Prinzip der virtuellen Verschiebung

1 Elektrostatik
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Prinzip der virtuellen Verschiebung
Wir verwenden hier das Prinzip der virtuellen Verschiebung (PVV) zur Berechnung der
Kraft auf einen Körper im elektrostatischen Feld.
Beim PVV wird der Körper, auf den die zu berechnende Kraft wirkt, virtuell“ d.h. nur
”
gedacht um ein infinitesimales Stück δs verschoben. Diese gedachte Verschiebung bewirkt
virtuelle Energieänderungen im gesamten, betrachteten System. Dabei gilt (wie immer)
der Energieerhaltungssatz, der besagt, dass sich die Gesamtenergie eines abgeschlossenen
Systems mit der Zeit nicht ändert bzw. dass die Summe der Änderungen aller auftretenden Energieformen im abgeschlossenen System (z.B. kinetische, potentielle,
elektrische, thermische, chemische Energie) gleich null ist.
Die Änderungen der Energieformen, die hier für uns in der Elektrostatik von Interesse
sind, sind:
• δWQuelle . . . Energieänderung einer Versorgungsquelle
• δWFeld ist äquivalent zu δWKapazitaet . . . Änderung der in einem elektrischen Feld
bzw. in einer Kapazität gespeicherten Energie
• δWmech . . . Diﬀerenzielle mechanische Arbeit
Man findet nun i.A. zwei (unwsesntlich) verschiedene Überlegungen zum Aufstellen für die
Energiebilanz. (Welche Sie davon wählen, steht in Ihrer Entscheidungsfreiheit. Sie werden
bemerken, dass beide Zugänge Diskussionen aufwerfen):
1. Summe aller Energieänderungen gleich Null
�
δWi = 0
(1)
i
δWmech = F δs
Anmerkung: F zeigt in die Richtung, in die der Körper fällt, wenn man ihn nicht festhält.
Die virtuelle Verschiebung des Körpers ist in alle Richtungen möglich. Die diﬀerenzielle
mechanische Arbeit berechnet sich dabei einfach wie in Glg. (1). Verschiebt man den
Körper parallel zur Kraftwirkung dann ist δWmech
• positiv, bei Verschiebung in Kraftrichtung.
• negativ, bei Verschiebung entgegen Kraftrichtung (vgl. Abb.)
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Stellen Sie sich hier δWmech als Änderung eines mechanischen Energiereservoirs“ vor. Der
”
Vorteil dieser Methode ist, dass man auch die Richtung der Kraftwirkung im Ergebnis
erhält. Ist das Ergebnis für die Kraft positiv, dann zeigt die Kraft, die auf den Körper
wirkt, in Verschiebungsrichtung, ist sie negativ, dann zeigt sie entgegen die Verschiebungsrichtung.
2. Zugeführte mechanische Energie gleich Summe aller Energieänderungen
�
δWmech =
δWi
(2)
i
δWmech = Fmech δs
F = Fmech
Beträge sind gleich! Richtung durch Pfeile berücksichtigt!
Diese Methode ist vermutlich intuitiver, da man ja eine mechanische Kraft aufbringen
muss um den Körper verschieben zu können. Beachten Sie aber, dass man für diese Methode die Richtung der Kraft kennen, und Fmech in die entgegengesetzte Richtung von F
zeigen muss. Daher sind auch in Glg. (2) im Gegensatz zu Glg. (1) für die Berechnung
von δWmech Skalare und nicht Vektoren verwendet.
Anwendung des PVV
Um die Kraft F mit dem PVV zu berechnen, drückt man nun alle anderen auftretenden
Engergieänderungen in Abhängigkeit von δs aus, stellt die Energiebilanz auf, dividiert die
so erhaltene Gleichung durch δs und löst die Gleichung nach F auf.
Im Folgenden wird die Kraft, die auf zwei Kondensatorplatten wirkt, berechnet. Der
Vollständigkeit halber sind hier verschiedene Möglichkeiten und deren Varianten durchgerechnet. Verwenden Sie einfach die Variante, die Ihnen am Logischsten, Einfachsten oder
am Schnellsten erscheint.
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1.27 Kraftwirkung im elektrischen Feld
Möglichkeit I: Kondensator wird vor der virtuellen Verschiebung der Kondensatorplatte(n)
von der Quelle getrennt.
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Möglichkeit II: Kondensator wird vor der virtuellen Verschiebung der Kondensatorplatte(n) nicht von der Quelle getrennt.
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1.28 Kraft auf Grenzflächen
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1.29 Zylinderkondensator als Waage
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