1. Exercise (homework due to 25.10.2016)

Technische Universität Chemnitz
Dr. G. Wachsmuth
Chemnitz, 10. Oktober 2016
Abgabe am 25. Oktober 2016
Einführung in das mathematische Arbeiten
Übung 1
Aufgabe 1: 100 Münzen
Sieben Personen besitzen zusammen genau 100 Münzen. Keine zwei Personen besitzen
gleich viele Münzen. Zeigen Sie, dass es drei Personen gibt, die zusammen 50 Münzen
haben.
Aufgabe 2: Prinzip vom kleinsten Täter
In der Vorlesung haben wir schon das Prinzip vom Maximum/Minimum genutzt (in
einer endlichen Menge Zahlen gibt es eine größte/kleinste Zahl). Nun wollen wir ein
ähnliches Argument kennenlernen, beweisen und anwenden.
Satz (Prinzip vom kleinsten Täter)
Es sei V eine nichtleere Menge natürlicher Zahlen (also V ⊂ N nichtleer). Dann gibt
es in V ein kleinstes Element.
(a) Beweisen Sie das Prinzip vom kleinsten Täter, indem Sie das Prinzip vom Minimum
anwenden.
(b) Gilt das Prinzip des kleinsten Täters auch für Teilmengen der ganzen Zahlen Z?
(c) An die Stellen des Zahlenstrahls, an denen sonst die ganzen Zahlen stehen, sollen
natürliche Zahlen geschrieben werden, sodass jede Zahl gleich dem arithmetischen
Mittel ihrer zwei Nachbarn ist. Zeigen Sie, dass dies nur möglich ist, wenn an jeder
Stelle die gleiche Zahl steht.
(d) Was ändert sich, wenn wir statt natürlichen Zahlen ganze Zahlen verwenden? Was
passiert, wenn wir nur den Teil des Zahlenstrahls verwenden, der zu den natürlichen
Zahlen gehört?
(e) Beweisen Sie: Jede natürliche Zahl m > 1 besitzt einen kleinsten Teiler p (ungleich
√
1). Dieser Teiler ist eine Primzahl. Im Falle m 6= p gilt sogar p ≤ m.
1
Hausaufgabe 1: Teilen mit Rest für ganze Zahlen
In dieser Aufgabe wollen wir die Aussage von Satz 1.1 aus der Vorlesung für ganze
Zahlen a ∈ Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} erweitern. Für den Teiler m verlangen wir
weiterhin m ∈ N und m > 0.
(a) Formulieren Sie die neue Aussage als Satz.
(2 Punkte)
(b) Überprüfen Sie, ob sich der Beweis von Satz 1.1 auf den neuen Satz übertragen
lässt. Woran scheitert dies?
(3 Punkte)
(c) Passen Sie das nicht übertragbare Argument an und beweisen Sie den Satz aus
Aufgabenteil (a).
(3 Punkte)
Hausaufgabe 2: Dividieren mit Kongruenzen
In Lemma 1.4 haben wir gesehen, dass wir mit Kongruenzen addieren und multiplizieren können, d. h., wenn wir den Rest von a + b oder a b beim Teilen durch m wissen
wollen, reicht es aus die Reste von a und b zu kennen.
In dieser Aufgabe sollen Sie experimentieren ob dies auch für das Dividieren zutrifft.
(a) Es sei eine ganze Zahl a ∈ Z gegeben, sodass 5 a ≡ 3 mod 7 gilt. Finden Sie den
Rest den a geteilt durch 7 lässt und begründen Sie Ihre Antwort.
(3 Punkte)
(b) Es sei eine ganze Zahl a ∈ Z gegeben, sodass 4 a ≡ 4 mod 10 gilt. Welche Reste
kann a geteilt durch 10 lassen?
(3 Punkte)
(c) Warum gibt es keine ganze Zahl a ∈ Z, sodass 4 a ≡ 3 mod 10 gilt?
(2 Punkte)
Hausaufgabe 3: Fehler im Beweis #1
Finden Sie den Fehler im folgenden Beweis.
(2 Punkte)
Satz
Alle reellen Zahlen sind gleich.
Beweis: Es seien zwei beliebige Zahlen a, b ∈ R gegeben. Dann gilt:
−a b = −a b
⇒
a2 − a2 − a b = b2 − b2 − a b
⇒
2
⇒
2
a − a (a + b) = b − b (a + b)
a + b 2
a + b 2
a2 − a (a + b) +
= b2 − b (a + b) +
2
2
a + b 2 a + b 2
a−
= b−
2
2
a+b
a+b
a−
=b−
2
2
a = b.
Somit sind die Zahlen a und b gleich.
⇒
⇒
⇒
2