Übung zur Experimentellen Physik IV

Übung zur Experimentellen Physik III für Medizinphysik
Prof. Dr. Markus Betz
Wintersemester 2012
AUFGABENBLATT 8
ABGABE BIS ZUM 03.12.2012
BESPRECHUNG AB DEM 05.12.2012
AUFGABE 1
(3 PUNKTE)
RYDBERGENERGIEN
Die Rydbergkonstante
gibt die kleinstmögliche Wellenzahl an, welche ein Photon besitzen
muss, um ein Wasserstoffatom zu ionisieren (zugehörige Energie
). Der Index
steht für die Näherung des Bohrschen Atommodells, dass die Kernmasse unendlich groß sei.
In einem verbesserten Modell wird die Elektronenmasse
durch die reduzierte Masse des
Systems
ersetzt.
a) Berechnen Sie die reduzierte Masse und die korrigierte Rydbergenergie (in ) für
1) Wasserstoff ( )
2) Deuterium (schwerer Wasserstoff
: Ein zusätzliches Neutron im Kern.
3) Positronium (
: Das Proton im Kern wird durch ein Positron (Teilchen mit
Elektronenmasse aber positiver Ladung) ersetzt.
b) Wie groß ist die Wellenlänge der
für diese drei Systeme?
Linie der Balmer-Serie (Übergang
AUFGABE 2
)
(6 PUNKTE)
A U F E N T HA L TS W A H R S C H E I N L I C H K E I TE N I M W A S S E R S TO F F A TO M
Die Wasserstoffwellenfunktionen des 1s-Zustands
sind gegeben durch
Bohrscher Radius
√
( )
und
√
( )
und 2p-Zustands
.
a) Zeigen Sie durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte
über die Winkelanteile
der Kugelkoordinaten, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im Abstand bis
zu finden, gegeben ist durch:
b) Wo liegt das Maximum der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
für den
1s- und 2p-Zustand? Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Bahnradien des Bohrschen
Atommodells.
Bitte wenden
AUFGABE 3
(4+2 PUNKTE)
K U G E L F L Ä C H E N F U N K T I O N E N U N D P - O R B I TA L E
Die Elektronenwellenfunktion eines Wasserstoffatoms
lässt sich in
Kugelkoordinaten in Radial- und Winkelanteil aufteilen, wobei
Kugelflächenfunktion
genannt wird und nur von der Drehimpulsquantenzahl und der Orientierungsquantenzahl
abhängt (mit
). Das Betragsquadrat
gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein
Elektron in der durch die Winkel und festgelegten Raumrichtung zu finden.
0 (s)
0
1 (p)
1 (p)
√
√
0
√
Die Kugelflächenfunktionen
der p-Zustände
sind komplexwertig, jedoch lassen sich
durch Linearkombinationen die reellen, orthonormierten Orbitalwellenfunktionen
√
,
und
√
bilden, welche kegelförmig um die x,y,z-Achsen angeordnet sind (siehe Abbildung). In der
Chemie werden diese Funktionen benutzt, um Atombindungen zu beschreiben, wobei zwei
Elektronenwellenfunktionen aus benachbarten Atomen zu einem Orbital überlappen.
a) Bilden Sie die Orbitalwellenfunktion
nur reelle Werte annehmen.
Tipp: Eulersche Formeln (
und
)
und zeigen Sie, dass diese Funktionen
und
(
)
b) Sind , und Eigenzustände von ̂ ? Nutzen Sie die bekannten Eigenschaften der
Kugelflächenfunktionen aus.
c) Bonusaufgabe (freiwillige Abgabe, 2 Bonuspunkte): Sind , und Eigenzustände
von ̂ ? Berechnen Sie die Erwartungswerte zu ̂ . (Tipp: Wenden Sie ̂ auf an und
drücken das Ergebnis durch aus.)