Lösung zur¨Ubung 16 SS 2012 - AK

Lösung zur Übung 16 SS 2012
57
1
Gegeben ist die komplexe Zahl z = cos( π )−i
sin( π6 )
6
Formen Sie z in die kartesische Form z = a + bi um.
z=
cos( π6 )
1
− i sin( π6 )
(1)
Da wir eine komplexe Zahl im Nenner haben, wird mit der konjugiert Komplexen des
Nenners erweitert.
cos( π6 ) + i sin( π6 )
1
·
cos( π6 ) − i sin( π6 ) cos( π6 ) + i sin( π6 )
cos( π6 ) + i sin( π6 )
=
π
cos( 6 ) − i sin( π6 ) · cos( π6 ) + i sin( π6 )
cos( π6 ) + i sin( π6 )
=
cos2 ( π6 ) + sin2 ( π6 )
(3)
π
π
= cos( ) + i sin( )
6
6
(5)
=
(2)
(4)
mit cos2 (x) + sin2 (x) = 1
und nun ausrechnen
z=
1
1 √
1
· 3+ i
=
π
π
cos( 6 ) − i sin( 6 )
2
2
1
(6)
58
Gegeben sind nachfolgend Betrag und Argument dreier komplexer Zahlen. Geben Sie
jeweils die zugehörige kartesiche Form (z = x + iy) an.
Lösung durch einsetzen
Der Realteil (x) der komplexen Zahl kann als Produkt des Betrags und dem Kosinus
des Argumentes geschrieben werden. für den Imaginärteil (y) wird stattdessen der Sinus
verwendet.
a)
r = 2, α = π/6
x = r · cos(α)
(7)
y = r · cos(α)
(8)
Einsetzen der einzelnen Werte führt uns auf schnellem und geraden Weg zum Ziel.
x = 2 · cos(π/6)
(9)
y = 2 · sin(π/6)
(10)
Der Winkel ist im Bogenmaß angegeben und entspricht 30◦ . Sowohl der Kosinus als auch
der Sinus für diesen Winkel sind bekannt
√
3 √
x=2·
= 3
(11)
2
1
(12)
y =2· =1
2
Zusammenführen der einzelnen Ergebnisse ergibt das gesuchte Ergebnis.
√
z = 3+i
(13)
b)
√
r = 2 3, α = π/3
x = r · cos(α)
(14)
y = r · cos(α)
(15)
Einsetzen der einzelnen Werte führt uns auf schnellem und geraden Weg zum Ziel.
√
x = 2 3 · cos(π/3)
√
y = 2 3 · sin(π/3)
(16)
(17)
Der Winkel ist im Bogenmaß angegeben und entspricht 60◦ . Sowohl der Kosinus als auch
der Sinus für diesen Winkel sind bekannt
√
√
1 √
x=2 3·
= 3
(18)
√2
√
3
y =2 3·
=3
(19)
2
Zusammenführen der einzelnen Ergebnisse ergibt das gesuchte Ergebnis.
√
z = 3 + 3i
2
(20)
c)
r=
√
2, α = 5π/2
x = r · cos(α)
(21)
y = r · cos(α)
(22)
Einsetzen der einzelnen Werte führt uns auf schnellem und geraden Weg zum Ziel.
x=
y=
√
√
2 · cos(5π/2)
(23)
2 · sin(5π/2)
(24)
Der Winkel ist im Bogenmaß angegeben. Ein Wert von 5π/2 kann als die Summe von
2π + π/2 aufgefasst werden. 2π entspricht einer vollen Umdrehung und kann daher bei
der Bestimmung weggelassen werden. π/2 entspricht 90◦ . Sowohl der Kosinus als auch der
Sinus für diesen Winkel sind bekannt.
x=
y=
√
√
2·0=0
√
2·1= 2
(25)
(26)
Zusammenführen der einzelnen Ergebnisse ergibt das gesuchte Ergebnis.
z =0+
√
2i
(27)
3
59
Gegeben ist die Gleichung z 3 = −2 + 2i. Berechnen Sie z unter Verwendung der Exponentialdarstellung komplexer Zahlen.
z 3 = −2 + 2i
(28)
Wir beginnen mit dem Ausklammern der 2
z 3 = 2 (−1 + 1i)
(29)
Wir können die komplexe Zahl als nächstes in der Gaußschen Zahlenebene darstellen. Aus
Abbildung 1: Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene
dem Bild erfahren wir, dass das Argument φ = 135◦ oder im Bogenmaß geschrieben 3π
4
beträgt.
Wir können daher die Funktion in der exponentiellen Darstellung wie folgt ausdrücken
z 3 = 2 · e i(
3π
+2nπ
4
)
(30)
Die Erweiterung um 2nπ erfolgt zur Darstellung von mehrfachen Umläufen im Kreis.
Wir ziehen die dritte Wurzel um endgültig die komplexen Zahl z zu erreichen.
1/3
z=2
i
e
3 +2nπ
4
3
(31)
Um alle Lösungen zu erhalten müssen wir im nächsten Schritt n variieren.
iπ
z1 = zn=0 = 21/3 e 4
i
z2 = zn=1 = 21/3 e
(32)
3π +2π
4
3
(33)
i 11π
12
= 21/3 e
i
z3 = zn=2 = 21/3 e
(34)
3π +4π
4
3
(35)
i 19π
12
= 21/3 e
i
z4 = zn=3 = 21/3 e
i π4 +2π
= 21/3 e
Es gibt somit 3 verschiedene Lösungen.
4
(36)
3π +6π
4
3
= 21/3 e
(37)
iπ
4
= z1
(38)
60
Zeigen Sie die Richtigkeit der Gleichung [cos(α) + i sin(α)]n = cos(nα) + i sin(nα).
[cos(α) + i sin(α)]n = cos(nα) + i sin(nα)
(39)
Durch Umformen in die Exponentialform kommt man recht schnell und einfach auf die
Lösung
cos(α) + i sin(α)n = e(iα)·n
(40)
= eiαn
(41)
= eiβ
(42)
Substitution β = n · α
Nun bringen wir das ganze zurück auf die Trigonometrische Form
= cos(β) + i sin(β)
(43)
= cos(nα) + i sin(nα)
(44)
Rücksubstitution
5
61
Zeigen Sie die Gültigkeit der Gleichung cos(z) = cos(x) cosh(y) − sin(x) sinh(y)
Leider wurde beim Erstellen der Aufgabe ein kleines i vergessen. Korrekt ist folgende Aufgabenstellung.
Zeigen Sie die Gültigkeit der Gleichung cos(z) = cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y)
Lösung durch Verwendung der exponential Form
Komplexe Zahlen können nicht nur in kartesischer- und trigonometrischer Form sondern
auch mithilfe einer Exponentialform dargestellt werden.
z = x + iy
(45)
z = r · (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
(46)
z =r·e
iϕ
(47)
kleiner Exkurs
Um diese Aufgabe zu lösen muss der Zusammenhang zwischen Kosinus und Kosinus Hyperbolicus
bzw. Sinus und Sinus Hyperbolicus bekannt sein. Zur Aufklärung der Beziehung benutzen wir die Darstellung durch die e-Funktion.
1 x
e + e−x
2
1 x
sinh(x) =
e − e−x
2
cosh(x) =
(48)
(49)
Eine kleine Erweiterung und 1 führt uns zu einer bekannten Darstellung
1 −i·i·x
e
+ ei·i·x
2
1 −i·i·x
sinh(x) =
e
− ei·i·x
2
cosh(x) =
(50)
(51)
Diese Ausdrücke entsprechen der exponentiellen Form von komplexen Zahlen und können
in die trigonometrische Form überführt werden.
1
1 −i·i·x
e
+ ei·i·x = (cos(−ix) + i sin(−ix) + cos(ix) + i sin(ix))
2
2
(52)
1 −i·i·x
1
e
− ei·i·x = [cos(−ix) + i sin(−ix) − (cos(ix) + i sin(ix))]
2
2
(53)
An dieser Stelle nutzen wir die Symmetrieeigenschaften des Kosinus und des Sinus aus.
1
1
(cos(−ix) + i sin(−ix) + cos(ix) + i sin(ix)) = (cos(ix) − i sin(ix) + cos(ix) + i sin(ix))
2
2
(54)
cosh(x) = cos(ix)
(55)
1
1
[cos(−ix) + i sin(−ix) − (cos(ix) + i sin(ix))] = (cos(ix) − i sin(ix) − cos(ix) − i sin(ix))
2
2
(56)
sinh(x) = −i sin(ix)
6
(57)
Diese Gleichung multiplizieren wir mit i.
i · sinh(x) = −i · i · sin(ix)
(58)
i · sinh(x) = 1 · sin(ix)
(59)
Lösung
Um diese Aufgabe zu lösen benutzen wir eine exponentielle Darstellung ähnlich der exponentiellen Form von komplexen Zahlen. Wir setzen jedoch statt des Argumentes ϕ eine
komplexe Zahl (z = x + iy) in den Exponenten. Auf diese Weise erhalten wir einen Ausdruck folgender Form
cos(z) + i sin(z) = eiz
(60)
= ei(x+iy
(61)
ix+iiy
(62)
Die komplexe Zahl schreiben wir im folgenden aus
=e
ix
=e ·e
iiy
(63)
Die beiden Ausdrücke können in die trigonometrische Form überführt werden
eix · eiiy = (cos(x) + i sin(x)) · (cos(iy) + i sin(iy))
(64)
= cos(x) cos(iy) + cos(x)i sin(iy) + i sin(x) cos(iy) + i2 sin(x) sin(iy)
(65)
= cos(x) cos(iy) − sin(x) sin(iy) + i (cos(x) sin(iy) + sin(x) cos(iy))
(66)
An dieser Stelle nutzen wir die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
aus. Siehe Gl. 55 und Gl. 59.
= cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y) + i (cos(x)i sinh(y) + sin(x) cosh(y))
(67)
Wir können die Ausdrücke cos(z) und sin(z) daher durch folgendes ersetzen.
cos(z) = cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y)
(68)
sin(z) = cos(x)i sinh(y) + sin(x) cosh(y)
(69)
CC-BY-SA 3.0 Martin Labus / Mario Krieg
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/
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