Simulating Physics with Computers

Simulating Physics with
Computers
Richard P. Feynman
Streckenzugverfahren nach Euler
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• Feynman will über Computer
nachdenken, die die Natur nicht
nur imitieren sondern sie exakt
nachahmen/emulieren.
• Da die Welt quantenmechanisch
ist geht es ihm um die
Simulation/Emulation von
Quantenphysik
Bedingungen
• Damit so eine „Simulation“ möglich ist:
– muss alles in einem begrenzten Raum stattfinden
– Zeit sollte begrenzt sein
– mit endlicher Anzahl logischer Operationen
analysierbar sein
Momentane Theorie ist allerdings nicht so, da:
- Raum unendlich klein werden kann
- Wellenlängen unendlich groß
- Zeit kontinuierlich usw.
2
• Wenn es eine solche „Simulation“
gibt, dann müssen die physikalischen
Gesetze in ihrer jetzigen Form falsch
sein.
Haben aber schon ein paar
Anhaltspunkte wie wir sie
modifizieren könnten:
Diskretheit des Raumes
• Könnten annehmen, dass der Raum nicht
kontinuierlich sondern ein Gitter (also
diskret) ist.
• Probleme: Es würden Anisotropien
auftreten, z.B. würde Lichtgeschwindigkeit
leicht von der Richtung abhängen.
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Diskretheit der Zeit
• Man kann ohne Probleme annehmen,
dass die Zeit diskret ist auf einer Skala
von mindestens 10-27s, da wir keine
unendliche Genauigkeit der Zeitmessung
haben.
• Es muss mindestens diskret auf Skala von
10-27s sein, da man sonst in Konflikt mit
Experimenten gerät.
Diffusionsgleichung
∂P( x, t )
= −∇ 2 P( x, t )
∂t
Lösungsweg: Mithilfe eines Algorithmus (numerisches Lösungsverfahren) wobei x
und t diskret und dadurch auch P(x,t) diskret gemacht wird.
Problem: Wenn man nur k Stellen nimmt vernachlässigt man Wahrscheinlichkeiten
die kleiner sind wie2 − k
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Hauptproblem
Bei vielen Teilchen (z.B. größeren
quantenmechanische Systeme) steigt der
Rechenaufwand exponentiell an.
Beispiel: N Punkte im Raum und R Teilchen
es gibt NR verschiedene Anordnungsmöglichkeiten.
Rechenaufwand α NR
Quantencomputer
• Wenn man den Raum diskret macht, dann findet
man heraus, dass man die Quantenfeldtheorie
sehr gut mit Mitteln der Festkörperphysik (Gitter
usw.) wiedergegeben werden kann.
• Deswegen glaubt Feynman, dass man mit einer
geeigneten Klasse von Quantensystemen, jedes
andere Quantensystem, sowie alles andere
„simulieren“ kann.
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Quantencomputer
• Was ist nun der universelle Quanten
System „Simulator“?
• Feynman weiß die Antwort darauf nicht,
glaubt aber, dass es ein System sein
könnte, was an jedem Punkt der RaumZeit genau 2 Basiszustände hat
Qubits (quantum bits)
Qubits
- Hat wie Bit auch 2 messbare Zustände
( 0 und 1 )
- Im Gegensatz zum Bit kann Qubit aber in
Zuständen Ψ = α 0 + β 1 sein, die Superposition
der beiden messbaren Zustände ist.
2
2
- α bzw. β sind die Wahrscheinlichkeiten Zustand
0 bzw. 1 zu messen
- 0 , 1 bilden eine Orthonormalbasis
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Physikalische
Realisierungsmöglichkeiten für Qubits
• Photon mit 2 möglichen
Polarisationszuständen
• Spin ½ Teilchen
• Elektron was auf 2
möglichen Bahnen einen
Kern umkreist
Multiple Qubits
• Bsp: 2 Qubits, daraus folgen (analog wie für Bits)
die 4 messbaren Zustände 00 , 01 , 10 , 11
• 2 Qubits können in Superposition dieser 4
Zustände existieren: Ψ = α 00 00 + α 01 01 + α10 10 + α11 11
• Messung des 1. Qubits im Zustand 0 mit
2
2
Wahrscheinlichkeit α 00 + α 01
• Danach befindet sich das System im Zustand:
Ψ′ =
α 00 00 + α 01 01
2
α 00 + α 01
2
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Bell state/EPR pair
• Wichtiger 2 Qubit Zustand: 00 + 11
2
• Verantwortlich für viele Überraschungen in der
Quantenverarbeitung
• Wahrscheinlichkeit für 1. Qubit 0 oder 1 zu
messen ist jeweils ½
• Danach ist System im Zustand 11 oder 00
• Messung des 2. Qubits gibt also immer den
Zustand des 1. Qubits
Bell state/EPR pair
• Messungen sind korreliert
• Korrelation bleibt auch erhalten, wenn
man irgendwelche Operationen auf das
erste oder zweite Qubit anwendet
• Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon
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Single qubit gates
• Quanten NOT Gate:
• In Matrizenform:
α 0 + β 1 ⇒ Gate ⇒ β 0 + α 1
0 1
X =

1
0


• Für einzelne Qubits sind Gates also 2x2 Matrizen
• Unitäre Matrizen U*U=I (wegen
Normierungsbedingung)
Weitere Gates
• Z-gate:
1 0 
Z=

0 − 1
• Hadamard Gate:
• Wirkungsweise:
• H2=I
1
H=
2
0 ⇒
1
2
(0
1 1 
1 − 1


+ 1 ) // 1 ⇒
1
2
(0
−1)
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Multiple qubit gates
Controlled-NOT oder CNOT Gate
- hat 2 Inputs, 1. den control qubit und 2. den
target qubit
- Wirkungsweise des Gates: Wenn der control
qubit 0 ist passiert nichts mit dem target qubit,
wenn der control qubit 1 ist, dann wird der target
qubit umgedreht
- 00 → 00 ; 01 → 01 ; 10 → 11 ; 11 → 10
CNOT Gate
• Jedes multiple qubit gate
kann aus CNOT gates und
single qubit gates aufgebaut
werden
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Qubit copying circuit
• Wollen Zustand Ψ = a 0 + b 1 kopieren
• Verwenden dazu CNOT Gate (analog zu XOR
Gate bei Bit)
• Als Speicherqubit nehmen wir eins im Zustand
• Eingangszustand: [a 0 + b 1 ] 0 = a 00 + b 10
• Daraus folgt dann: a 00 + b 10 ⇒ CNOT ⇒ a 00 + b 11
• Haben wir nun den Zustand kopiert?
• Nein, da allgemein: Ψ Ψ = a 2 00 + ab 01 + ab 10 + b 2 11
0
Bit and Qubit copying circuit
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No–cloning Theorem
• Qubits können nicht kopiert werden
• Erklärung: Wenn wir den Zustand eines der beiden
Qubits im Zustand: Ψ ′ = a 00 + b 11 (nach „Kopie“)
messen so erhalten wir entweder 0 oder 1. Wenn nun
ein Qubit gemessen wird so ist der Zustand des
anderen komplett festgelegt, aber das andere sollte,
wenn es eine Kopie des anderen wäre, noch die
versteckten Informationen des ersten, vor der Messung,
enthalten. Deshalb wurde keine Kopie erstellt!
Quantum parallelism
• Quantum parallelism ist eine fundamentale
Besonderheit vieler Quanten Algorithmen
• Einfach ausgedrückt: Quantum parallelism
erlaubt Quantencomputern eine Funktion
f(x) für viele verschiedene Werte
gleichzeitig auszuwerten
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Beispiel:
- Funktion: f ( x ) : {0,1} → {0 ,1}
-Die Transformation: U f = x, y → x , y ⊕ f ( x ) kann mit einer
best. Anordnung von Gates realisiert werden
- wenn y=0 ist, wie in obiger Zeichnung, dann ist der
Endzustand des y-qubits gerade der Funktionswert f(x)
Beispiel:
• Wenn nun das Input-qubit
x in einem Mischzustand:
Ψ =
0 +1
vorliegt
(hergestellt mit Hadamard
gate), so ergibt die
Anwendung von Uf :
2
0 , f ( 0 ) + 1, f (1)
2
Bemerkenswerter Zustand, da die beiden Terme
Informationen über f(0) als auch f(1) enthalten, die
in nur einem Schritt ausgewertet wurden.
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•
•
•
•
Ganze kann man auch für Funktionen mit n Qubits anwenden
Dazu braucht man dann n Hadamard gates die parallel auf die n
qubits, im Zustand 0, wirken
Hadamard gates erzeugen 2n Zustände
Nach Anwendung von Uf liegt dann der Zustand:
1
2n
∑x
f ( x ) vor (x sind alle mögliche 2n Zustände)
x
Problem: Messung ergibt nur einen der vielen Zustände.
Quantencomputer brauchen also mehr als quantum
parallelism um nützlich zu sein
Man braucht also irgendeine Möglichkeit um mehr, als nur eine oder die
interessierende Information, aus den Superpositionszuständen
herauszuholen.
Einstein-Podolsky-Rosen
Paradoxon
• Photon geht durch
Kristall
• Abhängig von seiner
Polarisation ist es,
nach Durchgang,
entweder im Ordinary
Strahl (O) oder
Extraordinary Strahl
(E) zu finden sein.
O − Strahl
Detektoren
Photon
E − Strahl
Kristall
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Einstein-Podolsky-Rosen
Paradoxon
Φ1
Φ2
O
Detektoren
O
E
E
H − Atom
Kristall
Detektoren
Kristall
Quantentheorie und Experiment stimmen darin überein, dass die
Wahrscheinlichkeit beide Photonen im gleichen Zustand (OO/EE) zu
messen: POO = PEE = 1 cos2 (Φ 2 − Φ1 ),
2
1
sowie die Wahrscheinlichkeit OE/EO zu messen: POE = PEO = sin 2 (Φ 2 − Φ1 )
2
ist.
Einstein-Podolsky-Rosen
Paradoxon
• Wenn man nun den Winkel Φ 1= Φ2 wählt, so
kann man aufgrund einer Messung sagen was
die andere ergeben wird
• Wie kann man das nun in Formeln fassen: Wenn
sich Photon 1 in einem Zustand α mit
Wahrscheinlichkeit fα (Φ1) befindet so geht es
als O Strahl durch. Wahrscheinlichkeit als E
Strahl durchzugehen ist dann 1- fα (Φ1)
• Analog für Photon 2 (Zustand β mit
Wahrscheinlichkeit gβ (Φ1))
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Einstein-Podolsky-Rosen
Paradoxon
PO O (Φ 1 ) = ∑ pαβ f α (Φ1 ) g β (Φ1 )
αβ
PEO (Φ 1 ) = ∑ pαβ (1 − fα ( Φ1 )) g β (Φ 1 )
∑p
αβ
αβ
=1
αβ
• Da für Φ 1= Φ 2 POE= P EO=0 ist, können diese
Formeln die Ergebnisse dieses Experimentes
nicht beschreiben, außer wenn man negative
Wahrscheinlichkeiten zulässt
• Es ist also nicht mögliche mit einem lokalen
klassischem probabilistischem Computer die
Quantenmechanik zu simulieren.
Einstein-Podolsky-Rosen
Paradoxon
• Wenn nun ein Photon (in best. Zustand)
auf Kristall trifft, so ist durch diesen
Zustand schon vorherbestimmt als was es
(O,E), unter verschiedenen Winkeln, den
Kristall wieder verlassen wird.
• Das andere Photon zeigt das gleiche
Verhalten, da sie ja miteinander korreliert
sind.
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Einstein-Podolsky-Rosen
Paradoxon
• Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
ein Photon und sein rechter Nachbar
(Abstand 30°) im gleichen Zustand.
• Da die Vorkommnisse sich komplementär
verhalten, das heißt 90° weiter ist es
immer das Gegenteil, findet man für 6
Winkel immer genau 3 im O und 3 im E
Zustand. Diese Zustände können aber
verschieden angeordnet sein.
Einstein-Podolsky-Rosen
Paradoxon
• Maximale Wahrscheinlichkeit, dass der Nachbar
den gleichen Zustand hat ist 2/3.
• Aber die quantenmechanische Formel sagt:
3
POO + PEE = cos2 (30°) = vorher
4
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Zusammenfassung
• Quantencomputer bieten einen enormen Vorteil
gegenüber „klassischen Computern“
• Im besonderen bei der Simulation von
Quantensystemen wo der Rechenaufwand R:
n
• R ∝ k (klassischer Computer)
• R ∝ qn ( Quantencomputer)
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