Quantenmechanik – Messung

Quantenmechanik – Messung
Das System sei im Zustand 0 und es soll A gemessen werden. Bei einer quantenmechanischen Messung sind
verschiedene Messresultate möglich. Die möglichen Messresultate sind aber genau definiert. Es sind die
Eigenwerte des Operators A, im folgenden ai genannt.
Wenn man mehrere identische Systeme hat, und auf allen Systemen die gleiche Messung vornimmt, erhält
man nicht immer die gleichen Werte und die Systeme sind nach der Messung in verschiedenen Zuständen.
Die Tatsache, dass man nicht immer den gleichen Messwert erhält ist nicht auf die „Ungenauigkeit der
Messmethode“ zurückzuführen, sondern damit zu erklären, dass die Messung ein „(diskretes)
Zufallsexperiment“ darstellt. Die Messung führt auch zu einer Veränderung des Systems. Nach einer Messung
ist das System in irgend einem Eigenzustand von A (Dabei sind die Wahrscheinlichkeiten für Messresultate
nicht für alle Möglichkeiten gleich gross). Die Wahrscheinlichkeit erhält man durch folgende Rechnung
(Beispiel mit 2 verschiedenen Eigenzuständen):
Sei ein System im Zustand
2
1
0 = c1
0 + c2
0
i
0
(*)
sind irgendwelche, zueinander paarweise orthonormale Eigenzustände (z. B. Vektoren der
Standardbasis).
Es soll nun die Messung A durchgeführt werden.
Die Eigenzustände von A seien gegeben durch a1
Die Eigenzustände sind implizit gegeben durch A
und
i
a
= ai
2
a
.
i
a
.
Wäre nun die Gleichung (*) als Summe von Eigenzuständen von A geschrieben, könnte man die
Wahrscheinlichkeiten nur noch ablesen:
2
1
0 = d1
a + d2
a
Denn di
2
entspricht der Wahrscheinlichkeit, nach der Messung von A, das System im Zustand
i
a
vorzufinden.
Wir schreiben also den Zustand
um als eine Summe von Eigenzuständen von A (das entspricht in der
0
Linearen Algebra einer Koordinatentransformation – der Zustand
0
wird auf die Eigenzustände von A
projiziert):
d1
= c1
0
di
2
1
0
+ c2
2
0
1
a
=
d2
1
a
0
2
a
+
0
2
a
entspricht dann der Wahrscheinlichkeit, das System nach der Messung im Zustand
Messwert ist der Eigenwert ai zum Eigenzustand
Das System
i
a
. Er ist definiert durch: A
i
a
= ai
i
a
zu finden. Der
i
a
.
wird nach der Messung entweder
0
2
neu
=
1
a
(mit Wahrscheinlichkeit d1 ) oder
neu
=
2
a
(mit Wahrscheinlichkeit d2 ) sein.
2
Führt man nun eine erneute Messung A auf
neu
durch, erhält man wieder dasselbe Messresultat mit
Wahrscheinlichkeit 1, denn
= 100%
z. B.:
neu
=
1
a
= 1
1
a
+0
2
a
.
da die erste Messung das System verändert.
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