L. Frerick / M. Müller SoSe 2016 19.04.2016 1. Übung zur

L. Frerick / M. Müller
SoSe 2016
19.04.2016
1. Übung zur Analysis einer und mehrerer Veränderlicher
Abgabe: bis Dienstag, 26.04.16, 12:00 Uhr in Kasten E 11.
Versehen Sie bitte Ihre Lösungen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer!
Tutorium
T1: Untersuchen Sie folgende Teilmengen des R2 , d|·| auf Kompaktheit:
n
o
n
o
n
o
(i) A = (x1 , x2 )T ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1, x1 > 0 ,
(ii) B = (x1 , x2 )T ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1, x1 ≥ 0 ,
(iii) C = (x1 , x2 )T ∈ R2 : x21 + x22 ≥ 1, x1 ≤ 0 .
T2: (a) Beweisen Sie das Weierstraßsche Majorantenkriterium für Funktionenreihen: Es seien M 6= ∅ eine Menge und fν : M → K für ν ∈ N. Gibt es reelle Zahlen bν , ν ∈ N,
so dass supx∈M |fν (x)| ≤ bν für alle ν ∈ N, und konvergiert
die Funktionenreihe
P∞
ν=1 fν
P∞
ν=1 bν ,
so konvergiert
gleichmäßig auf M .
(b) Untersuchen Sie nachfolgende Funktionenfolgen und -reihen auf punktweise, lokal
gleichmäßige und gleichmäßige Konvergenz
z 3n (1+7z 2 )
, wobei D := {z ∈ C : |z| < 1},
(i) (fn )n∈N mit fn : D → C, fn (z) :=
5n
(ii)
P∞
ν=1 gν
mit gν : R → C, gν (x) :=
1
.
1+ν 2 ex
T3: Beweisen Sie: Sind f, g ∈ T (K) , so ist auch f · g ∈ T (K).
Hausübungen
H1: (4 Punkte)
Untersuchen Sie folgende Teilmengen des Rn , d|·| auf Kompaktheit:
n
o
(i) A = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 : x21 + x22 + x23 ≤ 2, x1 + x3 < 1 ,
n
o
(ii) B = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : |x1 | + x22 + |x3 |2 = 1, x4 ∈ Q .
H2: (2 + 5 Punkte)
(i) Es sei (xn )n∈N eine Folge in einem metrischen Raum (X, dX ) . Ferner existiere ein
ε > 0 so, dass dX (xm , xn ) > ε für alle m 6= n. Zeigen Sie, dass (xn )n∈N keine
Cauchyteilfolge hat.
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n
o
(ii) Es sei `∞ := (xn )n∈N ∈ KN : supn∈N |xn | < ∞ , also die Menge aller beschränkten
Folgen in K. Mit
α ∈ K, (xn )n∈N , (yn )n∈N ∈ `∞
α (xn )n∈N + (yn )n∈N := (αxn + yn )n∈N
wird `∞ zu einem K-Vektorraum, auf dem durch
(xn )
n∈N ∞
:= sup |xn |
(xn )n∈N ∈ `∞
n∈N
eine Norm definiert ist. Zeigen Sie, dass die Menge
n
B1 (0) = (xn )n∈N ∈ `∞ : (xn )n∈N ∞ ≤ 1
o
beschränkt und abgeschlossen in (`∞ , k·k∞ ), aber nicht kompakt ist. (Konstruieren
Sie mithilfe von (i) eine Folge in B1 (0), die keine Cauchyteilfolge besitzt.) Wieso
stellt dies keinen Widerspruch zum Satz von Heine und Borel dar?
H3: (3+2 Punkte)
Untersuchen Sie nachfolgende Funktionenfolgen und -reihen auf punktweise, lokal gleichmäßige und gleichmäßige Konvergenz:
(i) (fn )n∈N mit fn : [0, ∞) → R, fn (x) :=
(ii)
P∞
ν=1 gν
mit gν : C → C, gν (z) :=
1
1+nx ,
z
.
ν 2 (1+|z|)
H4: (5 Punkte)
Es seien a, b, c ∈ R und f ∈ T (K) . Zeigen Sie, dass
b
c
f (x) dx =
a
c
f (x) dx +
a
f (x) dx.
b
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