Bewegung im elektromagnetischen Feld

Kapitel 6
Bewegung im
elektromagnetischen Feld
6.1
Hamilton–Operator und Schrödinger–Gleichung
� und B.
� Aus der Elektrodynamik ist bekannt, dass in einem elektrischen
Felder E
�
� r) Kräfte auf geladene Teilchen wirken.
Feld E(�r) und einem Magnetfeld B(�
� und B
� lassen sich aus
� und Skalarpotential φ. Die Felder E
Vektorpotential A
� r, t) und sog. Skalarpotential φ(�r, t) ableiten,
einem sog. Vektorpotential A(�
�
� ,
� = − 1 ∂ A − ∇φ
E
c ∂t
� = ∇
� ×A
�.
B
(6.1a)
(6.1b)
� bildet dabei einen relativistischen Vierer–Vektor, E
� und B
� sind nicht Kompo(φ, A)
nenten von relativistischen Vierer–Vektoren. Man beachte, dass in diesen Notizen die
sog. cgs Einheiten verwendet werden.
Eichtransformation.
umgeeicht werden,
� und φ sind nicht eindeutig, sondern können
Die Felder A
� x, t) + ∇Λ(�
� x, t) ,
� x, t) → A
� � (�x, t) = A(�
A(�
1 ∂
Λ(�x, t) ,
φ(�x, t) → φ� (�x, t) = φ(�x, t) −
c ∂t
(6.2a)
(6.2b)
� und B
� sind invariant unter dieser
wo Λ(�x, t) eine beliebige Funktion ist. Die Felder E
Transformation. Wie aus der Elektrodynamik bekannt ist, kann man erreichen, dass
� ·A
� = 0
∇
(6.3)
ist; man spricht von der Coulomb–Eichung.
130
6.1. HAMILTON–OPERATOR UND SCHRÖDINGER–GLEICHUNG
Hamilton–Funktion. Die Hamilton–Funktion für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld ist
�2
q�
1 �
(6.4)
p� − A(�
r, t) + q φ(�r, t) ,
H =
2m
c
� r, t) = m �v den kinetischen Impuls bezeichnet. Diese Hamilton–Funktion
wobei p� − qc A(�
kann in Eichtheorien abgeleitet werden (vgl. Zentralübung 19). Der letzte Term kann
als Potential aufgefasst werden, Vel = q φ(�r, t), und reproduziert für die in Abschnitt 5.5
2
diskutierte Situation das Coulomb–Potential − Zre .
Hamilton–Operator. Der Hamilton–Operator ergibt sich dann unter Ausnutzung
des Korrespondenzprinzips zu
�2
1 � �
q�
H =
i � ∇ + A(�
(6.5)
r, t) + q φ(�r, t) .
2m
c
Schrödinger–Gleichung.
i�
Die Schrödinger–Gleichung ist dann
∂
Ψ(�r, t) = H Ψ(�r, t)
∂t
�
�
�2 � 2
q2 � 2
i q � �� � � � �
= −
∇·A+A·∇ +
∇ +
A + q φ Ψ(�r, t)
2m
2m c
2m c2
Was passiert mit der Schrödinger–Gleichung unter einer Eichtransformation? Durch
Nachrechnen bestätigt man, dass, falls Ψ(�r, t) die Schrödinger–Gleichung mit den
� und φ erfüllt, so erfüllt
Feldern A
�
�
−i q
�
Λ(�x, t) Ψ(�x, t)
(6.6)
Ψ (�x, t) = exp
�c
� � und φ� aus (6.2). Die Multiplikation von Ψ mit eidie entsprechende Gleichung mit A
� und φ
ner Orts- und zeitabhängigen Phase kann also durch eine Transformation von A
2
kompensiert werden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = |Ψ| ändert sich offensichtlich
nicht unter (6.6).
� = 0. Damit ist dann
Nun wählen wir die Coulomb–Eichung, d.h. ∇ · A
� · ∇Ψ
� .
� A
� Ψ) = (∇
� ·A
�) Ψ + A
∇(
�
� ��
=0
Dies führt dann auf die Schrödinger–Gleichung
i�
∂
Ψ(�r, t) = H Ψ(�r, t)
∂t
�
�
q2 � 2
iq� � �
�2
A·∇+
Δ+
A + q φ Ψ(�r, t) .
= −
2m
mc
2m c2
(6.7)
� und φ nicht (explizit) von der Zeit abhängen, so sind wir wieder bei der
Falls A
stationären Schrödinger–Gleichung
H ψ(�r) = E ψ(�r) .
131
6.2. BEWEGUNG IM KONSTANTEN MAGNETFELD
6.2
Bewegung im konstanten Magnetfeld
Um ein konstantes Magnetfeld zu beschreiben, setzen wir
φ ≡ 0
und
� = − 1 (�r × B)
�
A
2
� Um zu sehen, dass wir damit das gewünschte B
� reproduzieren,
mit konstantem B.
verwenden wir die Relation für beliebige Vektorfelder �a und �b
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �a − �a · ∇
� �b .
� · �a + �b · ∇
� · �b − �b ∇
� × �a × �b = �a ∇
∇
Damit folgt
� = −1∇
� × (�r × B)
�
B
2
�
1� � �
� B
�
� (∇
� · �r) + (B
� · ∇)
� �r − (�r · ∇)
· B) −B
= − �r (∇
� �� � � �� � � �� �
2 � �� �
=0
=3
�
=B
=0
1
�
= − [−3 + 1]B
2
� .
= B
� 2 -Term in der Schrödinger–
Nun betrachten wir den Fall schwacher Felder, so dass der A
Gleichung vernachlässigt werden kann. Übrig bleibt
�
� �
�
�2
1
iq�
� ·∇
� ψ(�r) = E ψ(�r) .
−
−
(�r × B)
Δ+
2m
mc
2
� konstant ist, gilt
Da B
�
�
�
�
� �
�ψ .
� ·∇
� ψ = − �r × ∇
� · B
�r × B
Nun können wir die Schrödinger–Gleichung weiter umformen,
E ψ(�r) =
=
�
−
�
−
�
�2
iq�
� ψ(�r)
� ·B
Δ+
(�r × ∇)
2m
2m c � �� �
�
= �i L
�2
q � ��
Δ−
L · B ψ(�r) ,
2m � 2m��
c
�
�
=: µ
� ·B
(6.8)
wobei
µ
� =
−q �
L
2m c
(6.9)
das sog. magnetische Moment und µ
� den zugehörigen Operator bezeichnen.
132
6.3. ZEEMANN–EFFEKT
Fazit.
Im schwachen konstanten Magnetfeld lautet der Hamilton–Operator
H = −
6.3
�2
� .
Δ+µ
� ·B
2m
(6.10)
Zeemann–Effekt
Wir betrachten nun ein Teilchen, das im Coulomb–Potential
V = − e φ(�r) = −
e2
r
� angelegt sei. Das
gebunden ist, wobei noch ein konstantes schwaches Magnetfeld B
Koordinatensystem sei so gewählt, dass das Magnetfeld in z–Richtung zeigt,
� = (0, 0, B) = B · �ez .
B
Das magnetische Moment des Elektrons (q = −e) ist
µ
� =
�
eL
.
2m c
Hamilton–Operator.
Der Hamilton–Operator ist
� ,
H = H0 + µ
� ·B
wobei H 0 den Hamilton–Operator eines Teilchens in einem Coulomb–Potential bezeichnet,
�
�
�2 ∂
e2
L2
2 ∂
H0 = −
−
.
r
+
2
2
2m r ∂r
∂r
2m r
r
Schrödinger–Gleichung.
Die Schrödinger–Gleichung schreibt sich nun
H ψn�m� = H 0 ψn�m� +
eB
Lz ψn�m� = E ψn�m� .
2m c
In der Dirac–Notation entspricht diese Gleichung
H |n, �, m� � = H 0 |n, �, m� � +
eB
Lz |n, �, m� � = E |n, �, m� � .
2m c
Es gilt
Lz |n, �, m� � = � m� |n, �, m� � .
Da H 0 und Lz kommutieren, besitzen sie einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen, den Y�m , bzw. einen gemeinsamen Satz an Eigenzuständen, den |n, �, m� �.
Wesentlich ist, dass diese Eigenschaft in Anwesenheit eines konstanten Magnetfeldes
erhalten bleibt.
133
6.3. ZEEMANN–EFFEKT
H–Atom im Magnetfeld. Wir betrachten nun ein Wasserstoff–Atom im konstan� = (0, 0, B). Die Schrödinger–Gleichung für das Problem lautet
ten Magnetfeld B
�
�
e B � m�
0
En +
H |n, �, m� � =
(6.11)
|n, �, m� � ,
2m c
wobei
En�m� = En0 + � ωL m� .
(6.12)
Darin bezeichnen
ωL =
eB
2m c
die sog. Larmor–Frequenz und En0 die Energie–Eigenwerte ohne Magnetfeld, also
1 � e �2
Ry
En0 = −
= − 2 .
2a0 n
n
Die Energie–Niveaus (6.12) sind in Abbildung 6.1 dargestellt. Die Aufspaltung der
Niveaus wird als Zeemann–Effekt bezeichnet.
E
�=0
B=0
B �= 0
�=1
B=0
B �= 0 m�
n=3
1
0
−1
n=2
1
0
−1
�=2
B=0
B �= 0 m�
2
1
0
−1
−2
ΔE = � ωL
n=1
Abbildung 6.1: Spektrum des Wasserstoff–Atoms im konstanten Magnetfeld.
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