Numerische Mathematik I ¨Ubungsblatt 3

Numerische Mathematik I
WS 2016/17
Dr. K. Schmidt
M. Sc. G. Radow
Übungsblatt 3
(26. Oktober 2016)
Aufgabe 3.1
Wandeln Sie den periodischen Dezimalbruch 0.27272727 . . . in einen Bruch um. Leiten
Sie ein Gesetz für die Umwandlung periodischer Brüche in Brüche ab.
Aufgabe 3.2
Wandeln Sie die folgenden Zahlen in die jeweils gesuchte Form um:
a) (1011000)2 = (·)10 ,
b) (61)10 = (·)2 ,
c) (1011000)2 = (·)16 ,
d) (0.84375)10 = (·)2 .
Aufgabe 3.3
Schreiben Sie die Zahlen (1300519.11037)10 und (10.01)2 in Gleitkommadarstellung um.
Benutzen Sie dabei die jeweils vorgegebene Basis sowie n = 4 Stellen für die Mantisse und
s = 2 Stellen für den Exponenten.
Aufgabe 3.4
Die Funktion f (x) = cos(x) − 1 soll einmal direkt (Variante A) und einmal unter Verwendung der Näherung
x 2 x4
+
(Variante B)
cos(x) ≈ 1 −
2!
4!
berechnet werden. Bestimmen Sie für beide Varianten die Konditionszahlen, wenn x ≈ 0
ist.
Aufgabe 3.5
Der Funktionswert von
f (x1 , x2 ) = x21 − x22
soll einmal direkt (Variante A) und einmal mit Hilfe der binomischen Formel
x21 − x22 = (x1 + x2 )(x1 − x2 )
(Variante B)
berechnet werden. Bestimmen Sie für beide Varianten die Konditionszahlen, wenn x21 ≈ x22
ist.
Hausaufgaben
(Abgabe bis 02. November 2016, 15:30 Uhr)
Aufgabe H 3.1
Lösen Sie die folgenden Aufgaben:
a) Wandeln Sie die folgenden Zahlen in die jeweils gesuchte Form um:
(i) (1100011)2 = (·)10 ,
(ii) (57)10 = (·)2 ,
(iii) )] (0.390625)10 = (·)2 .
b) Ein hypothetischer Computer möge eine normalisierte Gleitkommadarstellung der
Gestalt
x = ±(0.α1 α2 , α3 )2 · 2e
mit
αi ∈ {0, 1}
und
e ∈ {−1, 0, 1}
verwenden. Wieviele Zahlen können auf diese Weise exakt dargestellt werden?
Skizzieren Sie die Verteilung dieser Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Für welche Zahlen
würde “underflow” beziehungsweise “overflow” auftreten?
Aufgabe H 3.2
Es gelte x ⊕ y = (x + y)(1 + δ) mit |δ| ≤ u mit der Maschinengenauigkeit u für alle
Maschinenzahlen x und y. Seien nun die Maschinenzahlen x1 , . . . , xn gegeben und sei
durch
s̃1 = x1 ,
s̃i = s̃i−1 ⊕ xi ,
i = 2, . . . , m
Pm
ein Algorithmus zur Berechnung der Summe sm = i=1 xi definiert.
a) Berechnen Sie für m = 1, . . . , 4 den absoluten Fehler fm := s̃m − sm . Was fällt
auf? Wie lässt sich dieser Fehler durch einen schönen von m abhängigen Term
abschätzen? Sieht dieser so aus wie in Aufgabe b)?
b) Zeigen Sie: zerlegt man s̃m = sm + fm , so gilt für den absoluten Fehler
m
|fm | ≤ ((1 + u) − 1)
m
X
|xi |.
i=1
Diskutieren Sie den relativen Fehler von s̃m .
c) In dieser Aufgabe werden wir sehen, dass die berechnete Lösung gleich der exakten
Lösung von leicht gestörten Eingabedaten xi · (1 + δi ) ist. Zeigen Sie, dass
s̃m =
m
X
xi (1 + δi )
mit
(1 − u)m − 1 ≤ δi ≤ (1 + u)m − 1
i=1
und falls mu < 1 gilt:
|δi | ≤
mu
,
1 − mu
i = 1, . . . , m.
Aufgabe H 3.3
Zu lösen sei die quadratische Gleichung
x2 − 2px − q = 0
für
p = 2, q = 0.0005
in vier- und fünfstelliger Gleitkommaarithmetik im Dezimalsystem. Dabei sollen die folgenden Algorithmen untersucht werden:
√
√
d, x2 = p − d,
√
.
(ii) d = p2 + q, x1 = p + d, x2 = −q
x1
(i) d = p2 + q, x1 = p +
Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der exakten Lösung und erklären Sie die unterschiedlichen
Resultate.
Programmieraufgabe H 3.4
Schreiben Sie Funktionen
e=meps(),
m=minimum(),
m=maximum()
die das Maschinenepsilon eps, die kleinste darstellbare positive Zahl xmin , bzw. die größte
darstellbare Zahl xmax berechnen. Dabei ist eps als die kleinste Zahl definiert für die
1 ⊕ eps > 1 gilt.
In den Funktionen soll nur benutzt werden, dass intern eine Gleitkommadarstellung
basierend auf dem Dualsystem verwendet wird. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den
entsprechenden Matlab-Funktionen (eps, realmin, realmax). Interpretieren Sie die Unterschiede.
Die Aufgabe H 3.4 ist mit Matlab oder Octave zu lösen. Senden Sie eine Textdatei mit
den Ein- und Ausgaben der Konsole und die erstellten m-files an [email protected] und
geben Sie Ihre Diskussion der Aufgabe in Papierform oder E-Mail ab. Die Aufgaben sind
spätestens vor der nächsten Übung abzugeben. Für eine erfolgreiche Abgabe muss mehr
als die Hälfte der Aufgaben gelöst werden.