Skript zum Thema mechanische Energieformen

Mechanische Energieformen (Kurzüberblick)
Energieformeln
Energie
Für die wichtigsten mechanischen Energieformen haben wir durch Experimente im
Unterricht bzw. im Praktikum Berechnungsformeln entwickelt:
Es ist ausgesprochen schwierig, den Begriff Energie in allgemeiner Form zu
erklären. Tatsächlich ist es ein Kunstbegriff, den sich die Physiker ausgedacht
haben, um ein System in die unüberschaubare Fülle von Alltagsbeobachtungen zu
bringen. Man könnte Energie vielleicht als Fähigkeit, etwas zu bewirken,
bezeichnen. Wir nähern uns dem Begriff zunächst dadurch, dass wir verschiedene
Formen, in denen uns Energie begegnet, auflisten.
Höhenenergie:
wobei:
bzw.:
Energieformen (auch nicht-mechanische)





kinetische Energie:
in einer gespannten Feder steckt Spannenergie
in einem fahrenden Auto steckt Bewegungsenergie (kinetische Energie)
in einem hochgehobenen Ball steckt Höhenenergie
in Erdöl steckt chemische Energie
in einer Batterie steckt elektrische Energie
wobei:
Spannenergie:
wobei:
Energieumwandlung
Wir wissen aus der täglichen Erfahrung, dass sich diese Energien ineinander
umwandeln lassen. So kann eine gespannte Feder zum Beispiel ein Spielzeugauto
beschleunigen oder einen Pfeil abschießen. Die Höhenenergie, die wir am oberen
Ende des Skiliftes besitzen, kann in kinetische Energie (Geschwindigkeit)
umgewandelt werden. Eine Taschenlampe kann aus der elektrischen Energie in
einer Batterie Strahlungsenergie machen.
Die Leistung der Physik liegt nun darin, dass es gelang, diese Energie sinnvoll zu
quantifizieren. Durch ein gut aufeinander abgestimmtes System von Regeln
(Formeln) können wir nicht nur sagen „in dem geworfenen Ball steckt kinetische
Energie“, sondern wir können auch angeben, wie viel Energie genau darin steckt.
Dies erlaubt wiederum genau Vorhersagen, wie weit und wie hoch der Ball fliegt.
Diese quantitative Beherrschung von Energieumwandlungen ist heute eines der
zentralen Werkzeuge bei der Planung und Konstruktion von Verkehrsmitteln,
Geräten und Maschinen.
Mechanische Energieformen (Skript)
Eh  m  g  h  G  h
m: Masse des Körpers in kg,
g: Erdbeschleunigung (9,81m/s²),
h: Höhe in m
G: Gewichtskraft des Körpers in N
E kin  12 m  v 2
m: Masse des Körpers in kg
v: Geschwindigkeit des Körpers in m/s
E Sp  12 D  s 2
D: Federhärte in N/m (gibt an, wie hart die Feder ist)
s: Dehnung in m (Strecke, um die die Feder gedehnt wird)
Setzt man die entsprechenden Werte in die passende Formel ein, so erhält man den
Wert der Energie in der Einheit Joule (J). Das ist die Einheit, in der wir die Energiemenge angeben. Der Witz im ganzen System ist eben, dass 1 J Höhenenergie genauso viel wert ist, wie 1 J kinetische Energie. Bei einer Umwandlung von einer
bestimmten Menge Höhenenergie erhalten wir zum Beispiel die gleiche Menge an
kinetischer Energie, sofern dabei nichts „verloren“ geht (Prinzip der
Energieerhaltung).
In vielen Fällen kommt es auch vor, dass eine Energie umgewandelt wird in einen
Mix von mehreren Energien. Ein schräg abgeschossener Pfeil erhält ja kinetische
Energie und Höhenenergie. In diesem Fall kann man beide Energien einfach
zusammenzählen, die Summe der gleichzeitig vorhandenen Energien ist genauso
groß wie die Spannenergie, mit der der Pfeil am Anfang abgeschossen wurde (das
ist so, als wenn Du einen größeren Geldschein in mehrere kleinere wechselst).
Man spricht hier von einer Energiebilanz.
1
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Goldene Regel der Mechanik
Arbeit
Bereits im Mittelalter erkannte man, dass man durch damals übliche Hilfsmittel wie
Flaschenzüge oder Rampen zwar die benötigte Kraft reduzieren konnte, dadurch
ergaben sich aber auch längere Wegstrecken. Unsere experimentellen Untersuchungen ergeben, dass sich diese beiden Effekte genau aufheben: Wenn wir zum
Beispiel bei einer flachen Rampe nur halb so viel Kraft benötigen, um einen Wagen
hochzuschieben als an einer steilen Rampe, so ist der Weg an der flachen Rampe
dafür auch doppelt so lang. Das Produkt aus Kraft und Weg ist damit für beide Fälle
gleich:
Wenn wir eine Energie in eine andere überführen, so sprechen wir von Arbeit. Auch
dies ist eine quantifizierbare Größe. Der Einfachheit halber geben wir dieser Arbeit
W denselben Wert, um den sich die Energie geändert hat.
Bsp.: Wenn wir einen Stein so weit hochheben, dass er die Höhenenergie 5 J erhält
(diese Energie haben wir ihm quasi per Muskelarbeit aus der Energie in
unserem Körper zugeführt), dann haben wir die Arbeit 5 J verrichtet.
F  s  const .
wobei:
In den meisten Fällen können wir aus der zugeführten oder abgeführten Energie die
Arbeit bestimmen. Sollte das nicht gelingen, so hilft meist die Grundformel für
mechanische Arbeit:
F: benötigte Kraft
s: zurückgelegter Weg
W Fs
Diese Erkenntnis animierte uns übrigens auch zur Formel für mechanische Arbeit
im nächsten Kapitel, auf der letztendlich auch die Formel für die Höhenenergie
beruht.
Aus dieser wiederum haben wir die Formel für die kinetische Energie abgeleitet.
Diese altmodische Goldene Regel ist also eine ganz wesentliche Schnittstelle in der
Entwicklung unseres Energiekonzeptes.
wobei:
F: die konstante Kraft, die wir aufwenden
s: der Weg in Kraftrichtung, der dabei zurückgelegt wird
Leistung
Wenn wir die Leistungsfähigkeit eines Sportlers beurteilen, spielt meist nicht nur die
verrichtete Arbeit, sondern auch die dafür benötigte Zeit eine Rolle (je kürzer, desto
besser). Genauso machen wir das in der Physik. Wir betrachten, wie viel Arbeit pro
Zeiteinheit (z. B. pro Sekunde) verrichtet wird. Diesen Wert bezeichnen wir als
Leistung:
F
P
wobei:
bzw.:
s
W E

t
t
W: verrichtete Arbeit in J
t: dafür benötigte Zeit in s
E: umgeformte Energie in J
Da verrichtete Arbeit und umgeformte Energie denselben Wert haben, ist es egal, ob
man mit der Arbeit oder der Energie rechnet.
Die Leistung hat die Einheit
W = J/s (Watt)
Die ist nicht zu verwechseln mit dem Buchstaben W für die Arbeit (work).
Mechanische Energieformen (Skript)
2
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Wirkungsgrad
Einheitenumrechnung
Nicht immer klappt es bei Energieumwandlungen so reibungslos, dass die gesamte
Energie, die am Anfang vorhanden war, auch am Ende noch zur Verfügung steht.
Wenn wir auf dem Fahrrad fahren und nicht mehr treten, so werden wir über kurz
oder lang stehen bleiben, unsere Energie scheint verschwunden. Tatsächlich ist sie
nicht weg, sondern wurde aufgrund von Reibung und Luftwiderstand in Wärmeenergie umgebaut, die fein verteilt in der Umgebung für uns nicht mehr wahrnehmbar ist. Wenn wir einen Berg hinunterrollen, wird auch nicht die gesamte Höhenenergie in kinetische Energie umgewandelt, ein Teil ist vielmehr an die Umgebung
„verloren gegangen“. Die Tatsache, dass praktisch bei allen Energieumwandlungen
in der Praxis am Ende weniger Energie übrig bleibt, als am Anfang vorhanden war,
beschreiben wir quantitativ mit dem Begriff Wirkungsgrad. Er gibt an, wie viel
Prozent der anfangs vorhandenen (zugeführten) Energie am Schluss noch zur
Verfügung steht (genutzt werden kann).
Sobald wir mit physikalischen Größen rechnen, können wir auf die Verwendung
von Einheiten nicht verzichten. Es spielt eine große Rolle, ob ein Pkw mit 10 m/s
oder mit 10 km/h mit einem Hindernis kollidiert. Ebenso macht es einen
Unterschied, ob Dir ein Stein von 5 g Masse oder von 5 kg Masse auf den Fuß fällt.
Die Verwendung von Einheiten und die Umrechnung derselben macht am Anfang
naturgemäß große Schwierigkeiten, deshalb haben wir hier die wichtigsten
Umrechnungen an Hand von Beispielen zusammengestellt:
E
  nutz
E auf
wobei:
Geschwindigkeit:

Kraft:
5 N  5 kg 
Energie:
23 J  23 Nm  23 kg m2  23Ws
Leistung:
40W  40 Js
m
s2
2
Nachdem die nutzbare Energie immer kleiner (oder bestenfalls genauso groß) wie
die aufgewendete Energie ist (es kann nicht mehr herauskommen als wir
hineinstecken), ergibt sich als Ergebnis immer ein Dezimalbruch zwischen 0 und 1,
den wir üblicherweise in Prozentschreibweise (zwischen 0 % und 100 %) angeben.
Der Wirkungsgrad erhält keine Einheit, er ist ein reiner Zahlenwert.
E  Pt
10 ms  (10  3,6) km
 36 km
h
h
(sprich: eta)
Enutz: nutzbare Energie am Ende
Eauf: aufgewendete Energie am Anfang
Wenn man für die Energien jeweils
man die gleichwertige Formel:
72 km
 (72 : 3,6) ms  20 ms
h
setzt und das
t
s
In den kommentierten Lösungen zu den Beispielaufgaben wird auf die Umrechnung
der Einheiten stets sehr ausführlich eingegangen, da diese erfahrungsgemäß die
meisten Schwierigkeiten bereitet.
kürzt, so erhält
Pnutz
Pauf
Mechanische Energieformen (Skript)
3
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 200 Nm
Vorbemerkung zu den kommentierten Lösungen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
N  m  Nm
Nm  J
 200 J
Die linke Spalte enthält den Lösungsweg, wie Du ihn selbst durchführen
wirst, die rechte Spalte enthält Hinweise, Hilfestellungen und Erklärungen
hierzu, wie sie im Unterricht üblicherweise in mündlicher Form erfolgen.
Die Lösungen selber sind sehr ausführlich durchgeführt, natürlich sind
auch kürzere Darstellungen erlaubt (durch Zusammenfassung mehrerer
Teilschritte).
„Viele Wege führen nach Rom.“ Dargestellt ist jeweils nur einer der möglichen Lösungswege. Ein Indiz dafür, dass Dein abweichender Weg auch
richtig ist, ist sicherlich eine Übereinstimmung beim Wert des Endergebnisses.
Umfangreichere Aufgaben wurden zugunsten der Nachvollziehbarkeit
unter Verwendung von Zwischenergebnissen dargestellt, die, wo nötig,
auch gerundet wurden. Dies kann zu abweichenden Endergebnissen führen,
was nicht weiter schlimm ist, die Abweichungen sind sicherlich nicht groß.
Als Wert für die Erdbeschleunigung wurde aus Gründen der Ökonomie
durchgängig der gerundete Wert 10 m/s² verwendet. Dann lässt sich häufig
im Kopf rechnen, die Abweichung ist tatsächlich gering (kleiner als 2 %).
Die Aufgabensammlung kann nur einen kleinen Ausschnitt über alle
möglichen Fragestellungen wiedergeben, wir haben uns bemüht, einen
repräsentativen Querschnitt über alle Aufgabetypen und Schwierigkeitsgrade zusammenzustellen.
Über Hinweise zu sicherlich vorhandenen Druckfehlern sind wir dankbar.
b)
Eh  m  g  h
Gh
Standardformel für Höhenenergie
 100 N  0,8 m
 80 Nm
das Produkt aus Masse m und Erdbeschleunigung g ist
gleich der Gewichtskraft G
der Koffer befindet sich 0,8 m über der Tischplatte
(2,0 m – 1,2 m) = 0,8 m, also h = 0,8 m
Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren,
N  m  Nm
Nm  J
 80 J
3. Ein Gewichtheber hat ein Gewicht der Masse 130 kg hochgehoben. Die
Höhenenergie des Massenstücks beträgt 1,9 kJ.
Wie hoch hat der Gewichtheber das Massenstück gehoben?
E h  m  g  h : m  g 
Eh
h
mg
1,9 kJ
h
130 kg  10 m2
Höhenenergie
1. Ein Koffer des Gewichts 100 N steht auf einem 2,0 m hohen Schrank.
a) Berechne die Höhenenergie, wenn als Bezugsniveau der Zimmerboden
angenommen wird.
b) Berechne die Höhenenergie, wenn als Bezugsniveau die Platte eines 1,2 m
hohen Tischs genommen wird.
a)
Standardformel für Höhenenergie
Eh  m  g  h
das Produkt aus Masse m und Erdbeschleunigung g ist
Gh
gleich der Gewichtskraft G
 100 N  2,0 m der Koffer befindet sich 2,0 m über dem Zimmerboden,
also h = 2,0 m
Mechanische Energieformen (Skript)
Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren,
s
1900 J

1300 kg m2
s
1900 Nm
1300 N
 1,46 m

4
Standardformel für Höhenenergie. Auflösen
nach h.
bekannte Werte einsetzen
gerundeter Wert für g, Masse immer in kg
einsetzen, Vorsicht: Energie ist hier in der
Einheit kJ gegeben
1 kJ = 1000 J, die Einheiten müssen noch weiter
bearbeitet werden, um sie miteinander zu
verrechnen, dargestellt wird nur ein möglicher
Weg hierbei
J  Nm , kg m2  N
s
N wird gekürzt
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2
 30720 kg m2
kinetische Energie
s
1. a) Ein Leichtathlet macht einen 100-Meter-Lauf. Er hat eine Masse von 70 kg und
rennt mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s. Berechne die kinetische Energie.
b) Der Gepard ist ein ausgesprochener Sprinter. Man hat bei einem Gepard (m =
60 kg) für 640 m eine Zeit von 20 s gestoppt. Berechne die kinetische Energie.
Standardformel für kinetische Energie
E kin  12 m  v 2
die halbe Masse ist 35 kg, Geschwindigkeit muss in
 35 kg  (10 ms ) 2 m
eingesetzt werden,
s
2
Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit
 35 kg  100 m2
m 2
m2
s
werden quadriert):

s
s2
Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren,
m2
 30720 J  31 kJ
s2
 3500 J  3,5 kJ
2

E kin 
 32 ms
1
m  v2
2
 30 kg  ( 32 ms ) 2

2
30 kg  1024 m2
s
2
kg  m2  kg m2
s
s
die Einheit für Energie ist Joule (J),
2
die Geschwindigkeit ist nicht gegeben und muss
zunächst separat berechnet werden
angegebene Werte einsetzen und Geschwindigkeit
berechnen
30,720 kJ  31 kJ
 
Standardformel für kinetische Energie
 115740 kg
die halbe Masse ist 30 kg, Geschwindigkeit muss
m
in
eingesetzt werden,
s
Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit
m 2
m2
werden quadriert):

s
s2
Mechanische Energieformen (Skript)
2
2. Berechne die kinetische Energie eines Autos (1,2 t) bei den Geschwindigkeiten:
a) 50 km/h (Höchstgeschwindigkeit in der Stadt),
b) 120 km/h (Geschwindigkeit auf der Autobahn).
die Geschwindigkeit ist in km/h gegeben, zur
v  50 km
Berechnung der Energie in J muss sie aber in m/s
h
eingesetzt werden (für 120 km/h ebenso)
Umrechnungsformel von km/h in m/s
m
 (50 : 3,6) s
Zwischenergebnis geeignet runden (nicht zu
 13,89 ms
grob)
Standardformel für kinetische Energie
E kin  12 m  v 2
die halbe Masse ist 0,6 t, Geschwindigkeit muss
 0,6 t  (13,89 ms ) 2
m
in
eingesetzt werden,
s
2
Masse in kg umrechnen (0,6 t = 600 kg),
 600 kg  192,9 m2 Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit
s
m 2
m2
werden quadriert):

s
s2
Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren,
m2
s
s
t
640 m
20 s
2
s
s
die Einheit für Energie ist Joule (J),
s
runden:
kg m2  J , 1000 J  1 kJ
v
2
kg  m2  kg m2
kg m2  J , 1000 J  1 kJ , geeignet
 
 3500 kg
Zahlenwerte und Einheiten jeweils multiplizieren,
 115740 J
 
 116 kJ
( b) ...  667 kJ )
5
s2
2
2
kg  m2  kg m2
s
s
die Einheit für Energie ist Joule (J),
2
kg m2  J , 1000 J  1 kJ , geeignet
s
runden: 115,740 kJ  116 kJ
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Energieumwandlungen I (Höhenenergie und kinetische Energie)
g  h  12  v 2
1. Ein Kind wirft einen Ball senkrecht nach oben.
a) Beschreibe die Energieumwandlungen des Balls, nachdem er die Hand des
Kindes verlassen hat, in Form einer Tabelle.
b) Welche Höhe erreicht der Ball, wenn das Kind den Ball mit einer
Anfangsgeschwindigkeit von 12,0 m/s hochwirft?
a)
kinetische Energie beim Verlassen der Hand bewegt sich der Ball mit einer bestimmten Geschwindigkeit, er hat also kinetische Energie
Höhenenergie
am höchsten Punkt ist die gesamte kinetische Energie
umgesetzt in Höhenenergie (gut zu erkennen an der Höhe, die
der Ball erreicht hat)
kinetische Energie kurz vor dem Aufprall auf dem Boden ist die Höhenenergie
wieder in kinetische Energie verwandelt, der Ball trifft mit
einer bestimmten Geschwindigkeit auf dem Boden und springt
mit einer (geringeren) Geschwindigkeit wieder nach oben
Höhenenergie
der Ball erreicht nun eine geringere Höhe als beim ersten Mal,
dies entspricht auch einer geringeren Höhenenergie
usw.
nach einigen Hüpfern bleibt der Ball schließlich am Boden
liegen, die gesamte Energie ist nicht verschwunden, sie hat sich
nur in Form von Wärme in der Umgebung fein verteilt (dazu
mehr im II. Kapitel Wärmelehre)
b)
Eh  Ekin
m  g  h  12 m  v 2
m  g  h  12 m  v 2
:m
h
h
1 2
v
2
g

0,5  12 ms
2
10 m2
2
h
Nachdem wir die Höhe suchen, muss auch der
Faktor g auf der linken Seite nach rechts
gebracht werden (durch Division).
wir verzichten hier auf ein vollständiges
Auflösen und setzen gleich die bekannten
Zahlenwerte auf der rechten Seite ein
s
72 m2
s
10 m2
s
für die Erdbeschleunigung (Ortsfaktor) setzen
wir hier den gerundeten Wert 10 m2 ein, ebenso
s
m
kann man den exakten Wert 9,81 2 nehmen
s
Die Einheit des Ergebnisses ergibt sich korrekt
als m („mit Kehrbruch multiplizieren“):
m2
s2
2
 sm  m
 7,2 m
Anmerkungen zu dieser Aufgabe:
Offensichtlich spielt die Masse des Balles hier gar keine Rolle, sie ist nicht gegeben
und wird in der Rechung auch nicht benötigt. Ein sichtbares Zeichen dafür ist die
Tatsache, dass sich m im dritten Schritt „herausdividieren“ lässt. Wenn Du mit
dieser Vorgehensweise Probleme hast, dann verwende einfach einen realistischen
Wert für die Masse (z.B. 0,5 kg) und berechne damit zunächst die kinetische
Energie. Da diese genauso groß ist, wie die Höhenenergie, kannst Du daraus dann
die Höhe berechnen, Du wirst denselben Wert erhalten.
Die erreichte Höhenenergie am höchsten Punkt
ist genauso groß wie die ursprüngliche
kinetische Energie, sofern keine Energie (z.B.
durch den Luftwiderstand) abhanden kommt
(d.h. in nicht berücksichtigte Energieformen
umgesetzt wird)
Formeln für Höhen- und kinetische Energie
einsetzen
beide Seiten der Gleichung durch m dividieren
(Äquivalenzumformung, die Gleichheit der
beiden Seiten bleibt dabei erhalten)
Mechanische Energieformen (Skript)
:g
Natürlich wird das Kind bei einem schweren Ball wesentlich mehr Kraft benötigen,
um ihn mit der Geschwindigkeit 12 m/s zu werfen, die erreichte Höhe ist aber bei
dieser Abwurfgeschwindigkeit immer gleich. Man könnte hier auch mit der Formel
v  2 g h
6
arbeiten und nach h auflösen.
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4. Ein Kunstspringer (70 kg) springt von einem 5-Meter-Brett.
a) Welche Geschwindigkeit hat er nach 2 m Flugstrecke?
b) Aus welcher Höhe muss er abspringen, um die Geschwindigkeit v = 20 m/s
beim Auftreffen zu haben?
c) Auf das wie vielfache müsste er seine Absprunghöhe steigern, um die 4-fache
Endgeschwindigkeit zu erreichen?
a)
Auf 2 m Flugstrecke verliert der Springer die
Eh  Ekin
entsprechende Höhenenergie, diese wird in
kinetische Energie umgewandelt.
Zunächst berechnen wir die umgesetzte
Eh  m  g  h
Höhenenergie mit der Standardformel.
einsetzen, Erdbeschleunigung gerun 70 kg  10 m2  2 m Zahlenwerte
det
(dass
es
sich
um ein 5 m – Brett handelt, spielt
s
hier übrigens keine Rolle)
Zahlen und Einheiten werden jeweils multipliziert
m2
 1400 kg
E kin  1400 kg m2
s
E kin  12 m  v 2
E kin
 v2
1
m
2
35 kg
2
40 m2  v 2
s
2
v  40 m2
s
v  6,3 ms

 35 kg  20 ms
2
2
 14000 kg m2
s
2
E h  14000 kg m2
s
Eh  m  g  h : (m  g )
Eh
h
mg
siehe erste Zeile, die Werte für diese beiden
Energien sind gleich, die kombinierte Einheit
entspricht übrigens genau der Einheit J
Wir formen die Formel für kinetische Energie so
2
um, dass wir v erhalten.
Wir verzichten auf ein vollständiges Auflösen und
setzen in der linken Seite die nun bekannten Werte
ein.
2
14000 kg m2
s
70 kg  10 m2
s
h
h  20 m
Die gesamte Höhenenergie wird bis zum
Auftreffen in kinetische Energie umgewandelt.
Zunächst berechnen wir die erzielte kinetische
Energie mit der Standardformel.
Zahlenwerte einsetzen, die Geschwindigkeit muss
in m/s eingesetzt werden
Zahlen und Einheiten werden jeweils
multipliziert, bei der Klammer auch die Einheiten
quadrieren.
siehe erste Zeile, die Werte für diese beiden
Energien sind gleich, die kombinierte Einheit
entspricht übrigens genau der Einheit J
Wir formen die Formel für Höhenenergie so um,
dass wir h erhalten.
bekannte Werte einsetzen
Die Masse des Springers beträgt 70 kg,
gerundeter Wert für die Erdbeschleunigung.
Zahlenwerte dividieren. Bei den Einheiten lässt
m
sich kg 2 kürzen.
s
Die halbe Masse des Springers beträgt 35 kg.
2
s
: 12 m
Eh  Ekin
E kin  12 m  v 2
s2
2
1400 kg m2
b)
c)
 v2
Vierfache Geschwindigkeit führt zu einer sechzehnfachen
kinetischen Energie, da die Geschwindigkeit hier
2
quadratisch eingeht: 4  16
Sechzehnfache kinetische Energie bedeutet auch sechzehnEkin  Eh
fache Höhenenergie.
Sechzehnfache Höhenenergie wird erreicht, wenn die
Eh  m  g  h
Höhe sechzehnmal so groß ist.
Hier sind die Erläuterungen Bestandteil der Lösung.
E kin  12 m  v 2
Zahlenwerte dividieren. Bei den Einheiten lässt
sich kg kürzen.
Die Geschwindigkeit selbst bekommen wir
dadurch, dass wir aus dem obigen Wert „die
Wurzel ziehen“ (Taschenrechner)
Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den
quadrierten Einheiten die einfachen Einheiten
Mechanische Energieformen (Skript)
7
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3. Wie weit muss man eine Feder (D = 7,5 N/cm) auseinanderziehen, damit sie eine
Spannenergie von 39 J besitzt?
Spannenergie
1. Eine Feder der Federhärte 2,70 N/cm wird um 5 cm zusammengedrückt.
Berechne die Spannenergie.
N
N
D  2,70 cm
 270 m
E Sp  12 D  s 2
N  750 N
D  7,5 cm
m
Umwandlung der Federhärte auf Basiseinheiten.
Wenn man pro cm Dehnung 2,70 N benötigt,
dann benötigt man für 1 m Dehnung 270 N
(hundertmal so viel, Hookesches Gesetz)
Standardformel für Spannenergie
E Sp  12 D  s 2 : 12 D
E Sp
1
2
die halbe Federhärte ist 135 N/m, Dehnung muss
in m eingesetzt werden (Basiseinheit)
N  0,0025 m 2 Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit
 135 m
werden quadriert)
Zahlenwerte und Einheiten jeweils
 0,3375 Nm
2
multiplizieren, N  m  Nm
m
N  (0,05 m ) 2
 135 m
 0,3375 J  0,34 J
die Einheit für Energie ist Joule (J),
geeignet runden
Nm  J ,
2. a) Wie ändert sich die Spannenergie, wenn die Federhärte D einer Feder
verdreifacht wird?
b) Wie ändert sich die Spannenergie, wenn die Auslenkung s einer Feder
verdreifacht wird?
Dreifache Federhärte führt zur dreifachen Spannenergie,
da die Federhärte D hier linear eingeht.
Dreifache Auslenkung führt zur neunfache Spannenergie,
E Sp  12 D  s 2
2
da die Auslenkung s hier quadratisch eingeht: 3  9
Hier sind die Erläuterungen Bestandteil der Lösung.
Die halbe Federhärte beträgt 375 N/m. Beachte
die Einheiten. Um hier kürzen zu können, muss
man J in Nm umwandeln.
39 Nm
 s2
N
375 m
Jetzt lassen sich die N kürzen. Erinnerung: Durch
einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem
Kehrbruch multipliziert.
0,104 m 2  s 2
Zahlenwerte und Einheiten jeweils dividieren.
s  0,32 m  32 cm
8
2
dass wir s erhalten.
Wir verzichten auf ein vollständiges Auflösen und
setzen in der linken Seite die nun bekannten Werte
ein.
39 J
 s2
N
375 m
s  0,104m 2
E Sp  12 D  s 2
Mechanische Energieformen (Skript)
D
 s2
Umwandlung der Federhärte auf Basiseinheiten.
Wenn man pro cm Dehnung 7,5 N benötigt, dann
benötigt man für 1 m Dehnung 750 N (hundertmal
so viel, Hookesches Gesetz)
Wir formen die Formel für Spannenergie so um,
Nm
 Nm  m
 m2
N
N
m
Die Dehnung selbst bekommen wir dadurch, dass
wir aus dem obigen Wert „die Wurzel ziehen“
(Taschenrechner)
Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den
quadrierten Einheiten die einfachen Einheiten.
Sinnvoll runden.
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Energieumwandlungen II (Spann- , Höhen-, kinetische Energie)
2
 18 kg m2  18 J
s
4. Mit Hilfe eines Bogens wird ein Pfeil (120 g) aus 1,3 m Höhe senkrecht nach
oben geschossen. Er steigt dann 15 m nach oben und fällt anschließend auf den
Boden.
a) Beschreibe die Energieumwandlungen in Form einer Tabelle.
b) Berechne die Spannenergie.
c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Pfeils, nachdem er 5,4m nach oben
geflogen ist?
d) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Pfeils beim Berühren des Bodens?
a)
Spannenergie
im gespannten Bogen steckt die Energie für den ganzen
Vorgang
kinetische Energie beim Verlassen des Bogens bewegt sich der Pfeil mit einer bestimmten Geschwindigkeit, er hat also kinetische Energie
Höhenenergie
am höchsten Punkt ist die gesamte kinetische Energie
umgesetzt in Höhenenergie (gut zu erkennen an der Höhe, die
der Pfeil erreicht hat)
kinetische Energie kurz vor dem Aufprall auf dem Boden ist die Höhenenergie
wieder in kinetische Energie verwandelt, der Pfeil trifft mit
einer bestimmten Geschwindigkeit auf dem Boden auf
der Pfeil bleibt am Boden liegen, die gesamte Energie ist nicht
verschwunden, sie hat sich nur in Form von Wärme in der
Umgebung fein verteilt (dazu mehr im II. Kapitel Wärmelehre)
b)
Die Spannenergie am Anfang ist genauso groß
E Sp  Ekin  Eh
wie die kinetische Energie direkt nach dem
Abschuss und die ist wieder genauso groß wie
die erreichte Höhenenergie am höchsten Punkt
(wenn man von Verlusten durch Luftwiderstand
einmal absieht), das bezeichnen wir als
Energieerhaltung.
Zunächst berechnen wir die erreichte HöhenEh  m  g  h
energie mit der Standardformel.
einsetzen, Erdbeschleunigung g
m
 120 g  10 2  15 m Zahlenwerte
gerundet
s
von g auf Basiseinheit kg umwandeln
 0,12 kg  10 m2  15 m Masse
(für
spätere
Umwandlung in J).
s
Mechanische Energieformen (Skript)
Zahlen und Einheiten werden jeweils
2
multipliziert:
kg  m2  J
s
siehe erste Zeile, die Werte für diese beiden
Energien sind gleich
E Sp  18 J
c)
Ekin  Eh  18 J
Eh  m  g  h
 0,12 kg  10 m2  5,4 m
s
2
 6,48 kg m2  6,48 J
s
Ekin  18 J  Eh
 18 J  6,48 J  11,52 J
E kin  12 m  v 2
E kin
 v2
1
m
2
11,52 J
 v2
60 g
9
: 12 m
Hier ist die Situation komplizierter. In einer
Höhe von 5,4 m hat der Pfeil noch Geschwindigkeit (also kinetische Energie) aber auch
schon Höhe (also Höhenenergie). Beide
Energien zusammengezählt ergeben die
gesamte Energie, die wiederum der Spannenergie vom Anfang entspricht. Das nennt
man eine Energiebilanz.
Zunächst berechnen wir die Höhenenergie an
dieser Position mit der Standardformel.
Zahlenwerte einsetzen, Erdbeschleunigung
gerundet, Masse in kg
Zahlen und Einheiten werden jeweils
multipliziert. Die gemischte Einheit ergibt J.
aus Energiebilanz in der ersten Zeile
Mit dem Wert aus der vorletzten Zeile für Eh.
Das ist nun die Energiemenge, die an dieser
Position für die kinetische Energie verbleibt.
Wir formen die Formel für kinetische Energie
2
so um, dass wir v erhalten.
Wir verzichten auf ein vollständiges Auflösen
und setzen in der linken Seite die nun
bekannten Werte ein.
Die halbe Masse des Pfeils beträgt 60 g.
Gymnasium Marktoberdorf Physik 8
Um die Einheiten miteinander verrechnen zu
können, muss man die J umwandeln und die
Masse in der Basiseinheit kg angeben.
19,56 kg m2
192 m2  v 2
Zahlenwerte dividieren. Bei den Einheiten
lässt sich kg kürzen.
326 m2  v 2
v  192 m2
Die Geschwindigkeit selbst bekommen wir
dadurch, dass wir aus dem obigen Wert „die
Wurzel ziehen“ (Taschenrechner)
Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den
quadrierten Einheiten die einfachen Einheiten.
Ergebnis passend runden.
v  326 m2
2
11,52 kg m2
v
s
0,060 kg
2
2
s
2
s
v  14 ms
2
v
s
0,060 kg
2
s
2
s
v  18 ms
2
Um die Einheiten miteinander verrechnen zu
können, beläst man die Einheit für Energie,
wie zuvor erhalten und gibt die Masse in der
Basiseinheit kg an.
Zahlenwerte dividieren. Bei den Einheiten
lässt sich kg kürzen.
Die Geschwindigkeit selbst bekommen wir
dadurch, dass wir aus dem obigen Wert „die
Wurzel ziehen“ (Taschenrechner)
Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den
quadrierten Einheiten die einfachen
Einheiten. Ergebnis passend runden.
d)
Ekin  Eh
h  15 m  1,3 m  16,3 m
Eh  m  g  h
 0,12 kg  10 m2  16,3 m
s
2
 19,56 kg m2
s
E kin  12 m  v
E kin
 v2
1
m
2
2
: 12 m
Anmerkung zu dieser Aufgabe:
Hier handelt es sich bereits um eine anspruchsvolle Aufgabe, was auch am Umfang
ersichtlich ist. Bei genauerem Hinsehen erkennt man, dass die Lösung aus
Standardmodulen, wie zum Beispiel dem Berechnen einer Energie aus gegebenen
Größen oder der Berechung der Geschwindigkeit aus der kinetischen Energie,
zusammengesetzt ist.
Wichtig ist hier auch das Bilanzkonzept (siehe b)): Die gesamte Energie, die ein
Körper besitzt, kann sich auch auf verschiedene Energiearten verteilen. Eine große
Stärke des gesamten Energiekonzeptes liegt darin, dass man die Werte aller
beteiligten Energiearten problemlos zu einer Gesamtenergie zusammenzählen kann.
In bestimmten Positionen (z.B. Abschuss oder höchster Punkt) besteht dann die
Gesamtenergie nur aus einer einzigen Energieart (vor dem Abschuss –
Spannenergie, direkt nach dem Abschuss – kinetische Energie, höchster Punkt –
Höhenenergie), siehe Aufgabe a).
Die kinetische Energie beim Auftreffen ist
genauso groß wie die Höhenenergie im
höchsten Punkt bezogen auf den Boden. Da
der Pfeil aber aus 1,3 m Höhe abgeschossen
wurde, ist die gesamte Höhenenergie größer
als die in a) berechnete (hier hatten wir uns
auf den Abschusspunkt bezogen).
Der höchste Punkt in der Bewegung des
Pfeils liegt damit 16,3 m über dem Boden.
Zunächst berechnen wir die gesamte Höhenenergie an dieser Position mit der Standardformel.
Zahlenwerte einsetzen, Erdbeschleunigung
gerundet, Masse in kg
Zahlen und Einheiten werden jeweils multipliziert. Die gemischte Einheit entspricht J.
Wir formen die Formel für kinetische
2
Energie so um, dass wir v erhalten.
Wir verzichten auf ein vollständiges
Auflösen und setzen in der linken Seite die
nun bekannten Werte ein.
Mechanische Energieformen (Skript)
10
Gymnasium Marktoberdorf Physik 8
Arbeit
W Brems
F
s
2
385865 kg m2
6. Ein Auto (m = 1,0 t) der Geschwindigkeit 100 km/h wird auf einem Bremsweg
von 90 m bis zum Stillstand heruntergebremst.
a) Berechne die mittlere Bremskraft.
b) Wie lange wäre der Bremsweg gewesen, wenn das Auto bei gleicher
Bremskraft halb so schnell gewesen wäre (keine Rechnung)?
a)
die Geschwindigkeit ist in km/h gegeben, zur
v  100 km
h
Berechnung der Energie in J muss sie aber in m/s
eingesetzt werden
Umrechnungsformel von km/h in m/s
 (100 : 3,6) ms
Zwischenergebnis geeignet runden (nicht zu
 27,78 ms
grob)
Wir berechnen zunächst die kinetische Energie,
E kin  12 m  v 2
die das Auto vor dem Abbremsen hat.
die halbe Masse ist 0,5 t, Geschwindigkeit muss
 0,5 t  (27,78 ms ) 2
m
in
eingesetzt werden,
s
2 Masse in kg umrechnen (0,5 t = 500 kg),
 500 kg  771,73 m2 Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit
s
m 2
m2
werden quadriert):
,

s
s2
Zwischenergebnis geeignet runden
2
Zahlenwerte und Einheiten jeweils
m
 385865 kg 2
multiplizieren,
s
F
90 m
F  4287 kg m2
s
s
 4287 N  4,3 kN
WBrems  F  s
:s
E kin  12 m  v 2
E kin,neu  14 E kin,alt
W Brems  E kin
Bei der halben Geschwindigkeit beträgt die
kinetische Energie nur noch ein Viertel des
ursprünglichen Werts (v geht quadratisch in die
1 2
 14 ).
Berechnung ein
2
Damit beträgt auch die Bremsarbeit nur noch
ein Viertel des ursprünglichen Werts.

W Brems , neu  14 W Brems , alt
W Brems  F  s
s Brems ,neu  14 s Brems ,alt
Wenn die Kraft konstant bleibt, dann reduziert
sich der Weg s auf ein Viertel des ursprünglichen Werts.
Anmerkung zu Aufgabe b)
Da das Auto bis zum Stillstand abgebremst wird,
wird die gesamte kinetische Energie umgesetzt
(letztendlich in Wärme der Bremsen). Die
Bremsarbeit ist damit genauso groß wie die
ursprüngliche kinetische Energie.
Standardformel für Arbeit. Wir formen um nach
der gesuchten Kraft.
Mechanische Energieformen (Skript)
Die Einheit m lässt sich einmal kürzen. Die
verbleibende gemischte Einheit entspricht N.
sinnvoll runden, der Wert entspricht übrigens
einer Vollbremsung auf trockener Straße
b)
 
WBrems  Ekin
Jetzt kann man die Zahlenwerte einsetzen. Der
Wert für die Bremsarbeit ist identisch mit dem
Wert für die kinetische Energie.
Man hätte den Wert für die Energie auch bereits
vorher runden können.
Die Argumentationskette beruht stets auf dem mathematischen Prinzip, dass sich der
Wert eines Produkt verdoppelt, verdreifacht, ... , wenn man einen Faktor verdoppelt,
verdreifacht, ... und die anderen Faktoren beibehält. Ein Quadrat im Term bedeutet
ja, dass dieser Faktor zweifach vorkommt. Wird er z.B. verdoppelt, so vervierfacht
sich der Wert des Produkt, für Bruchteile wie im Beispiel gilt das natürlich
sinngemäß.
11
Gymnasium Marktoberdorf Physik 8
7. Ein Bierfass (56 kg) rollt eine 4,5 m lange schiefe Ebene herunter. Die Reibung
wird vernachlässigt. Wie groß ist die Hangabtriebskraft, wenn das Bierfass am
Schluss eine Geschwindigkeit von 5 m/s hat?

2
 28 kg  25 m2
s
2
 700 kg m2  700 J
s
W Beschleunigung  E kin
W Beschleunigung  700 J
WBeschl .  F  s
2
 0,050 kg  100 m2
die halbe Masse ist 28 kg, Geschwindigkeit
m
muss in
eingesetzt werden,
s
Klammersetzung beachten (Zahl und Einheit
werden quadriert)
28 kg  (5 ms ) 2
W Beschl .
F
s
700 J
F
4,5 m
700 Nm
F
4,5 m
F  156 N
 50 g  (10 ms ) 2
Wir berechnen zunächst die kinetische Energie,
die das Fass beim Hinunterrollen erhält.
E kin  12 m  v 2
:s
s
2
 5,0 kg m2  5,0 J
s
W Sp  E Sp  E kin
Zahlenwerte und Einheiten jeweils
multiplizieren,
W Sp  5,0 J
Da das Bierfass vom Stillstand aus beschleunigt
wird, muss die gesamte kinetische Energie durch
Beschleunigungsarbeit aufgebracht werden.
b)
E Sp  12 D  s 2 : 12 D
Standardformel für Arbeit. Wir formen um nach
der gesuchten Kraft.
Jetzt kann man die Zahlenwerte einsetzen. Der
Wert für die Bremsarbeit ist identisch mit dem
Wert für die kinetische Energie.
Um die Einheiten zusammenfassen zu können,
wandelt man J in Nm um.
E Sp
1
2
Jetzt kann man m kürzen.
Taschenrechner. Geeignet runden.
8. Eine Kugel mit der Masse 100 g prallt waagrecht mit einer Geschwindigkeit von
10,0 m/s auf eine Feder (D = 250 N/m).
a) Berechne die Spannarbeit, die beim Aufprall verrichtet wird.
b) Um welche Strecke wurde die Feder zusammengepresst?
a)
Mechanische Energieformen (Skript)
Wir berechnen zunächst die kinetische Energie,
mit der die Kugel auf die Feder prallt.
E kin  12 m  v 2
D
 s2
Zahlenwerte und Einheiten jeweils
multiplizieren,
Da die Kugel bis zum Stillstand abgebremst
wird, geht die kinetische Energie ganz in Spannenergie über. Die Spannarbeit ist damit genauso
groß wie die ursprüngliche kinetische Energie.
Wir formen die Formel für kinetische Energie so
2
um, dass wir v erhalten.
Wir verzichten auf ein vollständiges Auflösen
und setzen in der linken Seite die nun bekannten
Werte ein.
5,0 J
 s2
N
125 m
Die halbe Federhärte beträgt 125 N/m. Beachte
die Einheiten. Um hier kürzen zu können, muss
man J in Nm umwandeln.
5,0 Nm
 s2
N
125 m
Jetzt lassen sich die N kürzen. Erinnerung: Durch
einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem
Kehrbruch multipliziert.
0,04 m 2  s 2
Zahlenwerte und Einheiten jeweils dividieren.
s  0,04m 2
s  0,2 m  20 cm
12
die halbe Masse ist 50 g, Geschwindigkeit muss
m
in
eingesetzt werden,
s
Masse in kg umrechnen (50 g = 0,050 kg),
Zahl und Einheit werden quadriert
Nm
 Nm  m
 m2
N
N
m
Den Weg selbst bekommen wir durch „Wurzel
ziehen“ (Taschenrechner)
Beim „Wurzel ziehen“ werden aus den
quadrierten Einheiten die einfachen Einheiten.
Gymnasium Marktoberdorf Physik 8
G Pers .  m Pers .  g
Leistung und Wirkungsgrad
 6  75 kg   10 m2
1. Ein Gewichtheber hebt im Reißen 110 kg in 1,35 s auf eine Höhe von 2,15 m.
Wie groß ist die Hubleistung?
Zunächst berechnen wir die umgesetzte
Eh  m  g  h
Höhenenergie mit der Standardformel.
einsetzen, Erdbeschleunigung
m
 110 kg  10 2  2,15 m Zahlenwerte
gerundet
s
2
Zahlen und Einheiten werden jeweils
 2365 kg m2  2365 J multipliziert
s
Standardformel für Leistung. Die Hubarbeit
W
E
Wh ist identisch mit der erreichten HöhenP h  h
energie Eh.
t
t
Energie in J, Zeit in s einsetzen.
2365 J

s
 4500 kg
 1,8 kW
 20000 N  4500 N
 24500 N
Eh  G  h
 24500 N  34 m
 833000 Nm  833 kJ
W
E
P h  h
t
t
833 kJ

 24,5 kW
34 s
J
 W (Watt, nicht zu
s
verwechseln mit der Bezeichnung für Arbeit)
Geeignet runden. Das sind übrigens ungefähr
2,5 PS (alte Einheit).
P
  nutz
Pauf
Pauf 
Nach t auflösen.
Zahlenwerte einsetzen.
s
 s („Kehrbruch!“)
Einheiten: m 
m

Das kann man auch ohne Rechnung angeben.
Mechanische Energieformen (Skript)
Gesamtgewicht ergibt sich aus Leergewicht
des Aufzugs plus Gewicht der Personen.
Zahlenwerte einsetzen, Leergewicht gleich in
Basiseinheit N umwandeln: 1 kN = 1000 N
Nun haben wir die gesamte Gewichtskraft.
Nun können wir die Höhenenergie berechnen.
Kraft in N, Höhe in m einsetzen.
Einheit umrechnen: Nm = J, 1000 J = 1 kJ
Standardformel für Leistung. Die Hubarbeit
Wh ist identisch mit der erreichten Höhenenergie Eh.
Zahlenwerte einsetzen und berechnen.
kJ
Einheiten:
 kW (Kilowatt: 1000 W)
s
Anmerkung: Man kann in dieser Aufgabe schneller direkt mit der Geschwindigkeit
W
v rechnen: P 
 Ft s  F  st  F  v , wobei F hier gleich G ist.
t
Einheit umrechnen:
3. Eine Aufzugkabine mit Leergewicht von 20 kN befördert 6 Personen mit einer
durchschnittlichen Masse von 75 kg pro Person mit einer konstanten
Geschwindigkeit von 1,0 m/s um 34 m nach oben.
a) Berechne die Leistung, die der Motor abgibt.
b) Der Wirkungsgrad des Motors beträgt 65%.
Berechne die Leistung, die der Motor aufnimmt.
Die Geschwindigkeit ist bekannt. Wir werden
s
daraus zunächst die Fahrzeit berechnen.
v
t
t
v  t  s :v
s 34 m
t 
v 1,0 ms
 34 s
 4500 N
G  Gleer  G Pers .
1,35 s
 1752 Js  1752W
m
s2
Wir berechnen zunächst in mehreren Schritten
die gesamte Gewichtskraft G.
6 Personen a 75 kg, gerundeter Wert für
Erdbeschleunigung g
Gemischte Einheit entspricht N.
13
Pnutz
Standardformel für Wirkungsgrad. Die
Abgabeleistung Pnutz haben wir in Aufgabe a)
berechnet.
Umformen nach Pauf.

24,5 kW
 38 kW
0,65
Wirkungsgrad als Dezimalzahl eingeben:
65 % = 0,65. Der Wirkungsgrad ist eine reine
Zahl und besitzt keine Einheit.
Gymnasium Marktoberdorf Physik 8
Mechanische Energieformen (Skript)
14
Gymnasium Marktoberdorf Physik 8