1 Teilbarkeit und Primfaktorzerlegung

1
Teilbarkeit und Primfaktorzerlegung
Definition: Seien x, y ∈ Z ganze Zahlen.
Man sagt x teilt y, in Zeichen
x|y
wenn es eine ganze zahl q ∈ Z gibt mit
x·q =y
Bmerkung: x = 0 oder y = 0 zugelassen
Einige Eigenschaften:
1. x|0 für alle x ∈ Z
2. 0|y ⇔ y = 0
3. x|1 ⇔ x = ±1
4. ±1|x für alle y ∈ Z
5. x1 |y1 und x2 |y2 ⇒ x1 x2 |y1 y2
6. x|a und x|b ⇒ x|(λa + µb)∀λ, µ ∈ Z
7. x|y und y|x ⇔= x = ±y
Beweis: Klar, wenn x = 0 oder y = 0 (wegen 2.)
Wir können also voraussetzen, dass x 6= 0, y 6= 0
"⇒":
xq1 = y, yq2 = x
⇒ xq1 q2 = x
Wegen x 6= 0 kan man durch x kürzen ⇒q1 q2 = 1
⇒ q1 = ±1q2 = ±1
⇒Behauptung Definition: Größter gemeinsamer Teiler
Seien x, y ∈ Z
Eine Zahl d ∈ Z heißt größter gemeinsamer Teiler von x und y :⇔
1. d|x und d|y (d.h. d ist gemeinsamer Teiler)
2. Ist d1 ∈ Z irgendein gemeinser Teiler von x und y, so folgt: d1 |d
1.1
Satz
Falls ein größter gemeinser Teiler von x und y existiert, ist er bis aufs Vorzeichen
eindeutig bestimmt
Beweis: Seien d1 und d2 größte gemeinsame Teiler
7.
⇒d1 |d2 und d2 |d1 =⇒ d1 = ±d2
Bezeichnung: Im Falle der Existenz bezeichne:
gcd(x, y)
den nicht negativen unter den gemeinsamen Teilern
1.2
Bemerkungen
1. gcd(0, 0) = 0
2. gcd(0, x) = |x|
1.3
Satz ( Bézout)
Seien x, y ∈ Z Dann gibt es einen größten gemeinsamen Teiler d von x und y und es
gibt Koeffizienten λ, µ ∈ Z mit
d = λx + µy
Beweis: Es genügt einen gemeinsamen Teiler d mit (∗) zu konstruieren. Dann ist d
automatisch größter gemeinsamer Teiler.
O.B.d.A. x ≥ 0, y ≥ 0 (Denn wäre (−λ)(−x) = λx)
Satz gilt auch, falls x = 0 oder y = 0 Es muss nurnoch x > 0 und y > 0
behandelt werden.
Beweis durch Induktion nach
M := max(x, y)
Induktionsanfang: M= 1: x=y = 1: Klar
Induktionsschritt: Der Satz sei schon Beweisen für alle paare x’, y’ mit max(x0 , y 0 ) <
M
1. Fall x = y = M ⇒ gcd(x, y) = gcd(M, M ) = M = 1x + 0y
2. Fall: x 6= y O.B.d.A. gilt y < x ⇒ max(x, y) = x = M
x0 := x − y < x
max(x0 , y) < M
Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein größter gemeinsamer Teiler d0
von x0 und yund eine Linearkombination
d0 = λ0 x0 + µ0 y (1)
Behauptung: d’ ist gemeinsamer Teiler von x und y
Beweis: d0 |y
d0 |x = x0 + y
Nach (1) ist
d0 = λ(x − y) + µ0 y = λ0 x + (µ0 − λ0 )y
Definition: Zwei ganze Zahlen x, y ∈ Z heißen teilerfremd , wenn
gcd(x, y) = 1
1.4
Corrolar
Zwei ganze Zahlen x,y sind genau dann teilerfremd, wenn es Koeffizienten λ, µ ∈ Z
gibt mit
1 = λx + µy
Definition: Unter einer Primzahl ( in Z) versteht man eine ganze Zahl p > 1, die
nur 1 und p als positive Teiler besitzt.
1.5
Lemma
Sei p eine Primzahl und seien x, y ∈ Z ganze Zahlen mit
p|xy
Dann gilt p|x oder p|y
Beweis: Stimmt wenn x= 0 oder y = 0
Sei also x 6= 0 oder x 6= 0
1.Fall: p|x fertig
2.Fall: p - x ⇒gcd(p, x) = 1 ⇒ ∃λ, µ ∈ Z : λp + µx = 1
⇒ λpy + µxy = y
⇒ p|py und p|xy ⇒ p|y 1.6
Satz
Jede natürliche Zahl n > 1 ist ein Produkt von Primzahlen
Beweis: Durch Induktion
Induktionsanfang: n=2 ist Primzahl
Induktionsschritt:
Enteweder ist n Primzahl
oder n = xy, 1 < x, y < n
Wende Induktionsvoraussetzung auf x und y an
1.7
Satz (Euklid)
Jede natürliche Zahl n > 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese
Darstellung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. d.h.
m = p1 . . . pr = q1 . . . qs
⇒r=s und (nach evtl. Umnumeriereung)
pj = qj ∀1 ≤ j ≤ s
Beweis: Durch Induktion nach r
Induktionsanfang r=1:
n = p1 Primzahl ⇒s = 1 und q1 = p1
Induktionsschritt: r ≥ 2
p1 |q1 · . . . · qs
Daraus folgt nach dem Lemma von Euklid für ein j:
p1 |qj
Nach Umnummerierung kann man annehmen j=1
p1 |q1
Da q1 prim, folgt p1 = q1
=⇒ n0 := p2 . . . pr = q2 . . . qs
Auf n’ wird die Ind.Vor angewendet
⇒Beh.
krzen
1.8
Kanonische Primfaktorzerlegung
Durch Zusammenfassen gleicher Primfaktoren und Anordnung nach der Größe erhällt
man eine eindeutige Darstellung
n = pk11 . . . pkr r
k1 ≥ 1, p1 < p2 < . . . < pr
für natürliche Zahlen n ≥ 2
Mit der Konvention, dass ein leeres Produkt den Wert 1 hat man für alle ganzen
Zahen n ∈ Z \ {0} eine Darstellung
n = sign(n)
r
Y
k
pj j , r ≥ 0, p1 < p2 < . . . < pr
j=1
Dies ist die kanonische Primfaktorzerlegung
Definition: Für n ∈ Z \ {0} und eine Primzahl p wird definiert
Ordp (n) = max{k ≥ 0 : pk |n}
Bemerkung:
Für fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Primzahlen p gilt Ordp (n) = 0
Sei P = {2, 3, 5, 7, 11, . . .} die Menge aller Primzahlen, Dann gilt für jedes n ∈ Z \ {0}
Y
pOrdp (n)
n = sign(n)
p∈P
Q
rp
Sei n = 1 Q
p∈P p , 1 ∈ {±1}
und m = 2 p∈PQpsp , 2 ∈ {±1}
⇒n · m = (1 2 ) p∈P prp +sp
1.9
Rationale Zahlen
n
, n, m ∈ Z \ {0}
Sei x ∈ Q∗ , x = m
Man definiert Ordp (x) := Ordp (n) − Ordp (m)
Diese Definition ist unabhängig von der Darstellung von x als Quotient:
x=
n
n0
= 0
m
m
⇒ nm0 = n0 m
⇒ Ordp (n) + Ordp (m0 ) = Ordp (n0 ) + Ordp (m)
⇒ Ordp (n) − Ordp (m) = Ordp (n0 ) − Ordp (m0 )
Damit gilt:
Y
x = sign(x)
pOrdp (x)
p∈P
Für ganze Zahlen n, m ∈ Z \ {0} gilt
n|m ⇔ Ordp (n) ≤ Ordp (m)∀p ∈ P
Daraus folgt:
gcd(n, m) =
Y
p∈P
pmin(Ordp (n),Ordp (m))
Kleinstes gemeinsame Vielfaches
lcm(n, m) =
Y
pmax(Ordp (n),Ordp (m)
p∈P
Für reele Zahlen x,y gilt:
min(x, y) + max(x, y) = x + y
Daraus folgt für ganze Zahlen n,m > 0
Y
Y
Y
pOrdp (m) = n · m
gcd(n, m) · lcm(n, m) =
pOrdp n+Ordp m =
pOrdp (n)
p∈P
⇒
lcm(n, m) =
p∈P
nm
gcd(n, m)
p∈P
2
2.1
Verteilung der Primzahlen. Bertrands Postulat
Satz (Euklid)
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Beweis: sei p1 . . . pr irgendeine Endlcihe Menge von Primzahlen
P := 1 +
r
Y
pi
i=1
Entweder ist P selbst eine Primzahl oder Besitzt eine Primfaktor p|P
P ist durch keine der Primzahlen p1 , . . . pr teilbar, also p 6= pj ∀1 ≤ j ≤ r
Variante: Wir zeigen, dass es beliebig große Primzahlen gibt.
Sei z.B. n ≥ 1 eine Schranke
N := n! + 1
Für jeden Primteiler p|N gilt p > n, da N durch keine der Zahlen 1, . . . , n − 1, n
teilbar ist.
Definition: Für x ∈ R+ sei
π(x) = die Anzahl der Primzahlen p ≤ x
Es gilt limx→∞ = ∞
2.2
Primzahlsatz
(Vermutung von Gauß, Beweisen 1886 von Hadamard, de la Vallée Poussin)
π(x) ∼
x
log x
Dabei bezeichet log den nat Logarytmus Man setzt f (x) ∼ g(x) (Asymptotisch gleich), falls
g(x)
lim
=1
x→∞ f (x
√
z.B.: x ∼ x + x, da
√
x+ x
1
lim (
= lim (1 + √ ) = 1
x→∞
x→∞
x
x
2.3
Tschebyscheff (1850)
x
x
≤ π(x) ≤ c2
, x ≥ x0
log x
log x
mit gewissen konstanten 0 < c1 < c2 < ∞
c1
2.4
Lemma (Legendre)
Ordp (n!) =
X n
b kc
p
k≥1
Beweis: b np c ist die Anzahl der Zahlen von 1 bis n, die durch p teilbar sind
b pn2 c ist die Anzahl der Zahlen die durch p2 teilbar sind
..
.
b pnk c ist die Anzahl der Zahlen die durch pk teilbar sind
2.5
Lemma
Sei n ≥ 1 Man betrachte den Binomial-Koeffizienten:
(2n)!
2n
2n · (2n − 1) · . . . (n + 1)
=
=
1 · 2...n
(n!)2
n
Es gilt:
(a) 2|
2n
n
und p| 2n
für alle Primzahlen mit n < p ≤ 2n
n
(b) Ist p ≥ 3 eine Primzalh mit
2n
<p≤n
3
so folgt
2n
pn
2n
n
(c) Falls pk |
für eine Primzahlpotenz pk so gilt
pk ≤ 2n
(d)
22n−1
n
≤
2n
n
≤ 22n−1
Beweis: (a) Sei n ≤ p ≤ 2n Dann kommt p im Zähler von
2n
2n · . . . · (n + 1)
=
n!
n
vor, kann sich aber nicht wegkürzen
2n
(2n − 1) . . . (n + 1)
2n − 1
=2·
=2
n
(n + 1)!
n−1
⇒2|
2n
n
(b) Ist 2n
< p ≤ n so kommt p im Nenner mit Vielfachheit 1 vor, acuh im
3
Zähler (im Faktor 2p) mit Vielfacheit 1.
(2n)!
Im Quotienten kommt p nicht vor. 2n
= (n!)2
n
2n
Ordp n = Ordp ((2n)!)
P− 2ordp (n!)
Legendre: Ordp (n!) = k≥1 b pnk c
Da p ≥ 23 n folgt:
Ordp (2n)! = b 2n
c=2
p
n
Ordp (n!) = b p c = 1
⇒Ordp 2n
=0
n
P
2n
n
(c) Ordp 2n
= k≥1 b k c − 2b k c
n
p
p
{z
}
|
=0,1
2n
Anzahl der von 0 verschiedenen Sumanden ≤ rp := b log
c
log p
k
⇒ p ≤ 2n
(d) (Pascalsches Dreieck)
2n
2n − 1
2n − 1
=
+
n
n−1
n
Binomischer
Leersatz für
(1 + 1)2n−1 = 22n−1
1 + 2n−1
+ . . . + 2n−1
+ 2n−1
+ . . . + 1 = 22n−1
1
n−1
n
⇒ 2n
≤ 22n−1
n
und:
da 2n−1
= 2n−1
die größten Summanden, folgt
n−1
n
22n−1
2n
22n−1
2n−1
⇒
n
≥
≥
2n
n
n−1
2.6
Satz
Für alle n ≥ 3 gilt
n
1 n
≤ π(n) ≤ 2
2 log n
log n
Beweis:
A. Abschätzung nach oben
P (m, 2m) :=
Y
p
m<p≤2m
Nach Teil(a) des Lemmas
gilt für m > 1:
2m
2m−1
2P (m, 2m) ≤ m ≤ 2
⇒P (m, 2m) ≤ 22m−2
P (m, m2) > mπ(2m)−π(m)
⇒ mπ(2m)−π(m) < 22m−2
log 2
π(2m) − π(m) ≤ (2m−2)
log m
Beweis der Abschätzung nach oben durch Induktion nach n:
Für n ≤ 27 = 128 prüft man die Abschätzung direkt nach
Induktionsschritt:
Falls n = 2m − 1 > 27 ungerade ( es gilt π(2m − 1) = π(2m))
log 2
π(2m − 1) < (2m−2)
+ 2 logmm
log m
π(2m − 1) ≤
(2m−2) log 2+2m
log m
π(2m − 1) ≤
2m(1+log 2)−2 log 2
log m
!
!
2m−1
≤ 2 log(2m−1)
Ungleichung an der stellte ≤ Äquivalent mit:
log m
2m(1 + log 2) − 2 log 2 ≤ (4m − 2) log(2m−1)
log m
⇔(1 + log 2) − m2 ≤ (2 − m1 ) log(2m−1)
log m
log 2
⇐ 1 + log 2 ≤ (2m − m1 ) log(2m
= (2 − m1 )(1 − log(2m)
)
7
Diese Ungleichung ist erfüllt für 2m ≥ 2
da: LS = 1 + log 2 = 1, 693 . . . < 1, 7
1
RS ≥ (2 − 64
(1 − 71 ) = 1, 7008 . . . > 1, 7
n = 2m gerade:
(2m−1)
2m
< log(2m)
π = π(2m − 1) ≤ 2 log(2m−1)
Da logx x monoton wachsend
B. Abschätzung nach unten
Nach Teil (c) des Lemma s gilt
Y
2m
=
p ≤ 2mpkp mit pkp ≤ 2m
m
⇒ 2m
≤ (2m)π(2m)
m
(d)
2m−1
=⇒ (2m)π(2m) ≥ 2 m
2m
2m
⇒ π(2m) ≥ (2m−1)loglog2m2−log m = log(2m)
log 2 − 1 = log(2m)
(log 2 − log(2m)
) Für
2m
2m ≥ 16 gilt:
(log 2 − log(16)
= 0.51 . . . > 21
16
Also ist die Abschätzung nach unten Für gerade n ≥ 16 Bewiesen
Für Kleinere n, 3 ≤ n < 16 prüfe man die Abschätzung direkt nach.
z.b. π(3) = 2
3
1 3
= 12 1,...
< 32
2 log 3
Für ungerade n = 2m − 1 gilt:
2m
2m−1
π(2m − 1) = π(2m) ≥ 12 log(2m)
≥ 12 log(2m−1)
2.7
Lemma
Für
Zahl n ≥ 1
Q jede Ganze
n
p
<
4
p≤n
Q
Beweis: P (m, 2m) := m < p ≤ 2mp
Es gilt für m ≥ 2:
2P (m, 2m) ≤ 2m
≤ 22m−1
m
⇒P (m, 2m) ≤ 22m−2
Q
P (n) := p≤n p
Für m < 1:
P (2m − 1) = P (m) · P (m, 2m)
Induktionsschritt:
P (2m − 1) < 22m−2 · 4m = 42m−1
Damit ist Behauptung für ungerade n = 2m − 1 bewiesen.
Für Gerade n = 2m:
P (2m) = P (2m − 1) < 42m−1 < 42m
2.8
Bertrandsche Postulat
Für jede Ganze Zahl n ≥ 1 gibt es mindestens eine Primzahl p mit:
n < p ≤ 2n
Zuerst beweisen von Tschebyscheff um 1850
Einfacherer Beweis von Erdös um 1832
Beweis:N := 2n
n
2n
= P (n, 2n)P ( 2n
)·Q
n
3
√
Kommt
eine
Primzahl
p
mehrfach
in
in
N
als
Faktor
vor,
so
gilt:
p
≤
2n
Q
Q := p≤√2n pOrdp (N )−1
pOrdp (N ) ≤ 2n
⇒pOrdp (N√)−1 ≤ n
⇒Q ≤ n 2n−1
Es folgt:
2n √2n−1
22n−1
N
≤
P
(n,
2n)
P
(
)n
n
| {z3 }
≤4
2n −1
3
2 √
n 2n
2n
3
⇒P (n, 2n) ≤
>1
9
Für n ≥ 2 = 512.
Bis 512 Wähle jeweils eine dieser Primzahlen:
2,3,5,7,13,23,41,71,139,263,521 3
Irreduzibiliität und Primalität in Integritätsbereichen
Definition: Ein Ring ist eine MEnge R mit zwei Verknüpfungen
+ : R × R ⇒ R, (x, y) 7→ x + y
· : R × R ⇒ R, (x, y) 7→ xy
sodass folgende Axiome erfüllt sind:
1. Axiome der Addition
(a) Assiziativgesetz
(x + y) + z = x + (y + z)
(b) Kommutativgesetz
x+y =y+x
(c) Existenz der Null:
∃0 ∈ R mit x + 0 = x ∀x ∈ R
(d) Existenz des Negativen:
∀x∃(−x) : x + (−x) = 0
2. Axiome der Multiplikation
(a) Assoziativgesetz:
(xy)z = x(yz)
3. Distributivgesetze
(a) (x+y)z = xz + yz
x(y+z) = xy + xz
Der Ring (R, +, ·) heißt kommutativ wenn zusätzlich gilt:
2. (b) Kommutativgesetz der Multiplikation xy = yx ∀xy ∈ R Im Folgenden
sind Ringe meist kommutativ und haben ein Einselement, d.h. es gibt:
1 ∈ R mit x1 = 1∀x ∈ R
Definition: Ein Integritätsbereich ist ein Kommutativer Ring mit Einselement 1 6= 0,
der nullteilerfrei ist, d.h.
xy = 0 ⇒ x = 0 oder y = 0
3.1
Beispiele
Sei R ⊂ C, abgeschlossen gegenüber Addition, Substraktion, Multiplikation


x + y ∈ R
x, y ∈ R ⇒ −y ∈ R


xy ∈ R
und 1 ∈ R
Dann ist R ein Integritätsbereich
Es gilt insbesondere Z ⊂ R
√
√
1. R = Z[ 2] = {x + y 2 : x, y ∈ Z}
√
√
2. R = Z[ D] = {x + y D : x, y ∈ Z}D ∈ Z, kein Quadrat
3. Speziell für D = −1:
R = Z[i] = {x + iy : x, y ∈ Z} Ring der Ganzen Gaußschen Zahlen
√
2πi
4. R = Z[%] = {x + y% : x, y ∈ Z} wobei % = − 21 + 2i 3 = ζ3 = e 3
Abgeschlossenheit gegenüber Multiplikation:
1 + % + %2 = 0
(x+y%)(x0 +y 0 %) = xx0 +(xy 0 +x0 y)%+yy 0 %2 = (xx0 −yy 0 )+(xy 0 +x0 y −yy 0 )%
|{z}
=−1−%
Diese Unter 1. - 4. genannten Integritätsbereiche heißen Quadratische Zahlringe
√
√
√ 2
5. R = Z[ 3 2] = {x + 3 2y + 3 2 z : x, y, z ∈ Z}
Kubischer Zahlring
6. Kommutativer Ring mit Einselement und Nullteiler R := Z × Z mit Komponentenweise Addition und Multiplikation:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 )
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := (x1 · x2 , y1 + y2 )
Mit 1 = (1, 1) und 0 = (0, 0)
Dieser Ring ist nicht nullteilerfrei, da:
(1, 0)(0, 1) = (0, 0)
Dieser Ring ist nicht isomorph dem Ring Z[i]
Man kan zwar Z[i] mit Z × Z identifizieren:
x + iy ↔ (x, y)
Die Addition gilt in Vektoradition über, aber die Multipliaktion unterscheidet
sich.
3.2
Satz (Kürzungsregel)
Ein Kommutativer Ring R ist genau dann nullteilerfrei, wenn in ihm die Kürzungsregel
gilt, d.h.:
ax = ay, a 6= 0 ⇒ x = y
Beweis:
1. Kürzungsregel ⇒nullteilerfrei
sei xy = 0
Wenn x = 0, fertig
Wenn x 6= 0 : xy = x0 ⇒ y = 0
2. nullteilerfrei ⇒Kürzungsregel
ax = ay, a 6= 0
⇒a(x − y) = 0
⇒ (x − y) = 0 ⇒ x = y
Definition: Sei R ein Integriätsbereich.
Ein Element x ∈ R heißt Einheit
wenn x in R invertierbar ist.
( ∃y ∈ R : xy = 1) Dieses y wird mit x−1 bezeichnet
3.3
Satz
Die Menge aller Einheiten von R bildet eine multiplikative Gruppe ( die mit R∗
bezeichnet wird)
Beweis:
1. Zeige: x, y ∈ R∗ ⇒ xy ∈ R∗ :
x, x0 = 1, yy 0 =⇒ xyy 0 x0 = 1
2. Zeige x ∈ R∗ ⇒ x−1 ∈ R∗ :
denn: xx−1 = x−1 x = 1
3.4
Beispiele
1. In Zsind ±1 die einzigen Einheiten
2. in Z[i] gilt: Z[i]∗ = {±i, ±1}
2πi
3. in Z[%], % = e 3
gilt: Z[%]∗ = {1, −1, %, −%, %2 , −%2 }
Bemerkung: −%2 ist eine Primitive 6-te Einheitswurzel
√
√
4. in Z[ 2] =√{x + y 2 : x, y ∈ Z}
ist u √
: 1 + 2√
eine Einheit, denn:
(1 + 2)(1 − 2)
√ = 1 − 2 = −1,
alsou−1 = −1 + 2
Es√gilt:
Z[ 2] = {±un , n ∈ Z}
3.5
Bemerkung
EIn reel quadratischer Zahlring besitzt immer unendlcih viele Einheiten.
Ein imaginärquadratischer Zahlring besitzt nur endlich viele Alle Anderen imaginärquadratischen Zahlringe haben nur die Einheiten ±1
Definition: Teilbarkeit.
Sei R Integritätsbereich, x, y ∈ R Man definiert:
x|y :⇔ ∃x ∈ R mit xx0 = y
Definition: Zwei Elemente x, y ∈ R heißten Assoziiert, wenn sie bis auf eine Multiplikative Einheit übereinstimmen, d.h.x = uy, u ∈ R∗
3.6
Satz
Sei R Integritätsbereich, x, y ∈ R
1. x|1 ⇔ x ∈ R∗
2. x|y und y|x ⇒∃u ∈ R∗ : x = uy
Beweis: zu 2.:
Sei x 6= 0 x|y ⇒ xx1 = y
y|x ⇒ yy1 = x
⇒ xx1 y1 = x
⇒ x1 y1 = 1 ⇒ x1 , y1 ∈ R∗
Für x = 0 folgt y = 0 damit: x = 1y
Definition: Sei R ein Integritätsbereich.
Ein Element
x ∈ R \ (R∗ ∪ {0})
heißt irreduzibel , wenn aus
x = yz, y, z ∈ R
stets folgt:
y ∈ R∗ oder z ∈ R∗
Definition: Sei R ein Integritätsbereich.
Ein Element
p ∈ R \ (R∗ ∪ {0})
heißtprim , wenn aus
p|xy(x, y ∈ R)
stets folgt:
p|x oder p|y
Bemerkung:
Im Ring R = Zstimmen die Begriffe prim und irreduzibel überein.
3.7
Bemerkung
In einem Integritätsbereich ist jedes Primelement irreduzibel. Die Umkehrung gilt im
Allgemeinen nicht.
Beweis:
1. Sei p ∈ R prim.
Annahme: p ist reduzibel, d.h. p = xy wobei x,y keine Einheiten
⇒p|xy
da p prim gilt p|x oder p|y
OBdA:
p|x aber x|p ⇒p assoz zu x
d.h. p = ux, u Einheit
⇒xu = xy
Kürzungssatz ⇒y = u EInheit. Widerspruch
2. Gegenbeispiel:
√
R = Z[ −5]
√
z1 := 1 + √−5
z2 := 1 − −5√= z1
√
z1 z2 = (1 + + −5)(1 − −5) = 1 − (−5) = 6
Es gilt 2|z1 z2 Behaptung:
2 - z1 , 2 - z2 und 2 ist irreduzibel
√
Beweis: Wäre
2|z
so
gäbe
es
eine
Zahl
t
=
t
+
t
−5, sodass z1 = 2t
1
1
2
√
√
⇔ 1 + −5 = 2t1 + 2t2 −5 unmglich da t1 , t2 ganz. Widerpspruch
Ebenso 2 - z2 Beweis Irreduzibilität von 2
Annahme 2 reduzibel
2 = rs
√
r = r1 + r2 √−5
s = s1 + s2 −5
2 = r1 − 5r2 s2
0 = r1 s 2 + r2 s 1
bung
=⇒ r2 = s2 = 0
⇒ 2 = r1 s1 ⇒ r oder s Einheit
In diesem √
Ring ist die√Zerleung in irreduzible Elemente nicht Eindeutig:
23 = (1 + −5)(1 − −5)
Definition: Eine Teilmenge von I ⊂ R eines (komm.) Ringes mit Einselement heißt
Ideal, falls gilt:
1. I 6= ∅ a, b ∈ I ⇒ a + b ∈ I r ∈ R, a ∈ I ⇒ ra ∈ I
Bemerkung: a ∈ I ⇒ −a ∈ I
3.8
Beispiele
Sei a0 ∈ R ein vorgegebes Element. Dann ist
Ra0 = {ra0 : r ∈ R}
Ein Ideal
Ein solches ideal heißt Hauptideal
Andere Bezeichnung
(a) = Ra
Allgemeiner:
Seien a1 , . . . ar ∈ R gegeben dann ist
Ra1 + Ra2 + . . . Rar = {x1 a1 + . . . xr ar : xj ∈ R}
ein Ideal, das von a1 , . . . ar erzeigte Ideal.
Andere Bezeichnung
r
X
Raj = (a1 , . . . ar )
j=1
3.9
Idealtheoretische Interpretation der Teilbarkeit:
Sei R ein Integritätsbereich, a, x ∈ R Dan gilt
x|a ⇔ Ra ⊂ Rx
Beweis: "⇒": S
ei Z ∈ Ra, d.h. z = ra mit r ∈ R
Da x|a gilt a = xy mit y ∈ R
⇒ z = ryx = (ry)x ∈ Rx
"⇐": E
s gelte (a) ⊂ (x)
zu Zeigen: x|a
a ∈ (a) ⊂ (x), d.h. a = rx mit r ∈ R ⇒x|a
Definition: Ein komm. Ring mit Einselement heitßt Hauptidealring , wen jedes
Ideal ein Hauptideal ist.
Bemerkung Zist Hauptidealring
Beweis: Beweis I ⊂ Z ein Ideal.
Falls I = {0} ist I Hauptideal
Sei I ) {0}
Sei a0 = min{x ∈ I|x > 0} Behauptung: I = (a0 )
Beweis: Sei x ∈ I beliebig.
Teilen mit Rest:
x = qa0 + r mit 0 ≤ r < a0
Aber da x, q, a0 ∈ I gilt: r ∈ I
⇒r = 0 (minimalität von a0 )
⇒x = qa0 ∈ (a0 ) Definition: Zwei Elemente a,b eines Ringes R heißen teilerfremd , wenn die Einheiten die einzigen gemeinsamen Teiler von a und b sind.
3.10
Lemma
Zwei Elemente a, b ∈ R eines Hauptidealringes R sind genau dann teilerfremd, wenn
(a, b) = (1)
Beweis:
1. Es gelte (a, b) = (1) d.h. 1 ∈ Ra + Rb, 1 = λa + µb mitλ, µ ∈ R
Ein Gemeinsamer Teiler x|a, x|b teilt auch 1, d.h. x|1, dh.x Einheit
2. Seien a, b Teilerfremd
Da R Hauptidealring gilt:
(a, b) = (d)
mit einem gewissen d ∈ R
(a) ⊂ (d), (a) ⊂ (d) ⇒ d|a, d|b
T eilerf remd
=⇒
3.11
dEinheit ⇒ Rd = R; (d) = (1)
Satz
In einem Hauptidealring ist jedes irreduzible Element prim.
Beweis: Sei p irreduzibel
es gelte p|xy und p - x
Dann sind p und x teilerfremd
d.h. (p, x) = (1)
dh. 1 = λp + µx
⇒ y = λyp + µxy
p|λyp + µxy ⇒ p|y 3.12
Satz
Sei R ein Integritätsbereich und Hauptidealring und a ∈ R \ (R∗ ∪ 0) dann lässt sich
a als Produkt endlich vieler Primelementen schreiben:
a = p1 . . . pr (r ≥ 1)
Und diese Darstellung ist im Folgenden Sinn Eindeutig:
Gilt: a = p1 . . . pr = q1 . . . qs
mit Primelementen pj , qi dann ist r = s und nach eventueller Umummerierung gilt:
pj = uj qjmit Einheitenuj ∈ R∗
Beweis: Eindeutigkeit: Induktion nach r:
r=1: trivial
r − 1 → r : pr |q1 . . . qs
Also teilt pr einen Faktor. Nach umnummerierung pr |qs ⇒ pr = uqs (u ∈ R∗ )
⇒(u−1 p1)p2 . . . pr−1 = q1 . . . qs−1
Behauptung folgt aus Induktionsvoraussetzung
Beweis der Existenz Enteweder ist a irreduziebel, dann fertig
oder a ist reduzibel
a = a1 b1 , a1 , b1 ∈
/ R∗
Falls a1 , b1 irreduzibel, dann fertig
Andernfalls zerlege man weiter
Warum bricht das Verfahren nach endlich vielen Schritten ab?
3.13
Teilerkettensatz
Sei R Hauptidealring, a0 ∈ R eine Nichteinheit und seien a1 , a2 , a3 . . . Elemente a1 |a0
a2 |a1
a3 |a2
..
.
Dann gibt es ein k0 so dass ak assoziiert zu ak0 ∀k ≥ k0
Beweis: (a0 ) ⊂ (a1 ) ⊂ (a2 ) . . .
S
I := j≥0 (aj )
I ist Ideal, I = (a∗ ), a∗ ∈ R
∃k0 : a∗ ∈ (ak0 )
⇒(a∗) ⊂ (ak0 )
Also (a∗ ) = (ak0 ) = (ak )∀k ≥ k0
Definition: Ein Integritätsbereich R heißt Euklidischer Ring , wenn es eine Abbildung
β : R \ {0} → N = {0, 1, 2, . . .}
sodass jedes Paar x, y ∈ R, y 6= 0 Elemente q, r ∈ R existieren mit
x = qy + r
Wobei r = 0 oder β(r) < β(y)
3.14
Satz
Jeder Euklidische Ring ist ein Hauptidealring
Beweis: Wie für den Ring Z
4
Kongruenzen
Definition: Sei m ∈ Z. Zwei Zahlen x, y ∈ Z heißen kongruent modulo m, wenn
m|x − y d.h. xy ∈ mZ
Beispiel
1 ≡ 8 ≡ −6 mod 7
4.1
Satz
Die Kongruent modulo m ist eine Äquivalenzrelativ. d.h.
1. Reflexivität:
x ≡ x mod m∀x ∈ Z
2. Symetrie:
x ≡ y mod m ⇒ y ≡ x mod m
3. Transitivität:
x ≡ y mod m, y ≡ z mod m ⇒ x ≡ z mod m
Beweis: Zu 3.:
x − y = ma, y − z = mb ⇒ x − z = m(a + b)
4.2
Bemerkungen
1. x ≡ y mod m ⇔ x ≡ y mod (−m)
2. x ≡ y mod 0 ⇔x = y
3. x ≡ y mod 1 ∀x, y ∈ Z
Die Interessanten Fälle sind m ≥ 2
Aus dem Obigen Satz folgt dass Zin disjunkte Äquivalenzklassen modulo m zerfällt.
Sei m ≥ 2 Dann ist Jede ganze Zahl mod m zu genau einer der Zahlen 0, 1 . . . , m − 1
äquivalent
Die Menge der Äquivalenzklassen modulo m wird mit Z/mZ oder kurz Z/(m) bezeichnet.
Es gilt: Z/(m) = {0, . . . , m − 1}
Wobei x die von x repräsentierte Äquivalenzklasse bezeichnet.
Bemerkung
−1 = m − 1
Die Äquivalenzklassen werden auch als Kongruenzklassen oder Restklassen bezeichnet
4.3
Rechnen mit Restklassen
Restklassen kann man Repräsentantenweise addieren und multiplizieren (m fest)
x + y := x + y
x · y := x · y
Dies ist wohldefiniert , d.h. unabhängig von der auswahl der Repräsentanten, d.h.
x ≡ x0 mod m
y ≡ y 0 mod m
⇒ x + y ≡ x0 + y 0 mod m und xy ≡ x0 y 0 mod m
Beweis: Für das Produkt:
x0 = x + ma, y 0 = y + mb
⇒ x0 y 0 = (x + ma)(y + mb) = xy + m(ay + bx + mab)
⇒ x0 y 0 = xy mod m
Es folgt, dass Z/(m) mit der so definierten Addition und multiplikation ein Kommutativer Ring mit Einselement wird.
Die kanonische Abbildung
π : Z → Z/(m); x 7→ x
ist ein surjektiver Ringhomomorphismus
d.h. π(x + y) = π(x) + π(y)
π(xy) = π(x)π(y)
4.4
Satz
Ein Element x ∈ Z/(m) ist genau dann invertierbar, wenn gcd(x, m) = 1
Beweis: Sei vorausgesetzt, dass gcd(x, m) = 1
⇒∃λ, µ : λx + µm = 1
⇒ λx ≡ 1 mod m
d.h. λ = x−1
Sei nun x invertierbar.
⇒∃y ∈ Z/(m) : x · y ≡ 1 mod m
⇔ xy − 1 ≡ 0 mod m
⇔ xy − 1 = λm
⇒ yx − λm = 1
⇒ gcd(x, m) = 1
Definition: Mit (Z/(m))∗ sei die Gruppe aller invertierbaren Elemente von Z/(m)
bezeichnet
4.5
Satz
Genau dann ist Z/(m) ein Körper, wenn m eine Primzahl ist
Beweis: mprim ⇔ (Z/(m))∗ = (Z/(m)) \ {0}
Definition: Für eine Primzahl p wird der Körper Z/(p) auch mit Fp bezeichnet.
Andere Bezeichnung: GF(p) (Galoisfeld)
Table 1: Multiplikations-Tabelle von F2
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
Table 2: Inverse in F7
x
x−1
4.6
1
1
2
4
3
5
4
2
5
3
6
6
Satz (Wilson)
Eine Ganze Zah p ≥ 2 ist genau dann prim wenn (p − 1)! ≡ −1 mod p
Beweis: Es genügt den Satz für p ≥ 3 zu beweisen:
1. Sei p prim. Wir beweisen den abstrakten Satz:
Sei K ein endlicher Körper, z.b. K = Fp
Dann gilt:
Y
x = −1
x∈K ∗
Beweis: Die Einzigen Elemente x ∈ K ∗ mit x = x−1 sind x ± 1
−1
2
(x =
Q x ⇔ x − 1 = 0 ⇔ (x + 1)(x − 1) = 0)
⇒ x∈K ∗ \{±1} x = 1
−1
Weil:
Q Fasse jeweils paare x, x zusammen
⇒ x∈K ∗ x = −1
2. Umkehrung:
Es gelte (p − 1)! ≡ −1 mod p
Wir zeigen, dass jedesQElement 1, 2, . . . p − 1 in Z/(p) invertierpar ist.
Aber: ∀k 6= 0 : k(− l6=k,1≤l≤p−1 ) ≡ +1 mod p
Definition: Eulersche Phi-Funktion:
Für eine ganze Zahl m ≥ 2
ϕ(m) := |(Z/(m))∗ |
Man setzt: ϕ(1) := 1
Es gilt also:
ϕ(m) = |{k|1 ≤ k ≤ m} : gcd(k, m) = 1}
(ϕ(8) = 4 da (Z/(8))∗ = {1, 3, 5, 7}
Für Primzahl p gilt:
ϕ(p) = p − 1
4.7
Satz (Euler)
Sei m ≥ 2. Dann gilt für jede Ganze Zahl a mit gcd(a, m) = 1
aϕ (m) ≡ 1 mod m
4.8
Corollar (Kleine Satz von Fermat)
Sei p eine Primzahl und a eine ganze Zahl
mit p - a dann gilt:
ap−1 ≡ 1 mod p
Beweis: Betrachte die Gruppe G := (Z/(m))∗ Die Abbildung
G 7→ G; x 7→ ax
ist bijektiv.
Durchläuft x Alle Elemente von G, So durchläuft auch ax Alle Elemente von G.
Sei
Q r = |G|Q
Q
r
x∈G x
x∈G x =
x∈G (ax) = a
krzen
=⇒ 1 = ar
Für G = (Z/(m))∗ heißt das:
aϕ(m) ≡ 1
4.9
mod m
Satz (Chinesischer Restsatz)
Seien m1 , m2 teilerfremde ganze Zahlen (≥ 2) und m := m1 m2
Dann ist die Abbildung
Φ : Z/(m) → (Z/(m1 )) × (Z/(m2 )); x 7→ (x, x)
ein Ring-Isomorphismus, insbesondere bijektiv
Beweis: Wir zeigen, dass Φ injektiv ist. Dazu genügt es zu zeigen:
wenn Φ(x) = (0, 0) folgt x ≡ 0 mod m (ker Φ = 0)
Vor. Bedeutet : x ≡ 0 mod m1 x ≡ 0 mod m2
d.h. m1 |x und m2 |x
⇒m1 m2 |x (da m1 , m2 Teilerfremd)
⇒x ≡ 0 mod m = m1 m2
Da Z/(m) und (Z/(m1 )) × (Z/(m2 )) gleichviele Elemente besitzen, ist Φ auch
surjektiv und damit bijektiv