EMF Zusammenfassung

4
1.6. Formeln zur Induktion
ei
*
Elektromagnetischer
Feldterror
* kann Spuren von Katzen enthalten
nicht für Humorallergiker geeignet
alle Angaben ohne Gewehr
Uind =
Uind = −
1.1. Konstanten
c = √ε1 µ = 299 792 458 m s−1
0 0
ε0 = 8.854 188 × 10−12 F m−1
µ0 = 4π × 10−7 H m−1
1.2. Maxwellsche Gleichungen (Naturgesetze)
Faradaysches ind. Gesetz
~ =%
div D
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
Quellfreiheit des magn. Feldes
Ampèrsches Gesetz
~ = ~j +
rot H
IA = dQ
|
dt A
´
IA =
~
jd~
a
~
j =
n
P
Falls
ε = const.
µ = const.
qi ni ~
vi
i=1
A
~ a=
Dd~
´
´
~ r=
Hd~
´
~ a
rot Hd~
A
˛
‹
~ · d~
H
r = I(A) =
~ · d~
D
a ≡ Q(V )
~
j d~
a
A
∂A
∂V
~
∂D
∂t
dΦM = L dI
~ = µH
~
B
2. Innerhalb eines idealen Leiters ist das E-Feld Null(Influenz).
dI = ~j dA
~j = qn~
v
Q(V ) ≡
~ d~
dU = E
r
‚
~ dA
dΦM = B
¸
~ d~
H
r
I(A) ≡
l
Widerst. R = ρ A
Kondensator C = ε A
d
3. Die Feldlinien stehen immer senkrecht auf eine Leiteroberfläche.
∂A
4. Die Feldlinien laufen von positiven zu negativen Ladungen.
5. Bei Kugelladungen sinkt das E-Feld radial mit 12
6. Bei unendlicher Linienladung sinkt das E-Feld radial mit
~ = µH
~
B
~ =0
div B
~ =~
rot H
j+
~
∂D
∂t
8. Feldlinien verlaufen lieber in hohem εr
2.1. Elektrische Energiedichte
k=2
˝ ˝ ρ(~
r )ρ(~
r0 )
N
r −~
ri )
~ = q P qi (~
F
4πε
r −~
ri |3
i=1 |~
V
P
´2
~ r ist wegunabhängig
Ed~
P1
rot E = 0
1
Φ(~
r ) = 4πε
N
P
i=1
V
|~
r −~
r0 |
i,k=1
i6=k
i
k
d3 r d3 r 0
Substitutionsregel:
qi = dQ(~
ri ) = ρ(~
ri ) dV
N
˝
P
{~
ri ...}qi →
{~
ri ...}ρ(~
r ) dV
qi
r −~
ri |
|~
~ = − grad Φ
E
´2
~ r D
~ ·N
~ =σ C = Q
U12 = Φ(P1 ) − Φ(P2 ) = Ed~
U
1
´
1
~
~
~
W12 = C F d~
r = q · U12
wel = 2 E D
Wel = 1
CU 2
2
i=1
div(ε grad(Φ) = −%
δWel =
˝
Φ(~
r )δ%(~
r ) d3 r =
V
V
˝
~ · δD
~ d3 r
E
~
f~L = ~
j ×B
~L = I · d~
~
dF
s×B
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~ =~
rot H
j
∂t
=~
j
∂2
!
∂t2
Φ
~
A
!
=−
%
ε
!
µ~
j
∂t
~
j
HF Anteil: ∂
∂t
Transversale Stromdichte: ~
jt = ~
j + ε ∂∇Φ
∂t
γ
|~
r −~
r |
3.2. Feldverhalten an Materialgrenzen
phys. Größe
Ladung
Masse
Teilchenzahl
Energie
X
Volumendichte
Q
Ladungsdichte
m
Massendichte
N
Konzentration
W
Energiedichte
X besitzt Stromdichte J~X (~
r, t) mit X = J~X (~
r, t) d~
a
X hat Produktionsrate ΠX (~
r, t) für Zeit und Volumen
ˆ
ˆ
dX(V )
Bilanzgleichung:
=−
J~X d~
a + ΠX dV
dt
Differentielle Form:
∂x
∂t
x
%el
%m
n
w
∂wem
∂t
2.2. Energie
Die Gesamtenergie einer Ladungsverteilung mit n Ladungen besteht aus
1 (n2 + n) summierten Termen.
2
An Grenzflächen
gibt es Flächenladung
σ:
´
´
a
Q = lim V ρ dV = A σ d~
h→0
~ 2~
~ 1~
D
n−D
n = σint
~ 2~
~ 1~
B
n−B
n=0
~1 × ~
~2 × ~
E
n−E
n=0
~2 × ~
~1 × ~
H
n−H
n =~
j
V
Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien:
X = − div J~X + ΠX
tan α1
tan α2
=
ε1
ε2
3.3. Randwertprobleme der Potentialtheorie
◦
+ div J~em = Πem
~ ×H
~ +S
~0 , Πem = −~
~
mit wem = wel + emag , J~em = E
j·E
Zu lösen ist die Poisson-Gleichung div(ε∇Φ) = −ρ auf Ω:
Nr. RWP
Randbedingungen auf ∂Ω
Lösung
1.
Dirichlet
Φ∂Ω = ΦD
eindeutig Φ ∈ C 2
∂Φ
2.
Neumann
= FN
eindeutig (Φ + C) ∈ C 2
∂~
n ∂Ω
3.
Gemischt
Φ + k ∂Φ
= FN
eindeutig Φ ∈ C 2
∂~
n ∂Ω
Mit Richtungsableitung ∂Φ
=
lim
~
n(~
r0 ) · ∇Φ(~
r)
∂~
n 1/2
~
r −~
r0 →0
3. Potentialtheorie
~
r ∈ Ω1/2
~ r, t): B(~
~ r, t) = rot A(~
~ r, t)
Elektromagnetisches Vektorpotential A(~
~
~ r, t) = −∇Φ − ∂ A
Elektromagnetisches Skalarpotential Φ: E(~
(~
r, t)
Lösungsansatz: Φ = Φ(0) + ϕ
Φ(0) : erfüllt hom. DGL und inhom. RB
ϕ : erfüllt inhom. DGL und hom. RB
∂t
~0 = A
~ − ∇χ
Umeichen: A
.
Φ0 = Φ + χ
V
1.5. Formeln der Magnetostatik
~L = q · (~
~
F
v × B)
∂Φ
Coulombeichung: div A = 0
~
∂
~ − εµ ∂ 2 A
~
∆A
2 = −µ j − ε ∂t (∇Φ)
~ r ) dV
~
j(~
r ) · E(~
V
Energiebilanz des El.mag.-Feldes:
Energie die in einem Bereich nötig ist, um alle Ladungen aus dem
unendlichen an ihre Position zu bewegung.
N
N
P
P
qi qk
(k)
1
Wel
=
∆Wel
=
=
8πε
|~
r −~
r |
1.4. Formeln der Elektrostatik
~ = qE
~
F
∆ − εµ
wmag dV
Halbleiter:
Elektronen ∂n
= − div J~n + Gn
∂t
= − div J~p + Gp mit Gn = Gp
Löcher ∂p
∂t
∂A
2πrH(r) = I(A)
+ ε∇
~ + εµ ∂Φ = 0
Lorenzeichung: div A
∂t
Wellengleichungen:
V
∂V
1
r
7. Bei unendlicher Flächenladung bleibt das E-Feld konstant.
H-Feld
˛
~ · d~
H
r = I(A)
∂t2
~ := E
~ ×H
~
Poynting Vektor: S
Extensive Größe X besitzt eine Volumendichte x(~
r, t), so dass für jedes
´
Kontrollvolumen V ⊂ R3 gilt: X(V ) = V x(~
r, t) dV
Extensive Größe ist eine Größe die man abzählen kann.
r
2
Spule L = µA Nl
~
∂2A
Beispiele für extensive Größen:
dQ = C dU
~ = εE
~
D
Rotation
Wmag =
µ
rot A) + ε
2.3. Elektromagnetisches Feld
ˆ
dI = G dU
~
~j = σ E
Divergenz
˜
1
~ = −%
div(εA)
Gesetz bei dem Bert sabbert:
´ d~
r ×(~
r −~
r0 )
~ r) = I
H(~
0 3
4π
1. Wird erzeugt von Ladung oder sich veränderndes Magnetfeld
Material
wel dV
V
´
Energie eines Teilchens beim durchlaufen einer Spannung: E = U · Q
1 UQ
Energie des el. Feldes im Plattenkondensator: E = 1
EDV = 2
2
Induktiv
4πr D(r) = Q(V )
~
D
~ =
E
ε
~ =ρ
div D
~
∂B
~ +
rot E
=0
∂t
~B
~ =
wmag = 1
H
2
~2 = 1 B
~2
= µ
H
2
2µ
rot(
∂
∂t
NF ANteil: −∇Φ
Kapazitiv
Vereinfacht
~ 0 dB
~0
H
~ 3r
div Dd
Resistiv
∂V
wmag =
div(ε∇Φ) +
0
Leistung: Pem = V Πem dV = −
V
∂V
´
Wel =
´
1.8. Integralgleichungen
´
~ 0 dD
~0
E
~D
~ =
E
wel = 1
2
εE
~2 = 1 D
~2
= 2
2ε
Energie:
2. Das elektrische Feld
∂V
2
wel =
~
ˆB
1.9. Durchflutungsgesetze:
1.3. Bauteilgleichungen
D-Feld
‹
~ · d~
D
a ≡ Q(V )
~ · δB
~
δwmag = H
0
div(ε · grad(Φ)) = −ρ
Durchflutung
~ · δD
~
δwel = E
~
ˆD
~ H)
~ ein 6 komponenZusammen mit Materialgleichungen bildet (E,
tiges Elektromagnetisches Feld
~ dA
~
D
Magnetisch
~ r
B)d~
~
~
~
v = sgn qµE
U = RI pel = ~
jE
P = UI
´
~ a = − dQ(V )
div ~
j + ∂%
=0
∂V jd~
dt
∂t
∂A
Gaußsches Gesetz:
~ =0
div B
~
a
Φmag = A Bd~
´
~
∂B
v×
a + ∂A(t) (~
A(t) ∂t d~
3.1. Maxwell Gleichungen in Potetntialdarstellung
Elektrisch
1.7. Formeln zu stationären Strömen
Stromdichte ~
j(~
r ) = ρ(~
r )~
v (~
r)
~
~
D
B
Elektrostatik heißt ∂∂t
= 0, ~
j = 0 und Magnetostatik ∂∂t
= 0 sonst
spricht man von Elektrodynamik
Elektr. Feldkonst.
Magn. Feldkonst.
´
Energiedichte:
1. Nützliches Wissen rot E ≡ 0
Lichtgeschwind.
´
dΦmag
− dt
Eichfunktion: Riemansche Räume haben an jedem Punkt ein anderes
Längenmaß. Die Eichfunktion gibt an, welches Längenmaß an welchem
Punkt verwendet werden muss.
von Emanuel Regnath und Martin Zellner– Mail: [email protected]
In den meisten Elektrostatischen Problemen gilt ρ = 0, da sich die
Ladung nur auf den Grenzflächen von Leitern befindet und nicht im
Gebiet Ω in dem die Lösung von Φ gesucht wird.
In der Praxis sind die meisten RWPs gemischt, wie Leiterkontakte oder
Wärmeleitung
Mehrelektroden-Kondensator Q-RWP:
Stand: 9. Februar 2013 um 12:49 Uhr
1
´
◦
div(ε∇Φ) = 0 in Ω und ∂Ω ε ∂Φ
d~
a = Ql und besitz bis auf eine
n
l ∂~
additive Konstante eine eindeutige Lösung
Spektralzerlegung
Lösungsverfahren:
3.5. Stationäre Ströme und RWP
N
P
~
j =
~
|qα |nα µα E
−
α=1
2. finde Eigenfunktionen: − div(ε∇~
bν ) = λν~
bν
Es gilt λµ ∈ R+
N
P
+
α=1
H~
~
jα × B
σα Rα
−
−
N
P
qα Dα ∇nα +
N
P
Induktivität
~ M = L~i
Φ
e ~> ~
Wmag = 1
I LI
2
e
R3
σα Pα ∇T
α=1
Seebeck
Halleffekt
3.
N
P
α=1
Diffusionsstrom
Driftstrom
1. Konstruiere Φ = Φ(0) + ϕ
3.4. Greenfunktion G(~
r, ~
r0 )
Kapazität
~ = CU
~
Q
e ~> ~
Wel = 1
V CV
2
e
ˆ
1
~ d3 r
~
j·A
Wmag =
2
Einflüsse: Drift, Diffusion, Hall-Effekt, Seebeck-Effekt
Drift-Diffusionsmodell:
σα Pα ∇T
Vorraussetzung: lineares, eingeschwungenes System mit sinusförmiger
x̂
Erregung x(t) = x̂ · cos(ωt + ϕ) Effektivwert X = √
α=1
Def: Lösung des RWP mit hom. Randbed. und Störung ρ(~
r ) = δ(~
r −~
r )
(Einheitspunktladung bei ~
r0 )
´
0
0
3 0
Allg. Lösung: Φ(~
r ) = Ω G(~
r, ~
r )ρ(~
r )d ~
r
2
4. Kompaktmodelle
Reeles Zeitsignal:
x(t) = x̂ · cos(ωt + ϕx )
Effektiver Zeiger:
X = Xw + iXb = X exp(iϕx )
√
X̂ = 2X = X̂ exp(iϕx )
Modellierung als Netzwerk ohne Wellenausbreitung. Vorraussetzungen:
1
1
Beispiel Punktladung: GVac (~
r, ~
r 0 ) = 4πε
r −~
r0 k
k~
Scheitel Zeiger:
Kompl. Zeitsignal: x(t) = X̂ · eiωt = x̂ · ei(ωt+ϕx )
Knoten: ideal leitend, überall gleiches Potential.
Spektralzerlegung mit Greenfunktion
X
ϕx := arg X = arctan2 X b
w
Phase:
Problem: − ∆ ϕ = f˜
Zweige: flusserhaltend, gerichtete Spannung.
• Sperationsansatz für die Eigenfunktionen:
b(~
r ) = b1 (x1 )b2 (x2 )b3 (x3 )
..
•
b (x )
− b1 (x1 )
1 1
..
−
b2 (x2 )
b2 (x2 )
−
b3 (x3 )
b3 (x3 )
4.1. Kirchoffsche Gesetze
X
X
Ui = Uind
Admittanz
.
Ii = −QK
1
b (x )
4.2. Mehrelektroden Kondensatoranordnung
..2
Finde N + 1 Grundlösungen Φi (~
r ) zum V-RWP mit Φk 2
b (x )
− b3 (x3 ) = λ3
3
3
• Lösungsansatz für b1 , b2 , b3 :
p
bj (xj ) = Aj sin(kj xj ) + Bj cos(kj xj ) mit kj = λj
Gewichtete Superposition: Φ(~
r) =
PN
l=1
I =Y ·U
Suszeptanz
∂Ωl
= δkl
Vk Φk (~
r)
1
2
|
Û Iˆ cos(ϕu − ϕi ) −
{z
}
Pm =Eff. Leistungsmittel
1
2
|
Û Iˆ cos(2ωt + ϕu + ϕi )
{z
}
Schwingung um Pm
für
Maxwellsche
Gleichungen.
4-Komponentiges, elektromagnetisches Potential (falls σ = 0):
!
!
!
%
∂2
Φ
=− ε
∆ − εµ
~
~
2
A
µj
∂t
Harmonische, ebene EM Wellen (σ = 0)
~ r, t) = E01 cos(~
E(~
k~
r − ωt − φ1 )~
e1 + E02 cos(~
k~
r − ωt − φ2 )~
e2
~ r, t) = E
~ 0 cos(~
E(~
k~
r − ωt − φ0 )
~
~ r, t)
~ r, t) = k × E(~
H(~
µω
k = 2π
k
εµc2 = 1
λ ~
ω = c ~
~
~
E = Z H
~ = wem c~
S
n
Z =
q
µ
ε
Ellipsengleichung:
2
2
E1
E
E
E1
+ E2
− 2 E1
cos(φ02 − φ01 )
E01
E02
02
02
=
sin2 (φ02 − φ01 )
E1
E01
Linear: φ02 − φ01 = nπ
E
= ±E 2
02
∧
)π
(n + 1
2
P = U I ∗ = ZII ∗
PW = U I cos(∆ϕ)
Kreis: φ02 − φ01
2
2
E
E1
+ E2
E
5.1. Grundlagen Wechselstromlehre
Ê(z, t) = ~
ex Â(ei(ωt−kz) + r̂(ei(ωt+kz) )
01
=
E01
=
E02
02
• Normiere die Eigenfunktionen:
L
! ´k
bj (xj )2 dxj
1=
ckl =
periodische, sinusförmige Strom- & Spannungsverläufe:
ˆ
j
3
∇Φk ε∇Φl d r
• Transformierbarkeit(Energieübertragung)
Die Greenfunktion P
lautet nun:
G(~
r, ~
r0 ) =
bn1 n2 n3 (~
r) λ λ 1 λ
bn1 n2 n3 (~
r0 )
n1 n2 n3
n1 ,n2 ,n3 ∈N
N
P
k,l=0
Spiegelladungsmethode
~ = CV
~
Q
e
negierte Ladung gespiegelt an Metallfläche
1
1
− ∗
~
k~
r−~
r0 k
r−~
r0
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!
• Modulierbarkeit (Informations- und Nachrichtentechnik)
C ist symmetrisch, positiv semi-definit, nicht invertierbar.
e
Wel =
1V C V
2 k kl l
∂Wel
∂Vk
• Anpassung an Generatoren und Motoren
ϕ(t) = ωt + ϕ0
~ >CV
~
= 1
V
2
e
= Qk
ε̃(ω) = ε(ω) + i
σ(ω)
ω
k̃(ω) =
+i
β(ω)
Phasenmaß
Ω
0
4πε
p(t) =
Φl = 1
• Eigenfunktionen lauten:
bj (xj ) = Aj sin(nj Lπ xj )
1
N
X
Konduktanz
6-Komponentiges, elektromagnetisches Wellenfeld:

. 
!
ρ
h
i E
~
−∇ ε0 − µ~
j0 
2
∂ −∆
=
εµ ∂ 2 + µσ ∂t
~
∂t
H
rot ~
j0
k=0
• ⇒ Bj = 0 und kj Lj = nj π
GHalb (~
r, ~
r0 ) =
Reaktanz
∆ϕ = ϕu − ϕi
b (x )
− b1 (x1 ) = λ1
− b2 (x2 ) = λ2
Resistanz
Y (jω) = G(jω) + jB(jω)
=λ
• Aufteilen
des Problems:
..
..1
U =Z·I
Z(jω) = R(jω) + jX(jω)
Impedanz
..
6.1. Beschreibung
Notwendig, aber nicht hinreichend
~ = ρ, div H
~ = 0)
(ε div E
5. Komplexe Wechselstromrechnung
0
Annahmen: ρ = 0 außer bei Antennen, keine thermischer Strom.
∂ 2 Wel
∂Vk ∂Vl
Nullraum des Potentials hat die Dimension 1 ⇒ C ist nicht invertierbar!
e
Zeilen- und Spaltensumme ist Null!
Normalgebiet: zusammenhängend, beschränkt, mit glattem lipschitstetigem Rand
2
Transportieren Feldenergie mit Lichtgeschwindigkeit. εµc = 1
Unendliche Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit ohne Medium.
Wechselwirkung mit der Materie.
Frequenzabhängigkeit von ε(ω), µ(ω), σ(ω)
von Emanuel Regnath und Martin Zellner– Mail: [email protected]
∂ = 0
statisch: Keine Veränderung über die Zeit ∂t
stationär: zeitliche Veränderung, aber keine Wellenausbreitung
Quasi-Stationär: Zeitliche Veränderungen sind so langsam, dass sie als
∂ ≈ 0
statisch angenommen werden ∂t
6. Elektromagnetische Wellen
= Ckl
α(ω)
Dämpfungsmaß
Lipschitstetig: irgendwas zwischen stetig und differenzierbar
´
L2 (Ω) = f : Ω → C ω |f (~
r )|2 d3 ~
r<∞
Stand: 9. Februar 2013 um 12:49 Uhr
2