Die klassische Welt

Die klassische Welt
Akademie Rot an der Rot, August 2004.
Jochen Hub
Die klassische Welt – p.1
Quantenphysik → klassische Physik
klassische Physik als Grenzfall der Quantenphysik?
Analog zu
Relativistische Mechanik
Wellenoptik
λ→0
vc
−→ klassische Mechanik
−→ geometrische Optik
2 Bewegungsgesetze in der QM
1. geschlossenes System
2. Messung
→ Inkonsistenz?
→ Schrödingergleichung
→ Kollaps der Wellenfunktion
Aber: Was bedeutet überhaupt “Messung”?
Die klassische Welt – p.2
Märchen vom klassischen Grenzfall
Landau/Lifschitz: “Die QM enthält die klassische Mechanik als
Grenzfall.”
(siehe auch Messiah, S. 49 oder Cohen-Tannoudji, S. 25)
“Der Übergang QM → KM ist analog zum Übergang
Wellenoptik → geometrische Optik.”
Argumente:
Zerfließen der Wellenfunktion bei makroskopischen Objekten
vernachlässigbar
,→ punktförmige Wellenfuntionen
,→ klassisch aussehenden Zustände
Ehrenfest’sches Theorem
Die klassische Welt – p.3
Kritik
Superposition
ψ1 und ψ2 Lösungen der Schrödingergleichung
Linearität ,→ ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 ist ebenfalls Lösung, c1 , c2 ∈ C
ψ1 , ψ2 klassische Zustände (Katze lebendig/tot)
,→ Warum sehen wir nicht die allgemeine Linearkombination?
Wechselwirkung makroskopischer Objekte
Maroskopische Objekte stehen ständig unter
Beobachtung/Wechselwirkung
,→ ständige Messungen, keine Kohärenz
,→ einfache Beschreibung mit SG unzulänglich
,→ “klassischer Grenzfall” hinfällig
Die klassische Welt – p.4
Tensorprodukt
H = H1 ⊗ H2 heißt Tensorprodukt der Teilräume H1 und H2 , wenn zu
jedem Paar von Vektoren |φ(1)i ∈ H1 und |χ(2)i ∈ H2 ein Vektor in H
gehört. Wir bezeichnen ihn mit
|φ(1)i ⊗ |χ(2)i (“tensorielles Produkt”).
Das tensorielle Produkt ist
linear und distributiv,
sei {|ui (1)i} Basis von H1 und {|vj (2)i} Basis von H2
,→ {|ui (1)i ⊗ |vj (2)i} Basis von H1 ⊗ H2
P
Aber: Es gibt Zustände |ψi =
i,j ci,j |ui (1)i ⊗ |vj (2)i in H, die sich
nicht als Produkt |φ(1)i ⊗ |χ(2)i schreiben lassen!
(In Ortsdarstellung keine Produktwellenfunktion)
¨
,→ Verschrankung
Die klassische Welt – p.5
Warum “Verschränkung”? – Messung an Teilsystem
|ψi = |φ(1)i ⊗ |χ(2)i
Messung einer Observablen A1 an System 1:
,→ Wahrscheinlichkeit, die Eigenwert (Messwert) an zu finden, ist
Produktzustand
P (1) (an ) = hφ(1) |Pn (1)| φ(1)i ,
wobei Pn (1)
= |un ihun | (Projektionsoperator) und |un i Eigenvektor zum
Eigenwert an .
hängt nur von |φ(1)i ab
|φ(1)i kollabiert zu |un i, falls an gemessen wurde.
|χ(2)i ändert sich nicht.
Die klassische Welt – p.6
Warum “Verschränkung”? – Messung an Teilsystem
kein Produktzustand, |ψi
6= |φ(1)i ⊗ |χ(2)i
Es lässt sich kein Zustand für ein Teilsystem angeben.
P (1) (an ) ist komplizierter, hängt nicht nur vom Teilsystem 1 ab.
Zustand des zweiten Teilsystems ändert sich.
Zustand nach Messung ist Produktzustand, d.h. die Teilsysteme
entkoppeln
Ergebnisse von Messungen an Teilsystem 1 bzw. Teilsystem 2
sind keine unabhängigen Zufallsvariablen, daher “korreliert”.
Problem: Wechselwirkung führt sehr schnell zu Verschränkung.
Die klassische Welt – p.7
Dichteoperator – Reiner Fall
Zustand des Systems exakt bekannt, |ψi
Def. Dichteoperator: ρ
=
= |ψihψ|
Erwartungswert einer Observablen A:
P
n cn
|un i.
hAi = Spur{ρ A}
Beispiel: Spin eines Elektrons
√
|si = c1 |↑i + c2 |↓i = ( |↑i + |↓i )/ 2

 

1/2 1/2
|c1 |2 c∗1 c2




=
ρ=
1/2 1/2
c1 c∗2 |c2 |2
Nicht-Diangonalelemente 6=
0
kohärente Überlagerung zweier
Zustände
Die klassische Welt – p.8
Dichteoperator – Statistisches Gemisch
Quantenmechanischer Zustand des Systems ist nicht bekannt.
,→ Vorsicht: zwei Arten von Wahrscheinlichkeiten!
pk = Wahrscheinlichkeit, dass sich das Zystem im Zustand |ψk i befindet
X
verallgemeinerte Def. Dichteoperator ρ =
pk |ψk ihψk |
¨
alle Zustande
k
Erwartungswert ebenfalls
hAi = Spur{ρ A}
Beispiel: Elektron zu 50% Wahrscheinlichkeit in Zustand |ψ1 i
50% Wahrscheinlichkeit im Zustand |ψ2 i
= |↓i


1/2 0


ρ=
0 1/2
Alle Nicht-Diagonalelemente =
= |↑i, zu
0 ,→ klassisches statistisches Gemisch
(keine Interferenzen)
Die klassische Welt – p.9
Dichteoperator – Besetzung und Kohärenz
Was bedeuten Diagonalelemente und Nicht-Diagonalelemente?
Diagonalelemte ρnn
=
P
(k)
2
p
|c
|
n
k
k
,→ Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung den Zustand |un i
vorzufinden (bzw. den entsprechenden Eigenwert)
,→ Besetzung
Nicht-Diagonalelemte ρnp
=
P
(k) ∗(k)
k p k cn cp
,→ Interferenzeffekte und typisch quantenmechanisches Verhalten
,→ Kohärenzen
Die klassische Welt – p.10
Beschreibung eines Teilsystems
Zusammengestztes System H
= H(1) ⊗ H(2)
Dichteoperator f ¨ur das Teilsystem 1:
ρ(1) = Spur2 {ρ} (“Teilspur”)
,→ ρ(1) hat alle Eigenschaften eines Dichteoperators, insbesondere
hA(1)i = Spur1 {ρ(1)A(1)}
Falls reiner Produktzustand |ψi
= |φ(1)i ⊗ |χ(2)i
,→ ρ = ρ(1) ⊗ ρ(2)
Kein Produktzustand (und evtl. statistisches Gemisch)
,→ Zustandsvektor des Teilsystems 1 lässt sich nicht angeben.
,→ Aber: Alle physikalischen Vorhersagen anhand des Dichteoperators
Die klassische Welt – p.11
Korrelation und Dekohärenz
Wechselwirkung f ¨uhrt zu Verschränkungen ,→ Nicht-Diagonalelemente in ρ
Aber: Wechselwirkungen eines Teilsystems mit anderen Systemen
,→ Nicht-Diagonalelemente in ρ(1) verschwinden sehr schnell.
extremes Beispiel: 2 Elektronen formen ein Singlett (maximal korreliert)
Gesamtsystem: |ψi
√
= ( |↑↓i − |↓↑i )/ 2

0
0
0
0

ρ = |ψihψ| = 
0
1/2
−1/2
0
Teilsystem eines Elektrons:
ρ(1) = Spur2 {ρ} =
1/2
0
0
1/2
!
0
−1/2
1/2
0
0
0
0
0



klassisches statistisches Gemisch!
Die klassische Welt – p.12
Zusammenfassung
Dichteoperator: ermöglicht vollsändige Beschreibung eines Systems
oder Teilsystems, egal ob reiner Zustand oder statistisches Gemisch
Nicht-Diagonalelemente
kohärente Überlagerung, Inteferenzen,
typisch quantenmechanisches Verhalten
Wechselwirkung zwischen Teilsystemen führt zu Verschränkung
,→ Dichteoperator des Teilsystems wie beim klassischen Gemisch
,→ klassisches Verhalten (?)
Literatur:
¨
J. Audretsch, Verschrankte
Welt, Kapitel 8
C. Cohen-Tannoudji, Quantenmechanik, Band 1, Kapitel 2.6, 3.9 und 3.10
Die klassische Welt – p.13