Exercise 10 - Goethe

Goethe-Universität Frankfurt
Fachbereich Physik
Prof. Dr. Roser Valentı́
Dr. Harald O. Jeschke
Frankfurt, 17. Dezember 2013
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Physik V – Thermodynamik und Statistische Mechanik
Wintersemester 2013/14
Blatt 10
(Abgabetermin: Montag, 13. 1. 2014)
Name(n), Übungsgruppe
Verwendete
Hilfsmittel
Aufgabe 28 (Chemischen Reaktionen und Massenwirkungsgesetz) (9 Punkte)
Betrachten Sie eine chemische Reaktion von idealen Gasen
ν1 X1 + ν2 X2 + · · · + νk Xk |νk+1 |Xk+1 + |νk+2 |Xk+2 + . . . . . .
wobei νi ganze Zahlen mit νi > 0 für i 6 k und νi < 0 für i > k sind, die als stoichiometrische
Koeffizienten der Molekülsorte Xi bezeichnet werden. Zum Beispiel wäre für die Reaktion
2H2 + O2 2H2 O: X1 = H2 , X2 = O2 und X3 = H2 O, sowie ν1 = 2, ν2 = 1 und ν3 = −2).
Die Zahl der Moleküle der Sorte Xi sei Ni .
(a) Nehmen Sie an, dass das System materiell abgeschlossen ist. Überlegen Sie sich, dass
dann für die gesamte Änderung der Zahl der Moleküle δN gilt:
δN2
δN
δN1
=
= ··· = P
ν1
ν2
j νj
δNi
δN
ist unabhängig von der Molekülsorte und man kann δNi = νi P
setzen.
νi
j νj
(b) Nehmen Sie an, dass die freie Energie F(T , V , N1 , N2 , . . . ) des Gasgemischs als Summe der freien Energien der einzelnen Komponenten geschrieben werden kann, d.h. F =
P
Volumen V und konstanter Temperatur
i Fi (T , V , Ni ). Zeigen Sie, dass bei konstantem
P
T im thermodynamischen Gleichgewicht i µi νi = 0 gilt. Gilt diese Relation auch bei
konstanter Temperatur T und konstantem Druck P?
(c) Nehmen Sie an, dass es sich bei den Molekülen Xi um ein ideales Gas aus Punktteilchen
der Masse mi mit einer Bindungsenergie Ei handelt, so dass ihre Hamiltonfunktion durch
Ni * 2
X
pj
Hi =
+ Ei
2mi
d.h.
j=1
gegeben ist. Berechnen Sie die grosskanonische Zustandssumme Z (bei festem T , V und µi )
des Systems und leiten Sie daraus das Massenwirkungsgesetz ab: Im thermodynamischen
Gleichgewicht gilt
ν
Y ai
Y
23
Ni
νi
−βEi
e
mit
c
=
und
a
=
2
πm
k
T
ci = f(T , E1 , E2 , . . . ) =
i
i
i
B
h3
V
i
i
Aufgabe 29 (Zustandssumme und thermodynamische Größen) (5 Punkte)
Für ein System von N Teilchen im Volumen V sei die Zustandssumme durch
N
aN2
1 V − bN
exp
Z=
N!
λ3
kB T V
h
gegeben, wobei λ = √
ist und a und b reelle Konstanten sind. Bestimmen Sie die
2πmkB T
Energie E(T , V , N), den Druck P(T , V , N) und die Entropie S(T , V , N). Beachten Sie dabei,
daß λ von der Temperatur T abhängig ist. Woran erinnern diese Gleichungen?
Aufgabe 30 (Random Walk in einer Dimension) (6 Punkte)
Gegeben sei ein Teilchen, das sich in chaotischen Schritten entlang der x-Achse bewegt. Die
Schritte haben alle die gleiche Länge und die Wahrscheinlichkeit, vorwärts oder rückwärts
zu laufen, ist 1/2. Sei W(k, n) die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen sich k Schritte vom
Anfangspunkt entfernt befindet, nachdem es n chaotische Schritte gemacht hat.
(a) Zeigen Sie, dass das Teilchen (n+k)/2 Schritte vorwärts und (n−k)/2 Schritte rückwärts
gemacht hat.
n
(b) Erklären Sie, dass die vorwärts Schritte in
Möglichkeiten gewählt werden können
r
(mit r = (n+k)/2) . Zeigen Sie, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit für r Vorwärtsschritte
gegeben ist durch
n+k
2−n n!
W
, n = n+k n−k 2
! 2 !
2
ergibt.
(c) Für n 1, und n k, benutzen Sie die Stirling-Formel und zeigen Sie, dass:
r
n+k
2 − k2
W
,n ∼
e 2n
2
πn
(d) Wir definieren x = kx0 , mit x0 als Länge des Schritts. t definiert die Dauer eines Schritts
t = nt0 , wobei t0 die Zeit in Sekunden ist. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass
das Teilchen sich zwischen x und xdx in der Zeit t befindet durch:
1
2
W(x, t) = √
e−x /4Dt
4πDt
gegeben ist. D =
x20
2t0
ist die Diffusionskonstante.