Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1 für Mathematiker, Blatt 4

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. G. Kemper
Dr. M. Kaplan
WS 2008/09
Blatt 4
Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1
für Mathematiker
Zentralübung (10. November 2008)
Z 12) Äquivalenzrelationen und –klassen
Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen auf A sind. Zeichnen Sie
jeweils die Äquivalenzklassen von (2,2) und (2, −2) .
a) A := R2 ,
(a, b) ∼ (c, d) : ⇐⇒ a2 + b2 = c2 + d2 ,
b) A := R2 ,
(a, b) ∼ (c, d) : ⇐⇒ a · b = c · d ,
2
c) A := R \ {(0,0)}, (a, b) ∼ (c, d) : ⇐⇒ a · d = b · c .
Z 13) Auf einer Menge A seien zwei Äquivalenzrelationen ∼ und ≈ gegeben. Dann heißt ∼
eine Vergröberung von ≈ , wenn für alle x, y ∈ A mit x ≈ y auch x ∼ y gilt.
a) Es sei ∼ eine Vergröberung von ≈ . Geben Sie eine surjektive Abbildung
f : A/≈ → A/∼
an.
b) Für m, n ∈ N sind durch
x ∼ y : ⇐⇒ m|(x − y)
und
x ≈ y : ⇐⇒ n|(x − y)
Äquivalenzrelationen auf Z definiert. Bestimmen Sie zu n ∈ N die Menge aller m ∈
N , so dass ∼ eine Vergröberung von ≈ ist.
c) Geben Sie die Abbildung f aus Teil a) für m = 3 und n = 6 explizit an, indem Sie
für sämtliche Elemente von Z/≈ das Bild unter f angeben.
Z 14) Es sei A eine Teilmenge von N .
a) Zeigen Sie, dass durch
x|y : ⇐⇒
Es existiert ein k ∈ N mit y = k · x
eine Ordnungsrelation auf A definiert ist.
b) Bestimmen Sie für A = N>1 jeweils alle kleinsten, minimalen, größten, maximalen
Elemente (falls solche existieren).
Tutorübungen (12.-14. November 2008)
T 14) Es seien A , B Mengen und f : A → B eine Abbildung. Zeigen Sie:
a) Durch x ∼ y : ⇐⇒ f (x) = f (y) wird eine Äquivalenzrelation auf A definiert.
b) Durch f∗ : A/∼ → f (A) , [x] 7→ f (x) wird eine Abbildung definiert.
c) Die Abbildung f∗ aus b) ist bijektiv.
Bitte wenden !
T 15) Überflüssige Reflexivität?
Wo steckt der Fehler in der folgenden Argumentation?
Es sei ∼ eine symmetrische und transitive Relation auf einer Menge A . Dann folgt für
x, y ∈ A mit x ∼ y wegen der Symmetrie auch y ∼ x und wegen der Transitivität aus
x ∼ y und y ∼ x auch x ∼ x . Die Relation ∼ ist also eine Äquivalenzrelation.
T 16) Es sei R eine reflexive und transitive Relation auf einer Menge A .
Zeigen Sie:
a) Durch
x ∼ y : ⇐⇒ ((x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R)
wird eine Äquivalenzrelation auf A definiert.
b) Durch
[x] [y] : ⇐⇒
(x, y) ∈ R
wird eine Ordnungsrelation auf A/∼ definiert.
T 17) Es sei M eine nichtleere Menge und M := P (M ) . Man betrachte die Relationen
R1 ={(M1 , M2 ) ∈ M × M | M1 und M2 sind gleichmächtig} ,
R2 ={(M1 , M2 ) ∈ M × M | M2 ist mächtiger als oder gleichmächtig zu M1 } .
a) Zeigen Sie, dass R1 eine Äquivalenzrelation ist.
b) Geben Sie für M = {1,2,3} die Faktormenge M/R1 explizit an.
c) Ist R2 eine Ordnungsrelation?
T 18) Transitive Hülle
Es sei R eine Relation auf einer Menge A . Wir definieren eine weitere Relation R̂
auf A folgendermaßen: Für x, y ∈ A gelte xR̂y genau dann, wenn n ∈ N>1 und
a1 , a2 , . . . , an ∈ A existieren mit den Eigenschaften a1 = x und an = y sowie a1 Ra2 ,
a2 Ra3 , . . . , an−1 Ran .
Man kann zeigen, dass R̂ eine transitive Relation auf A ist (das brauchen Sie hier aber
nicht zu tun). Daher nennt man R̂ auch die transitive Hülle von R .
a) Es seien A := Z und R := {(m, n) ∈ Z × Z | m = n + 1} . Bestimmen Sie R̂ .
Unter welcher Bezeichnung ist R̂ bekannt?
b) Es seien A := {1,2,3,4,5} und
R := {(1,2), (2,3), (2,4), (4,5), (5,4)}.
Bestimmen Sie R̂ durch Angabe aller Elemente.
c) Es seien x und y Menschen und R die Relation mit xRy , falls x Elternteil von y
ist. Bestimmen Sie R̂ .
Hausaufgaben (Abgabe: 17. November 2008, 10:15 Uhr)
H 10) Es seien A , B Mengen und f : A → B eine Abbildung. Wir betrachten die Abbildung
g : P (B) → P (A) , N 7→ f −1 (N ) . Zeigen Sie:
a) Es ist f genau dann injektiv, wenn g surjektiv ist.
b) Es ist f genau dann surjektiv, wenn g injektiv ist.