Elementare Zahlentheorie - sigma

Elementare Zahlentheorie
Vorlesung 20
08.01.2007
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§8
Vier-Quadrate-Satz
1770, Lagrange.
(2.47) Satz (Vier-Quadrate-Satz). Jede natürliche Zahl ist Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen.
Der Beweis ergibt sich aus den folgenden drei Hilfssätzen zusammen mit (1.5).
(2.48) Lemma (Euler). Für x1 , x2 , x3 , x4 , y1 , y2 , y3 , y4 ∈ Z gilt:
(x21 + x22 + x23 + x24 )(y12 + y22 + y32 + y42 ) = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 ,
wobei
Q1 = (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 )2 ,
Q2 = (−x1 y2 + x2 y1 − x3 y4 + x4 y3 )2 ,
Q3 = (−x1 y3 + x3 y1 − x4 y2 + x2 y4 )2 ,
Q4 = (−x1 y4 + x4 y1 + x2 y3 + x3 y2 )2 .
Beweis. Ausrechnen.
Nach (1.5) und (2.48) genügt es, (2.47) für Primzahlen zu beweisen.
(2.49) Lemma. Sei 2 6= p ∈ P. Dann existieren x1 , x2 , x3 , x4 ∈ Z, 0 ≤ xi ≤ 21 (p − 1) und h ∈ N, 1 ≤ h ≤ p − 1,
mit x21 + x22 + x23 + x24 = hp.
Beweis. Sei X = {−i2 | 0 ≤ i ≤ 12 (p − 1)} und Y := {1 + i2 | 0 ≤ i ≤ 21 (p − 1)}. Für z 6= z 0 ∈ X oder z 6= z 0 ∈ Y
gilt z − z 0 = i2 − j 2 = (i − j)(i + j) mit 0 ≤ i 6= j ≤ 12 (p − 1). ⇒ z 6≡ z 0 (mod p) für alle z 6= z 0 ∈ X und alle
z 6= z 0 ∈ Y . |X| + |Y | = p + 1 ⇒ es gibt 0 ≤ i, j ≤ 21 (p − 1) mit 1 + j 2 ≡ −i2 (mod p), d.h. 1 + i2 + j 2 ≡ 0
(mod p). Aus 1 + i2 + j 2 < p2 folgt die Behauptung.
(2.50) Lemma. Sei p ∈ P. Dann existieren x1 , x2 , x3 , x4 ∈ Z mit x21 + x22 + x23 + x24 = p.
Beweis. Klar für p = 2. Sei jetzt p ungerade. Sei h0 ∈ N minimal mit: Es existieren x1 , x2 , x3 , x4 ∈ Z mit
x21 + x22 + x23 + x24 = h0 p (∗). Nach (2.49) existiert h0 und es ist 1 ≤ h0 ≤ p − 1. Zu zeigen: h0 = 1.
Angenommen: h0 gerade ⇒ keine, genau zwei, oder alle der Zahlen x1 , x2 , x3 , x4 sind gerade. Wähle Nummerierung so, dass gilt: x1 −x2 , x3 −x4 gerade ⇒ x1 +x2 , x3 +x4 sind gerade. Setze z1 := 21 (x1 +x2 ), z2 := 21 (x1 −x2 ),
z3 := 12 (x3 + x4 ), z4 := 12 (x3 − x4 ) ⇒ z12 + z22 + z32 + z42 = 12 (x21 + x22 + x23 + x24 ) = ( 12 h0 )p im Widerspruch zur
Minimalität von h0 .
Also ist h0 ungerade. Wähle yi ∈ Z, − 21 (h0 −1) ≤ yi ≤ 12 (h0 −1), mit yi ≡ xi (mod h0 ), 1 ≤ i ≤ 4. Angenommen,
(∗)
h0 6= 1. ⇒ h0 teilt nicht alle xi (sonst wäre h0 | p, dann aber h0 = 1 wegen h0 < p). ⇒ nicht alle yi sind 0 ⇒
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0 < y12 + y22 + y32 + y42 < 4( 12 h0 )2 = h20 . Weiter gilt: y12 + y22 + y32 + y42 ≡ x21 + x22 + x23 + x24 ≡ 0 (mod h0 ) ⇒
y12 + y22 + y32 + y42 = h1 h0 mit 1 ≤ h1 < h0 (∗∗). Verwende jetzt Lemma (2.48): Die drei Quadrate Q2 bis Q4 aus
(2.48) sind durch h0 teilbar (z. B. Q2 : −x1 y2 + x2 y1 − x3 y4 + x4 y3 , −x1 y2 + x2 y1 ≡ −x1 x2 + x2 x1 (mod h0 ),
−x3 y4 +x4 y3 ≡ −x3 x4 +x4 x3 (mod h0 )), x1 y1 +x2 y2 +x3 y3 +x4 y4 ≡ x21 +x22 +x23 +x24 ≡ 0 (mod h0 ) ⇒ h0 | Q1 .
(2.48),(∗),(∗∗)
(∗∗)
Setze Qi =: h0 ui , ui ∈ Z, 1 ≤ i ≤ 4
⇒
h0 ph1 h0 = h20 (u21 + u22 + u23 + u24 ) ⇒ u21 + u22 + u23 + u24 = h1 p
mit h1 < h0 im Widerspruch zur Minimalität von h0 .