¨Ubung zur Vorlesung Statistik I WS 2014

Übung zur Vorlesung Statistik I
WS 2014-2015
Übungsblatt 10
5. Januar 2015
Aufgabe 32 (4 Punkte): Führen Sie für die Stichprobe
S = (3.5, 5.0, 0.5, 2.9, 0.0)
auf den Niveaus α = 0.1, 0.05, 0.01, 0.001 den Einstichproben Z-Test der zweiseitigen Nullhypothese
H0 : µ = 0.5
durch. Die bekannte Varianz sei σ 2 = 4. Berechnen Sie auch den P-Wert.
Aufgabe 33 (6 Punkte): Betrachten Sie die Daten der Studie aus Aufgabe
31:
PatNr. vorher nachher
1
205
198
2
206
206
3
166
143
4
160
149
5
204
179
6
186
174
7
194
189
8
165
160
9
190
194
10
196
187
Im Gegensatz zur Aufgabe 31 sei die Varianz σ 2 der Blutdruckveränderungen
Z1 , . . . , Z10 (vorher-nachher) nun unbekannt. Der Z-Test kann deshalb nicht
durchgeführt werden.
A
Berechnen Sie die empirische Varianz σˆ2 , den empirischen Mittelwert µ̂
und die t-Statistik T für die Variablen Z1 , . . . , Z10 .
B
Geben Sie eine für die Fragestellung aus Aufgabe 31 geeignete einseitige
Nullhypothese H0 an. Begründen Sie Ihre Wahl.
C
Wie ist T verteilt, wenn µ = 0 gilt?
D
Plotten Sie die Dichte der Verteilung von T unter µ = 0 und markieren
Sie im Diagramm die Grenze des einseitigen Ablehnungsbereichs für α =
0.05 und den Wert der t-Statistik T durch vertikale Linien.
E
Berechnen Sie den P-Wert.
F
Führen Sie den einseitigen verbundenen t-Test mit der Funktion t.test
durch.
Aufgabe 34 (2 Punkte): Vergleicht man den P-Wert aus Aufgabe 31 (ZTest) mit dem P-Wert aus Aufgabe 33 (t-Test), stellt man fest, dass der P-Wert
des Z-Tests kleiner als der des t-Tests ist.
Ist das immer der Fall oder kann der P-Wert des Einstichproben Z-Tests auch
größer als der des zugehörigen Einstichproben t-Tests sein?
Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 35 (4 Punkte): Die Poissonverteilung mit Erwartungswert λ kann
für große λ auch durch die Normalverteilung approximiert werden.
A
Sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert λ. Berechnen Sie für λ = 2 die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 3) einmal exakt und
dann mit Hilfe der Normalverteilung. Geben Sie die relative Abweichung
der beiden Berechnungsmethoden in Prozent an. Plotten Sie die kumulative Poissonverteilung mit Erwartungswert λ = 2 und die zugehörige
Normalverteilung in einem Diagramm.
B
Sei nun λ = 20. Berechnen Sie P(X ≤ 25) einmal exakt und dann mit
Hilfe der Normalverteilung. Geben Sie die relative Abweichung der beiden
Berechnungsmethoden in Prozent an. Plotten Sie die kumulative Poissonverteilung mit Erwartungswert λ = 20 und die zugehörige kumulative
Normalverteilung in einem Diagramm.
Hinweis: Es sollen nicht die Wahrscheinlichkeitsdichten sondern die kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen geplottet werden.
Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den 11.01.2015 direkt an
Ihre(n) Tutor(in).