Seminararbeit

Binomialmodell: Grundlagen und
Future Contracts
Seminararbeit
Verfasser:
Bernhard Knapp
Wien, am 28. Februar
Studienkennzahl:
1027250
Studienrichtung:
Bachelorstudium Finanz- und Versicherungsmathematik
Betreuer:
Privatdoz. Dipl.-Ing. Dr.techn. Stefan Gerhold
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1
2
Einleitung
2
1.1
2
Arbitrage und weitere Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Binomialmodell
5
2.1
Das Basis-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1
Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
FX-Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
2.3.1
2.4
3
4
Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Zinsderivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Mehr-Perioden-Modell
13
3.1
Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Rückwärts Induktions Preis Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Forwards im Mehr-Perioden Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Futures
16
4.1
Margin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Future-Preis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3
Der Marginwert zur Fälligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.4
Forwards und Futures im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Quellenverzechnis
22
1
1
1
EINLEITUNG
Einleitung
Das Ziel dieser Seminararbeit ist zu beschreiben, wie man Preise von Derivate in einem
binomialen Rahmen mit diskreten Zeitabständen und diskreten Zuständen festlegt. Bevor wir vernünftige Preise für diese Finanzinstrumente festlegen können, müssen wir
allgemeine Grundlagen, wie die Struktur von finanzmathematischen Binomialmodellen einführen. Die wichtigste Grundlage wird sein, dass die eingeführten Modelle keine Arbitrage-Möglichkeiten zulassen. Nachdem wir uns im vereinfachten Ein-SchrittBinomialmodell, Preisformeln für beliebige Derivate hergeleitet haben, erweitern wir
das vorhandene Binomialmodell um weitere diskrete Zeitschritte und Zustände in ein
Mehr-Perioden-Modell. Durch die Resultate der vorigen Kapitel können wir auch in
diesem Modell die Preise von Finanzgeschäften festlegen, sodass wir uns zum Schluss
den börsengehandelten Finanzgeschäften, die sogenannten Futures, widmen können.
1.1
Arbitrage und weitere Grundlagen
Zur Erinnerung, ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Preis von anderen Vermögenswerten (engl.: assets) abhängt. Diese Wirtschaftsgüter dienen dann für dieses
Derivat als Basiswert (engl.: underlying asset) und können sein:
• Güter, Rohstoffe, Aktien, Währungskurse und Anleihen.
Die Derivative, denen wir einen Preis festlegen wollen, sind Optionen, Forwards und
Futures. Die Festlegung der Preise hat als Basis, dass keine Arbitrage-Möglichkeiten
existieren. Die Nichtexistenz von Arbitrage-Möglichkeiten ist ein ganz allgemeiner Begriff unabhängig von dem Binomial-Modell, welches wir erst später einführen werden.
Definition (Arbitrage-Möglichkeit1 ): Ist ein Asset (oder ein Portfolio von Assets), dessen Wert heute gleich Null ist und dessen Wert in der Zukunft in allen möglichen Zuständen nie negativ ist, aber in zumindest einem Zustand strikt positiv ist.
1
Definition 1.1 (Arbitrage Oppurtunity) [2, S.1]
2
1.1
Arbitrage und weitere Grundlagen
1
EINLEITUNG
Durch das folgende Axiom, legen wir nun fest, dass wir keine Arbitrage-Möglichkeiten
zulassen.
Axiom: Es existieren keine Arbitrage-Möglichkeiten.2
Daraus können wir direkt die nächste Grundlage folgern.
Theorem (Gesetz des einheitlichen Preises3 ): Sind A und B Assets, für deren Preise in
der Gegenwart(t = 0) gilt P0 (A) ≥ 0 , P0 (B) ≥ 0, und zu einem beliebigen Zukunftswert T ≥ 0 sind die Preise der beiden Assets gleich in allen möglichen Zuständen:
PT (A) = PT (B).
(1)
P0 (A) = P0 (B).
(2)
Dann gilt:
Beweis : Wir zeigen, wenn Gleichung (2) nicht gilt, existiert eine Arbitrage Möglichkeit. Das heißt ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A) nehmen wir an es gilt
P0 (A) > P0 (B). So können wir ein Portfolio zum gegenwärtigen Zeitpunkt t = 0 mit
einem Startkapital von 0 e konstruieren. Indem wir das asset A ausborgen und verkaufen, erhalten wir den Geldbetrag P0 (A). Mit diesem kaufen wir das asset B um P0 (B)
und wegen der obigen Ungleichung bleibt uns ein Restkapital P0 (A) − P0 (B) übrig,
welches wir beiseite legen.
Im nächsten Zeitschritt t = T verkaufen wir das Asset B und erhalten den Betrag
PT (B), dann kaufen wir das Asset A um PT (A) zurück und geben es dem ursprünglichen Besitzer wieder, wegen Gleichung (1) haben wir Nettokosten von 0 e. Aus dem
ertsen Zeitschritt haben wir aber noch den positiven Betrag P0 (A) − P0 (B) und damit
eine Arbitrage-Möglichkeit konstruiert, doch das widerspricht dem Axiom. Da Optionen die ersten Derivate sind, für die wir eine Preis-Formel herleiten, wiederholen wir die Eigenschaften dieser Termingeschäfte.
2
3
Axiom 1 [2, S.2]
Theorem 1.2 (Law of One Price) [2, S.2]
3
1.1
Arbitrage und weitere Grundlagen
1
EINLEITUNG
Definition (Optionen4 ): Eine Call-Option ist das Recht, aber nicht die Verpflichtung,
ein Asset für einen bestimmten Preis vor oder zu einem Fälligkeitsdatum zu kaufen.
Eine Put-Option ist das Recht, aber nicht die Verpflichtung, ein Asset für einen bestimmten Preis vor oder zu einem Fälligkeitsdatum zu verkaufen.
Die notwendigen Parameter, die eine Option beschreiben sind:
• ein Fälligkeitsdatum T, einen Strike bzw. Ausübungspreis K und den Style der
Option.
Der Style einer Option beschreibt, ob es sich bei der Option um eine europäische, amerikanische oder eine andere exotische Art von Optionen handelt.
Bei der Beschreibung einer Preis-Formel wird der Begriff risiko-neutrale Wahrscheinlichkeiten von Bedeutung sein, dessen Definition nun folgt.
Definition5 : Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P ∗ heißt risiko-neutrales Maß, wenn gilt
S1
∗
.
(3)
S0 = E
1+r
4
5
Definition 1.4 (Options) [2, S.5]
Definition 1.5 [1, S.7]
4
2
2
DAS BINOMIALMODELL
Das Binomialmodell
2.1
Das Basis-Modell
Das Einschritt-Binomialmodell hat zwei Zeitwerte, den gegenwärtigen bzw. zukünftigen Zeitpunkt t = 0 bzw. t = 1. Wie der Ausdruck binomial schon vermuten lässt haben
wir zum Zeitpunkt t = 1 nur zwei mögliche Zustände, die wir einfach mit upstate ↑ und
downstate ↓ bezeichnen. In unserem Basis-Modell haben wir zwei handelbare Assets:
1. Ein riskantes Asset,
2. und ein risikoloses Asset.
Das riskante Asset:
Zu t = 0 , hat das riskante Asset S den bekannten Wert S0 und zu t = 1 bezeichen wir
die zwei möglichen Werte mit S1 (↑) und S1 (↓). O.B.d.A. können wir annehmen, dass
S1 (↑) 6= S1 (↓) und S1 (↑) > S1 (↓) gilt. Nehmen wir an, dass St in unserem Basismodell
die Entwicklung einer Aktie entspricht.
Das risikolose Asset:
Zu t = 0 hat das risikolose Asset B den Wert B0 = 1 und zu t = 1 auch nur einen Wert
und zwar B1 = R = 1 + r. Das Asset B kann als risikolose Anleihe angesehen werden
und r als der Zins betrachtet werden, den man an 1 e verdient.
Da das Basismodell (Abbildung 1) arbitragefrei sein soll, müssen gewisse Einschränkungen für die Werte der Assets gelten. Durch diesbezügliche Überlegungen erhält man
folgende wichtige Ungleichung
S1 (↓) < RS0 < S1 (↑),
(4)
die äquivalent dazu ist, dass unser Einschritt-Binomialmodell arbitragefrei ist6 .
6
Exercise 1.1.2 [1, S.6] : in einer Übung der VO Finanzmathematik 1: diskrete Modelle bewiesen.
5
2.1
Das Basis-Modell
2
B0
DAS BINOMIALMODELL
B1
S1 (↑)
S0
S1 (↓)
Abbildung 1: Basis-Modell
Ein Portfolio von Assets ist in unserem Modell ein Vektor ξ = (ξ 0 , ξ 1 )T ∈ R2 , wobei
ξ 0 bzw. ξ 1 die Menge der gehaltenen Anteile von B0 bzw. S0 sind, in der Zeit zwischen
t = 0 und t = 1. Die beiden Assets jeweils zu t = 0 bzw. t = 1 fassen wir noch zu den
Vektoren S 0 = (B0 , S0 )T bzw. S 1 = (B1 , S1 )T zusammen7 .
Nun wollen wir von einer beliebigen Option X, mit den zwei möglichen Werten X1 (↑)
und X1 (↓) zum Zeitpunkt t = 1, den Preis X0 festlegen. In diesem Fall bezeichnen wir
X als beliebigen Contingent Claim aus dem Englischen, welches von unserem riskanten
Asset S abhängt.
Zunächst suchen wir ein Portfolio ξ = (ξ 0 , ξ 1 )T ∈ R2 , welches unseren Claim repliziert.
Das heißt wir formen folgendes Gleichungssytem nach ξ um:
X1 = ξ · S 1 = ξ 0 R + ξ 1 S 1 ,
(5)
und erhalten
ξ1 =
X1 (↑) − X1 (↓)
,
S1 (↑) − S1 (↓)
ξ0 =
S1 (↑)X1 (↑) − S1 (↓)X1 (↓)
.
R(S1 (↑) − S1 (↓))
(6)
Aus der Gleichung (5) und der Annahme das unser Modell arbitragefrei ist, erhalten wir
durch Anwendung des Theorems auf Seite 3 die Gleichung
X0 = ξ · S 0 = ξ 0 + ξ 1 S0 .
(7)
Nun setzen wir die Gleichungen von (6) in die Gleichung (7) ein und erhalten durch
Umformung die Allgemeine Preis Formel8 eines Contingent Claims X einer Option
7
8
Verwendete Notation[1, S.3-5]
General Pricing Formula[2, S.19]
6
2.1
Das Basis-Modell
2
DAS BINOMIALMODELL
im Einschritt-Binomial-Modell
X0 =
p∗ X1 (↑) + (1 − p∗ )X1 (↓)
,
R
(8)
mit
p∗ =
RS0 − S1 (↓)
> 0,
S1 (↑) − S(1, ↓)
1 − p∗ =
S1 (↑) − RS0
> 0.
S1 (↑) − S(1, ↓)
(9)
Aus der Defintion des Erwartungswerts und der Gleichung (3) folgt unmittelbar, dass
p∗ bzw. 1 − p∗ die risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten für die Zustände (↑) bzw. (↓)
sind und wegen der Ungleichung (4)
0 < p∗ < 1,
gelten muss.
7
2.2
2.2
Forwards
2
DAS BINOMIALMODELL
Forwards
Definition (Forward9 ): Ein (long/short) Forward ist ein Abkommen zum Kaufen oder
Verkaufen eines Asset S, an einem zukünftigen Zeitpunkt T für einen ausgemachten
Preis F . Zu t = 0 findet keine Zahlung statt und der Preis F heißt Basis-Preis.
Die Bezeichnungen long bzw. short sagen aus, ob sich die Vertragsparteien zum Kauf
bzw. Verkauf verpflichtet haben. In weiterer Folge wird auch die Formulierung benutzt,
dass sich eine Vertragsseite in der long- bzw. short-Position befindet mit den entsprechenden Bedeutungen.
Die Auszahlung eines long-Forward entspricht dem Wert ST − F und klarerweise werden wiederum zum Ausstellungszeitpunkt keine Zahlungen vorgenommen. Der ausgemachte Preis F heißt Forward-Preis und entspricht dem Wert
F = S0 · R.
(10)
In einem angepassten Basismodell (Abb.:2) aus Abschnitt 2.1 können wir die Gültigkeit
der Gleichung (10) beweisen.
B0 = 1
B1 = R
ST (↑)
S0
ST (↓)
Abbildung 2: Adaptiertes Basis-Modell
Da zum Ausstellungszeitpunkt keine Zahlungen stattfinden, ist der Wert des Forwards
zum Zeitpunkt t = 0 gleich 0, daraus folgt:
1 ∗
[p (ST (↑) − F ) + (1 − p∗ )(ST (↓) − F )
R
1
F
= [p∗ ST (↑) + (1 − p∗ )ST (↓] −
R
R
F
= S0 −
⇒ F = S0 · R.
R
0=
9
Defintion 1.3 (Forward Contract)[2, S.41]
8
2.3
FX-Derivate
2.2.1
2
DAS BINOMIALMODELL
Anwendung
Die Forwards und die im Kapitel 4 eingeführten Futures haben eine praktische Bedeutung für Marktteilnehmer die mit Waren und Rohstoffen handeln wollen10 .
Ein Bauer und ein Nudelhersteller werden das gegenseitige Interesse haben einen Forward abzuschließen, der die Vertragsparteien verpflichtet, eine gewisse Menge und Güte
von Weizen zu verkaufen bzw. kaufen und das zu einem bestimmten Preis und Zeitpunkt.
Durch den Abschluss eines Forwards nehmen sich die Beteiligten die Ungewissheit
zu welchem Preis sie eine Ware kaufen bzw. verkaufen müssen und können mit dem
fixierten Preis ihre Finanzgeschäfte besser planen.
2.3
FX-Derivate
Unter Verwendung des Basis-Modells aus Abschnitt 2.1 führen wir ein Modell ein, das
die Entwicklung eines Wechselkurses beschreibt. Der Wechselkurs kann in dem Sinn
gewählt werden, dass er eine beliebige ausländische Währung (USD) in der heimischen
Währung (EUR) ausdrückt. In weiterer Folge erweitern wir das Modell um eine heimische und eine ausländische Zinsrate deren Entwicklungen folgendermaßen beschrieben
werden:
• B0h = 1,
B1h = Rh = 1 + rh bzw. B0a ,
B1a = Ra = 1 + ra .
Die Abbildung 3 zeigt, dass das Modell nicht nur von der Entwicklung des Wechselkurses, sondern auch von den betreffenden Zinsraten abhängt.
Nun legen wir den Preis eines Derivats fest, das vom Wechselkurs abhängt, sogenannte
Foreign Exchange-Derivate(FX-Derivate). Dazu wählen wir ein beliebiges Contingent
Claim mit dem Wert W1 in den zwei möglichen Zuständen zum Zeitpunkt t = 1.
10
Remark 3.2[2, S.43]
9
2.3
FX-Derivate
2
B0h
DAS BINOMIALMODELL
B1h = Rh
Ra · X1 (↑)
X0
Ra · X1 (↓)
Abbildung 3: Wechselkurs-Modell
Um den Preis W0 festzulegen gehen wir analog wie in Abschnitt 2.1 vor, indem wir zunächst ein replizierendes Portfolio von W1 beschreiben und anschließenden das Theorem auf Seite 3 anwenden. Die Gleichungen in der Zeile (11) zeigen den beschriebenen
Lösungsweg,
W1 = ξ 0 Rd + ξ 1 Rf X1 ,
W0 = ξ 0 + ξ 1 X0 .
(11)
Durch Umformen und Einsetzen erhalten wir eine allgemeine Formel, um den Preis
eines beliebigen Contingent Claims zu berechnen
W0 =
1 ∗
[p W1 (↑) + (1 − p∗ )W1 (↓)],
Rd
(12)
mit den risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten
∗
p =
2.3.1
Rd
X0
Rf
− X1 (↓)
X1 (↑) − X1 (↓)
,
∗
1−p =
X1 (↑) −
Rd
X0
Rf
X1 (↑) − X1 (↓)
.
(13)
Anwendung
Modelle dieser Art sind notwendig um Preise von Optionen festzulegen, die Marktteilnehmer kaufen um sich vor Wechselkursschwankungen abzusichern.
Betrachten wir eine europäische Firma die Waren nach Amerika exportiert. Für den
Transport gibt die Firma Geld aus, welches sie durch den Verkauf dieser Waren in Amerika erst später wieder einnehmen kann. Um sich vor einem fallenden Wechselkurs des
USD abzudecken, kann sich die Firma Put-Optionen kaufen und diese zum Fälligkeitsdatum ausüben, wenn der Kurs XT unter dem ausgemachten Strike Preis K gefallen
ist. Der Firmenbesitzer kann also mit dem höheren Kurs K, sein durch den Verkauf der
Waren angesammeltes Vermögen(in USD) in seine heimische Währung umwechseln.
10
2.4
2.4
Zinsderivate
2
DAS BINOMIALMODELL
Zinsderivate
Um ein geeigenetes Binomialmodell zu formulieren benötigen wir die Funktion PtT ,
die den Wert zum Zeitpunkt t, von 1 EUR zum späteren Fälligkeitszeitpunkt T , anzeigt.
Die Funktion PtT entspricht dann also dem Wert einer auf den Zeitpunkt t diskontierten
Anleihe, die 1 EUR zum Fälligkeitsdatum T wert ist.
Erneut unter Verwendung des Basismodells aus Abschnitt 2.1 für die Entwicklung der
diskontierten Anleihe PtT , mit beliebigem Fälligkeitsdatum T ≥ 2 erhalten wir das in
Abbildung 4 dargestellte Binomialmodell.
B1 = R =
B0 = 1
1
P01
P1T (↑)
P0T
P1T (↓)
Abbildung 4: Zinsraten-Modell
Durch die Resultate der vorigen Abschnitte, können wir die Preisformel eines Contingent Claims W sofort anschreiben durch
W0 =
1 ∗
[p W1 (↑) + (1 − p∗ )W1 (↓)],
R
(14)
mit den risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten
p∗ =
RP0T − P1T (↓)
,
P1T (↑) − P1T (↓)
1 − p∗ =
P1T (↑) − RP0T
.
P1T (↑) − P1T (↓)
(15)
Die risiko-neutrale Wahrscheinlichkeit p∗ ist unabhängig vom Fälligkeitszeitpunkt T ,
denn für ein beliebiges T gilt
P0T =
1 ∗ T
[p P1 (↑) + (1 − p∗ )P1T (↓)],
R
(16)
und durch Umformen nach p∗ erhalten wir die Gleichung
p∗ =
RP0T − P1T (↓)
,
P1T (↑) − P1T (↓)
11
(17)
2.4
Zinsderivate
2
DAS BINOMIALMODELL
die mit der ersten Gleichung aus Zeile (15) übereinstimmt.
Zwei bekannte und erwähnenswerte Zinsraten-Modelle sind das Ho-Lee-Modell11 und
das Black-Derman-Toy-Modell12 .
Das Ho-Lee-Modell war das erste arbitragefreie Zinsraten-Modell13 , und bei gegebener
Wahrscheinlichtkeit p∗ und Konstante k gilt in diesem Modell R1 (↑) = kR1 (↓).
Im Black-Derman-Toy-Modell werden die Zinsraten r1 (↑) und r1 (↓), bei gegebener
Wahrscheinlichkeit p∗ und Volatilität σ > 1 durch r1 (↑) = σr1 (↓) festgelegt.
11
[2, S.57] und [2, Abschnitt 13.3]
[2, S.58] und [2, Abschnitt 13.6]
13
http://en.wikipedia.org/wiki/Ho-Lee_model
12
12
3
3
3.1
MEHR-PERIODEN-MODELL
Mehr-Perioden-Modell
Struktur
Zum Aufbau des Mehr-Perioden-Modells (Abb.: 5) führen wir Knoten mit der Beschriftung (n, j) ein, die den gegenwärtigen Zeitpunkt n und den jeweiligen Zustand j darstellen. Bei der Beschreibung der Entwicklung von Assets, werden die Knoten in die
Indizes des jeweiligen Assets geschrieben(s. Abb. 6).
Ein beliebiger Knoten (n, j) entwickelt sich im nächsten Zeitschritt nur in die zwei
möglichen Zustände (n + 1, j + 1) und (n + 1, j). Zu jedem Zeitpunkt n gibt es n + 1Zustände und j nimmt die Werte j = 0, 1, 2, . . . , n an. Als maximalen Zeitwert werden
wir die Variable N benützen.
(3, 3)
(2, 2)
(1, 1)
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 0)
(3, 1)
(2, 0)
(3, 0)
Abbildung 5: Mehr-Perioden-Modell
Die Vorgehensweise in den N − n-ten Schritten zur Vervollständigung des Modells bis
zum maximalen Zeitwert N ist aus der Abbildung 5 offentsichtlich.
Die Erweiterung der Basismodelle aus Kapitel 2 in ein Mehr-Perioden-Modell, stellt die
Abbildung 6 auf S.14 anhand einer Aktie dar.
Klarerweise ist Rn,j = 1 + rn,j der Wert zum Zeitpunkt t = n + 1, den man nach einer
Investition von 1 EUR zum Zeitpunkt t = n verdient hat.
13
3.2
Rückwärts Induktions Preis Formel
3
MEHR-PERIODEN-MODELL
Rn,j = 1 + rn,j
1
Sn+1,j+1
Sn,j
Sn+1,j
Abbildung 6: Entwicklung einer Aktie S im n-ten Schritt
3.2
Rückwärts Induktions Preis Formel
Da das Multi-Perioden-Modell offensichtlich aus einzelnen Basismodellen besteht, ist
es naheliegend die Resultate aus Kapitel 2 anzuwenden, um den Preis eines Contingent
Claims festzulegen.
Ist W ein beliebiges Contingent Claim einer Option mit den bekannten Auszahlungen
WN,j für alle j = 0, 1, . . . , N . So können wir unter der Anwendung der Allgemeinen
Preis Formel (8), in den einzelnen Basismodellen
RN −1,j = 1 + rN −1,j
1
SN,j+1
SN −1,j
SN,j
Abbildung 7: Entwicklung einer Aktie S im N-ten Schritt
die Werte WN −1,j für alle j = 0, 1, . . . , N − 1 durch
WN −1,j =
1
RN −1,j
[p∗N −1,j WN,j+1 + (1 − p∗N −1,j )WN,j ]
(18)
berechnen.
In analoger Weise können wir anschließend die Werte WN −2,j für alle j = 0, 1, . . . , N −
2 in den Basismodellen im N − 2-ten Schritt(s. Abbbildung 8, S.15) berechnen.
14
3.3
Forwards im Mehr-Perioden Modell
1
3
MEHR-PERIODEN-MODELL
RN −2,j = 1 + rN −2,j
SN −1,j+1
SN −2,j
SN −1,j
Abbildung 8: Entwicklung einer Aktie S im N − 1-ten Schritt
Diesen Vorgang können wir induktiv für alle weiteren Schritte N −3, . . . , 1, 0 fortsetzen
und erhalten schlussendlich den Preis W0,0 des Contingent Claims.
Die angewendete Formel (18) im Knoten (n, j) definieren wir als Rückwärts Induktions Preis Formel14 :
Wn,j =
3.3
1 ∗
[pn,j Wn+1,j+1 + (1 − p∗n,j )Wn+1,j ].
Rn,j
(19)
Forwards im Mehr-Perioden Modell
Aufbauend auf Abschnitt 2.2 entspricht der Wert des Forwards zum Fälligkeitszeitpunkt
N im Knoten (N, j) dem Ausdruck SN,j − F0,0 . Diskontiert man diesen Ausdruck zum
Knoten (0, 0), dann muss dieser Wert für einen fairen Wert von F0,0 gleich 0 sein. So
erhalten wir die Gleichung für den Preis von F durch folgende Schritte:
0 = SN,j P0N − F0,0 P0N = S0,0 − F0,0 P0N
⇒
F0,0 =
S0,0
.
P0N
(20)
Wenn Fn,j mit Fälligkeit N , der Forward-Preis von S ist, der im Knoten (n, j) eingeleitet ist, dann gilt
Fn,j =
Sn,j
.
n
Pj,N
−n
(21)
n
Im Mehr-Perioden-Modell zeigt die Funktion Pj,T
den Wert im Knoten (n, j) von 1
EUR zum Zeitpunkt T + n an.
14
Generalized Backward Induction Pricing Formula[2, Abschnitt 4.4]
15
4
4
FUTURES
Futures
Ein Future ist ein verbindliches Termingeschäft, das an Börsen gehandelt wird. Er ist
wie der Forward(s. Abschnitt 2.2), ein Abkommen zwischen zwei Vertragsparteien, hat
aber einen bedeutsamen Vorteil. Die Futures lösen nämlich das Problem, dass die Partei
in der short-Position das Risiko des Zahlungsverzugs bzw. Versäumnisses des Vertragspartners trägt.
Da die Ausstellungs- und Fälligkeitsdaten eine große Zeitspanne entwickeln können,
kann das Szenario auftreten, dass der zum Kauf verpflichtete Vertragspartner nicht mehr
ausreichend liquide ist und dadurch in Zahlungsverzug kommt, was der anderen Vertragspartei natürlich schadet. Wie der Future dieses Problem beseitigt wird im letzten
Abschnitt 4.4 gezeigt.
Zusammengefasst ist also ein Future, ein börsengehandelter Vertrag, der zum Kauf bzw.
Verkauf eines Assets zu einem ausgemachten Preis G0,0 und zu ausgemachter Zeit N
verpflichtet. Diese Verträge sind standardisiert durch die jeweiligen Börsen. Zur Bedeutung der Futures sei erwähnt, dass auf einer der größten Options-Börsen der Welt,
der Chicago Board Options Exchange (CBOE15 ), über eine Milliarde Verträge jährlich
abgeschlossen werden.
4.1
Margin
Jede Börse hat ihre eigenen speziellen Regeln, aber im Allgemeinen muss man eine
Margin(engl.:Margin Account[2, S.90]) an einer Börse eröffnen um einen Future überhaupt abschließen zu können. Ähnlich wie bei Bankkonten verdient man durch eingezahltes Kapital Zinsen, muss aber auch einen durch die Börse festgesetzten Mindestbetrag auf dem Konto haben, der einer gewissen Sicherheitsleistung gegenüber der Börse
entspricht. Die Abrechnungsstelle der Börse hat Zugriff auf das Konto und kann zusätzliche Beträge einzahlen bzw. entnehmen. Wenn der Betrag auf dem Konto unter
dem Mindestbetrag fällt, kommt es zu einem Margin Call (deutsch:Aufruf zur Sicher15
http://de.wikipedia.org/wiki/Chicago_Board_Options_Exchange
16
4.2
Future-Preis
4
FUTURES
heitsleistung16 ), der ein Warnhinweis an den betroffenen Kontoinhaber ist. Kommt der
Händler dem Aufruf zur erneuten Hinterlegung einer Sicherheitsleistung nicht nach,
dann wird der Vertrag automatisch ausgeschlossen.
4.2
Future-Preis
Betrachten wir ein konkretes Beispiel in dem zwei Firmen einen Future an der Börse
abschließen wollen und es sich bei dem Asset um eine Aktie S handelt. Weiters nehmen
wir an, dass in diesem Beispiel kein Margin Call notwendig sein wird.
Die Firma in der long-Position, eröffnet einen Margin Account mit dem Betrag M0,0 und
die Firma die sich zum Verkauf verpflichtet hat, eröffnet ebenso einen Margin Account
mit dem Betrag L0,0 . Klarerweise beschreiben Mn,j und Ln,j die Werte der Margin
Accounts und Gn,j den Future Preis zum Zeitpunkt n in dem Zustand j. Offensichtlich
gilt für den Future-Preis zum Fälligkeitsdatum N , GN,j = SN,j für alle j = 0, 1, . . . , N .
Um den Preis des Futures in den vorigen Zeitschritten n < N zu berechnen, betrachten
wir zunächst die Entwicklung der Margin Accounts. Die Dynamic der Margin Accounts
M bzw. L beschreiben die Gleichungen (22) und (23) bzw. (24) und (25).
Mn+1,j+1 = Mn,j Rn,j + [Gn+1,j+1 − Gn,j ]
(22)
Mn+1,j = Mn,j Rn,j + [Gn+1,j − Gn,j ]
(23)
Ln+1,j+1 = Ln,j Rn,j − [Gn+1,j+1 − Gn,j ]
(24)
Ln+1,j = Ln,j Rn,j − [Gn+1,j − Gn,j ]
(25)
Von einem gegenwärtigen Zeitpunkt n zum zukünftigen Zeitwert n + 1 verdienen beide
Margin Accounts durch den aktuellen Betrag Zinsen Mn,j Rn, j bzw. Ln,j Rn,j .
Aus den Vorzeichen der Gleichungen (22) und (24) ist weiters ersichtlich, dass wenn
der Preis des Futures steigt, dann wird den Margin Accounts M bzw. L, die Differenz
Gn+1,j+1 − Gn,j > 0 gutgeschrieben bzw. belastet.
16
http://de.wikipedia.org/wiki/Margin_Call
17
4.2
Future-Preis
4
FUTURES
Im Szenario, dass der Future-Preis sinkt ist aus den Gleichungen (23) und (25) der
umgekehrte Fall zu betrachten.
Den Prozess, die Margin Accounts in jeder Zeitperiode den Entwicklungen anzupassen,
nennt man marking to market[2, S.91]. An den Börsen werden also die Gewinne bzw.
Verluste nicht erst zur Auflösung des Vertrages ermittelt, sondern durch die verantwortliche Abrechnungsstelle täglich berechnet und den jeweiligen Konten gutgeschrieben
bzw. belastet. Dieser Prozess entspricht also einem täglichen Gewinn- und Verlustausgleich17 .
Um den Future-Preis zu berechnen, verwenden wir die Rückwärts Induktions Preis Formel (19) für den Margin Account M , so gilt in einem beliebigen Knoten (n, j):
Mn,j =
1 − p∗n,j
p∗n,j
Mn+1,j+1 +
Mn+1,j .
Rn,j
Rn,j
(26)
Im nächsten Schritt setzten wir (22) und (23) in die Gleichung (26) ein und formen nach
Gn,j um:
Mn,j
p∗n,j
1 − p∗n,j
=
(Mn,j Rn,j + [Gn+1,j+1 − Gn,j ]) +
(Mn,j Rn,j + [Gn+1,j − Gn,j ])
Rn,j
Rn,j
1 − p∗n,j
p∗n,j
[Gn+1,j+1 − Gn,j ] +
[Gn+1,j − Gn,j ]
= Mn,j +
Rn,j
Rn,j
p∗n,j
1 − p∗n,j
Gn,j
= Mn,j +
[Gn+1,j+1 ] +
[Gn+1,j ] −
.
Rn,j
Rn,j
Rn,j
Aus den obigen Gleichungen folgt unmittelbar
Gn,j = p∗n,j Gn+1,j+1 + (1 − p∗n,j )Gn+1,j ,
(27)
und da zusätzlich GN,j = SN,j für alle j = 0, 1, . . . , N gilt, können wir in analoger
Weise zu Abschnitt 3.2, Gn,j zu jedem Zeitpunkt n und in jedem Zustand j berechnen.
17
http://www.deifin.de/fuma2.htm
18
4.3
4.3
Der Marginwert zur Fälligkeit
4
FUTURES
Der Marginwert zur Fälligkeit
Für beide Vertragsparteien wird sich natürlich die Frage stellen, welchen Betrag MN,j
bzw. LN,j sie zum Fälligkeitszeitpunkt auf ihren Margin Accounts haben.
Dazu betrachten wir erneut die Gleichungen (22) - (25) und formen diese um. Den
Ausdruck Rn,j ersetzen wir mit 1 + rn,j und bringen Mn,j bzw. Ln,j auf die andere Seite
und erhalten folgende Gleichungen:
Mn+1,j+1 − Mn,j = Mn,j rn,j + [Gn+1,j+1 − Gn,j ]
(28)
Mn+1,j − Mn,j = Mn,j rn,j + [Gn+1,j − Gn,j ]
(29)
Ln+1,j+1 − Ln,j = Ln,j rn,j − [Gn+1,j+1 − Gn,j ]
(30)
Ln+1,j − Ln,j = Ln,j rn,j − [Gn+1,j − Gn,j ].
(31)
Betrachten wir nun ein beliebiges Szenario mit Fälligkeitsdatum N = 3, dessen Entwicklung durch die Knoten (0, 0) → (1, 1) → (2, 1) → (3, 2) beschrieben wird. Die
entsprechende Entwicklung des Margin Accounts M nach dem Szenario, ergibt aus den
Gleichungen (28) und (29) folgende Beziehungen:
M1,1 − M0,0 = M0,0 r0,0 + G1,1 − G0,0
M2,1 − M1,1 = M1,1 r1,1 + G2,1 − G1,1
M3,2 − M2,1 = M2,1 r2,1 + G3,2 − G2,1 .
Durch Addieren der drei Gleichungen miteinander und dem Ersetzen von G3,2 durch
S3,2 erhalten wir
M3,2 − M0,0 = M0,0 r0,0 + M1,1 r1,1 + M2,1 r2,1 + [S3,2 − G0,0 ].
Mit der letzten Umformung ist nun klar ersichtlich, dass sich der Betrag M3,2 zum Fälligkeitsdatum, aus dem ursprünglichen Wert, den verdienten Zinsen und der Differenz
des Future-Peises und der Aktie S zusammensetzt:
M3,2 = M0,0 + M0,0 r0,0 + M1,1 r1,1 + M2,1 r2,1 + [S3,2 − G0,0 ].
Durch analoger Vorgehensweise für den Margin Account L erhalten wir die jeweiligen
19
4.4
Forwards und Futures im Vergleich
4
FUTURES
allgemeinen Formeln
Mn,j = M0,0 + Zinsen + [Gn,j − G0,0 ]
(32)
Ln,j = L0,0 + Zinsen + [Gn,j − G0,0 ]
(33)
die für alle Knoten (n, j) mit n = 1, 2, . . . , N und j = 0, 1, . . . , n gelten.
4.4
Forwards und Futures im Vergleich
Wir werden uns nun dem Problem des Zahlungsverzugs stellen, und nehmen an, dass
der Kontoinhaber des Margin Accounts M in einem beliebigen Knoten (n, j) in Verzug
kommt. Das kann geschehen wenn der Betrag Mn,j unter der in Abschnitt 4.1 eingeführten Sicherheitsleistung fällt. Der Besitzer erhält in weiterer Folge einen Margin Call.
Nehmen wir an, der Kontoinhaber folgt diesem Warnhinweis nicht, dann wird diese
Handelsposition automatisch geschlossen.
Die zuständige Abrechnungsstelle der Börse arrangiert in diesem Fall mit einem anderen Marktteilnehmer einen neuen Vertrag mit gleichem Fälligkeitsdatum N . In den
meisten Fällen ist es den Marktteilnehmern auch nicht bekannt, dass der ursprüngliche
Vertragspartner in Zahlungsversäumnis geraten ist und keine weitere Sicherheitsleistung
hinterlegt hat.
Wir sehen, dass die Erfindung des Prozesses marking to market und von Margin Accounts, das Problem des Zahlungsverzugs in Forwards gelöst hat. Tatsächlich ist marking to market eine übliche Eigenschaft vieler Finanzmärkte, die garantiert, dass kein
Marktteilnehmer dieses Risiko trägt.
20
4.4
Forwards und Futures im Vergleich
4
FUTURES
Das nächste Theorom zeigt unter welchen Voraussetzungen die Preise von Futures und
Forwards übereinstimmen.
Theorem18 : Stimmen die Zinsraten in jedem Zeitschritt n in allen Zuständen j =
0, 1, . . . , n überein, dann gilt:
Fn,j = Gn,j
für alle (n, j).
(34)
Beweis :Die Prämisse lässt sich wie folgt formulieren:
∀n = 0, 1, . . . , N
∀i, j = 0, 1, . . . , n
: i 6= j ⇒ Rn,i = Rn,j .
In Folge verwenden wir Rn für alle n, als verdiente Zinsrate an 1 EUR im Zeitschritt
n − 1 für alle j = 0, 1, . . . , n. Weiters gilt
FN,j = GN,j = SN,j ,
∀j = 0, 1, . . . , N.
(35)
Wir müssen im Folge dessen nur zeigen, dass die Rückwärts Induktions Preis Formel
von Fn,j , mit der von Gn,j (Gleichung (27)) übereinstimmt.
n
Der Ausdruck Pj,N
−n beschreibt den diskontierten Wert im Knoten (n,j) von 1 EUR
zum Zeitpunkt N und kann deswegen folgendermaßen umformuliert werden:
n
Pj,N
−n =
1
1
1
·
···
.
Rn Rn+1
RN − 1
Die obige Gleichung in (21) eingesetzt ergibt:
Fn,j = Rn · Rn+1 ·
···
· RN −1 · Sn,j
1 ∗
∗
= Rn · Rn+1 · · · · · RN −1 ·
[p Sn+1,j+1 + (1 − pn,j )Sn+1,j ]
Rn n,j
= Rn+1 · · · · · RN −1 · p∗n,j Sn+1,j+1 + (1 − p∗n,j )Sn+1,j .
Daraus folgt die Gleichung
Fn,j = p∗n,j Fn+1,j+1 + (1 − p∗n,j )Fn+1,j ,
die mit der Rückwärts Induktions Preis Formel (27) für G übereinstimmt. Aus der Gleichung (35) können wir nun schließen, dass Fn,j = Gn,j für alle n < N und j =
0, 1, . . . , n gilt.
18
Theorem 6.5 [2, S.2]
21
LITERATUR
LITERATUR
Quellenverzeichnis
Literatur
[1] Hans Föllmer and ; Alexander Schied. Stochastic Finance. De Gruyter.
[2] John van der Hoek and ; Robert J. Elliott. Binomial Models in Finance. Springer
Finance Textbook, 2006.
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