WS2008/09 Blatt 01

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
TU München
Tutorübungen zu “Elektromagnetische Feldtheorie 1”, Prof. Wachutka, WS0809, Blatt 1
1. Aufgabe (Gradient eines Vektorfeldes)
a) Welche geometrische Bedeutung hat der Gradient?
b) Man berechne in kartesischen Koordinaten den Gradienten der folgenden Potentiale:
exp (−x)
x
1
(2) φ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
(1) φ(x, y, z) =
c) Man berechne in Kugelkoordinaten den Gradienten der folgenden Potentiale:
1
r
cos ϑ
(2) φ(r, ϑ, ϕ) =
r + r0
(1) φ(r, ϑ, ϕ) =
mit r0 = konstant
d) Bestimmen Sie die Rotation der berechneten Felder. Nehmen Sie an, dass φ(r) das
elektrostatische Potential darstellt und geben Sie eine physikalische Interpretation
ihrer Ergebnisse.
2. Aufgabe (Quellen und Wirbel)
Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektorfelder quellenfrei beziehungsweise rotationsfrei
sind und skizzieren Sie die Felder in der xy-Ebene.
a) E(x,
y, z) =
x2
1
· ey
+1
b) E(x,
y, z) = xex + yey + zez
c) E(x,
y, z) = yex − xey
d) E(x,
y, z) = yex + xey
Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
TU München
Tutorübungen zu “Elektromagnetische Feldtheorie 1”, Prof. Wachutka, WS0809, Blatt 1
3. Aufgabe (Differentialoperationen der Vektoranalysis)
Verifizieren Sie nachfolgende Identitäten des Skalarfeldes β und des Vektorfeldes F sowohl
für kartesische Koordinaten als auch für Zylinderkoordinaten:
a) rot(gradβ) = 0
b) div(rotF ) = 0
c) div(β F ) = (gradβ) · F + β(divF )
4. Aufgabe (Dipolfelder)
Bei den Punkten a und −a sei je eine Ladung q1 beziehungsweise q2 angebracht.
a) Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(r) für den Fall q1 = q2 . Wie sieht das
Potential für r |a| aus (Fernfeldnäherung)? Interpretieren Sie dieses Ergebnis.
b) Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(r) für den Fall q1 = −q2 . Wie sieht
das Potential für r |a| aus? Interpretieren Sie auch dieses Ergebnis.
= −∇φ(r). Nehmen Sie für φ den exakten
c) Berechnen Sie das elektrische Feld E
Ausdruck an.
das als räumlich konstant
d) Gegeben sei ein zusätzliches äußeres elektrisches Feld E,
das
angenommen werden kann. Berechnen Sie die Kraft F und das Drehmoment M,
auf die Anordnung aus den beiden vorangehenden Teilaufgaben a) und b) wirkt.
Anmerkung: Verwenden Sie die Taylor-Reihenentwicklung zur Fernfeldberechnung.
1. Aufgabe (Gradient eines Vektorfeldes)
a) Der Gradient eines Vektorfeldes stellt die sogenannte Richtungsableitung dar. Diese
zeigt an in welcher Richtung die größte Veränderung des Skalarfeldes stattfindet.
b) (1)
(2)
c) (1)
(2)
x exp (−x) + exp (−x)
· ex
x2
x
∇φ(x, y, z) = −
(mit x = xex + yey + zez )
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
∇φ(x, y, z) = −
1
· er
r2
cos ϑ
sin ϑ
∇φ(r, ϑ, ϕ) = −
· er −
· eϑ
2
(r + ro )
r(r + ro )
∇φ(r, ϑ, ϕ) = −
d) Es gilt rot(gradφ) = 0. Aus diesem Grund sind alle Gradientenfelder wirbelfrei. Alle
elektrostatischen Gradientenfelder erfüllen damit das stationäre Induktionsgesetz.
2. Aufgabe (Quellen und Wirbel) Es gelten die Beziehungen:
=0
quellenfrei ⇔ divE
=0
wirbelfrei ⇔ rotE
a)
=0
divE
und
b)
=3
divE
und
c)
=0
divE
und
d)
=0
divE
und
Skizzen der elektrischen Felder:
=
rotE
2x
∂Ey
ez = − 2
· ez
∂x
(x + 1)2
=0
rotE
∂Ey ∂Ex
−
rotE =
ez = −2 · ez
∂x
∂y
∂Ey ∂Ex
−
ez = 0
rotE =
∂x
∂y
3. Aufgabe (Differentialoperationen der Vektoranalysis)
a) Für kartesische Koordinaten gilt
⎞ ⎛
⎞
⎛
∂y ∂z β − ∂z ∂y β
∂x β
rot(gradβ) = rot ⎝ ∂y β ⎠ = ⎝ ∂z ∂x β − ∂x ∂z β ⎠ = 0
∂z β
∂x ∂y β − ∂y ∂x β
Zylinderkoordinaten:
1
rot(gradβ) = rot ∂r β · er + ∂ϕ β · eϕ + ∂z β · ez =
r
1
1
=
(∂ϕ ∂z β) − ∂z ∂ϕ β · er + ∂z ∂r β − ∂r ∂z β · eϕ +
r
r
1 + · ∂r ∂ϕ β − ∂ϕ ∂r β · ez = 0
r
b) Für kartesische Koordinaten gilt
div(rotF ) = div (∂y Fz − ∂z Fy ) ex + (∂z Fx − ∂x Fz ) ey + (∂x Fy − ∂y Fx ) ez =
= ∂x ∂y Fz − ∂x ∂z Fy + ∂y ∂z Fx − ∂y ∂x Fz + ∂z ∂x Fy − ∂z ∂y Fx = 0 Zylinderkoordinaten:
1
∂ϕ Fz − ∂z Fϕ er + (∂z Fr − ∂r Fz ) eϕ +
r
1
+ (∂r (rFϕ ) − ∂ϕ Fr ) ez =
r
1
=
∂r (∂ϕ Fz − r∂z Fϕ ) + ∂ϕ ∂z Fr − ∂ϕ ∂r Fz + ∂z ∂r (rFϕ ) −
r
− ∂z ∂ϕ Fr = 0
div(rotF ) = div
c) Für kartesische Koordinaten gilt
div(β F ) = (∂x β)Fx + β∂x Fx + (∂y β)Fy + β∂y Fy + (∂z β)Fz + β∂z Fz =
= (∂x β)Fx + (∂y β)Fy + (∂z β)Fz + β (∂x Fx + ∂y Fy + ∂z Fz ) =
= (gradβ) F + βdivF
Zylinderkoordinaten:
1
1
∂r (rβFr ) + ∂ϕ (βFϕ ) + ∂z (βFz ) =
r
r
1
1
=
β∂r (rFr ) + r(∂r β)Fr +
β∂ϕ Fϕ + (∂ϕ β)Fϕ + β∂z Fz +
r
r
+(∂z β)Fz =
1
1
1
= (∂r β)Fr + (∂ϕ β)Fϕ + (∂z β)Fz + β∂r (rFr ) + β∂ϕ Fϕ + β∂z Fz =
r
r
r
= (gradβ) F + βdivF
div(β F ) =
4. Aufgabe (Dipolfelder)
a) Aus dem Coulomb-Gesetz folgt für das Potential zweier Punktladungen
q1
1
q2
·
φ(r) =
+
4πε0 |r − a| |r + a|
Die Fernfeldnäherung wird über eine Taylor-Reihenentwicklung vorgenommen. Mit
f (r0 + h) ≈ f (r0 ) + ∇f r =
r0
· h
und Einsetzen von h = ±a, f (r) = 1/r und ∇f (r) = −r/r 3 ergibt sich dann für das
Potential unter der Annahme r |a|:
1 r · a
1 r · a
1
+ 3
− 3
φ(r) =
· q1
+ q2
4πε0
r
r
r
r
Im Fall q1 = q2 = q folgt schließlich
φ(r) =
2q
1
·
4πε0 r
Dieses Feld entspricht dem Feld einer Punktladung der Stärke 2q im Ursprung.
b) Im Fall q1 = −q2 = q folgt entsprechend der letzten Teilaufgabe
φ(r) =
r · a
1
· 2q · 3
4πε0
r
Dieses Feld wird als Dipolfeld bezeichnet.
c) Das elektrische Feld folgt aus dem Gradienten des elektrostatischen Potentials
r) = −∇φ(r) =
E(
q1 · (r − a) q2 · (r + a)
1
·
+
4πε0
|r − a|3
|r + a|3
d) (1) Fall 1 (q1 = q2 = q):
auf die Anordnung. Die Kraft beträgt
Es wirkt kein Drehmoment M
F = 2q E
(2) Fall 1 (q1 = −q2 = q):
Es wirkt keine Gesamtkraft F auf die Anordnung. Das Drehmoment beträgt
= 2 · r1 × F1 = 2qaE sin ϕ
M
Hierbei ist ϕ der Winkel zwischen dem elektrischen Feld und der Verbindung
der beiden Ladungsträger.