¨Ubungen zu den Grundlagen der Elektrodynamik SS 2016 3

Übungen zu den Grundlagen der Elektrodynamik
SS 2016
3. Anwesenheitsübung
Aufgabe 6:
Leiten Sie aus den allgemeinen Darstellungen des elektrostatischen
Feldes und seines Potentials (siehe Vorlesung)
Z
ρ(~r 0 ) (~r − ~r 0 ) 3 0
1
~
dr
E(~r) =
4π0
|~r − ~r 0 |3
V
Z
ρ(~r 0 ) 3 0
1
Paul Adrien Maurice Dirac (1902
Φ(~r) =
dr
4π0
|~r − ~r 0 |
- 1984) hat fundamentale BeiV
träge zur Quantentheorie geleidie bereits bekannten Beziehungen für das Coulomb-Feld bzw. - stet. Nach ihm ist die in der AufPotential einer Punktladung q her, für die die zugehörige Raum- gabe verwendete Deltafunktion beladungsdichte als ρ(~r) = q δ 3 (~r − ~rq ) geschrieben werden kann. nannt.
Aufgabe 7:
~ r) eines im Ursprung befindlichen elektrischen Dipols
Das Potential Φ(~r) und das elektrische Feld E(~
mit dem (konstanten) Dipolmoment p~ sind durch
1
3(~p · ~r) ~r
p~
1 p~ · ~r
~
;
E(~r) =
− 3
Φ(~r) =
4π0 r3
4π0
r5
r
p
gegeben, wobei r = |~r| = x21 + x22 + x23 .
~ r) aus der Beziehung E(~
~ r) = −grad Φ(~r) = −∇ Φ(~r) her.
(a) Leiten Sie E(~
∂2
∂2
∂2
+
+
des Laplace-Operators.
∂x21 ∂x22 ∂x23
(c) Das Dipolmoment zeige in Richtung der x3 -Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Wie lautet
das Dipolpotential in Zylinderkoordinaten?
~ r) in Zylinderkoordinaten, indem Sie den ∇-Operator
(d) Bestimmen Sie daraus die elektrische Feldstärke E(~
ebenfalls in Zylinderkoordinaten verwenden.
(b) Berechnen Sie ∆ Φ mit der kartesischen Darstellung ∆ =
(e) Wie lautet das Potential in Kugelkoordinaten?
~ r) in Kugelkoordinaten?
(f) Wie E(~
~ r) in koordinatenfreier Form hergeleitet. Bestätigen Sie die Ergebnisse von (d)
(g) In (a) haben Sie E(~
und (f), indem Sie in der in (a) bewiesenen Formel explizit Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten verwenden.