Woche 2 – 3. Stunde: Lineare Gleichungen mit Formvariablen

Woche 2 – 3. Stunde: Lineare Gleichungen
mit Formvariablen
Es bietet sich an dieses Thema in zwei Schritten zu bearbeiten. Der erste
Schritt wäre mit den SchülerInnen zu erarbeiten, wie man in gegebenen
Gleichungen mit Formvariablen umgeht, der nächste wäre, wie man mit
Textaufgaben, in denen Formvariablen vorkommen, umgeht. Dazu bedarf
es natürlich auch noch einen „Schritt 0“, mit den SchülerInnen klären, was
überhaupt Formvariablen sind und welche Eigenschaften sie haben/auf
was man bei ihnen grundsätzlich achten muss.
Schritt 0 – Definitionen ins Heft übertragen
Neben der Unbekannten kann eine Gleichung auch eine Formvariable
(=Parameter) enthalten. Diesen bezeichnet wir mit a. Parameter sind
unbestimmt Zahlen (Variable), die in der Rechnung wie Konstante
behandelt werden. Das heißt die Gleichung wird weiterhin nach x gelöst, a
nimmt dabei den Platz einer „Zahl“ ein.
Wir haben schon bei Gleichungen ohne Formvariable gelegentlich diverse
Fälle betrachtet z.B. bei der Bestimmung der Definitonsmenge
(Gleichungen mit Bruchthermen). Man gibt an in welchen Fall die
Geleichung definiert ist und in welchen nicht.
Beim Lösen von Gleichungen mit Formvariablen hat man nicht nur darauf
zu achten, dass die gegebene Gleichung definiert ist, sondern auch
darauf, ob der gewünschte Umformungsschritt für jeden Wert der
Formvariablen ausgeführt werden kann. Dazu löst man die Gleichung wie
gewohnt und überlegt sich dann für welche a die Lösung definiert ist (Sinn
macht) und für welche nicht. Letztere sind dann auszuschließen.
Formvariablen sind Parameter, unbestimmte Zahlen. Sie sind keine
Unbekannten, nach denen die Gleichung gelöst wird! Die Variable
(Unbekannte) ist damit abhängig von der Formvariable.
Eine Gleichung muss nicht für alle Werte einer Formvariable lösbar sein.
Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 1 Schritt I – Formvariablen in gegebenen Gleichungen
Beispiel: Dazu, dass eine Gleichung nicht für alle a (und x) definiert sein
muss.
Beispiel:
Frage an die SchülerInnen: Für welche x ist diese Gleichung definiert?
Antwort: für alle x≠0
Weiterführende Frage an die SchülerInnen: Für welche a ist diese
Gleichung nicht definiert?
Antwort: für a ≠ 0
Für welche a und für welche x ist die Gleichung definiert?
Für alle x ≠ 0 und für alle a ≠ 0
Konkretes Beispiel als Anschauung mit den SchülerInnen zu rechnen:
Löse x2 +2ax + (a2 – a + 3) = 0 nach x, in Abhängigkeit von der
Formvariable a!
Die Lösung ist für alle x und a
definiert.
Schritt 1: Lösen wie eine normale Gleichung nach x.
2
2
,
4
4
3
3
,
,
Formvariablen √
3
Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 2 Da die Wurzel nur dann gezogen werden kann, wenn (a-3)>0 ist, kann
man nun mehrere Fälle für die Lösung unterscheiden, dabei muss der
unmöglichen Fall in
einbeziehen:
Schritt 2: Lösungsfälle unterscheiden
Fall 1:
3
0 3: 3,
Fall 2:
3
0 3: Fall 3:
3
0 3: die Gleichung hat keine Lösung in
√
,
,
√
3
3
3,
3 ü √
√
3 ü ,
ü 3
3
3
Die Schwierigkeiten bestehen hier zuallererst im Erkennen der besten
Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung, hier die kleine
Lösungsformel. Die nächste weitaus größere Schwierigkeit für die
SchülerInnen besteht im erkennen, was in dieser Gleichung p und was q
(Laut kleiner Lösungsformel) ist. Hier: p=2a und q=(a2 – a+ 3). Nachdem
dies von den SchülerInnen erkannt worden ist, sollte das Anwenden der
Formel kein Problem mehr sein.
Dass die Diskriminante die Lösungsfälle einer quadratischen Gleichung
bestimmt sollten die SchülerInnen in dieser Stunde bereits wissen.
Hier erachte ich es nicht als Notwendig, eine Lösungsmenge
aufzuschreiben. Viele Schulbücher verlangen hier eine Lösungsmenge,
wenn aber gekennzeichnet ist, welcher Fall betrachtet wird, erscheint mir
ein zusätzliches Angeben einer Lösungsmenge für die SchülerInnen nicht
als notwendig, die Überlegungen haben sie ja schließlich bereits
vollständig und konkret durchgeführt. Beim ersten Vorrechnen an der
Tafel ist es aber sinnvoll sie noch anzugeben, damit die SchülerInnen
wissen, was das Schulbuch verlangen würde. Außerdem kann es immer
sein, dass für das nächste Schuljahr ein LehrerInnenwechsel stattfindet
und der nächste Lehrer/die nächste Lehrerin eine Lösungsmenge verlangt.
Die SchülerInnen sollen nun noch für a konkrete Zahlen einsetzen, um das
Verständnis der Formvariable zu vertiefen, um zu verstehen, dass sie
wirklich als Platzhalter für eine Zahl dient.
Setzt nun ein: (1) a = 0, (2) a = 3, (3) a=7
Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 3 Nun sollen SchülerInnen selbständig ähnliche Aufgaben lösen.
Arbeitsauftrag: Löst die folgenden Aufgaben aus dem Buch und setzt je
zwei der angegeben expliziten Werte für a ein.
2.60 a) 2
2.63 b) 7
0
3
7
3
0 Schritt II - Textaufgaben
Der nächste Schritt besteht darin, dass die SchülerInnen Formvariablen
auch in Textaufgaben anwenden können beziehungsweise auch aus
Textaufgaben Gleichungen mit Formvariablen herleiten können.
Dazu betrachten wir folgendes Beispiel:
Beispiel: Bernhard behauptet: „In meiner Klasse gibt es um die Hälfte
mehr Burschen als Mädchen, insgesamt 24 Schüler.“ Wie viele Mädchen
gehen in seine Klasse?
Gleichung nach x:
x…Anzahl der Mädchen
1
·
2
5
·
2
24 24 9,6
Das kann aber nicht stimmen, weil x eine natürliche Zahl sein muss, da es
sich um die Anzahl der Mädchen in Bernhards Klasse handelt. Und 9
Mädchen und 0,6 eines Mädchens ist unrealistisch, das leuchtet Schülern
ein.
Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 4 Die Schwierigkeiten können sich hier natürlich beim Aufstellen der
Gleichung ergeben, da viele SchülerInnen Schwierigkeiten haben, aus
einem Text eine Gleichung aufzustellen. Textgleichungen wurden aber in
der Stunde davor behandelt, die Schwierigkeiten der SchülerInnen sollten
sich also in relativen Grenzen halten.
Suchen wir also eine ganzzahlige Lösung und gehen davon aus, dass sich
Bernhard bei der Anzahl seiner Mitschüler vertan hat, aus welchem Grund
auch immer.
Suchen jetzt Lösung in Abhängigkeit zur SchülerInnenzahl der Klasse.
1
·
2
|:
·
2
·
5
a muss also ein Vielfaches von 5 sein.
Die Schwierigkeit kann hier vor allem im letzten Schritt passieren, da in
diesem Beispiel keine Fallunterscheidung gemacht wird, da es nur einen
Fall geben kann. Dieser lautete, dass a ein Vielfaches von 5 sein muss.
SchülerInnen können hier Schwierigkeiten beim Verständnis sein und
fragen: Warum muss a ein Vielfaches von 5 sein. Den SchülerInnen muss
hier klar gemacht werden, dass sie hier darauf achten müssen, wofür die
Formvariable steht. Da sie in diesem Fall für Personen, die
SchülerInnenanzahl einer Klasse steht, muss sie eine ganze Zahl sein,
sogar eine natürliche Zahl. Da x aber ebenfalls für eine Personenanzahl
steht, muss auch x eine natürliche Zahl sein. Um das zu erreichen muss a
ein Vielfaches von 5 sein, ansonsten kann x nie eine natürliche Zahl sein,
es würde eine Kommazahl entstehen, der Nenner sich nicht wegkürzen.
Dann sollen die SchülerInnen noch ähnliche Beispiele aus dem Buch
rechnen.
Hausübung werden sowohl gegebene Gleichungen mit Formvariablen, als
auch Textaufgaben mit Formvariablen sein.
Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 5 Lernzielkontrolle (zu Woche 2 ‐ 3. Stunde, Lineare Gleichungen mit Formvariablen) Beispiel Gegeben ist eine quadratische Gleichung:
·
4·
1
0 ,
0
Aufgabenstellung:
Gib alle Werte von a an, für die die quadratische Gleichung zwei reelle
Lösungen, genau eine reelle Lösung, keine reelle Lösung hat:
¾ zwei reelle Lösungen
für a …………………
¾ genau eine reelle Lösung
für a …………………
¾ keine reelle Lösung
für a …………………
Formvariablen Martina Graner, Nadine Pacher, Andrea Berger Seite 6