12 RLC - Netzwerke

174
12
12.1
RLC - Netzwerke
Einführung
Dieser Versuch befasst sich mit den Grundzügen der Wechselstromtechnik. Neben den bekannten Vorgängen im statischen Zustand (Gleichstrom) kommen nun dynamische Prozesse zur Wirkung. Neben dem Ein- und Ausschaltverhalten wird hier das Frequenzverhalten unterschiedlicher Komponenten und Schaltungen im Zeit- und Frequenzbereich untersucht.
12.1.1
Beschreibung von sinusförmigen Wechselgrößen im Zeitbereich
Sinusförmige Größen, z. B. Ströme und Spannungen lassen sich wie folgt darstellen:
u(t) = û · sin(ωt + ϕ) .
(12.1)
Der Augenblickswert der Zeitfunktion schwankt zwischen û und −û. Die positive extreme Auslenkung û heißt Amplitude oder Scheitelwert. Der Parameter ω wird als Kreisfrequenz bezeichnet. Die Frequenz f des Signals ergibt sich zu
ω
f=
, ω = 2πf .
(12.2)
2π
Der Kehrwert aus der Frequenz wird als Periodendauer T bezeichnet
1
2π
T = =
.
(12.3)
f
ω
Die Periodendauer bezeichnet das Zeitintervall T nachdem sich die Zeitfunktion wiederholt.
Eine Zeitfunktion s(t) heißt periodisch, wenn ein T existiert für das die Bedingung s(t) =
s(t + T ) für alle t Gültigkeit hat.
Die Festlegung der Zeitachse mit t = 0 ist für einzelne Signale willkürlich. Treten mehrere
harmonische Signale in Beziehung zueinander, so ist die Angabe von Phasenverschiebungen
notwendig. Diese Phasenverschiebung wird über den Nullphasenwinkel ϕ definiert. Bei der relativen Phasenlage zweier harmonischer Signale spricht man von Voreilen, wenn der Nullphasenwinkel ϕ0 positiv ist, andernfalls von Nacheilen.
12.1.2
Lade- und Entladeverhalten von Kondensatoren
Ein Kondensator, der an Gleichspannung betrieben wird, lädt sich einmal auf und entlädt sich
erst wieder, wenn sich die von außen anliegende Spannung ändert. Bei Wechselspannung geschieht dies periodisch. Da die Spannung alterniert, lädt und entlädt sich der Kondensator permanent. Der Augenblickswert der Spannung ist daher abhängig von der Änderung des Stromes:
Z
1
uC = · i(t) dt .
(12.4)
C
175
12.1 Einführung
Durch Lösen von Differentialgleichungen erhält man für eine allgemeine Schaltung mit einem
Vorwiderstand und einen Kondensator für das Ladeverhalten
t
u(t) = û(1 − e − τ )
(12.5)
und für das Entladeverhalten
t
u(t) = û · e − τ .
(12.6)
Bei diesen beiden Funktionen ist zu beachten, dass es sich hierbei um eine konstante Spannung
handelt, die entweder zu- oder abgeschaltet wird. Daher kann man diese Gleichungen nutzen,
um die Momentanwerte bei einmaligem Schalten oder bei Anlegen einer Rechteckspannung zu
berechnen.
Die Zeitkonstante τ
Für einen Kondensator lässt sich aus dem Produkt des Vorwiderstandes R der Schaltung und
der Kapazität des Kondensators C die Zeitkonstante τ bestimmen:
τ =R·C.
(12.7)
Allgemein gibt τ die Zeit an, die der Kondensator benötigt, um sich auf den Wert 1 − e −1 ≈
63,2 % zu laden, bzw. sich auf e −1 ≈ 36,8 % zu entladen. Nach t = 5τ ist der Kondensator auf
den Wert
u(t)
= 1 − e −5 ≈ 99,3 %
û
geladen. Der Ladevorgang kann als abgeschlossen betrachtet werden.
12.1.3
Beschreibung von sinusförmigen Wechselgrößen im
Zeigerdiagramm
Eine reelle harmonische Funktion u(t) = û·cos(ωt+ϕ) kann als Realteil einer komplexwertigen
Exponentialfunktion geschrieben werden. Wegen
e j ωt = cos ωt + j sin ωt
(12.8)
u(t) = û · <{e j (ωt+ϕ) } = <{û · e j (ωt+ϕ) } .
(12.9)
folgt
Formal fasst man den letzten Term in Klammern als komplexe Zeitfunktion auf
u(t) = û · e j (ωt+ϕ) = û · e j ϕ · e j ωt = û · e j ωt .
(12.10)
Das Produkt der Amplitude û und des Phasenfaktors e j ϕ bezeichnet man als komplexe Amplitude û. Die komplexe Amplitude lässt sich als Zeiger in der komplexen Ebene darstellen.
176
12.1 Einführung
jX
Im
Z
U=Z I
j
j
I
R
Re
Abbildung 12.1: Impedanz Z, Strom I und Spannung U im Zeigerdiagramm
12.1.4
Komplexer Widerstands- und Leitwertoperator
Analog zum Gleichstromwiderstand definiert man einen komplexen Widerstand
Z=
û
û · e j ϕu
û j (ϕu −ϕi )
=
=
·e
.
ı̂
ı̂ · e j ϕi
ı̂
(12.11)
Der Widerstandsoperator ergibt sich zu
Z = Z · e j ϕZ
Dabei ist
Z=
√
R2 + X 2 ,
bzw. Z = R + j X .
ϕZ = arctan
={Z} <{Z}
= arctan
(12.12)
X R
.
(12.13)
Für den Leitwertoperator ergibt sich entsprechend
Y = Y · e j ϕY
mit
Y =
12.1.5
√
G2
+
B2
,
bzw.
ϕY = arctan
Y = G + jB
={Y } <{Y }
= arctan
(12.14)
B G
.
(12.15)
Wechselstromwiderstände
An einer Induktivität L ist die induzierte Spannung proportional der Stromänderung di/dt:
u(t) = L ·
di
.
dt
(12.16)
Für einen sinusförmigen Strom ergibt sich hieraus
d
π
.
u(t) = L · (ı̂ · sin ωt) = ı̂ ωL cos ωt = ı̂ ωL sin ωt +
dt
2
(12.17)
177
12.1 Einführung
Der induktive Blindwiderstand und der sich hieraus ergebende komplexe Widerstandsoperator
sind dann
XL = ωL,
Z = j XL = j ωL .
(12.18)
An einer Kapazität C ergibt sich die Spannung aus dem Integral des in die Kapazität fließenden
Stromes
Z
1
u(t) =
i(t) dt .
(12.19)
C
Der kapazitive Blindwiderstand und der sich hieraus ergebende komplexe Widerstandsoperator
sind dann
XC = −
12.1.6
1
,
ωC
Z = j XC = −j
1
.
ωC
(12.20)
Frequenzabhängiger Spannungsteiler
Betrachtet wird ein komplexer Spannungsteiler als Vierpol.
R
u1(t)
L
u2(t)
Abbildung 12.2: Frequenzabhängiger Spannungsteiler
Untersucht werden soll das Verhältnis zwischen Ausgangsspannung u2 (t) zur Eingangsspannung u1 (t). Hierzu bestimmt man analog zur Berechnung am Spannungsteiler eines Gleichstromkreises das Spannungsverhältnis û2 /û1 :
û2
Z2
jωL
=
=
û1
Z1 + Z2
R + jωL
2
(ωL)
ωRL
= 2
+j 2
.
2
R + (ωL)
R + (ωL)2
(12.21)
Es ergibt sich ein komplexes Ergebnis. Dieses lässt sich auch als Betrag und Phase angeben:
s
2 2
û2 (ωL)2
ωRL
=
+
û1 R2 + (ωL)2
R2 + (ωL)2
s
s
(ωL)2 R2 + (ωL)2
ω 4 L4 + ω 2 R2 L2
(12.22)
=
=
(R2 + (ωL)2 )2
(R2 + (ωL)2 )2
ωL
û2
=p
=
,
û1
R2 + (ωL)2
178
12.1 Einführung
ϕ = arctan
={Z}
ωRL
= arctan
.
<{Z}
(ωL)2
(12.23)
Wir erhalten also zwei Gleichungen: eine für das Amplitudenverhältnis und eine für die Phasenverschiebung, jeweils in Abhängigkeit von der Frequenz
û2
ωL
=p
û1
R2 + (ωL)2
und
ϕ = arctan
R
.
ωL
(12.24)
Diese Funktionen lassen sich für konkrete Bauteilwerte wie in Abb. 12.3 zu sehen als Amplitudengang und Phasengang oder wie aus Abb. 12.4 ersichtlich als Ortskurve graphisch darstellen.
Abbildung 12.3: Amplituden- und Phasengang
Abbildung 12.4: Ortskurve
179
12.1 Einführung
12.1.7
Resonanzkreise (Schwingkreise)
Schaltungen mit einer Kombination von Widerständen R, Kondensatoren C oder Induktivitäten (Spulen) L werden auch als RLC-Glieder bezeichnet (z. B. RL-, RC- oder LC-Glied).
Einen Sonderfall stellen die Schaltungen dar, in denen alle drei Bauteile (R, L und C) Verwendung finden. Je nach Anordnung unterscheidet man Reihen- oder Parallelresonanzkreise – auch
Reihen-/Serien- oder Parallelschwingkreise genannt. Bei Resonanz sind UC und UL bzw. IC
und IL gleich groß. Allgemein berechnet man die Frequenz mit dem Ansatz:
={Z} = 0 .
(12.25)
Bei einer Kapazität C eilt die Phase des Stroms gegenüber der Phase der anliegenden Spannung
um 90◦ voraus. Bei einer Induktivität L läuft die Stromphase gegenüber der Spannungsphase
um 90◦ nach. Betrachtet man Schwingkreise im Frequenzbereich, wird der Amplitudengang im
Verhältnis von Aus- und Eingangsleistung (P2 und P1 ) in dB aufgetragen. Eine dabei wichtige
Frequenz ist die sogenannte Grenzfrequenz. Dabei handelt es sich um einen Wert von −3 dB,
welcher einer Leistungsübertragung von 50 % entspricht. Bei einem Wert von 0 dB wird die
gesamte Leistung übertragen. Die Grenzfrequenz kann ebenfalls mit Hilfe der Gesamtimpedanz
Z berechnet werden. Hierbei gilt für einfache Schaltungen:
<{Z} = ={Z} .
(12.26)
12.2 Vorbereitung
12.2
Vorbereitung
12.2.1
Allgemein
180
Bereiten Sie sich mit Hilfe der Einleitung, den Vorlesungsunterlagen und mit weiteren Quellen (Bibliothek, Internet) ausführlich vor. Sollten Fragen offen bleiben, wenden Sie sich bitte
rechtzeitig an einen Betreuer oder Herrn Schneider, R. −1325, WA 73.
12.2.2
Fragen zur Vorbereitung
Beantworten Sie bitte zur Vorbereitung dieses Versuches schriftlich folgende Fragen:
1. Skizzieren Sie den Verlauf einer Ladekurve eines Kondensators. Es handelt sich um
ein RC-Glied, wie es in Abb. 12.8 gezeigt wird. Nehmen Sie U = 5 V, R = 10 kΩ,
C = 100 nF an. Tragen Sie die Strom- und Spannungskurve ein. Erstellen Sie hierzu eine
Wertetabelle für u(t) und i(t) mit den Werten τ bis 5τ . Wie viel Prozent der Gesamtspannung bzw. des Gesamtstroms machen die einzelnen Werte aus?
2. Was versteht man unter einem Hochpass und einem Tiefpass? Geben Sie eine kurze Erklärung an und skizzieren Sie geeignete Schaltungen.
3. Berechnen Sie die Grenzfrequenz der in Abb. 12.9 gezeigten Schaltung.
Hinweis: Bestimmen Sie die Gesamtimpedanz der Schaltung und gebrauchen Sie den in
der Vorbereitung genannten Ansatz.
4. Welchen Einfluss haben die Bauteile auf die Schaltung?
5. Was versteht man unter einem Bandpass und einer Bandsperre. Geben Sie eine kurze
Erklärung an und skizzieren Sie geeignete Schaltungen.
6. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz der in Abb. 12.11 gezeigten Schaltung.
Hinweis: Bestimmen Sie die Gesamtimpedanz der Schaltung und gebrauchen Sie den in
der Vorbereitung genannten Ansatz.
7. Welchen Einfluss haben die Bauteile des Serienresonanzkreises auf die Schaltung?
181
12.3 Versuchsdurchführung
12.3
Versuchsdurchführung
Verwenden Sie folgende Module:
• mainboard,
• analog & digital data unit,
• function generator,
• component board.
Beachten Sie die Fragen für die Ausarbeitung. Sie dienen als Leitfaden für das Protokoll. Alle
die von Ihnen bearbeiteten Ergebnisse sollen strukturiert in das Protokoll eingegliedert werden.
Als Hauptleitfrage dient Ihnen: Wie sind die graphischen Ergebnisse zu deuten? (Vergleich zu
ähnlichen Ergebnissen, Erklärung, . . . )
12.3.1
Widerstand R an Wechselspannung (Zeit- und Zeigerdiagramm)
12.3.1.1
Aufbau
Bauen Sie die Schaltung in Abbildung 12.5 auf dem Komponentenmodul auf. Stellen Sie am
Funktionsgenerator die angegebenen Parameter ein und verbinden Sie die Schaltung mit den
Oszilloskopeingängen des Datenmoduls.
+IN B1
+IN A
i
5V
AC
ui
120Hz
IN A
+IN B2
R i 10kW
R
20kW
u
IN B1
uR
IN B2
Abbildung 12.5: Widerstand im Wechselstromkreis
12.3.1.2
Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Oszilloskop aus.
Stellen Sie die beiden Messungen UB1 = f (UA ) und UB2 = f (UA ) gemeinsam dar (Zeit- und
Zeigerdiagramm). Wählen Sie hierzu die Phasor-Darstellung und nutzen Sie die SequenceOption. Wählen Sie zudem einen geeigneten Reference-Phasor aus. Drucken Sie das Ergebnis
aus.
182
12.3 Versuchsdurchführung
12.3.2
Spule L und Kapazität C an Wechselspannung (Zeit- und
Zeigerdiagramm)
12.3.2.1
Aufbau und Aufgaben
Bauen Sie die Schaltungen 12.6a, 12.6b, 12.7a und 12.7b nacheinander auf und wiederholen
Sie die Aufgaben der Messung am Widerstand. Bitte führen Sie die Messungen mit folgenden
Widerständen durch:
• Schaltung 12.6b: R ∈ {200 Ω, 1 kΩ, 5 kΩ}
• Schaltung 12.7b: R ∈ {1 kΩ, 5 kΩ, 200 kΩ}
Drucken Sie die Ergebnisse separat aus. Hierbei müssen Sie auch erneut UB1 über dem Vorwiderstand messen.
IN B1
+IN B1
uR
+IN A
uR
+IN A
+IN B2
R 2kW
i
L
1H
u
120Hz
uL
AC
u
120Hz
IN A
uL
RS
IN A
IN B2
+IN B2
R 2kW
L
1H
i
5V
5V
AC
IN B1
+IN B1
IN B2
Abbildung 12.6: a) L (ideal), b) L (real)
+IN B1
+IN A
i
uR
IN B1
+IN B1
+IN B2
uR
+IN A
R 10kW
i
5V
IN B1
+IN B2
R 10k
5V
AC
C
100nF
u
120Hz
IN A
uC
AC
C
100nF
u
RP
uC
120Hz
IN B2
IN A
IN B2
Abbildung 12.7: a) C (ideal), b) C (real)
12.3.2.2
Fragen
• Welchen Reference-Phasor haben Sie gewählt und warum?
• Welche Änderungen treten für die Schaltung mit den unterschiedlichen Widerständen
auf?
183
12.3 Versuchsdurchführung
12.3.3
Untersuchung von RC-Gliedern: Integrier-/Differenzierglied
12.3.3.1
Aufbau
Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für ein Integrierglied (Abb. 12.8a) und ein Differenzierglied (Abb. 12.8b) auf.
+IN A
+IN A
+IN B
R
+IN B
C
10kW
5V
5V
AC
300Hz
u1
C
IN A
u2
AC
IN B
R
10kW
u1
300Hz
u2
IN A
IN B
Abbildung 12.8: a) RC (Integrierglied), b) CR (Differenzierglied)
12.3.3.2
Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Oszilloskop aus.
Stellen Sie jeweils die Messungen UB = f (UA ) mit unterschiedlichen Werten für
C ∈ {4 nF, 40 nF, 240 nF}
gemeinsam dar. Wählen Sie hierzu die YT-Darstellung und nutzen Sie die Sequence-Option.
Drucken Sie das Ergebnis aus.
12.3.3.3
Fragen
• Ermitteln Sie die Zeitkonstante τ für die Kapazität von 40 nF grafisch. Prüfen Sie ihr
Ergebnis. Was muss hierbei beachtet werden?
12.3.4
Untersuchung von RC-Gliedern (Zeitbereich): Tief-/Hochpass
12.3.4.1
Aufbau
Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für einen Tiefpass (Abb. 12.9a) und einen Hochpass
(Abb. 12.9b) auf.
12.3.4.2
Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Oszilloskop aus.
Stellen Sie die Messung UB = f (UA ) für beide Schaltungen gemeinsam dar. Wählen Sie hierzu
die Phasor-Darstellung und nutzen Sie die Sequence-Option. Wählen Sie zudem einen geeigneten Reference-Phasor aus. Drucken Sie das Ergebnis aus.
184
12.3 Versuchsdurchführung
+IN A
R
+IN A
+IN B
5kW
5V
AC
C
100nF
u1
+IN B
C
100nF
5V
u2
IN A
R
5kW
u1
AC
u2
IN A
IN B
IN B
Abbildung 12.9: a) RC (Tiefpass), b) CR (Hochpass)
12.3.4.3
Fragen
• Geben Sie den Rechenweg zur Berechnung der Grenzfrequenz an!
12.3.5
Untersuchung von RC-Gliedern (Frequenzbereich):
Tief-/Hochpass
12.3.5.1
Aufbau
Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für einen Tiefpass (Abb. 12.10a) und einen Hochpass (Abb. 12.10b) auf. Verwenden Sie statt des Funktionsgenerators den analog Ausgang des
Datenmoduls.
OUT
+IN A
R
+IN B
OUT
+IN A
5kW
C
100nF
u1
GND
IN A
+IN B
C
100nF
u2
R
5kW
u1
IN B
GND
IN A
u2
IN B
Abbildung 12.10: a) RC (Tiefpass), b) CR (Hochpass)
12.3.5.2
Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Frequency Characteristics aus.
Stellen Sie die Messung UB = f (UA ) für beide Schaltungen gemeinsam dar. Wählen Sie hierzu
die Darstellung Nyquist und nutzen Sie die Sequence-Option. Drucken Sie das Ergebnis für den
Amplitudengang und für den Phasengang aus.
12.3.5.3
Fragen
• Vergleichen Sie das Ergebnis mit den Resultaten des vorherigen Versuchs. Was fällt Ihnen
dabei auf?
185
12.3 Versuchsdurchführung
12.3.6
RLC Serienresonanzkreis
12.3.6.1
Aufbau
Bauen Sie die Schaltung aus Abbildung 12.11 auf.
+IN A
1,2V
AC
u
IN A
+IN B1
i
R
2kW
uR
IN B1
+IN B2
L
1H
uL
IN B2
+IN B3
C
100nF
uC
IN B3
Abbildung 12.11: RLC Serienresonanzkreis
12.3.6.2
Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Oszilloskop aus.
Lassen Sie Sich die Messungen UB1−3 = f (UA ) anzeigen. Wählen Sie hierzu die Darstellung
Phasor und nutzen Sie die Sequence-Option. Wählen Sie zudem einen geeigneten ReferencePhasor aus. Drucken Sie das Ergebnis aus.
12.3.6.3
Fragen
• Geben Sie den Rechenweg zur Berechnung der Resonanzfrequenz an!
• Wie viel Prozent der Eingangsspannung der Schaltung fällt über dem Widerstand ab?
Erklären Sie das Ergebnis!
186
12.3 Versuchsdurchführung
12.3.7
Bandpass und Bandsperre
12.3.7.1
Aufbau
Bauen Sie nacheinander die Schaltungen für einen Bandbass (Abb. 12.12a) und eine Bandsperre (Abb. 12.12b) auf. Verwenden Sie statt des Funktionsgenerators den Analog-Ausgang des
Datenmoduls.
OUT
OUT
+IN A
L
C
1H
3,3mF
u1
R
IN A
GND
+IN A
+IN B
L
1H
u1
u2
IN B
GND
+IN B
R
IN A
C
3,3mF
u2
IN B
Abbildung 12.12: a) LCR (Bandpass), b) RLC (Bandsperre)
12.3.7.2
Aufgaben
Wählen Sie in der Ansteuerungssoftware das Programmmodul Frequency Characteristics aus.
Stellen Sie jeweils die Messungen UB = f (UA ) mit unterschiedlichen Werten für
R ∈ {100 Ω, 200 Ω, 500 Ω}
gemeinsam dar. Wählen Sie hierzu die Darstellung Freq. ch. und nutzen Sie die SequenceOption. Lassen Sie sich je Aufbau einmal die Amplituden und die Phasengänge anzeigen. Drucken Sie die Ergebnisse aus.
187
Literatur
[1] C LAUSERT, H. ; W IESEMANN, G. : Grundgebiete der Elektrotechnik 1. 8. Auflage. München, Wien : Oldenbourg, 2003
[2] S CHRÜFER, E. : Elektrische Messtechnik – Messung elektrischer und nichtelektrischer
Größen. 9., aktualisierte Auflage. München : Hanser Verlag, 2007
[3] S TÖCKER, H. (Hrsg.): Taschenbuch der Physik. 3. Auflage. Thun, Frankfurt am Main :
Verlag Harri Deutsch, 1998
[4] T IETZE, U. ; S CHENK, C. : Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Auflage. Berlin : Springer,
2002