Theoretische Mechanik (WS 2005/2006)

Theoretische Mechanik (WS 2005/2006)
Übung 1
31.10.2005
Präsenzübungen
Aufgabe 1
(Tangentenvektor, Krümmung)
Ein Teilchen beschreibt die Parabelbahn
y(t) = Ah2 − A(x(t) − h)2 , x(t) = v0 t.
Es startet zur Zeit t = 0 bei x(0) = 0 und beendet seine Bahn zur Zeit tE >, wenn es die Höhe y(tE ) = 0
erreicht hat.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Berechnen Sie die Länge des Weges `(t), den das Teilchen zur Zeit t durchlaufen hat.
Parametrisieren Sie die Bahn des Teilchens durch die zurückgelegte Strecke `(t).
Berechnen Sie zu jedem Zeitpunkt Geschwindigkeit und Beschleunigung des Teilchens.
Berechnen Sie zu jedem Zeitpunkt den Tangentenvektor τ an die Bahn.
d
`(t) gegeben ist.
Überprüfen Sie, dass der Betrag der Geschwindigkeit durch v = dt
Überprüfen Sie, dass für die Geschwindigkeit die Formel v = τ v gilt.
Berechnen Sie in jedem Punkt der Bahn ihre Krümmung κ.
Zeigen Sie, dass sich die Beschleunigung des Teilchens darstellen lässt als
a = κv 2 n + τ
d2
`,
dt2
wobei n = τ̇ /|τ̇ | die Richtung der Zentripetalbeschleunigung ist.
Aufgabe 2
(Bewegungsgleichungen)
Auf den Abbildungen (siehe Rückseite) wird eine Hand gezeigt,
die einen zylindrischen Körper zieht. Der Zylinder hat den Radius
R, die Masse M und das Trägheitsmoment I. Die Hand übt auf
den Körper die Kraft F mittels einer masselosen, elastischen Saite aus. Finden Sie die Beschleuningung des Schwerpunktes a und
die Winkelbeschleunigung α. Zeigen Sie, dass darüber hinaus der
Energiesatz erfüllt ist.
Betrachten Sie die folgenden Situationen:
(a) Leerer Raum, keine Schwerkraft, die Saite geht durch das
Zentrum des Zylinders.
(b) Leerer Raum, keine Schwerkraft, die Saite ist um den Zylinder
gewickelt.
(c) Homogene vertikale Schwerkraft, die das Rollen des Zylinders
ohne Rutschen erlaubt. Die Saite geht durch das Zentrum des
Zylinders.
(d) Wie in (c), aber die Saite ist um den Zylinder gewickelt.
(e) Wie in (c), aber die Saite ist auf eine kleinere Trommel mit
Radius r gewickelt.
Aufgabe 3
(Periodische Bewegung)
Ein Teilchen, das sich nur entlang einer Richtung bewegen kann, steht unter der Wirkung der Kraft F =
−kx2n+1 , wobei n ganzzahlig ist. Zeigen Sie, daß das Teilchen mit der Periode proportional zu A−n oszilliert,
wobei A die Amplitude ist. Betrachten Sie speziell den Fall n ≤ 0.
Hausaufgaben
Aufgabe 4
(Zeitmaßstab)
(2 Punkte)
In einem Inertialsystem IS werde durch eine ungenaue Uhr die Zeit T definiert. Zwischen dieser Zeitskala und
der (wahren) Zeit in IS besteht der Zusammenhang T = T (t). Mit dieser Uhr misst man für die kräftefreie,
eindimensionale Bewegung eines Körpers d2 x/dT 2 = F 6= 0 im Gegensatz zu Newtons Axiomen. Dies demonstriert die Abhängigkeit physikalischer Gesetze von der Zeitdefinition. Bestimmen Sie F aus T (t) und dem 1.
Newton’schen Axiom.
Aufgabe 5
(Die Erde und der Mond)
(4 Punkte)
Durch gegenseitige Gravitationswechselwirkung bilden die Erde und der Mond ein Zweikörpersystem. Hinzu
kommt die Wechselwirkung jedes Körpers mit dem Schwerkraftfeld der Sonne. Diese wirkt als eine externe Kraft.
Wählen Sie die Sonne als Ursprung des Koordinatensystems und stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die
Schwerpunktkoordinate X und die Relativkooordinate x auf. Entwickeln Sie die Ausdrücke nach Potenzen von
x/X. Zeigen Sie, daß in niedrigster Ordnung in x/X der Schwerpunkt und die relative Koordinate entkoppelt
sind. In der höheren Ordnungen dagegen sind die Bewegungen gekoppelt, da die Schwerkraft der Sonne keine
konstante Kraft ist.
Aufgabe 6
(Schwerkraft mit Reibung)
(4 Punkte)
Auf eine Masse in einem konstanten Schwerkraftfeld wirkt die zusätzliche Kraft F = −αv, wobei v die Geschwindigkeit ist. Finden Sie die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen und zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit
einen Grenzwert hat. Finden Sie diesen Grenzwert.