Blatt 8 zur Theoretischen Physik III, SS2017

Universität des Saarlandes
Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät (NT)
Fachrichtung Physik
Prof. Dr. L. Santen
Dr. C. Arita
E. Maikranz (Mail: [email protected])
Web: http://santen.physik.uni-saarland.de/
Saarbrücken, den 07.06.2017
Blatt 8 zur Theoretischen Physik III, SS2017
(Abgabe bis 14.06.2017, 14.00 Uhr)
Aufgabe 1 Zeitentwicklung des eindimensionalen harmonischen Oszillators [2 + 5 = 7 Punkte]
Wir betrachten den eindimensionalen harmonischen Oszillator im Anfangszustand |ψ(0)i =
√1
2
|0i + |1i .
a) Bestimmen Sie die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t.
b) Berechnen Sie die Erwartungswerte für Ort und Impuls.
Aufgabe 2 Harmonischer Oszillator in zwei Dimensionen [2 + 1 + 6 + 2 + 2 + 8 + 2 = 23 Punkte]
Wir betrachten die Schrödinger-Gleichung mit Hamilton Operator
2
2
1
mω 2 2
H = 2m
Px2 + Py2 + mω
2 X + 2 Y ,
∂
∂
mit, X|ψi = |xψi, Y |ψi = |yψi, Px |ψi = −i~| ∂x
ψi, Py |ψi = −i~| ∂y
ψi.
a) Lösen Sie die stationäre Schrödinger-Gleichung.
Hinweis: Wie zu erwarten sind die Lösungen die Hermiteschen Polynome.
b) Bestimmen Sie den Entartungsgrad des n-ten Energieniveaus. (Der Grundzustand gehört zu n = 0.)
c) Wir führen die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
q
q
q
q
1
mω
1
a†x = mω
X
−
i
P
,
a
=
X
+
i
x
2~
2mω~ x
2~
2mω~ Px ,
q
q
q
q
1
mω
1
Y
−
i
P
,
a
=
Y
+
i
a†y = mω
y
2~
2mω~ y
2~
2mω~ Py ,
und die Besetzungszahl Operatoren Nx = a†x ax und Ny = a†y ay ein.
i) Drücken Sie den Hamilton Operator mithilfe der Besetzungszahl Operatoren aus.
ii) Zeigen Sie die Kommutator Relationen [H, Nx ] = [H, Ny ] = 0.
iii) Zeigen Sie, dass die Eigenzustände, welche in a) bestimmt wurden, auch Eigenfunktionen von Nx
bzw. Ny sind.
d) Wegen Aufgabe c) können wir die Eigenzustände von H durch die Eigenwerte nx und ny von Nx und
Ny festlegen. Das heißt |nx , ny i erfüllt Nx |nx , ny i = nx |nx , ny i und Ny |nx , ny i = ny |nx , ny i.
Drücken Sie die angeregten Zustände in Abhängigkeit von a†x , a†y und dem Grundzustand aus.
e) Wir definieren die z-Komponente des Drehimpuls Operators durch Lz = XPy − Y Px . Zeigen Sie, dass
H und Lz gemeinsam messbar sind.
f) Unglücklicherweise gilt [Nx , Lz ] , [Ny , Lz ] 6= 0 und daher sind die |nx , ny i im Allgemeinen keine Eigenzustände von Lz . Daher definieren wir die neuen Operatoren a†± = √12 (a†x ∓ ia†y ), a± = √12 (ax ± iay ).
i) Drücken Sie H durch die neuen Operatoren aus und beweisen Sie [H, N+ ] = [H, N− ] = 0, wobei N±
die Besetzungszahl Operatoren a†± a± sind.
ii) Konstruieren Sie die angeregte Eigenzustände |n+ , n− i von H, in Abhängigkeit von a†± und dem
Grundzustand. Die |n+ , n− i sind zugleich Eigenzustände von N+ und N− , i.e. N± |n+ , n− i = n± |n+ , n− i.
g) Drücken Sie Lz in Abhängigkeit von N± aus und zeigen Sie, dass [Lz , N± ] = 0 gilt.
Aufgabe 3 N -Teilchen System [4 + 6 = 10 Punkte]
a) Wir betrachten ein System mit zwei ununterscheidbaren Teilchen, die wir im folgenden mit 1 und 2
Indizieren. Jeder normierte Zustand |Ψ(x1 , x2 )i muss |Ψ(x1 , x2 )i = α|Ψ(x2 , x1 )i erfüllen.
i) Zeigen Sie α = ±1.
Bemerkung: α = 1=
ˆ Bosonen, α = −1=
ˆ Fermionen
ii) Wir gehen von nicht entarteten Energien En mit Zustand |ψn (x)i aus. Konstruieren Sie jeweils
im bosonischen und fermionischen Fall die normierten Eigenzustände des Zweiteilchensystems.
Nehmen Sie dabei an die Teilchen haben die Energie En1 und En2 (n1 6= n2 ) .
iii) Ist es möglich das zwei Teilchen den selben Energiezustand En besitzen? Beantworten Sie die
Frage für den bosonischen und fermionischen Fall. Ist die Antwort „Ja“ so geben Sie außerdem
den Eigenzustand an.
b) Wir betrachten nun ein System mit drei Teilchen. Die möglichen bosonischen Symmetrien sind
|Ψ(x1 , x2 , x3 )i = |Ψ(x2 , x1 , x3 )i = |Ψ(x3 , x2 , x1 )i = |Ψ(x1 , x3 , x2 )i.
Die möglichen fermionischen Symmetrien sind
|Ψ(x1 , x2 , x3 )i = −|Ψ(x2 , x1 , x3 )i = −|Ψ(x3 , x2 , x1 )i = −|Ψ(x1 , x3 , x2 )i.
Konstruieren Sie analog zum Zweiteilchensystem die normierten Eigenzustände. (Der Einfachheit halber
betrachten wir nur Situationen in denen drei Teilchen drei verschiedene Zustände annehmen)