Serie 1 - Universität Basel

Numerik der partiellen Differentialgleichungen I
Prof. M. Grote / M. Mehlin
Mathematik, HS 2012
Universität Basel
Serie 1
zur 38. KW (17.09. - 23.10.2012)
Aufgabe 1.1:
(a) Betrachten Sie die Funktion u : R3 → R mit
u(x1 , x2 , x3 ) =
(x21
1
,
+ x22 + x23 )a
wobei (x1 , x2 , x3 ) 6= (0, 0, 0) und a > 0. Berechnen Sie
∂u ∂ 2 u
,
, ∇u und ∆u.
∂x1 ∂x22
(b) Betrachten Sie das Vektorfeld v : R3 → R3 mit
v(x1 , x2 , x3 ) = ( x3 e−x1 x2 , x1 x3 + x22 , cos(3x2 + x21 )).
Berechnen Sie den Gradient ∇v und die Divergenz div v.
Aufgabe 1.2: Für welche Werte des Skalars a ist der Operator
Lu = −4
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
+
2a
−
∂x2
∂x∂y ∂y 2
elliptisch?
Aufgabe 1.3: (Stetige Abhängigkeit von den Randdaten)
Sei ui ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), i = 1, 2, die Lösung vom Problem
−∆ui = f in Ω,
ui = gi (x) auf ∂Ω .
Zeigen Sie, dass |u1 (x) − u2 (x)| ≤ sup |g1 (x) − g2 (x)| für alle x ∈ Ω gilt.
x∈∂Ω
Aufgabe 1.4: (Maximumprinzip)
Betrachten Sie den elliptischen Operator Lu := −∆u + a u mit a > 0 auf einem Gebiet
Ω ⊂ R2 . Zeigen Sie, dass eine Funktion u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) mit der Eigenschaft Lu ≤ 0 in
Ω kein positives Maximum hat. Dies bedeutet, dass entweder u ≤ 0 auf ganz Ω ist, oder
max u ≤ max u.
Ω
∂Ω
1
Aufgabe 1.5: Betrachten Sie die Wärmeleitungsgleichung
ut = σuxx , 0 < x < l ,
u(0, t) = u(l, t) = T0 ,
wobei σ 6= 1 und T0 6= 0. Für die Transformation
τ = αt , ξ = βx , v = u + γ ,
definieren Sie die Konstanten α, β und γ so, dass Sie das Problem
vτ = vξξ , 0 < ξ < π ,
v(0, τ ) = v(π, τ ) = 0 ,
bekommen.
Aufgabe 1.6: (Programmieraufgabe)
Schreiben Sie einen MATLAB-Code FD Poisson1D DR.m zur numerischen Lösung der eindimensionalen Poisson-Gleichung
−u00 (x) = f (x) in (0, 1),
u(0) = a,
u(1) = b .
Dabei sei f (x) eine gegebene Funktion, und a und b gegebene Zahlen. Die zweite Ableitung
wird durch den zentralen Differenzenquotienten approximiert. Die Systemmatrix soll im
sparse-Format gespeichert werden.
Als Testproblem wählen Sie die vorgegebene Lösung
u(x) =
1
cos(2πx).
4π 2
Zeichnen Sie die exakte und die numerische Lösung für n = 8, 16, 32 innere Punkte. Zeichnen Sie den Fehler max |u(xi ) − uh (xi )| bez. der Maschenweite h auf einer log-log Skala.
i
Welche Konvergenzordnung beobachten Sie?
Hinweis: Die MATLAB-Funktion spdiags ist hilfreich.
Abgabe: spätestens einen Tag vor der Übungsstunde
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich auf der Webseite
http://tinyurl.com/NumPDE1
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