14 – Linsen und optische Geräte Die Gesetze der Reflexion und

14 – Linsen und optische Geräte
Die Gesetze der Reflexion und Brechung sind die Grundlage zur Erklärung der Funktion vieler optischer Geräte. Wir diskutieren insbesondere das Vergrößerungsglas, das menschliche Auge, das Teleskop und das Mikroskop.
14.1 – Dünne Linsen
Die dünne Linse ist das wichtigste optische Einzelgerät. Ihre Anwendung geht auf das sechzehnte und siebzehnte Jahrhundert zurück. Transparente Schmucksteine mit sphärischen Oberflächen als “Brillen” mag man schon viele Jahrhunderte früher angewendet haben.
Eine dünne Linse hat in der Regel einen kreisförmigen Querschnitt. Ihre Flächen sind meist Kugelsegmente, obwohl sie auch zylindrisch oder flach (zumindest eine der Flächen) sein können. Wir konzentrieren uns auf solche Linsen mit Kugelsegmentflächen.
Wir betrachten zunächst den Strahlengang in einer bi­konvexen Linse für ein Objekt, das unendlich weit von der Linse entfernt ist. Die auf die Linse treffenden Strahlen sind parallel zur optischen Achse. Die Linse sei aus (transparentem) Glas oder Kunststoff, d.h. ihr Brechungsindex ist größer als der von Luft.
Damit achsenparallele Strahlen (näherungsweise) in einem einzigen Punkt – dem Brennpunkt – zusammenlaufen, muss der Krümmungsradius der Linsenflächen viel größer als der Durchmesser der Linse sein. Eine dünne Linse erfüllt dieses Kriterium.
F
Strahlenverlauf in dünner Linse bei achsenparallelen Strahlen.
Hauptebene der Linse
Die Strahlen von einem weit entfernten Objekt sind (in guter Näherung) parallel, allerdings müssen sie nicht parallel zur optischen Achse auf die Linse treffen. In diesem Fall erfolgt die Abbildung auf einen Punkt in der Fokalebene, d.h. eine Ebene durch den Brennpunkt parallel zur Hauptebene der Linse. Das kann verwendet werden, um den Strahlengang eines beliebigen Strahls zu ermitteln (siehe Abb.).
Be
Hil
fss
lieb
tra
hl
ige
r S
t
rah
Fokalebene
l
Die Brennweite f einer Linse kann durch Feststellen des Punktes ermittelt werden, wo die Strahlen der Sonne zusammenlaufen. Ebenso gut geeignet ist jede andere Lichtquelle, deren Strahlen parallel zur optischen Achse der Linse einfallen.
Beim Umdrehen einer dünnen Linse ergibt sich die gleiche Brennweite, auch wenn die Krümmungsradien der Linsenflächen nicht auf beiden Seiten gleich sollten.
Wir unterscheiden Sammel­ und Zerstreuungslinsen.
Sammellinsen sind am Rand dicker als in der Mitte. Im einfachsten Fall sind sie konvex. Sie brechen Licht stets zur optischen Achse hin. Zerstreuungslinsen sind am Rand dünner als in der Mitte (konkav). Sie brechen das Licht von der optischen Achse weg. Ihr Brennpunkt ergibt sich aus der rückseitigen Verlängerung der gebrochenen Strahlen als Schnittpunkt mit der optischen Achse.
F
Der Kehrwert der Brennweite einer Linse definiert ihre Brechkraft P in Dioptrie (D)
P=
1
f
Demnach ist 2 D die Brechkraft einer Linse von 50 cm Brennweite.
Zur Konstruktion des Bildes, das eine Linse von einem Gegenstand macht, verwenden wir mindestens für einen beliebigen Objektpunkt zwei der folgenden drei ausgezeichneten Strahlen. Der Schnittpunkt der Strahlen definiert dann den Bildpunkt.
(1) Mittelpunktstrahl (Strahl durch die Linsenmitte); er wird nicht gebrochen.
(2) Parallelstrahl; verläuft nach der Brechung durch den bildseitigen Brennpunkt.
(3) Brennpunktstrahlen (Strahlen durch den objektseitigen Brennpunkt); verläuft nach der Brechung achsenparallel.
Mit diesen Regeln lässt sich auch für einen beliebig einfallenden Strahl der gebrochene Strahl konstruieren. Man benutzt dazu als Hilfsstrahl den parallel zum betrachteten Strahl einfallenden Mittelpunktsstrahl. Beide Strahlen kann ein gemeinsamer Dingpunkt im Unendlichen zugeordnet werden. Der zugehörige Bildpunkt ist der Schnittpunkt des gebrochenen Strahls (bzw. seiner rückwärtigen Verlängerung bei der Zerstreuungslinse) mit dem Mittelpunktstrahl; er liegt in der bildseitigen Brennebene.
Strahlenverlauf Sammellinse
Strahlenverlauf Zerstreuungslinse
F'
F
F
Wie auch beim Spiegel unterscheiden wir reelle und virtuelle Bilder. In den Abbildungen entsteht links – bei der Sammellinse – ein reelles Bild. Es kann direkt auf einer Mattscheibe sichtbar gemacht werden. Rechts – bei der Zerstreuungslinse – ist das Bild virtuelle. Es kann nur über eine weitere abbildende Optik, wie das Auge, von rechts auf die Linse blickend beobachtet werden.
14.2 – Linsengleichung
Wir leiten nun die Linsengleichung ab. Sie setzt die Gegenstandsweite und Bildweite mit der Brennweite in Beziehung. Wieder verwenden wir einige Dreiecksrelationen.
O'
B
hO
F
O
F'
I
A
hB
I'
f
dO
dB
Aus den Dreiecken FI'I und FBA lesen wir ab
h B d B− f
=
hO
f
Da die Dreiecke OAO' und IAI' ähnlich sind gilt weiterhin
hB d B
=
hO d O
Die beiden rechten Ausdrücke können gleich gesetzt werden und wir erhalten nach leichter Umformung
1
1
1
 =
dO d B f
Diese Linsengleichung entspricht der analogen Gleichung für die Abbildung am Spiegel.
Hörsaal­Übung: Wie lautet die Linsengleichung für eine Zerstreuungslinse?
Die Linsengleichung für die Sammel­ und Zerstreuungslinse können in einen gemeinsamen Ausdruck überführt werden, wenn wir die folgende Vorzeichenkonventionen verwenden:
1. Die Brennweite einer Sammellinse ist positiv, die einer Zerstreuungslinse ist negativ.
2. Die Gegenstandsweite ist positiv, wenn der Gegenstand auf der Seite steht, wo das Licht herkommt, sonst ist sie negativ.
3. Die Bildweite ist positiv, wenn das Bild auf der der Lichtrichtung gegenüberliegenden Linsenseite entsteht, sonst ist sie negativ. Das ist äquivalent dazu, dass die Bildweite positiv für ein reelles und negativ für eine virtuelles Bild ist.
4. Die Bildhöhe ist positiv, wenn das Bild die gleiche Ausrichtung wie der Gegenstand hat, sonst ist sie negativ.
Die (laterale) Vergrößerung m einer Linse ist, wie auch beim Spiegel, über das Verhältnis zwischen Bild­ und Objekthöhe definiert
hB
dB
m = =−
hO
dO
m ist positiv für ein Bild, das die gleiche Ausrichtung wie der Gegenstand hat.
Für die Brechkraft der Linse ergibt sich aus der Vorzeichenkonvention eine positive Brechkraft für eine Sammellinse und eine negative Brechkraft für eine Zerstreuungslinse.
Hörsaal­Übung: Welche Beziehungen zwischen Bild­ und Gegenstandsweite bzw.
Bild­ und Gegenstandshöhe lassen sich für eine Sammellinse (Zerstreuungslinse) für die
folgenden Fälle angeben:
(a) dO , (b) dO = 2f, (c) dO  f, (d) dO < f.
14.3 – Linsenkombinationen
Wenn wir mehrere Linsen kombinieren können wir ganz allgemein das Bild wie folgt konstruieren. Wir finden zuerst das Bild, das die erste Linse erzeugt. Dieses wird zum Objekt der zweiten Linse. Dann konstruieren wir das Bild dieses Objekts usw..
Die Gesamtvergrößerung ergibt sich aus dem Produkt der einzelnen Vergrößerungen.
Für ein Zweilinsensystem leiten wir nun für die Brennweite f des Systems einen Ausdruck ab, der sich aus den Einzelbrennweiten f1 und f2 und dem Linsenabstand d ergibt. Wir bestimmen ausserdem, wo eine effektive Einzellinse der Brennweite f platziert sein muss, um das gleich Bild zu erzeugen, wie das Linsensystem.
0

y
d
h
f

F
H2
H1
H
f1
 F
1
f2+d
F2
l
x
Wir lesen aus der Zeichnung ab
tan =
h
f −d
tan =
l
f 2− f  d
=
h
f 1− d
=
l
f2
f 2 d − f
l
=
h
f −d
f2
l
  h
=
f 1− d
Gleichsetzen der beiden rechten Seiten und Auflösen nach f liefert
f=
f 1 f 2 − d 2  df 1
f 2  f 1− d
Wir lesen weiterhin aus der Zeichnung ab
tan =
tan =
h
f −d
h
=
f 1− d
y
f −
=
y
f1
  h f −d
=
y f −
h f 1− d
y
=
f1
Wir setzen wieder die beiden rechten Seiten gleich und lösen nach  auf
= f −
f −d
f
f 1− d 1
Wir sehen also:
Der Brennpunkt der effektiven Linse liegt bei . Die Brennweite ist der Abstand zur Hauptebene der effektiven Linse, also feff = f ­ .
Setzen wir die beiden erhaltenen Gleichungen ein, so ergibt sich für die Brennweite feff
f eff =
f1 f2
f 1 f 2 − d
Geht der Linsenabstand gegen 0, so erhält man also einfach feff über die Summe der Brechkräfte der Einzellinsen
P eff = P 1 P 2 für d  0
14.4 – Linsenmachergleichung
In diesem Abschnitt wollen wir beweisen, dass achsenparallele Strahlen in einem Punkt, eben dem Brennpunkt, einer dünnen Linse zusammenlaufen. Wir werden ausserdem einen Zusammenhang zwischen den Krümmungsradien der Linsenflächen und der Brennweite ableiten, die sogenannte Linsenmachergleichung.
Wir betrachten den Strahlenverlauf eines achsparallelen Strahls, der zunächst bei A1, dann bei A2 gebrochen wird und durch den Punkt F läuft. Der Brechungsindex der Linse sei n. Das umgebende Medium sei Luft (mit n = 1). Die Höhen der Punkte A1 und A2 über der optischen Achse sind h1 und h2. Dem Grenzfall der dünnen Linse folgend sind alle Winkel klein, so dass Sinus und Tangens eines Winkels gleich dem Winkel in Radiant sind, also bspw. gilt
sin  x ≈ tan  x ≈  x
mit x = 1, 2, 3 oder 4.
Wir verwenden das Brechungsgesetz und erhalten (siehe Zeichnung nächste Seite)
1 = n  2
 4 = n 3
1
A1

A2

h1
4
3
h2
1

F
C1
C2
Aus der Zeichnung können wir weiterhin ablesen
1≈ sin 1 =
≈
≈
h1
R1
h2
R2
h2
f
mit den Krümmungsradien R1 und R2 der Linsenflächen und dem Abstand f zwischen der Linsenmitte und dem Punkt F.
Ebenfalls lesen wir aus dem Diagramm ab
 = 1 −  2
 = 3 − 
4 =   
Wir kombinieren diese Gleichungen und erhalten
 = 3 −  =
4
n



n
−1− 2 =  −1 2
Bzw. unter Verwendung der Längen­Winkel­Beziehungen
h2
R2
=
h2
nR 2

h2
nf
−
h1
R1

h1
nR1
Für die dünne Linse ist ja h1  h2 und wir können alle h's wegkürzen. Multiplikation mit n und Umstellung liefert uns die gesuchte Linsenmachergleichung

1
1
1
=n −1 
f
R1 R 2

Die Gleichung setzt f mit den Krümmungsradien in Beziehung. Da f nicht von h1 und h2 abhängt ist die Brennweite für alle achsparallelen Strahlen gleich (q.e.d.).
Es fällt noch auf, dass die Gleichung in R1 und R2 symmetrisch ist. Deshalb hat eine dünnen Linse auf beiden Seiten die gleiche Brennweite.
Anmerkung:
Für Linsen mit konkaven Flächen ist der Krümmungsradius negativ einzusetzen.
14.5 – Auge
Das Auge, als biologisches optisches Instrument, ist weder perfekt in seiner Form noch sind seine optischen Elemente sehr gut zentriert (jede Einmalkamera ist besser). Durch hochentwickelte Regelmechanismen sind viele dieser Unzulänglichkeiten sehr gut kompensiert. Vor allem arbeitet das Auge in einem Leuchtdichtebereich, der fast 15 Zehnerpotenzen umfasst und bislang von keinem physikalischen Gerät kopiert werden konnte.
Den Hauptbeitrag zur Brechung leistet die Hornhaut, die an Luft grenzt. Ihre Brechkraft überschreitet 40 dp.
● Weitere 15 dp sind mittels des Ringmuskels (Ziliarmuskel) um die Linse regelbar vorhanden. Der Ziliarmuskel ändert die Linsenkrümmung. Im entspannten Zustand ist die Linse am flachsten; sie ist dann auf den Fernpunkt akkomodiert. Erreicht die Linse ihre größte Krümmung, so ist sie auf den Nahpunkt akkomodiert.
● Die Iris kontrolliert u.a. die Schärfentiefe. Sie regelt den Pupillendurchmesser zwischen 1 mm und 8 mm.
●
Fehlsichtigkeit liegt dann vor, wenn der Fernpunkt nicht im Unendlichen liegt.
Es gibt zwei Möglichkeiten:
(a) der Fernpunkt liegt ausserhalb des Akkomodationsbereichs und es kommt zur Kurzsichtigkeit (Myopie). Korrigiert wird dies durch eine Zerstreuungslinse.
(b) der Fernpunkt liegt innerhalb des Akkomodationsbereichs und es kommt zur Weitsichtigkeit (Hyperopie). Dies wird über eine Sammellinse korrigiert.
14.6 – Kamera
Die (Foto­) Kamera zählt sicher zu den beliebtesten optischen Geräten. Sie besteht aus einer Linse (1), einem lichtdichten Gehäuse, einem Verschluss (3) und einem lichtempfindlichen “Sensor” (4) (früher meist Fotofilm, heute meist ein CCD­Chip). Wir betrachten insbesondere das Prinzip der Abbildung in einer Spiegelreflexkamera. Es stellt sicher, dass durch den Sucher (8) derselbe Bildausschnitt beobachtet wird, der auf dem Sensor abgebildet wird.
Dazu wird durch einen Spiegel (2), der bei der Belichtung zusammen mit dem Verschluss nach oben weggeklappt wird, das Bild umgelenkt und über 9
eine weitere Optik bestehend aus Linse(n) (5,6) und Umlenkprisma (7) auf den Sucher abgebildet.
Wesentlich für die Belichtung ist die Größe der Blendenöffnung D (9).
Blende
Lichtweg ohne Blende
Die Blendenzahl f/D bestimmt u.a. die Schärfentiefe der Abbildung. Siehe dazu die nebenstehende Zeichnung.
Lichtweg mit Blende
(Vordere) Schärfentiefe
mit Blende
Unschärfenkreise < 0,1 mm
werden als scharfe Punkte
angesehen.
(Vordere) Schärfentiefe
ohne Blende
14.7 – Vergrößerungsglas
Ein Vergrößerungsglas ist eine Sammellinse. Ihr Funktionsprinzip basiert auf der folgenden Überlegung:
Ein Objekt erscheint uns umso größer, je größer sein Bild auf der Netzhaut ist. Das wiederum hängt vom Winkel ab, unter dem das Objekt dem Auge erscheint. Wollen wir ein Objekt im Detail betrachten, so bringen wir es nahe vor die Augen, um den Sehwinkel möglichst groß zu machen. Unser Auge kann aber nicht auf beliebig nahe Punkte akkomodieren. Das Vergrößerungsglas (Lupe) hat deshalb die Aufgabe, den Sehwinkel zu vergrößern. Wir betrachten dazu die folgende Abbildung.
Lupe
Auge
hB'
σ'
F
hO
F'
dB < 0
dO
Die Verwendung der Sammellinse als Lupe setzt voraus, dass die Gegenstandsweite dO des Objekts kleiner ist als die Brennweite f. Der Winkel ' unter dem das entstehende virtuelle Bild dem Auge erscheint ist gegenüber dem Sehwinkel  des Objektes selbst um die Winkelvergrößerung M vergrößert
M=
'

Dabei geht man davon aus, dass Auge und Lupe sehr dicht aneinanderliegen (nahezu am gleichen Ort). Wir lesen aus der Zeichnung für kleine Winkel ab
 '≈
h B hO
=
∣d B∣ d O
Wir gehen im folgenden davon aus, dass das Bild in der Bezugssehweite S = 25 cm entsteht (dB = S). Dem “unbewaffneten” Auge erscheint das Objekt in der Bezugssehweite unter dem Winkel  = hO/S. Wir erhalten für die Vergrößerung:
M=
hO / d O
hO / S
=
S
dO
Die Vergrößerung hängt also von der Gegenstandsweite ab. Das völlig entspannte (nicht fehlsichtige) Auge wird auf unendlich akkomodieren. Dies setzt dO = f voraus und wir erhalten die Normalvergrößerung der Lupe:
M N=
S
f
Je kürzer die Brennweite einer Lupe, desto höher ihre Vergrößerung. Allerdings sind einzellinsige Lupen auf Vergrößerungen bis ca. 3fach beschränkt, weil sonst die sphärische Aberration sehr deutlich sichtbar wird.
Ein wenig kann die Vergrößerung erhöht werden, wenn das Auge auf den Nahpunkt akkomodiert. Wir haben in diesem Fall
1
1
1
1 1
= − = 
dO f d B f S
So dass sich für die Vergrößerung ergibt
M=

1 1
S
=S 
f S
dO
=
M N 1
Hörsaal­Übung: Welche Vergrößerung hat eine Juwelierslupe mit 8 cm Brennweite?
Anmerkung aus Publikum: Lupen mit Mehrfachlinsen erreichen nutzbare Vergrößerungen bis ca. 20fach.
14.8 – Teleskop
Das Teleskop (Fernrohr) bildet Objekte vergrößert ab, die vom Beobachter sehr weit entfernt sind. Oftmals können die Objekte als unendlich weit entfernt angesehen werden (Sterne, Planeten, Nebel etc.).
Galileo Galilei hat das Teleskop zwar nicht erfunden, es aber doch in ein tatsächlich verwendbares Gerät weiterentwickelt, nachdem er um 1609 davon gehört hatte, das in den Niederlanden ein Teleskop gebaut worden war. Das niederländische Teleskop wiederum mag selbst auch nur eine Kopie eines italienischen Teleskops, entstanden um 1590, gewesen sein.
Das Funktionsprinzip des Teleskops basiert auf zwei Linsen erforderlich: Das Objektiv erzeugt eine reelles, umgekehrtes Zwischenbild hB' vom Objekt; das Okular wird als Lupe zur Betrachtung dieses Zwischenbildes benutzt (siehe nächste Seite). Die Länge des Tubus ist somit durch die Summe der Brennweiten von Objektiv und Okular bestimmt.
Das Bild ist zwar (natürlich) kleiner als das Objekt, erscheint dem Okular aber unter einem vergrößerten Sehwinkel. Dieser Sehwinkel wird durch das Okular für das Auge nochmals vergrößert.
Das Bild steht beim sogenannten Keplerschen Teleskop (mit zwei Sammellinsen) auf dem Kopf. Dieser Teleskoptyp wird vorwiegend für astronomische Beobachtungen eingesetzt. Beim Galileischen Teleskop ist das Okular eine Zerstreuungslinse. Das Bild steht dann aufrecht. Dieser Teleskoptyp wird für terrestrische Beobachtungen verwendet.
Hörsaal­Übung: Wie ist der Strahlengang in einem Galileischen Teleskop?
Keplersches Teleskop
Auge
σ'
σ
FOb, FOk
hB'
Das Verhältnis der Sehwinkel ergibt wiederum die Vergrößerung
M=
f
 ' h B ' / f ok
=
= obj
 h B ' / f obj f ok
Ein hohe Vergrößerung lässt sich also nur mit einer großen Objektivbrennweite und kleinen Okularbrennweite erzielen.
Insbesondere astronomische Teleskope müssen oftmals lichtschwache Objekte mit großer Winkelausdehnung (Galaxien, Nebel, Sternfelder etc.) abbilden. Die Vergößerung ist deshalb ein sekundäres Designmerkmal, vielmehr ist eine große Öffnung (d.h. großer Objektivdurchmesser) wesentlich. Das lässt sich mit Linsen nicht mehr erreichen, da diese sich – aus Vollmaterial bestehend – unter ihrem eigenen Gewicht verformen würden. Die größten Teleskope sind deshalb Spiegelteleskope. Das zur Zeit größte ist auf Hawai zu finden. Das Keck­Observatorium besitzt zwei Spiegelteleskope mit je 10 m Spiegeldurchmesser. Es befindet sich auf dem Mauna Kea in über 4000 m Höhe. Die Hauptspiegel sind aus jeweils 36 wabenförmigen Einzelspiegeln zusammengesetzt. Jedes Segment hat 1,8 m Durchmesser und wiegt 400 kg. Die Spiegel sind selbst beweglich (adaptive Optik) und können dadurch den Einfluss von Dichteschwankungen in der Atmosphäre auf die Bilder zum Teil kompensieren. Die Teleskope arbeiten im sichtbaren und (nahen) Infrarotbereich.
Keck­Hauptspiegel
Keck­Observatorium
Für Hobbyastronomen kommen meist Spiegelteleskope der Newton­Bauform mit Kugelspiegeln zum Einsatz. Sie haben ein “unschlagbares” Öffnungs­zu­Preis­Verhältnis. Zu bezahlen ist das mit beträchtlichen Bildfehlern (Koma) für Randnahe Sterne und andere Objekte. Dies kann zum Teil durch die Verwendung spezieller Okularvorsätze (Koma­Korrektoren) kompensiert werden.
Der Strahlenverlauf im Spiegel ist unten dargestellt. Das durch den Hauptspiegel erzeugte Zwischenbild wird über den (planen) Sekundärspiegel aus dem Tubus seitlich ausgespiegelt und dort mit dem Okular betrachtet.
Der Sekundärspiegel erzeugt keine Abschattung von Objekten, die ja im unendlichen liegend angesehen werden können und von denen in jedem Fall Licht in den Tubus gelangt. Allerdings reduziert er die auf den Hauptspiegel auffallende Lichtmenge und damit das Lichtsammelvermögen des Teleskops.
Als grobe Faustformel gilt (wegen des endlichen Lichtsammelvermögens und der Beugungsbegrenzung), dass die sogenannte förderliche Vergrößerung eines Newton­Teleskops bei dem 1,5 ­ 2fachen der Hauptspiegelbrennweite (in cm) liegt.
14.9 – Mikroskop
Um höhere Vergrößerungen zu erzielen, als mit einer Lupe erreicht werden können, wird beim Mikroskop das Objekt mit einem Objektiv und einem Okular zweistufig abgebildet. Das ist ganz analog der Vorgehensweise beim Teleskop. Allerdings ist der Unterschied, dass das zu betrachtende Objekt sehr klein ist und unmittelbar vor dem Objektiv platziert wird. Das Objektiv erzeugt ein reelles, umgedrehtes, vergrößertes Zwischenbild y'. Dieses Zwischenbild wird mit dem Okular betrachtet, das als Lupe wirkt.
Tubuslänge t
Auge
Fobj
Fok'
Fobj'
dO
dB
Strahlengang im Mikroskop, gezeichnet für vollständig entspanntes Auge.
Fok
Das vom Objektiv erzeugte Zwischenbild ist reell und bereits stark vergrößert. Es wird durch das Okular nochmals vergrößert, ist virtuell und gegenüber dem Objekt auf dem Kopf stehend.
Die Vergrößerung des Mikroskops erhalten wir aus der (lateralen) Vergrößerung der Objektivlinse mobj
y ' d B t − f ok
m obj= = =
y dO
dO
(wobei dB und dO wie üblich für die Bild­ und Gegenstandsweiten stehen und t die Tubuslänge meint), sowie der Winkelvergrößerung Mok des Okulars bezogen auf die deutliche Sehweite S
M ok =
S
f ok
Die gesamte Winkelvergrößerung ist nun das Produkt aus mobj und Mok:
M = m obj M ok =
t − f ok  S
d O f ok
Dies lässt sich noch nähern, wenn wir berücksichtigen, dass gilt
max { f obj , f ok }≪ t , d O≈ f obj
Die Objektivbrennweite liegt im Bereich von mm und die Okularbrennweite im Bereich von wenigen cm. Die Tubuslänge liegt im Bereich der deutlichen Sehweite, also 25 cm. Das Objekt selbst ist sehr nahe am Objektivbrennpunkt. Die Näherung ist umso besser, je höher die Vergrößerung ist, da in diesem Fall das Produkt fokfobj möglichst klein gemacht wird, also beide Brennweiten klein werden.
Wir erhalten damit für die Winkelvergrößerung
M≈
tS
f ok f obj
Wegen des großen Sehwinkels am Objektiv muss dieses bzgl. der sphärischen und chromatischen Aberration gut korrigiert sein. Zu diesen Bildfehlern später mehr.
Die mit einer Einzellinse erreichbare sinnvolle Vergrößerung ist durch mehrere Umstände beschränkt. Letztlich ist das der Grund, warum man nicht einfach nur eine „sehr starke“ Lupe nehmen kann:
● die Lichtstärke sinkt mit der Vergrößerung
● Linsen können keine beliebig kurze Brennweiten haben
● der Tubus kann nicht beliebig lang werden
● Abbildungsfehler wachsen mit der Vergrößerung
Am Okular lässt sich unter Verwendung einer Doppellinse (Huygens Okular) statt einer Einzellinse eine Verbesserung des Bildes erreichen. Die erste Linse (Feldlinse oder Kollektivlinse) macht zunächst die vom Objektiv kommenden Strahlen noch etwas konvergenter und erzeugt ein Zwischenbild, das mit der Augenlinse als Lupe betrachtet wird.
Vorteile des Huygens­Okulars:
Vergrößertes Sehfeld
● Korrektur der sphärischen Aberration
● Korrektur der chromatischen Aberration.
●
Zusätzlich kann beim Huygens­Okular an der Position des Zwischenbildes nach der Feldlinse auch eine transparente Teilung (Glasplatte) angebracht werden. Da sie durch die Augenlinse mit dem Zwischenbild gemeinsam betrachtet wird, kann die Teilung zur Ausmessung des Bildes dienen.
Die Korrektur des Objektivs ist viel schwieriger. Es wird von einem breiten Lichtbündel durchsetzt. Es werden oft Linsensysteme mit mehr als 10 Einzellinsen aus verschiedenen Glassorten eingesetzt. Die resultierende Brennweiten liegen bis unterhalb 1 mm.
Immersionssysteme und Numerische Apertur
Präparate für die Mikroskopie sind häufig von einem Deckgläschen bedeckt. Der Strahlengang des von unten beleuchteten Objekts macht deutlich, dass beim Übergang Deckglas­Luft Totalreflexion eintreten wird. Diese begrenzt den nutzbaren Öffnungswinkels des Objektivs. Bei einem Immersionssystem wird eine Flüssigkeit mit angepasstem Brechungsindex (bspw. Zedernöl mit n = 1,5) aufgebracht. Totalreflexion bleibt aus und der Öffnungswinkel steigt. Damit steigt auch die Lichtstärke.
Totalreflexion
Die numerische Apertur NA eines Objektivs ist gegeben durch
NA= n sin 
α ist der Winkel zwischen dem äußersten Randstrahl und der optischen Achse. Die numerische Apertur ist auch für das Auflösungsvermögen des Mikroskops wesentlich. Dazu später mehr.
Kontrastverstärkung
Bei biologischen Präparaten ist oftmals nicht die Vergrößerung sondern der erzielbare Kontrast das Hauptproblem. Der Nachteil der Methode des Einfärbens ist, dass nahezu alle Färbemittel auch als Zellgift wirken und deshalb Vitalfärbung i.d.R. nicht möglich ist.
Oft lässt sich aber ausnutzen, dass verschiedenen Strukturelemente auch verschiedene Brechungsindizes haben und deshalb das Primärlicht streuen. Man verwendet den sogenannten Dunkelfeldkondensor, der das Primärleicht ausblendet. Nur am Objekt gestreutes Licht gelangt ins Objektiv.
(siehe auch Phasenkontrast als weitere Kontrastverstärkungsmethode.)
14.10 – Linsen­ und Spiegelfehler
Unsere Modelllinse vom Typ dünne Linse ist mit realen Linsen nur approximierbar. Es kommt deshalb zu einer ganzen Reihe von Linsenfehlern (Aberrationen). Auch bei Spiegeln haben wir uns auf Abbildungen mit achsennahen Strahlen und großen Krümmungsradien der Spiegel beschränkt. Reale Spiegel zeigen deshalb ebenfalls Aberrationen.
Jedes optische Element (Linse, Spiegel), dass auf Kugelsegmentflächen basiert zeigt eine sphärische Aberration. Dies bedeutet, dass parallele achsennahe und achsenferne Strahlen nicht auf einen Punkt, sondern auf eine Kreisfläche abgebildet werden. Der vertikale Strich gibt den Ort der geringsten Konfusion an, d.h. den Ort, wo der Durchmesser der Kreisfläche minimal ist.
Sphärische Aberration kann mittels nicht­sphärischer Oberflächen verhindert werden. Diese sind aber sehr schwer zu schleifen. Oftmals werden deshalb Linsen/Spiegel­Kombinationen verwendet, um diesen Bildfehler zu reduzieren.
Lichtstrahlen, die von einem Objektpunkt abseits der optischen Achse kommen, also als paralleles oder divergentes Strahlenbündel schräg zur optischen Achse einfallen, werden auch abseits dieser Achse gebündelt. Bei unvollkommenen optischen Systemen erfolgt diese Bündelung asymmetrisch. Das Bild eines Punktes (zum Beispiel das eines Sterns) wird verzerrt und hat, ähnlich wie das Bild eines Kometen, einen Schweif. Man nennt diesen Bildfehler Koma.
Es mag auch vorkommen, dass eine Linse ein Liniensystem aus aufeinander senkrecht stehenden Linien verzerrt, so dass die Linien zum Linsenrand hin nach innen oder aussen gekrümmt werden. Diese sogenannte Fass­ oder Kissenverzerrung (engl. barrel/pincushion disortion) ist ein Beispiel für den sogenannten (achsenfernen) Astigmatismus. Dieser spielt beim Auge übrigens keine Rolle, da nur in der Fovea – also sehr achsennah – scharf gesehen wird. Beim Auge ist die Hornhautverkrümmung verantwortlich für den dort auftretenden Astigmatismus.
Bei Röhrenmonitoren (d.h. Elektronenoptik!) tritt der achsenferne Astigmatismus sehr häufig auf. Deshalb hat (fast) jeder Monitor entsprechende Korrekturelemente.
Die eben geschilderten Fehler treten bei monochromatischen Licht auf. Sie werden deshalb als monochromatische Aberrationen genannt. “Normales” Licht ist nicht monochromatisch. Es kommt dann zusätzlich bei Linsen zur chromatischen Aberration.
Der Brechungsindex jeden Materials variiert mit der Wellenlänge (= Farbe) des einfallenden Lichts. Die Bestimmungsgleichung für die Brennweite einer Linse enthält den Brechungsindex n, der eigentlich als n(λ) geschrieben werden sollte, um die Abhängigkeit von der Wellenlänge zu betonen. Insofern ist die Brennweite auch von der Wellenlänge abhängig, so dass Licht verschiedener Wellenlänge in verschiedenen Punkten fokussiert wird. Das Bild eines Objektes erscheint dann mit farbigen Rändern um das Bild. Chromatische Aberration kann durch zwei direkt aneinanderstoßende Linsen, die einen zweilinsigen Achromaten bilden, reduziert werden. Die Materialien der beiden Linsen werden dabei derart gewählt, dass bei zwei Wellenlängen die Effekte beider Linsen sich gegenseitig kompensieren. Eine Fortentwicklung stellen so genannte apochromatisch korrigierte Linsen oder Apochromaten dar. In der klassischen Ausführung werden die Linsensysteme so berechnet, dass die Bilder bei drei Wellenlängen übereinstimmen, wodurch auch bei allen anderen Wellenlängen des sichtbaren Lichts der Fehler minimiert wird.