
√
√
√
√
√
2
2
= 2( 2 + j 2 ) + 2 2 · (−1) e jωt = (− 2 + j 2)e jωt
√
√
⇒ a = − 2 + j 2 = Ae jϕ
⇒
z(t) = 2 e j
3π
4
√
√
(− 2)2 + ( 2)2 = 2
√
3π
ϕ = arctan √2 + ∆ = − π
4 +π = 4
− 2
A=
q
· e jωt = 2 e j(ωt+
3π
)
4
Nun gilt:
Re {z(t)} = Re {z1 (t)} + Re {z2 (t)} = x1 (t) + x2 (t) = x(t)
⇒
x(t) = Re {z(t)} = 2 cos(ωt + 3π
4 )
Fakultät Grundlagen
Komplexe Zahlen
Folie: 49
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Überlagerung von: x1 (t) = 2 cos(ωt + π
4)
und
√
x2 (t) = 2 2 cos(ωt + π)
Im
√
π
a2 = 2 2ejπ
a1 = 2ej 4 ,
a = a1 + a2 = Ae jϕ
⇒ A = 2, ϕ = 3π
4
⇒ x(t) = 2 cos(ωt + 3π
4 )
6
a2
I
@
a2
j
@ ...................................
.. a
a @ ϕ ...... 1
..
@
- Re
1
Im
6
Fazit: Die Addition von zwei harmonischen Schwingungen entspricht der Addition der zugehörigen komplexen Zeiger.
Dabei kommt dasselbe Konstruktionsprinzip wie bei der Addition zweier ebener
Vektoren zur Anwendung.
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a2
a
j ....
.
...
... ϕ
a
.
..
Komplexe Zahlen
1
:
1
- Re
Folie: 50
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Addition zweier Kosinus-Schwingungen
x(t) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ2 )
Schritt 1: Übergang zu komplexer Schwingungsdarstellung
x1 (t) = A1 cos(ωt + ϕ1 )
z1 (t) = A1 e j(ωt+ϕ1 ) = A1 e jϕ1 · e jωt = a1 e jωt
x2 (t) = A2 cos(ωt + ϕ2 )
z1 (t) = A2 e j(ωt+ϕ2 ) = A2 e jϕ2 · e jωt = a2 e jωt
Schritt 2: Addition in komplexer Darstellung
z(t) = z1 (t) + z2 (t) = (a1 + a2 ) e jωt = ae jωt
| {z }
a
a1 + a2 = a = A e jϕ
⇒
z(t) = A e jϕ · e jωt = A e j(ωt+ϕ)
Schritt 3: Rückkehr zu reeller Schwingungsdarstellung
⇒
x(t) = Re {z(t)} = A cos(ωt + ϕ)
Fakultät Grundlagen
Komplexe Zahlen
Folie: 51
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Addition zweier Kosinus-Schwingungen; Schema
Reelle Zahlen
Komplexe Zahlen
x1 (t) = A1 cos(ωt + ϕ1 )
x2 (t) = A2 cos(ωt + ϕ2 )
⇒
x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A cos(ωt + ϕ)
⇐
a1 = A1 ejϕ1
a2 = A2 ejϕ2
⇓
a1 + a2 = a = A e jϕ
Bei der Berechnung von Amplitude A und Phase ϕ der resultierenden
Schwingung x(t) ist der Zeitfaktor e jωt ohne Bedeutung. A und ϕ ergeben
sich vielmehr direkt als Betrag und Argument der komplexen Amplitude
a = a1 + a2 .
Die Überlagerung der Schwingungen lässt sich somit einfach durch die
Summe a = a1 + a2 der zugehörigen komplexen Zeiger a1 und a2
beschreiben.
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Komplexe Zahlen
Folie: 52
Komplexe Zahlen
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
π
x1 (t) = 2 cos(ωt − π
4 ) und x2 (t) = 4 cos(ωt + 3 )
Zeichnung:
Rechnung:
π
Im
√ 2 −  2 = √2 − √2
2
2
√ √
= 4 21 +  23 = 2 +  2 3
a1 = 2e− 4 = 2
6
π
√
a2 = 4e  3
a = a1 + a2
√
√ √
a2 a = a1 +a2 = ( 2+2)+(2 3− 2) = Ae ϕ
3
"
A ""
q√
√
√
j
""
mit
A
=
( 2 + 2)2 + (2 3 − 2)2 ≈ 3, 98
.
.
"
" ....
a2
√
√
ϕ ...
"
- Re
2 √3 − 2 + 0 ≈ 0, 54 (≈ 31o )
ϕ
=
arctan
@ 1
a1@
2+2
@
R
@
x(t) = x1 (t) + x2 (t)
⇒
A ≈ 4
≈ 3, 98 cos(ωt + 0, 54)
o
ϕ ≈ 30
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Überlagerung von gleichfrequenten Sinus-Funktionen
Die Überlegungen dieses Abschnitts gelten entsprechend für die
Überlagerung von zwei gleichfrequenten Sinus-Funktionen
y1 (t) = A1 sin(ωt + ϕ1 )
und
y2 (t) = A2 sin(ωt + ϕ2 ).
In diesem Fall gehen wir bei der Wahl der komplexen Ersatzgrößen von der
Beziehung y1 (t) = Im {z1 (t)} und y2 (t) = Im {z2 (t)} aus und erhalten
daher bei der Rückkehr zur reellen Darstellung (Schritt 3):
y (t) = Im {z(t)} = A sin(ωt + ϕ)
Auf die geometrische Addition der komplexen Zeiger a1 und a2 hat diese
Änderung des Blickwinkels “ keine Auswirkung.
”
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Potentialdifferenz beim Drehstrom
U1 = U0 cos(ωt)
U2 = U0 cos(ωt +
U3 = U0 cos(ωt +
2π
3 )
4π
3 )
∼
=
∼
=
z1 (t) = U0 eωt
∼
=
z3 (t) = U0 e(ωt+
z2 (t) = U0 e
⇔
a1 = U0
(ωt+ 2π
3 )
⇔
a2 = U0 e
2π
3
4π
3 )
⇔
a3 = U0 e
4π
3
Im
√ 1
a2 − a1
= U0 − 2 +  23 − U0
√
= 12 U0  3 − 3
√
√
|a2 − a1 | = 12 U0 3 + 9 = U0 3
√
tan ϕ
= −33 = − √1
3
5π
⇒
ϕ1 = − π
6 , ϕ2 = 6
√ 5π
⇒ a2 − a1 = U0 3 e 6
√
⇒ R − S = U0 3 cos ωt + 5π
6
Alternative:
Kosinussatz
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Komplexe Zahlen
a2 − a1
a2
120o
240o
a1
U0 Re
a3
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Ohmsches Gesetz
Ausgangspunkt ist das Ohmsche Gesetz für Gleichströme.
U = R ·I
bzw.
R = U
I
d. h. Spannung und Stromstärke sind zueinander proportional.
Diese Beziehung gilt auch für Wechselstrom: Eine Wechselspannung
erzeugt in einem Stromkreis, der nur ohmsche Verbraucher enthält, einen
Wechselstrom gleicher Phase. Der Quotient zwischen Spannung und
Stromstärke von der Zeit unabhängig.
u(t)
= U0 cos ωt = R = konstant
I0 cos ωt
i(t)
In Wechselstromkreisen gibt es allerdings darüber hinaus noch weitere Widerstandstypen: Kondensatoren und Spulen. Spannung und
Stromstärke sind hier gegeneinander phasenverschoben sind.
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Plattenkondensator I
P1
Die Spannung uC
zwischen den Kondensatorplatten ist
dabei stets proportional zur Ladung
qC .
u(t) = U0 cos ωt
P4
P2
t
P3
qC = C · uC
Eine Veränderung der Spannung bewirkt eine Veränderung der Ladung auf den
Kondensator-Platten und damit einen Ladungstransport. Die Veränderungsrate “
”
(Steigung) der Spannung ist am Punkt P2 am größten, in der Umgebung von P1 , P3
gleich Null. Dies hat zur Folge, dass die Stromstärke an Nullstellen der Spannungsfunktion Extrema besitzt, während die Extrema der Spannung Nulldurchgänge bei
der Stromstärke zur Konsequenz haben.
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Plattenkondensator II
Wenn wir die plausible Annahme machen, dass auch die Stromstärke eine
harmonische Schwingung darstellt, so müssen die beiden Funktionen u(t)
und i(t) eine Phasendifferenz von π2 haben.
Die Stromstärke i(t) ist der Veränderung der Ladung q(t) pro Zeiteinheit.
q(t) = C · u(t)
i(t) =
dq
= C · du
dt
dt
Wird eine harmonische Schwingung der Form U0 cos ωt als Spannung angelegt, so ergibt sich für die Stromstärke i(t) die Beziehung:
π
i(t) = C · d [U0 cos ωt] = −ω C U0 sin ωt = U0 ω C cos ωt +
dt
2
d. h. die Stromstärke eilt der Spannung um π
2 voraus.
Eine ähnliche Betrachtung des induktiven Widerstands einer Spule zeigt,
dass dabei die Stromstärke der Spannung um π
2 nacheilt.
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Komplexe Ersatzgrößen für Spannung und Strom
In Wechselstromkreisen ergibt sich im Allgemeinen eine Phasendifferenz zwischen
Spannung und Stromstärke. Damit wird jedoch der reelle Quotient von Spannung
und Stromstärke abhängig von der Zeit!
u(t)
U0 cos ωt
cos ωt
=
= U0 ·
I0 cos (ωt + α)
i(t)
I0 cos (ωt + α)
|
{z
}
zeitabhängig!
Ausweg: Einführung komplexer Ersatzgrößen für Spannung und Strom
u(t) = U0 cos ωt
i(t) = I0 cos(ωt − ϕ)
u(t) = U0 e jωt
i(t) = I0 e j(ωt−ϕ)
so ist das Verhältnis von Spannung und Stromstärke zeitunabhängig
u(t)
e jωt =
U0 · e jωt
= U0 (·jωt−ϕ)
= U0 · e jϕ = Z0 e jϕ = Z
I0
i(t)
I0 · e jωt · e −jϕ
I0 · e
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise
u = Z · i,
mit
u(t) = U0 e
jωt
komplexe Spannung
j(ωt−ϕ)
i(t) = I0 e
Z = Z0 e jϕ
|Z | = Z0 = U0 :
I0
arg Z = ϕ:
Im
6
komplexe Stromstärke
komplexer Widerstand (Impedanz)
Verhältnis der Scheitelwerte von Spannung und Strom
Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom
Bezeichnungen:
Z =R +jX
r
Z0
X
...
ϕ ......
.
- Re
R
Z0 = |Z |:
Scheinwiderstand (Impedanz)
R = Re Z :
Wirkwiderstand (Resistanz)
X = Im Z :
Blindwiderstand (Reaktanz)
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Widerstände in Wechselstromkreisen I
(Ohmscher Widerstand)
Ausgangspunkt: komplexen Darstellung von Spannung und Strom
aus:
u(t) = U0 e jωt bzw. i(t) = I0 e (jωt−ϕ)
Ohmscher Widerstand R
Am Ohmschen Widerstand ist stets die Stromstärke proportional
zur Spannung.
i(t) ∼ u(t)
Damit gilt:
ZΩ =
u(t)
= Re j0
i(t)
⇒
Widerstand rein reell
⇒
keine Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom.
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Widerstände in Wechselstromkreisen II
(Kondensator)
dq
= C · du
dt
dt
Entsprechend erhalten wir für die komplexen Ersatzgrößen:
du
i(t) = C ·
= C · d U0 e jωt = j ωC U0 e jωt = j ωC u
dt
dt
Am Kondensator gilt: q(t) = C · u(t)
i(t) =
Für den komplexen Widerstand ergibt sich:
ZC =
⇒
⇒
⇒
π
u(t)
= 1 = −j 1 = 1 e−j 2
jω C
ωC
ωC
i(t)
Widerstand rein imaginär mit
negativem Imaginärteil
Blindwiderstand XC = − 1
ωC
π
ϕ = arg Z C = − 2 (Strom eilt der Spannung um π
2 voraus)
Z C = −j 1
ωC
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Widerstände in Wechselstromkreisen III
Induktionsgesetz:
(Spule)
u(t) = L d i(t)
dt
Entsprechend erhalten wir für die komplexen Ersatzgrößen:
u(t) = L· d i(t) = L· d I0 e j(ωt+α) = jωL·I0 e j(ωt+α) = j ωL·i(t)
dt
dt
Somit erhalten wir für den induktiven Widerstand:
π
u(t)
ZL =
= jω L = ω L e j 2
i(t)
⇒
Z L = jωL
⇒
Blindwiderstand
⇒
ϕ = arg Z L = π
2
Widerstand rein imaginär mit positivem Imaginärteil
XL = ωL
(Strom läuft der Spannung um π
2 nach)
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Kirchoffsche Gesetze
Die elektrischen Größen in Wechselstromkreisen könnn nach den aus
der Gleichstromlehre bekannten Kirchoffschen Gesetzen (Maschenregel,
Knotenregel) berechnet werden.
1
Bei Reihenschaltung addieren sich die
Widerstände.
Z2
Z1
Z = Z1 + Z2
2
Bei Parallelschaltung gilt:
Z1
1 = 1 + 1
Z
Z1 Z2
Z =
Z1 · Z2
Z1 + Z2
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Z2
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Reihenschwingkreis I
i(t)
C
L
R
u(t)
Z = Z L + Z C + Z R = jω L +
Wirkwiderstand:
Blindwiderstand:
−j
+R = R +j ωL− 1
ωC
ωC
Re Z = R
Im Z = ω L − 1
ωC
r
R2 + ω L − 1
ωC
1
ωL−
ωC
Phasenverschiebung: ϕ = arctan
R
Scheinwiderstand:
R≥0
|Z | =
2
Z liegt im 1. oder 4. Quadranten
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Reihenschwingkreis II
i(t)
L
C
R
u(t)
Z (ω) = Z L (ω) + Z C (ω) + Z R = R + j ω L − 1
ωC
Im
ωL
1
ωC
Z (ω)
ϕ
R
Resonanzfrequenz
r
2
R2 + ω L − 1
ωC
!
= Minimum
q
1
ω0 =
ωL− 1
=0
LC
ωC
|Z (ω)| =
Re
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Wirkleistung
i(t)
Bei Gleichstrom ergibt sich die Leistung aus
dem Produkt von Spannung und Stromstärke.
Z
u(t)
Bei Wechselströmen ist die zeitliche Veränderung und die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom zu berücksichtigen. Die Leistung P ist der zeitliche
Mittelwert aus dem Produkt der Momentanwerte von Spannung und Strom.
Liegt an einem Wechselstromkreis mit dem Widerstand Z = R + jX
die Spannung u(t) = U0 cos(ωt) an, so fließt der Strom i(t) = I0 ej(ωt−ϕ) mit
U0 = |Z | =
I0
p
R 2 + X 2,
tan ϕ = X
R
bzw.
cos ϕ = p R
R2 + X 2
RT
P = 1 U0 cos(ωt) · I0 cos(ωt − ϕ) dt = . . . Die Phasenverschiebung um
T 0
|
{z
}
ϕ reduziert die Wirkleistung
cos ωt cos ϕ+sin ωt sin ϕ
P um den Faktor cos ϕ.
= U0 I0 cos ϕ · 1
2 = Ueff Ieff cos ϕ
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Blindstromkompensation beim Elektromotor I
Bei vorgegebener Spannung und Leistung fließt bei kleinem“ cos ϕ (d. h.
”
großem Winkel ϕ) ein großer Strom, wobei nur ein kleiner Teil für die Wirkleistung relevant ist. Große Ströme führen bei den Zuleitungen etc. zu Verlusten,
und deshalb versucht man durch einen zweiten Blindwiderstand – einen Kondensator – den Imaginärteil des Gesamtwiderstands möglichst klein zu machen.
C
Z =
i(t)
R
Z 1 = R + jωL
L
Z2 =
u(t)
Z =
Z1 · Z2
Z1 + Z2
1
jωC
(R + jωL) · 1
R + j[ωL(1 − ω 2 LC ) − ωR 2 C ]
jωC
= ... =
1
(1 − ω 2 LC )2 + R 2 ω 2 C 2
(R + jωL) +
jωC
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Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Blindstromkompensation beim Elektromotor II
Wir bestimmen nun C so, dass der Blindwiderstand X = Im {Z } zu Null wird:
L
R 2 + ω 2 L2
R
Z =
= R
2
2
2 2 2 N
(1 − ω LC ) + ω R C C = C0
!
ω · [L(1 − ω 2 LC ) − R 2 C ] = 0
Gesamtwiderstand
C = C0 =
2
2
L
L
2 2
N = 1−ω L 2
+ R ω
R + ω 2 L2
R 2 + ω 2 L2
2
2
R 2 (R 2 + ω 2 L2 )
R2
ω 2 R 2 L2
=
+
=
= 2 R 2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
R +ω L
(R + ω L )
(R + ω L )
R +ω L
2
Gesamtwiderstand
Phasenwinkel:
ϕ=0
2
2 2
Z = R +ω L
R
cos ϕ = 1
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rein reell!
optimale Blindstrom-Kompensation
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Harmonische Schwingungen
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wechselstromkreise
Blindstromkompensation beim Elektromotor III (Beispiel)
U0 = 230V , R = 10Ω, L = 40mH, ω = 100 π bzw. f = 50 Hz
benötigte Kapazität:
0.04
C= 2 L
= 2
≈ 0.000155 [F]
R + (ωL)2
10 + (100 · π · 0.04)2
Gesamtwiderstand:
Z=
R 2 + (ωL)2
102 + (100 · π · 0.04)2
≈ 25.79 . . . [Ω]
=
10
R
Amplitude der Stromstärke des Gesamtstroms:
230 ≈ 8.92[A]
Ig = U0 = 25.79
...
|Z |
Leistungsaufnahme: P = U0 · Ig = 230 · 8.92 ≈ 2051[VA]
MATLAB: blindstrom var(10,0.04,100*pi,230)
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Komplexe Zahlen
Folie: 70