Prof.Dr.Göbel Übungen zur Diskreten Mathematik Kapitel 1 1

Prof.Dr.Göbel
Übungen zur Diskreten Mathematik
Kapitel 1
1. Entscheiden Sie, ob die folgenden Sätze der deutschen Sprache Aussagen im Sinne der
klassischen Aussagenlogik sind (mit Begründung!). Geben Sie bei den Aussagen jeweils
den Wahrheitswert an.
10
a. Ist 10 +1 eine Primzahl?
b. Durch zwei Punkte einer Ebene geht stets genau eine Gerade.
c. Die Quadratwurzel aus 2 ist eine rationale Zahl.
d. Wer weiß, ob es tatsächlich unendlich viele Primzahlen gibt?
e. Mein Computer spinnt.
f. Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade ist, dann ist auch die Zahl gerade.
g. Schönes Wetter heute!
h. Hertha BSC gewinnt das Fußball-Bundesliga-Heimspiel in der Saison 2003/2004 gegen
Bayern München mit 4:2.
i. Es gibt unendlich viele pythagoreische Zahlentripel.
(das sind natürliche Zahlen x, y, z mit x² + y² = z². Satz des Pythagoras!!)
j. Es gibt nur endlich viele Primzahlzwillinge.
2. Es seien p = „3 ist eine Primzahl“ und q = „10 ist durch 3 teilbar“. Drücken Sie die
folgenden Aussagen als Satz der deutschen Sprache aus und geben Sie jeweils den
Wahrheitswert an:
a. ¬p
b. p ∧ q
c. q ∨ p d. q → p
e. p ↔ q
f. (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
3. p, q, r seien Aussagevariable. Entscheiden Sie, ob die folgenden Zeichenreihen
syntaktisch korrekte Ausdrücke der Aussagenlogik sind. Geben Sie für die syntaktisch
korrekten Aussagenverbindungen die Wahrheitstafel an.
a. ((p ∧ q) → r)
b. p → q ∧ ¬q
c. p → q → r
d. (p ∧ q → (p → q)
e. ¬¬¬p ∧ ¬q
f. p ∨ q → ¬q
g. (¬p ∨ ¬q) ↔ ¬p → ∨ q)
h. ((r → (p ∨ ¬q)) ↔ (q → p)) ↔ (¬p ∧ r)
∧
→
→
↔
¬p)
∧
¬q ∧ ((p ∨ q → ¬q ∧ (p ∧ q → (p → q))))
i. ((p q
(p
q))
4. a.
b.
c.
d.
e.
Zeigen Sie :
Zeigen Sie :
Zeigen Sie :
Drücken Sie
Drücken Sie
¬p ⇔ p | p ⇔ p ↓ p
p ∨ q ⇔ (p | p) | (q | q) ⇔ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)
p ∧ q ⇔ (p | q) | (p | q) ⇔ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)
p → q und p ↔ q semantisch äquivalent allein mit Hilfe von | aus.
p → q und p ↔ q semantisch äquivalent allein mit Hilfe von ↓ aus.
5. Beweisen Sie die in der Vorlesung nicht bewiesenen Tautologien der Aussagenlogik vom
Umdruck 1/2.
6.
p, q, r seien Aussagevariable. Betrachtet wird die Aussagenverbindung P(p, q, r), die
genau dann den Wahrheitswert W hat, wenn eine ungerade Anzahl der drei Aussagevariablen den Wahrheitswert W hat.
a. Bestimmen Sie die kDNF und die kKNF von P(p, q, r).
b. In welchem syntaktischen Zusammenhang stehen die kDNF und die kKNF von P(p, q, r)?
c. In welchem semantischen Zusammenhang stehen die kDNF und die kKNF von P(p, q, r)?
7. Wenn ich Karten bekomme, gehe ich ins Theater. Wenn ich ins Theater gehe, sehe ich „Die
Physiker“. Ich bekomme Karten oder ich ärgere mich. Ich sehe „Die Physiker“ nicht.
Formalisieren Sie diese Aussagen. Wenn alle diese Aussagen wahr sind, was können Sie
dann aus ihnen schließen?
8. Betrachtet wird die Aussage P(p, q, r) :
(p∨q∨ r)∧(p∨ q∨r)∧(p∨ q∨ r)∧( p∨ q∨r)∧( p∨ q∨ r)
a. Geben Sie die Wahrheitstafel von P(p, q, r) an.
b. Sei Q(p, q, r) die Aussage ( r ( p q ) ) q .
Bestimmen Sie die kanonische disjunktive Normalform dieser Aussage durch
semantisch-äquivalente Umformungen. Geben Sie bei jedem Schritt an, welche
semantisch-äquivalente Umformung Sie anwenden.
c. In welcher Relation stehen P(p, q, r) und Q(p, q, r)?
9. Formulieren Sie die Aussage
Das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist größer als Null
und deren Negation in der formalen Sprache der Prädikatenlogik.
10. Es werden folgende Aussageformen für natürliche Zahlen x betrachtet:
p(x) : x ist eine Primzahl
z(x) : x ist durch 2 teilbar
d(x) : x ist durch 3 teilbar
s(x) : x ist durch 6 teilbar
Formulieren Sie die folgenden Aussagen als Satz der deutschen Sprache und geben Sie
jeweils den Wahrheitswert an:
∧x (z(x) → ¬p(x))
∧x (p(x) → ¬z(x) ∧ ¬d(x))
∨x (¬z(x) ∧ ¬d(x) ∧ p(x))
a.
c.
e.
b.
d.
f.
∧x (¬z(x) ∧ ¬d(x) → p(x))
∧x (z(x) ∧ d(x) ↔ s(x))
∨x (z(x) ∧ ¬d(x) ∧ p(x))
11. Bilden Sie die Negation der folgenden prädikatenlogischen Aussagen.
a. Alle Studenten des Studiengangs Medieninformatik sind Nichtraucher.
b. Es gibt eine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist.
∧ ∨
n∈
∧ ∨
c.
x∈
d.
ε > 0 N∈
(n > x)
∧
n, m ∈
(n, m ≥ N → | an - am| < ε )
∧ (p(x) → q(x))
∨ ( ∧ ¬p(x,y) ∨ ∧
e.
f.
x∈G
x∈G y ∈ H
y∈ H
q(x,y) )
12. In der Vorlesung wurden die Regeln für die Verträglichkeit der Quantoren mit den
Verknüpfungen ∨ und ∧ behandelt. Geben Sie weitere Gegenbeispiele für die beiden Fälle
der Gültigkeit nur einer Implikation an.
Kurzfragen
P und Q seien Aussageverbindungen :
Ist P eine Tautologie und Q eine Kontradiktion, dann ist P ∧ Q eine Kontradiktion....
Ist P eine Kontradiktion und Q eine Tautologie, dann ist P ∨ Q eine Kontradiktion .
P
P ist eine Kontradiktion ................................................................ ..................
Die Negation der Aussage „Alle Studierenden der TFH sind Fußballfans“ ist „Kein
Studierender der TFH ist Fußballfan“ ................................................................ ........
Die Negation der Aussage „Alle Studierenden der TFH sind Fußballfans“ ist
„Alle Studierenden der TFH sind keine Fußballfans“ .................................................
W
W
W
F
F
F
W
F
W
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