02 Bin„re Arithmetik (VL05)
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Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 72 Nebenbemerkung Betrachte die recht harmlose Dezimalzahl 0 8 Betrachte die recht harmlose Dezimalzahl 0,8. Für die folgende unendliche Reihe rechnet man leicht nach: Für die folgende unendliche Reihe rechnet man leicht nach: (2‐1 + 2‐2) + (2‐5 + 2‐6) + (2‐9 + 2‐10) + (2‐13 + 2‐14) + ... = 4/5 = 0.8 Folglich ist die Binärdarstellung von 0.8 unendlich lang, nämlich: 0 , 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 ... Annahme wir speichern nur die ersten 32 Bits. Rechnet man in den Dezimalwert x zurück, dann ergibt sich: e a e t u üc , da e g bt s c x = (2‐1 + 2‐2) + (2‐5 + 2‐6) + (2‐9 + 2‐10) + ... + (2‐29 + 2‐30) = 858.993.459 / 1.073.741.824 = 0,79999999981373548508 ≠ 0,8 Oha, 0,8 ist scheinbar doch nicht so harmlos. Es gibt folglich Zahlen mit endlicher dezimaler Gleitkommadarstellung die binär nicht mit mit endlicher dezimaler Gleitkommadarstellung, die binär nicht mit endlicher Anzahl Bits darstellbar sind. Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 73 N‐Bit Darstellung von Gleitkommazahlen Normalisierte, wissenschaftliche Darstellung zur Basis 2. Beispiel: Allgemein: Sign‐and‐Magnitude‐Darstellung für beispielsweise 32 Bits: (s=0 für „+“ und s=1 für „‐“) s exponent fraction 1 Bit 1 Bit 8 Bits 8 Bits 23 Bits 23 Bits Tradeoff: Viele Fraction‐Bits: hohe Genauigkeit der Fraction g Viele Exponent‐Bits: großer darstellbarer Zahlenbereich Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 74 Beispiel s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit‐Strings? Strings? 100000101101100000000000000000000 Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 75 Wertebereiche, Overflow und Underflow s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Kleinste darstellbare Zahl annähernd 2,0 · 10‐38 Größte darstellbare Zahl annähernd 2,0 · 1038 Was, wenn die darzustellende Zahl außerhalb dieses Bereichs ist? Overflow: Zahl zu groß (Exponent ist zu groß um im Exponent‐Feld (Exponent ist zu groß um im Exponent Feld darstellbar zu sein) darstellbar zu sein) Underflow: Zahl zu klein (Negativer Exponent ist zu groß um im Exponent‐Feld darstellbar zu sein) Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 76 Double‐ und Single‐Precision Beispiel: Single‐ Precision Double‐ Precision Insgesamt 32 Bits s exponent 1 Bit 8 Bits f fraction i 23 Bits Insgesamt 64 Bits Insgesamt 64 Bits s exponent 1 Bit 11 Bits fraction 52 Bits Double‐Precision hat höhere Genauigkeit der Fraction und mit größerem Exponent auch einen größeren darstellbaren öß E t h i öß d t llb Zahlenbereich. Double‐Precision in diesem Beispiel: Kleinste darstellbare Zahl annähernd 2,0 · 10‐308 Größte darstellbare Zahl annähernd 2,0 · 10308 Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 77 Der Zahlenformatstandard IEEE 754 Single‐ Precision Double‐ Precision Insgesamt 32 Bits Insgesamt 32 Bits s exponent 1 Bit 8 Bits fraction 23 Bits I Insgesamt 64 Bits t 64 Bit s exponent 1 Bit 11 Bits fraction 52 Bits Bit‐Aufteilungen in dieser Form sind in IEEE 754 spezifiziert. Betrachte die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung: [+ oder ‐] 1,xxxxxxxx · 2yyyy Beobachtung: die 1“ vor dem Komma ist redundant. Beobachtung: die „1 vor dem Komma ist redundant „ p g Somit: Bei IEEE 754 wird die „1“ implizit angenommen und in „fraction“ nicht codiert. „fraction“ speichert nur Nachkommastellen. Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 78 Beispiel s exponent fraction 1 Bit 1 Bit 8 Bits 8 Bits 23 Bits 23 Bits Es sei die „1“ vor dem Komma implizit angenommen. „Fraction“ speichere damit nur die Nachkommastellen. Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit‐Strings? 1000001010110000000000000000000 Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 79 Weitere Eigenschaften von IEEE 754 Unterscheidung von „Fraction“ und „1+Fraction“ in der Darstellung ((‐1) 1)S · (1 + Fraction) · (1 + Fraction) 2Exponent 1+Fraction wird als Significant (deutsch: Mantisse) bezeichnet. 1+Fraction wird als Significant (deutsch: Mantisse) bezeichnet. Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 80 Motivation für eine geeignete Exponent‐Darstellung Annahme: Exponent wäre mit Zweierkomplement dargestellt. Wie macht man einen Größer‐Kleiner‐Vergleich der folgenden beiden Zahlen? Zahl 1: 000000111101000100000000000000000 Zahl 2: 011010111010010000010000000000000 Zahl 2: 1. Vergleiche erst mal die Vorzeichenbits. Bei unterschiedlichen V Vorzeichenbits ist der Vergleich beendet. i h bit i t d V l i h b d t 2. Vergleiche die Exponenten. Ist einer größer als der andere, ist der Vergleich beendet (Signed‐Vergleich) der Vergleich beendet. (Signed Vergleich) 3. Vergleiche die Fractions. (Unsigned‐Vergleich) Kann man Schritt 2 und 3 in einem durchführen? Kleinster Exponent müsste 00000000 und größter Exponent müsste 11111111 sein dann könnte man Exponent und Fraction für einen Vergleich einfach sein, dann könnte man Exponent und Fraction für einen Vergleich einfach konkatenieren. Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 81 Darstellung des Exponenten in Biased‐Notation Ei Erinnerung: Biased‐Notation (hier mit 8‐Bit und Bias 127): Bi d N i (hi i 8 Bi d Bi 127) 0000 0000 = 0000 0001 = ... 0111 1110 = 0111 1111 = 1000 0000 = ... 1111 1110 = 1111 1111 = -127 -126 (0-Bias = -127) (1-Bias = -126) -1 0 1 ( (126-Bias = -1) ) (127-Bias = 0) (128-Bias = 1) 127 128 (254-Bias = 127) (255-Bias = 128) Zusammengefasst: Der Wert x einer Zahl in IEEE 754 Darstellung ist (Single‐Precision (8‐Bit‐Exponent) Bias=127, Double‐Precision (11‐Bit‐Exponen) Bias=1023) Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 82 IEEE 754 Encoding Wie stellt man im IEEE 754 Format eigentlich die „0“ dar!? (‐1)S · (1 + Fraction) · 2(Exponent—Bias) Single‐Precision (Bias=127) Double‐Precision (Bias=1023) Dargestelltes Objekt Exponent Fraction Exponent Fraction 0 0 0 0 0 0 Nicht‐Null 0 Nicht‐Null (+/‐ Denormalised Number) 1 bis 254 bis 254 Beliebig 1 bis 2046 1 bis 2046 Beliebig +/‐ Gleitkommazahl +/ 255 0 2047 0 +/‐ Unendlich 255 Ni ht N ll Nicht‐Null 2047 Ni ht N ll Nicht‐Null N N (Not a Number) NaN (N t N b ) Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 83 Quiz Betrachte IEEE 754 Single‐Precision, also Bias = 127. Was ist der Dezimalwert der folgenden Binärzahl? 010000000110000000000000000000000 ((‐1))S · ((1 + Fraction) · ) 2(Exponent—Bias) Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 84 Quiiiiz Bestimme S, Fraction und Exponent der IEEE 754 Single‐Precision Repräsentation (also Bias = 127) der Dezimalzahl ‐0.75. (Exponent—Bias) Bias) ((‐1) 1)S · (1 + Fraction) · (1 + Fraction) 2(Exponent Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 85 Gleitkommaarithmetik Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 86 Gleitkommaarithmetik Additi Addition von binären n‐Bit Gleitkommazahlen bi ä Bit Gl itk hl Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 87 Vorüberlegung Addition mit gleichem Exponent (Nachkomma mit 4 Bits kodiert): Addition mit unterschiedlichen Exponenten (Nachkomma 4 Bits): Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 88 Vorüberlegung Ergebnis muss unter Umständen wieder normalisiert werden: Bei Einschränkung auf n Bit (z.B. Nachkomma auf 4 Bit einge‐ schränkt) kann dies anschließendes Auf‐ bzw. Abrunden erfordern. Beispiel: Runden nach der „Schulmethode“ Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 89 Vorüberlegung Das Runden kann ggf. neues Normalisieren erforderlich machen: Normalisierungen können Overflows und Underflows hervorrufen. Beispiel: IEEE 754 Single‐Precision erlaubt Exponenten von ‐126 bis 127. Somit ist zum Beispiel: Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 90 Additionsalgorithmus 2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. Beispiel 1 1,000 · 2‐1 ‐ 1,110 · 1 110 2‐22 (1) Beispiel 2 1,001 · 210 + 1,101 · 1 101 211 Start (1) Vergleiche Exponenten der beiden Zahlen Shifte die der beiden Zahlen. Shifte die kleinere Zahl nach rechts, so dass der Exponent mit dem Exponent der größeren Zahl übereinstimmt. (Mantissen‐ Ali Alignment) t) (2) (2) Addiere die Mantissen. Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 91 Additionsalgorithmus 2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. Beispiel 1 Beispiel 2 0,001 · 2‐1 10,001 10,001 · 211 (2) 0,001 (3) (3) Normalisiere die Summe, (3) Normalisiere die Summe, entweder durch Rechts‐Shift und hoch setzen oder durch Links‐Shift und runter setzen des Exponenten. Im Beispiel 8‐Bit für den Exponenten. Overflow oder Underflow? nein Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik ja „Exception“ E ti “ 92 Additionsalgorithmus zurück nach (3) ( ) 2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. Beispiel 1 (3) 1 000 2‐4 1,000 · Beispiel 2 1 0001 212 1,0001 · (4) Runde die Mantisse auf die verfügbare Anzahl Bits. (4) Immer noch normalisiert? li i ? nein i j ja Fertig Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 93 Noch eine Bemerkung Betrachte die folgende binäre Floats h d f l d b l mit 8‐Bit Mantisse: x = −1 x = 1,100 000 · 100 000 · 2100, y = 1,100 000 · y = 1 100 000 · 2100 , z = 1,000 0000 z = 1 000 0000 Was ist x + (y + z)? (y ) Was ist (x + y) + z? SSomit ist x + (y + z) ≠ (x + y) + z, d.h. die Gleitkommaaddition ist it i t + ( + ) ≠ ( + ) + d h di Gl itk dditi i t nicht assoziativ! Quiz: Was ist die Konsequenz, wenn man x1 + x Quiz: Was ist die Konsequenz, wenn man x + x2 + ... + x + ... + xn parallel parallel berechnen möchte? Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 94 Gleitkommaarithmetik M lti lik ti Multiplikation von binären n‐Bit Gleitkommazahlen bi ä Bit Gl itk hl Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 95 Vorüberlegung Multiplikation von zwei beliebigen binären Floats in normalisierter Darstellung. Was ist der Exponent des Ergebnisses? Multiplikation der Mantissen Wo kommt das Komma hin? Multiplikation der Mantissen. Wo kommt das Komma hin? Was ist das Vorzeichen v von x · y? Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 96 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. Start 1,101 · 2‐11 · ‐1,100 · 2‐22 (1) (1) Addiere die Exponenten. (S bt hi (Subtrahiere Bias im Falle Bi i F ll von Biased‐Notation ) Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 97 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (1) Der Exponent ist ‐3 Die Mantissen sind: 1 101 und 1,100 1,101 und 1 100 (2) (2) Multipliziere die (2) Multipliziere die Mantissen. Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 98 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (2) (3) 10,011100 · 2‐3 (3) Normalisiere das Produkt (3) Normalisiere das Produkt Falls notwendig. Normalisierung erfolgt durch Rechts‐Shift und erhöhen des Exponenten. Im Beispiel 8‐Bit für den Exponenten. Overflow oder Underflow? nein Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik ja „Exception“ E ti “ 99 zurück nach (3) Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (Eingabe: 1,101 · 2‐11 · ‐1,100 · 2‐22) (3) (4) 1,0011100 · 2‐2 1,0011100 (4) Runde die Mantisse auf die verfügbare Anzahl Bits die verfügbare Anzahl Bits. Immer noch normalisiert? nein ja (5) (5) Setze Vorzeichen auf „+ (5) Setze Vorzeichen auf +“ wenn die Vorzeichen der Eingaben gleich waren. Sonst g g setze Vorzeichen auf „‐“. Fertig Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 100
