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TRIGONOMETRIE
II
7
Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck
7.1
Trigonometrische Funktionen und Einheitskreis
7.1.1
Winkel und Einheitskreis
Bisher haben wir die trigonometrischen Funktionen als Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck interpretiert. So waren
die Winkelfunktionen nur für positive, spitze Winkel definiert.
Nun wählen wir einen allgemeineren Zugang und definieren
die trigonometrischen Funktionen mithilfe des Einheitskreises
für beliebige Winkel.
Wir zeichnen im Ursprung des rechtwinkligen kartesischen
Koordinatensystems einen Kreis mit Radius r = 1, den
Einheitskreis, ein. Der Kreismittelpunkt hat die Koordinaten
(0; 0) und die Kreislinie schneidet die Koordinatenachsen in
den Punkten (1; 0), (0; 1), (–1; 0) und (0; –1).
y
(0; 1)
(1; 0)
(–1; 0)
x
(0; –1)
Wir lassen nun einen Punkt P von der Startposition (1; 0) aus auf der Kreislinie rotieren. Zwischen der
x-Achse (erster Schenkel) und dem Strahl OP (zweiter Schenkel) entsteht so zu jeder Position von P auf
dem Kreis ein Zentriwinkel w. Bewegt sich der Punkt im Gegenuhrzeigersinn, entstehen positive Winkel.
Erfolgt die Bewegung im Uhrzeigersinn, ergeben sich negative Winkel. Da beliebig viele Umdrehungen
möglich sind, entstehen beliebig grosse Winkel.
y
P = ( xP ; yP)
(–1; 0)
y
(0; 1)
(0; 1)
ϕ1
+
(1; 0)
x
(–1; 0)
− ϕ
2
(1; 0)
x
P = (xP; yP )
(0; –1)
(0; –1)
Kommentar
• Der rote Kreisbogen entspricht dem Winkel w im Bogenmass.
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
Sinus und Cosinus
Definition
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
y
Am Einheitskreis gilt für einen
beliebigen Punkt P auf der Kreislinie
und den zugehörigen Zentriwinkel w:
r
=
1
P = (xP; yP)
Die y-Koordinate des Punktes P ist der
Sinuswert von w:
O
yP = sin w
ϕ
cos w
sin w
7.1.2
7
Q
x
(1)
Die x-Koordinate des Punktes P ist der
Cosinuswert von w:
xP = cos w
(2)
Kommentar
• Unsere ursprünglichen Definitionen aus Kapitel 6 gelten auch am Einheitskreis. So entspricht der Radius
r = 1 des Einheitskreises am rechtwinkligen Dreieck nOQP der Hypotenuse. Daraus folgt:
}}
}} }}
GK = PQ
(3)
sin w = }}
}} = PQ, PQ entspricht gerade der y-Koordinate des Punktes P
H
1
}}
}} }}
AK = OQ
(4)
cos w = }}
}} = OQ, OQ entspricht gerade der x-Koordinate des Punktes P
H
1
7.1.3
Tangens
Wir zeichnen durch den Punkt (1; 0) eine Tangente an den Einheitskreis. Der zweite Schenkel OP des
Winkels w schneidet die Tangente im Punkt S.
Definition
Tangens am Einheitskreis
S = (1; yS )
y
Am Einheitskreis gilt für einen
beliebigen Punkt P auf der Kreislinie
und den zugehörigen Zentriwinkel w:
tan ϕ
P
Die y-Koordinate des Punktes S ist der
Tangens von w:
yS = tan w
ϕ
(5)
O
r =1
R x
Dies entspricht der Länge des
}}
Tangentenabschnitts RS auf der
rechten Tangente.
Kommentar
• Unsere ursprüngliche Definition aus Kapitel 6 gilt auch am Einheitskreis. So entspricht der Radius r = 1
des Einheitskreises am rechtwinkligen Dreieck nORS der Ankathete. Daraus folgt:
}}
}}
GK = RS
(6)
tan w = }}
}} = RS
AK 1
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TRIGONOMETRIE
II
S (1; tan ϕ)
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
y
Aus der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke nOQP und
nORS folgt, dass entsprechende Seitenverhältnisse
gleich gross sind:
tan w sin w
(7)
}}} = }}}
cos w
1
ϕ
O
Wenden wir den Satz des Pythagoras am
rechtwinkligen Dreieck nOQP an, so erhalten wir:
}} 2
}} 2
cos w
Q
tan ϕ
P
sin w
7.1.4
R x
}} 2
OQ + PQ = OP
⇒ sin2 w + cos2 w = 1
(8)
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Ähnlichkeit am Einheitskreis:
sin w
tan w = }}}
cos w
(9)
Pythagoras am Einheitskreis:
sin2 w + cos2 w = 1
(10)
Mithilfe der Gleichungen (9) und (10) finden wir weitere Beziehungen, sodass sich jede der drei Winkelfunktionen in die beiden anderen umrechnen lässt:
gegeben
sin w
cos w
tan w
sin w
sin w
Î}}}}
1 – cos2 w
}}}}}
}}}}
cos w
Î}}}}
1 – sin2 w
cos w
}}}}}
}}}}
tan w
}}}}}
}}}}
gesucht
sin w
Î1 – sin
2
w
Î}}}}
1 – cos2 w
}}}}}
cos w
tan w
Î1 + tan2 w
1
Î1 + tan2 w
tan w
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7.1.5
7
Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
Wenn wir den Punkt P auf der Kreislinie rotieren lassen, können wir herausfinden, welche Vorzeichen die
Funktionswerte in den Quadranten I bis IV, das heisst für Winkel zwischen 0° und 360°, haben.
y
S
I
1
II
tan w
sin w
ϕ
−1
1
P
P
−1
1
cos w
sin w
y
ϕ
1
cos w
x
tan w
x
−1
−1
y
y
S
1
tan w
1
S
ϕ
−1
1
ϕ
cos w
1
sin w
sin w
x
P
x
tan w
cos w
−1
P
III
−1
−1
IV
S
Aus den Darstellungen am Einheitskreis folgt für die Vorzeichen der Funktionswerte der Winkelfunktionen:
Quadrant
Intervall
sin w
cos w
tan w
I
0° < w < 90°
+
+
+
II
90° < w < 180°
+
–
–
III
180° < w < 270°
–
–
+
IV
270° < w < 360°
–
+
–
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TRIGONOMETRIE
II
Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis
– cos ϕ
cos ϕ
180° − ϕ
ϕ
180° + ϕ
P '' = (–xP; –yP)
360° − ϕ
– cos ϕ
P = (xP; yP)
– sin ϕ
sin ϕ
P ' = (–xP; yP)
−1
1
sin ϕ
y
– sin ϕ
Eine fortlaufende Spiegelung
des Punktes P ergibt die
Punkte P ′, P ′′ und P ′′′. Wegen
der Symmetrieeigenschaften
sind alle vertikalen und
horizontalen Strecken gleich
lang, das heisst die Sinus- und
Cosinuswerte unterscheiden
sich also nur durch das Vorzeichen.
1
x
P ''' = (xP; –yP)
cos ϕ
−1
Symmetrieeigenschaften
Sinus
Cosinus
Tangens
sin (180° – a) = sin a
cos (180° – a) = – cos a
tan (180° – a) = – tan a
sin (180° + a) = – sin a
cos (180° + a) = – cos a
tan (180° + a) = tan a
sin (360° – a) = – sin a
cos (360° – a) = cos a
tan (360° – a) = – tan a
Definitions- und Wertemenge der Winkelfunktionen
Sinus und Cosinus
D = R, W = [–1; 1]
Tangens
π ± kπ , W = R
D = R\ }
2
{
}
Kommentar
• Der Tangens weist Definitionslücken auf: Die Tangenswerte werden immer grösser, wenn sich die
Argumente w immer mehr dem nicht definierten Wert 90° annähern. Sie streben gegen +∞, da der
zweite Schenkel OP des Winkels w nun parallel zur senkrechten, rechten Tangente verlaufen würde.
Eine ähnliche Situation stellt sich auch ein, wenn w gegen 270° strebt: Die Tangenswerte werden immer
kleiner, streben gegen –∞ und für w = 270° ist der Tangens wiederum nicht definiert.
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7
„ Beispiele
(1) Bestimmen Sie tan a, wenn sin a = 0.5 ist, ohne den Arcuscosinus zu verwenden.
Lösung:
sin a = }}}}
0.5
tan a = }}}}}
}}}} ≈ 0.5774
Î}}}}
1 – sin2 a Î1 – 0.52
(2) Bestimmen Sie für 0° ≤ a ≤ 360° alle Winkel im Gradmass, für die gilt: | cos a | = 0.8
Lösung:
Wegen der Betragstriche sind Winkel gesucht, zu denen ein Wert von ± 0.8 gehört.
Zuerst bestimmen wir den Winkel a1 mit dem Taschenrechner:
a1 = arccos 0.8 ≈ 36.87°
Die anderen drei Winkel bestimmen wir aus den Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis. Beim
Cosinus sind vier Strecken aus Symmetriegründen gleich lang:
cos (180° – a) = – cos a
⇒
a2 = 180° – a1 ≈ 180° – 36.87° ≈ 143.13°
cos (180° + a) = – cos a
⇒
a3 = 180° + a1 ≈ 180° + 36.87° ≈ 216.87°
cos (360° – a) = cos a
⇒
a4 = 360° – a1 ≈ 360° – 36.87° ≈ 323.13°
(3) Überlegen Sie mithilfe des Einheitskreises, ob folgende Ungleichung gilt: tan 100° > sin 100°.
Lösung:
tan 100° liegt im zweiten Quadranten und deshalb gilt: tan 100° < 0 (negativ).
sin 100° liegt im zweiten Quadranten und deshalb gilt: sin 100° > 0 (positiv).
Die Ungleichung stimmt nicht, es gilt: tan 100° < sin 100°.
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7.2
Sinussatz
In Kapitel 6 haben wir die trigonometrischen Funktionen nur für Berechnungen am rechtwinkligen
Dreieck verwendet. Durch die Definitionen am Einheitskreis sind wir nun in der Lage, die Winkelfunktionen
auf alle Dreiecke, die wir mit Zirkel und Lineal konstruieren können, anzuwenden.
Wir teilen ein beliebiges Dreieck nABC durch die Höhe hc in zwei rechtwinklige Teildreiecke und suchen
nach einer Beziehung zwischen den Seiten a und b sowie den Winkeln a und b:
Im roten Teildreieck gilt:
hc
GK = }
⇒
sin a = }}
H
b
Im blauen Teildreieck gilt:
hc
GK = }
sin b = }}
a ⇒
H
C
hc = b sin a
(11)
γ
b
hc = a sin b
a
hc
(12)
A
β
α
c
B
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TRIGONOMETRIE
II
Durch Gleichsetzen von (11) und (12) finden wir die gesuchte Beziehung zwischen den Seiten a und b
sowie den Winkeln a und b.
b
a = }}
(13)
hc = a sin b = b sin a ⇒ }}
sin a sin b
Analog kann man mit den beiden anderen Höhen des Dreiecks verfahren und erhält so:
c
b
c
a
}} = }} und }} = }}
sin a sin g
sin b sin g
(14)
Die Gleichungen (13) und (14) werden in der Regel in einem Ausdruck zusammengefasst.
b
c
a
}} = }} = }} = const.
sin a sin b sin g
(15)
Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in einem
beliebigen Dreieck konstant.
Wir untersuchen nun die geometrische Bedeutung dieser Konstanten:
Zwei Katheten des Teildreiecks nMBC sind gleich
dem Kreisradius r . Das Dreieck ist also gleichschenklig.
Deshalb entspricht der Winkel d im roten Dreieck dem
halben Zentriwinkel /CMB.
Aus dem Peripheriewinkelsatz folgt:
1 /CMB = d
a=}
2
Im roten rechtwinkligen Teildreieck gilt:
GK = }}
0.5 a
sin a = sin d = }}
r
H
a = 2r
⇒ a = 2r sin a ⇒ }}
sin a
C
r
b
(16)
a
δ
δ
M
α
A
c
B
(17)
Die Konstante von Gleichung (15) entspricht somit der Länge des Durchmessers 2r des Umkreises des
Dreiecks nABC.
Sinussatz
In jedem beliebigen Dreieck nABC ist das Verhältnis der Länge einer Seite zum Sinus des
gegenüberliegenden Winkels gleich dem Durchmesser des Umkreises:
b
c
a
}} = }} = }} = 2r
sin a sin b sin g
(18)
Kommentar
• Den Sinussatz können wir verwenden, wenn wir zwei Winkel und eine Seite (wsw und wws) kennen
oder wenn zwei Seiten und der einer Seite gegenüberliegende Winkel (ssw) gegeben sind.
wsw
wws
ssw
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7
• Liegt bei ssw der Winkel der grösseren Seite gegenüber (Ssw), dann gibt es ein mögliches Dreieck. Liegt
der Winkel jedoch der kleineren Seite gegenüber (sSw), dann gibt es wie beim Konstruieren erkennbar
zwei Lösungen. Der Rechner liefert nur die spitzwinklige Lösung a1, die stumpfwinklige a2 kann mit
folgender Formel berechnet werden:
a2 = 180° – a1
(19)
Die Herleitung erfolgt aus der Konstruktion oder mithilfe des Einheitskreises.
„ Beispiele
(1) Gegeben: Dreieck nABC mit c = 14 m, a = 57.1° und b = 44.4°
Gesucht: Seitenlängen von a und b
Lösung:
Bestimmen von g mithilfe der Innenwinkelsumme am Dreieck:
g = 180° – 57.1° – 44.4° = 78.5°
wsw ⇒ Verwendung des Sinussatzes (eine Lösung):
14 · sin 57.1°
c sin a
c
a
}} = }} ⇒ a = }}} ⇒ a = }}}}}} ≈ 11.99 m ≈ 12 m
sin a sin g
sin g
sin 78.5°
c
sin
b
14 · sin 44.4°
c
b
}} = }} ⇒ b = }}} ⇒ b = }}}}}} ≈ 9.996 m ≈ 10 m
sin b sin g
sin g
sin 78.5°
(2) Gegeben: Dreieck nABC mit b = 5 cm, c = 8 cm und b = 20°
Gesucht: Winkel g und a
Lösung:
sSw ⇒ Verwendung des Sinussatzes. Der gegebene Winkel b liegt der kleineren Seite gegenüber, also sind zwei Lösungen zu erwarten, wie die Dreieckskonstruktion zeigt.
1.
2.
c = 8 cm und b = 20° abtragen.
b = 5 cm mit Zirkel von A aus abtragen.
C1
γ1
b=
m
5c
α1
γ2
β
B
c
A
3.
C2
γ1
cm
b= 5
α2
Es sind zwei Schnittpunkte möglich, deshalb sind die Dreiecke nABC1 und nABC2 zu
konstruieren. Die spitzwinklige Lösung g1 berechnen wir mit dem Sinussatz und mit
dem Taschenrechner:
b
sin b
c
sin g1
}} = }}}
⇒
b sin g1 = c sin b
c sin b
⇒ g1 = arcsin }}} ⇒
b
⇒
c sin b
sin g1 = }}}
b
8 · sin 20° ≈ 33.2°
g1 = arcsin }}}}
5
111
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TRIGONOMETRIE
II
Die zweite, stumpfwinklige Lösung g2, finden wir mit Gleichung (19) oder folgender
Überlegung: das Dreieck nAC1C2 ist gleichschenklig. Deshalb ist der Winkel / AC1C2
auch gleich g1. Der Winkel g2 ist Nebenwinkel von g1, also gilt:
g2 = 180° – g1 ⇒
g2 ≈ 180° – 33.2° ≈ 146.8°
Die restlichen Winkel finden wir mit der Innenwinkelsumme:
a1 ≈ 180° – 20° – 33.2° ≈ 126.8°
a2 ≈ 180° – 20° – 146.8° ≈ 13.2°
(3) Zeigen Sie, dass in jedem beliebigen Dreieck die Winkelhalbierende die gegenüberliegende
Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten teilt.
Lösung:
m
a=}
Zu zeigen: }
b n
Winkel d ist Nebenwinkel von ε:
ϕ1 ϕ
2
ε = 180° – d
b
a
Aus den Symmetrieeigenschaften folgt:
w
sin ε = sin (180° – d) = sin d
Mit dem Sinussatz folgt weiter:
b
n
}}} = }}
sin w1 sin d
a
a
m
}}} = }} = }}
sin w2 sin ε sin d
δ
ε
n
m
Wir lösen die Gleichungen nach sin d auf und setzen gleich:
a
b sin w = }
sin d = }
1 m sin w2
n
Da w nach Voraussetzung die Winkelhalbierende ist, gilt w1 = w2 und damit auch sin w1 = sin w2.
Wir ersetzen in der Gleichung oben sin w2 durch sin w1 und teilen beide Seiten durch sin w1:
a=}
a
b a ⇔ }
b
m
}
n sin w1 = }
m sin w1 ⇔ }
n=}
m
b n
(4) Berechnen Sie den Wert von tan 22.5° exakt.
Lösung:
Wir betrachten ein 45°-45°-Dreieck und halbieren einen 45°-Winkel:
Wie in Beispiel (3) bewiesen, teilt die Winkelhalbierende w die
!ã2
gegenüber liegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten:
}
x
w
1 = }}
⇒ 1 – x = x Î2
}}
Î}
2 1–x
°
5
.
}
}
22
⇒ x Î2 + x = 1 ⇒ x (Î2 + 1) = 1
22.5°
1
⇒ x = }}}
Î}
2 +1
1
Î}
Î}
}
2
–
1
2
–
1
x
1
Î
tan 22.5° = } = }}}
⇒ tan 22.5° = }}}}}}}
= }}} = 2 – 1
}
}
1 Î}
2 +1
(Î2 + 1) (Î2 – 1) 2 – 1
45°
1− x
x
‹ Übungen 17 → S. 119
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7.3
7
Cosinussatz
Mit dem Sinussatz sind wir nicht in der Lage, alle Seiten und Winkel eines beliebigen Dreiecks zu
berechnen, wenn drei Teile gegeben sind. Dies gilt insbesondere, wenn drei Seiten bekannt sind und die
Grössen der Winkel gesucht werden.
Wir teilen ein beliebiges Dreieck nABC durch die Höhe hc in zwei rechtwinklige Teildreiecke und suchen
nach einer Beziehung zwischen den Seiten a, b und c sowie dem Winkel a:
C
Im roten Teildreieck gilt nach Pythagoras:
b2 = h 2c + x2
⇔ h 2c = b2 – x2
γ
(20)
b
Im blauen Teildreieck gilt:
a2 = h 2c + (c – x)2
⇔ h 2c = a2 – (c – x)2
(21)
A
α
x
hc
a
c−x
β
c
2
Wir setzen (20) und (21) gleich und lösen nach a auf:
B
a2 – (c – x)2 = b2 – x2
a2 – (c2 – 2cx + x2) = b2 – x2
a2 – c2 + 2cx – x2 = b2 – x2
a2 – c2 + 2cx = b2
a2 = b2 + c2 – 2cx
(22)
Im roten Teildreieck gilt weiter:
x ⇒ x = b cos a
AK = }
cos a = }}
H b
(23)
Wir setzen Gleichung (23) in (22) und erhalten:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos a
(24)
Analog können wir mit den beiden anderen Höhen des Dreiecks verfahren und erhalten so:
Cosinussatz
In jedem beliebigen Dreieck nABC ist das Quadrat der Länge einer Seite aus dem
gegenüberliegenden Winkel und den anliegenden Seiten berechenbar:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos a
2
2
(25)
2
b = a + c – 2ac cos b
(26)
c2 = a2 + b2 – 2ab cos g
(27)
Kommentar
• Den Cosinussatz können wir verwenden, wenn zwei Seiten
und der dazwischen liegende Winkel (sws) oder drei Seiten
gegeben sind (sss).
sws
sss
• Der Cosinussatz kann auch für den Fall ssw verwendet
werden, die Lösung mit dem Sinussatz ist aber einfacher.
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TRIGONOMETRIE
II
Zusammenfassung
• Wir können nun in einem beliebigen Dreieck alle Teile berechnen, wenn drei Teile gegeben sind,
die den Kongruenzsätzen entsprechen.
• Für die Fälle wsw (wws) und ssw verwenden wir den Sinussatz, für sws und sss den Cosinussatz.
• Beim Berechnen von stumpfen Winkeln mit dem Sinussatz muss der Winkel mit Gleichung (19)
berechnet werden.
„ Beispiele
(1) Gegeben: Dreieck nABC mit b = 10 m, c = 14 m und a = 57.1°
Gesucht: Seitenlänge a
Lösung:
Mit dem Cosinussatz folgt:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos a
}}}}}}}}
⇒ a = Îb2 + c2 – 2bc cos a
}}}}}}}}}}}}}
⇒ a = Î102 + 142 – 2 · 10 · 14 cos 57.1° ≈ 11.99 m
(2) Gegeben: Dreieck nABC mit a = 12 m, b = 10 m, c = 14 m
Gesucht: Winkel a
Lösung:
Mit dem Cosinussatz ergibt sich:
b2 + c2 – a2
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos a ⇒ 2 b c cos a = b2 + c2 – a2 ⇒ cos a = }}}}}
2bc
102 + 142 + 122 ≈ 57.12°
b2 + c2 – a2 = arccos }}}}}}}
⇒ a = arccos }}}}}
2 · 10 · 14
2bc
(3) In einem Sehnenviereck sind die Seiten a = 5.0 cm, b = 3.2 cm, d = 3.4 cm
und der Winkel a = 80° gegeben.
Berechnen Sie die beiden Diagonalen e
und f sowie den Winkel b.
D
c
d
A
α2
α
e
γ
E
α1
C
r
f
b
a
β
Lösung:
Cosinussatz im Dreieck nABD:
}}}}}}}}
B
}}}}}}}}}}}
f = Îa2 + d 2 – 2ad cos a = Î52 + 3.42 – 2 · 5 · 3.4 cos 80° ≈ 5.537 cm
114
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7
Die Dreiecke nABC und nABD haben denselben Umkreis. Mit dem Sinussatz folgt:
f
f
5.537 ≈ 2.811 cm
2r = }} ⇒ r = }}} = }}}}
sin a
2 sin a 2 sin 80°
3.2
b
b
}}} = 2r ⇒ sin a1 = } ≈ }}}} ≈ 0.5692
2r 2 · 2.811
sin a1
a1 = arcsin 0.5692 ≈ 34.69° ⇒ a2 = a – a1 ≈ 80° – 34.69° ≈ 45.31°
a
5
a
}} = 2r ⇒ sin g = } ≈ }}}} ≈ 0.8893 ⇒ g = arcsin 0.8893 ≈ 62.79°
2r 2 · 2.811
sin g
b = 180° – a1 – g ≈ 180° – 34.69° – 62.79° ≈ 82.52°
Cosinussatz im Dreieck nABC:
}}}}}}}}
}}}}}}}}}}}}}
e = Î a2 + b2 – 2ab cos b = Î 52 + 3.22 – 2 · 5 · 3.2 cos 82.52° ≈ 5.58 cm
‹ Übungen 18 → S. 119
7.4
Flächensatz
Mithilfe der Trigonometrie kann der Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks berechnet werden,
ohne dass die Höhe bekannt ist:
Berechnung der Dreiecksfläche
Kennt man von einem Dreieck die beiden Seiten p
und q sowie den dazwischen liegenden Winkel w, so
ist der Flächeninhalt A der Dreiecksfläche gegeben
durch:
pq
(28)
A = }} sin w
2
p
h
ϕ
q
Kommentar
• Gleichung (28) gilt auch für stumpfe Winkel w P] 90°; 180°].
• In den beiden Grenzfällen w = 0° und w = 180° ist die Dreieckfläche null.
„ Beispiele
(1) Berechnen Sie den Inhalt der Dreiecksfläche A aus b = 320 m, c = 970 m und a = 47°.
Lösung:
Aus Gleichung (28) folgt:
320 · 970 sin 47° ≈ 113 506 m2
b c sin a = }}}}
A = }}
2
2
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TRIGONOMETRIE
II
(2) Berechnen Sie den Inhalt der Dreiecksfläche A aus a = 7 cm, b = 9 cm und c = 10 cm.
Lösung:
Mit dem Cosinussatz bestimmen wir den Winkel a des Dreiecks.
92 + 102 – 72 = 0.7ä3
b2 + c2 – a2 = }}}}}
cos a = }}}}}
2 · 9 · 10
2bc
a = arccos 0.7ä3 ≈ 42.83°
Mit dem Flächensatz bestimmen wir den Flächeninhalt A des Dreiecks.
9 · 10 sin 42.83° ≈ 30.59 cm2
bc sin a = }}}
A = }}
2
2
7.5
Berechnungen am Kreis
7.5.1
Kreissektor (auch Kreisausschnitt)
Die Berechnungen am Kreissektor mit Gradmass haben wir im Kapitel 4.2 kennen gelernt. Zur Berechnung
der Bogenlänge oder der Sektorfläche kann aber auch das Bogenmass verwendet werden. Wir bezeichnen
w. Wir können nun die bekannten Formeln auch mit Bogenmass angeben,
den Winkel im Bogenmass mit «
πw
w = }} verwenden und einsetzen:
wenn wir die Umrechnungsformel «
180°
Berechnungen am Kreissektor
r
π rw
w
b = }} = r «
180°
(29)
w br
π r2w r 2 «
ASK = }}} = }} = }
2
2
360°
(30)
ϕ
ASK
b
r
7.5.2
Kreissegment (auch Kreisabschnitt)
Im Kapitel 4.2.3 konnten wir nur Segmente mit ganz bestimmten Winkeln berechnen.
Mithilfe der Trigonometrie ist es nun möglich, eine allgemeine Flächenformel für Kreissegmente
mit dem Radius r und dem Zentriwinkel w herzuleiten.
Mit der Flächenformel folgt für den Flächeninhalt AD des
gleichschenkligen Dreiecks nMAB:
1 r 2 sin w
r · r sin w = }
(31)
AD = }}
2
2
B
r
M
ϕ
Die Segmentfläche ASG kann nun berechnet werden,
indem vom Inhalt der Sektorfläche mit Radius r und Zentriwinkel w der Inhalt der Dreiecksfläche AD subtrahiert wird.
r
AD
s
ASG
ASG = ASK – AD
r 2π w 1 2
πw
r2 }}
r sin w = }
– sin w
ASG = }}} – }
2 180°
360° 2
(
)
(32)
A
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7
πw
Mit «
w = }} folgt für den Winkel «
w im Bogenmass:
180°
1 r2 w
1 2
r 2 («
w=}
w – sin «
w)
ASG = }
« – } r sin «
2
2
2
(33)
Wir fassen zusammen:
Segmentfläche
Der Flächeninhalt der Segmentfläche ASG kann aus dem Radius r und dem Zentriwinkel w berechnet
werden:
πw
r 2 }}
– sin w
(34)
ASG = }
2 180°
(
)
2
r («
w – sin «
w)
ASG = }
2
(35)
„ Beispiel
Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Segments aus dem Radius r = 4.5 cm und dem
w = 1.2.
Zentriwinkel «
Lösung: 2
4.52 (1.2 – sin 1.2) ≈ 2.713 cm2
r («
w – sin «
w) = }}
ASG = }
2
2
‹ Übungen 19 → S. 123
Terminologie
Cosinus
Cosinussatz
Einheitskreis
Flächensatz
Gegenuhrzeigersinn
Kongruenzsätze
konstant
Kreissegment
Kreissektor
Quadrant
Sinus
Sinussatz
Spiegelung
spitzer Winkel
stumpfer Winkel
Symmetrieeigenschaften
Tangens
Tangente
Tangentenabschnitt
trigonometrische Funktionen
Uhrzeigersinn
Umkreisradius
Vorzeichen
Winkelfunktionen
Winkelhalbierende
x-Koordinate
y-Koordinate
Zentriwinkel
117
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TRIGONOMETRIE
II
7.6
Übungen
Übungen 16
1. Wie gross ist
a)
c)
e)
tan a, wenn cos a = 0.5 ist?
cos a, wenn tan a = 3.4 ist?
cos a, wenn sin a = 0.24 ist?
b)
d)
f)
sin a, wenn tan a = 6 ist?
tan a, wenn sin a = 0.6 ist?
sin a, wenn cos a = 0.32 ist?
Bestimmen Sie die Lösung mithilfe der Umrechnungen von einer Winkelfunktion in eine andere.
2. Bestimmen Sie für 0° ≤ a ≤ 360° die beiden Winkel, für die gilt:
a)
d)
b)
e)
sin a = 0.35
sin a = – 0.01
tan a = – 0.84
tan a = 24
c)
f)
cos a = 0.9
cos a = – 0.6
3. Welche der folgenden Gleichungen sind wahr, welche falsch? Treffen Sie Ihre Entscheidung, ohne
die einzelnen Funktionen zu berechnen. Überlegen Sie mithilfe des Einheitskreises, indem Sie die
Streckenlängen am Einheitskreis einzeichnen.
a)
c)
b)
d)
sin 20° = sin 70°
cos 70° = sin 20°
tan 85° = tan 5°
sin 100° = cos 10°
4. Welche der folgenden Ungleichungen sind wahr, welche falsch? Treffen Sie Ihre Entscheidung, ohne
die einzelnen Funktionen zu berechnen. Überlegen Sie mithilfe des Einheitskreises.
a)
c)
b)
d)
sin 17° > sin 125°
cos 55° > cos (–54°)
cos 6° < cos 354°
tan 89° < tan 91°
5. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Treffen Sie Ihre Entscheidung, ohne die
einzelnen Funktionen zu berechnen. Überlegen Sie mithilfe des Einheitskreises.
a)
sin 0.001° < 0
b)
tan 0.5° > 0
c)
cos 0.2° < 1
d)
sin 90° > 1
6. Zeigen Sie, dass der Cosinussatz c2 = a2 + b2 – 2ab cos g eine Verallgemeinerung des Satzes des
Pythagoras für schiefwinklige Dreiecke ist. Wie beeinflussen die Winkel (spitz oder stumpf) den Term
– 2ab cos g?
7. Zeigen Sie, dass die folgenden Identitäten gelten.
}}}}
sin w
b) sin w = Î1 – cos2 w
a) tan w = }}}}}
}}}}
2
Î1 – sin w
tan w
1
d) sin w = }}}}}
c) cos w = }}}}}
}}}}
2
Î}}}}
Î
1 + tan w
1 + tan2 w
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7
8. Füllen Sie die folgende Tabelle aus, indem Sie mithilfe des Einheitskreises die speziellen Funktionswerte bestimmen.
Argument a
sin a
cos a
tan a
0°
90°
180°
270°
9. Ein regelmässiges Vieleck hat einen Inkreis mit Radius r = 1 m. Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge
mithilfe von Überlegungen am Einheitskreis.
a)
b)
Zeigen Sie, dass der Umfang eines regelmässigen Sechsecks 12 · (tan 30°) m beträgt.
Wie steht es mit dem Umfang anderer regelmässiger Vielecke (8-Eck, 12-Eck, …)? Stellen Sie
Vermutungen auf und versuchen Sie, diese zu beweisen.
Übungen 17
10. Berechnen Sie jeweils im Dreieck nABC die fehlenden Seiten und Winkel.
Achtung: Bei einigen Beispielen gibt es mehrere Lösungen!
a)
c)
e)
b)
d)
f)
a = 23 cm, a = 19.1°, b = 72.3°
b = 65 mm, c = 95 mm, g = 34.1°
b = 6.42 km, c = 8.91 km, b = 35°
c = 29 cm, a = 42°, b = 19.7°
a = 70.5 m, b = 33.4 m, b = 25°
b = 5.2 dm, wa = 7 dm, g = 134°
11. Bestimmen Sie jeweils im Dreieck nABC die fehlenden Seiten und Winkel (allgemeine Formeln).
Gegeben sind
a)
b, a, b
b)
a, b, g
12. Berechnen Sie den Umfang des Umkreises des Dreiecks nABC mit der Seite a = 23 cm und dem
Winkel a = 19.1°.
13. Berechnen Sie die Länge der Winkelhalbierenden wa im gleichschenkligen Dreieck nABC mit der
Basis c = 183 mm und den Winkeln a = b = 50.8°.
14. Berechnen Sie mithilfe der Winkelhalbierenden in einem halben gleichseitigen Dreieck die exakten
Werte für
a)
tan 30°
b)
tan 15°
Übungen 18
15. Berechnen Sie jeweils im Dreieck nABC die fehlenden Seiten und Winkel.
a)
c)
a = 45 cm, b = 38 cm, c = 55 cm
a = 1.4 m, b = 1.8 m, g = 102.9°
b)
d)
b = 31 mm, c = 12 mm, b = 68°
a = 36 cm, b = 6.5 dm, c = 432 mm
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TRIGONOMETRIE
II
16. Berechnen Sie jeweils im Dreieck nABC die fehlenden Seiten und Winkel.
a)
c)
e)
b = 46.5 cm, wa = 64.1 cm, g = 124.4°
b = 68 cm, sb = 47 cm, c = 53 cm
b = 5.2 cm, sa = 7.1 cm, g = 104.6°
b)
d)
f)
a = 14 m, hb = 3 m, a = 147°
a = 70.8°, b = 62.5°, wb = 21 m
a + b = 7.5 mm, hc = 2.8 mm, b = 49.3°
17. Bestimmen Sie jeweils im Dreieck nABC die fehlenden Seiten und Winkel (allgemeine Formeln).
Gegeben sind
a)
a, b, c
b)
a, c, b
a)
b)
c)
c
D
18. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und
Winkel des Parallelogramms ABCD.
e
d
a = 23 m, e = 26 m, a = 38°
a = 12 cm, b = 8 cm, e = 15 cm
b = 38 mm, e = 52 mm, b = 76°
b
β
α
a
A
D
19. Berechnen Sie die fehlenden Seiten und
Winkel des Trapezes ABCD.
a)
b)
c)
C
B
c
C
γ
δ
a = 9 mm, b = 5 mm, a = 38°, b = 79°
a = 13 cm, b = 5 cm, c = 9 cm, d = 4 cm
a = 16 m, c = 11 m, g = 113°, d = 98°
b
d
α
β
a
A
B
20. Von einem Dreieck nABC sind der Umkreisradius r = 14 cm sowie die beiden Winkel a = 37° und
b = 71° gegeben. Wie lang sind die drei Seiten des Dreiecks?
21. Berechnen Sie Umfang und Fläche des
Sehnenvierecks, von welchem folgende
Grössen bekannt sind:
a)
b)
Umkreisradius r = 630 mm,
Seite b = 735 mm, Winkel g = 110°
und d = 95°
Seiten a = 8 cm und c = 7 cm,
Diagonale e = 10 cm, Winkel b = 83°.
D
δ
d
c
γ
e
A
C
α
b
a
r
β
B
22. Wie gross sind die Winkel eines Dreiecks, dessen Seiten sich wie 6 : 5 : 9 verhalten?
23. Ein Viereck ist gegeben durch a = 751 mm, b = 402 mm, c = 928 mm, d = 623 mm und a = 128°.
Wie gross sind die Schnittwinkel der Diagonalen?
120
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7
V
24. Für die Projektierung einer Brücke wird
die Breite eines Flusses benötigt. Da die
vorhandenen Kartengrundlagen zu ungenau
sind, soll die Flussbreite durch indirekte
Messung bestimmt werden. An einem Ufer
B
s
wird dort, wo die Brücke geplant ist, ein gut
A
sichtbarer Vermessungsstab V eingesteckt.
Am anderen Ufer wird ungefähr gegenüber des Stabes eine Strecke s von s = 35 m Länge
abgemessen und die Streckenenden A und B werden markiert. Nun wird von A aus der Winkel
/VAB = 62.3° und von B aus der Winkel /VBA = 48.5° gemessen. Wie breit ist der Fluss?
25. Von einem 18 m hohen Aussichtsturm aus soll der Wasservorrat in einem Weiher mithilfe von Winkelmessungen abgeschätzt werden. Der Turm steht auf der gleichen Meereshöhe wie der Wasserspiegel
und der Weiher ist nahezu rund (kreisförmig). Die Vermesserin sieht das nächstgelegene Ufer des
Weihers unter einem Tiefenwinkel von 14°. Den am weitesten entfernten Uferbereich sieht sie unter
einem Tiefenwinkel von 8°. Zusätzlich geht sie von einer durchschnittlichen Wassertiefe von 1.2 m
aus. Wie viel Wasser enthält der Weiher?
26. Ein Schwimmer möchte wissen, wie lange er
vom Strandbad Chatzensee B zum Seeufer beim
Weiler W schwimmen muss. Er schwimmt mit einer
Geschwindigkeit von 40 m pro Minute und kennt
die Wegdistanz zwischen dem Strandbad und dem
}}
Seehof S (BS = 380 m) sowie zwischen dem Seehof
}}
und dem Weiler (WS = 550 m). Zusätzlich misst er
den Winkel /WSB = 73.6°.
Wie lange schwimmt er vom Strandbad zum Ufer
beim Weiler?
W
B
S
S
27. Ein Berg wird vermessen. Unter anderem soll
bestimmt werden, wie hoch die Bergspitze über die
Ebene ragt. Dazu wird eine Skizze mit dem Hilfspunkt C erstellt; dieser liegt auf Höhe der Ebene,
senkrecht unter der Bergspitze. Dann werden
von den beiden Punkten A und B aus (beide
liegen in der Ebene) diverse Messungen gemacht:
}}
Die Strecke AB ist 200 m lang. Der Winkel
/SAB = 84°, /SBA = 88° und der Höhenwinkel
von A zur Bergspitze 57°. Wie hoch über der Ebene
}}
liegt die Bergspitze (Distanz CS )?
C
A
B
}}
28. Die Entfernung PQ zweier unzugänglicher
Punkte P und Q voneinander soll bestimmt
werden. Dazu wird zwischen den beiden
}}
Punkten eine Strecke s = AB = 450 m
vermessen und von A und B aus werden
folgende Winkel gemessen: a = 41.2°,
b = 61.9°, g = 68.3° und d = 74.1°. Alle Winkel
und Strecken wurden horizontal gemessen.
B
δ
γ
Q
P
β
α
A
121
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TRIGONOMETRIE
II
29. Zwei Kirchtürme haben die Höhen h1 = 65 m und
h2 = 90 m. Ihre Fusspunkte befinden sich mit
dem Auge A einer Beobachterin in einer horizontalen Ebene. Von A aus werden die Höhenwinkel
ε1 = 9.5° und ε2 = 11.3° zu den Kirchturmspitzen
gemessen. Aus einer Karte kann der Horizontalwinkel d = 37.4° entnommen werden.
Wie weit sind die Turmspitzen voneinander
entfernt?
h2
h1
B
C
ε2
ε1
A
δ
30. Zwei Lastwagen fahren gleichzeitig von einer Strassenkreuzung in verschiedene Richtungen geradlinig ab. Die beiden Strassen bilden einen Winkel von 102.4° und die Geschwindigkeiten der beiden
Lastwagen betragen 72 km/h beziehungsweise 58 km/h. Wie weit sind die beiden Lastwagen nach
20 Minuten voneinander entfernt?
31. In der abgebildeten Figur sind a = 50°
}} }}
und AC = AM = 7 cm. M ist der Mittelpunkt
des eingezeichneten Kreisbogens.
}}
Wie lang ist x = AD ?
C
α D
A
M
x
}}
}}
}}
32. In der abgebildeten Figur sind AM = BM = BC,
beide Winkel b = 72° und BP = 3 cm.
M ist der Mittelpunkt des eingezeichneten
}}
Kreisbogens. Wie lang ist x = CQ?
x
M
C
Q
β
P
β
B
A
x
33. In der abgebildeten Figur sind die Strecke
}}
AC = b und der Winkel a gegeben.
}}
Geben Sie eine Gleichung für x = CD in
Abhängigkeit von b und a an.
b
C
D
3α
α
A
B
122
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7
Übungen 19
34. Leiten Sie den Flächensatz für Dreiecke
aus p, q und a her. Berechnen Sie zuerst
die Höhe h aus p und a und setzen Sie
dann das Ergebnis für h in die bekannte
Flächenformel A = gh/2 ein.
p
h
α
q
35. Wenden Sie den Flächensatz für folgende Dreiecke an und halten Sie fest, was Ihnen auffällt.
a)
c)
p = 5 cm, q = 8 cm, a = 90°
p = 5 cm, q = 8 cm, a = 138°
b)
p = 5 cm, q = 8 cm, a = 42°
36. Berechnen Sie den Flächeninhalt der folgenden Dreiecke.
a)
a = 125 m, c = 138 m, b = 78.3°
b)
a = 45 dm, b = 50 dm, c = 56 dm
37. Von einem Dreieck mit dem Flächeninhalt A = 12 cm2 sind die beiden Seiten a = 8.2 cm und
b = 5.5 cm gegeben. Berechnen Sie den Winkel g des Dreiecks. Überlegen Sie auch, ob mehrere
Lösungen möglich sind.
38. Von einem Dreieck mit dem Flächeninhalt A = 2.2 dm2 sind die Seite a = 4.5 dm und der Winkel
b = 35° gegeben. Berechnen Sie die fehlenden Seiten des Dreiecks.
39. Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Segments.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
r = 5.2 cm, a = 110°
r = 12 cm, b = 18 cm
a = 19°, s = 37 cm
r = 8 cm, h = 2 cm
r und s sind gegeben (allgemeiner Fall)
a und s sind gegeben (allgemeiner Fall)
b
h
A
s
r
α
40. Die abgebildete Figur ist als Ganzes ein Quadrat.
}}
}}
Gegeben sind AB = 15 cm und PQ = 11 cm.
Welchen Inhalt hat die hervorgehobene
Fläche?
D
C
P
A
Q
B
123
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TRIGONOMETRIE
II
M
41. Im abgebildeten gleichschenkligen Dreieck ist
}} }}
}}
AM = BM = 22 cm und AB = 35 cm. M ist der
}}
Mittelpunkt des Kreisbogens und AB eine Tangente
an den Kreisbogen. Welchen Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?
B
A
C
42. nABC ist ein Dreieck mit den Seiten a = 32 m,
b = 24 m und dem Winkel b = 0.75. A ist der
Mittelpunkt des Kreisbogens und a die Tangente
am Kreisbogen. Welchen Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?
a
b
β
c
A
43. Die Figur ABCD ist ein Rechteck. A ist der
Mittelpunkt des Kreisbogens; der Radius
}}
entspricht der Seite AB. Q ist der Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Diagonalen
des Rechtecks. Gegeben sind die Seite
a = 8 cm und der Winkel g = 62°. Welchen
Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?
B
C
B
γ
Q
a
D
44. Einem Viertelkreis wird ein Rechteck ABCD so
einbeschrieben, dass die Ecke A auf den Kreismittelpunkt zu liegen kommt. B und C sind die
Mittelpunkte der beiden kleineren Kreisbogen.
}}
Gegeben sind AP = 35 mm und ε = 34°. Welchen
Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?
A
P
C
B
ε
A
D
45. Berechnen Sie den Flächeninhalt der hervorgehobenen (zweigeteilten) Figur für
r1 = 10 cm und a = 35°.
r1
α
r2
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BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK
7
C
46. In einem Dreieck sind die drei Seiten gegeben:
}}
}}
}}
AB = 20 mm, BC = 26 mm und AC = 18 mm. A,
B und C sind die Mittelpunkte der eingezeichneten Kreisbogen. Diese berühren sich paarweise.
Welchen Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?
B
A
47. In der abgebildeten Figur ist M der Mittelpunkt
der beiden Kreisbogen. Folgende Strecken sind
}}
}}
gegeben: AB = 43 mm, BM = 26 mm.
Welchen Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?
A
B
M
48. Berechnen Sie die Seitenlänge, den Umkreisradius sowie den Flächeninhalt eines regulären 10-Ecks
mit Inkreisradius r = 50 cm.
49. Bestimmen Sie den Flächeninhalt eines regulären n-Ecks,
a)
b)
c)
wenn die Seitenlänge a und n gegeben sind.
wenn der Inkreisradius r und n gegeben sind.
wenn der Umkreisradius ρ und n gegeben sind.
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