Elektromagnetische Felder an Grenzflächen

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Zusatzvorlesungen:
Z-1
Z-2
Z-3
Z-4
Z-5
Z-6
Ein- und mehrdimensionale Integration
Gradient, Divergenz und Rotation
Gaußscher und Stokesscher Integralsatz
Kontinuitätsgleichung
Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Berechnung von Magnetfeldern
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-5 El.-magn. Felder an Grenzflächen
Z-5.1 Elektrisches Feld
Es soll nun das Verhalten des elektrischen Feldvektors an einer Grenzfläche zweier Medien mit den Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2 bestimmt
werden.
(i) Tangentiale Komponente
Wir betrachten einen rechteckigen
Weg innerhalb der beiden Medien,
wobei die beiden senkrechten Wegstücke infinitesimal klein sein sollen:
ε1
∆r
ε2
− ∆r
E1
E2
Dann gilt im Fall der Elektrostatik für
das Integral
über diesen geschlossenen Weg:
E ⋅ dr = 0
r
E1,|| ⋅ ∆r + E2,|| ⋅ (−∆r ) = 0
( E1,|| − E2,|| ) ⋅ ∆r = 0
E1,|| = E2,||
Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes ist an der Grenzfläche
zweier Medien stetig.
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
(ii) Senkrechte Komponente
D ⋅ dA = 0
Wir betrachten nun die folgende
zylinderförmige „Dose“ innerhalb der
beiden Medien, wobei die Höhe der
Dose infinitesimal klein sein soll.
ε1
ε2
∆A
(D
1,⊥
D1 , E 1
D2 , E2
Dann gilt wegen der 1. MaxwellGleichung für das geschlossene Oberflächenintegral über das Feld der
dielektrischen Verschiebung im Fall,
dass sich keine freien Ladungen an der
Grenzfläche befinden:
)
)
− D2,⊥ ⋅ ∆A = 0
D1,⊥ = D2,⊥
Wegen
− ∆A
(
D1,⊥ ⋅ ∆A + D2,⊥ ⋅ −∆A = 0
D = εε 0 E
folgt daraus:
ε1 E1,⊥ = ε 2 E2,⊥
Die senkrechte Komponente des elektrischen Feldes ändert sich an der
Grenzfläche zweier Medien unstetig.
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Aus den Stetigkeitsbedingungen erhält
man so ein "Brechungsgesetz" für
elektrische Feldlinien beim Übergang
zwischen zwei Medien.
E1,||
ε1
ε2
E1
α1
E2,⊥
Für den Übergang des Feldes an
einer Grenzfläche gilt dann:
E|| :
E1 sin α1 = E2 sin α 2
E|⊥ :
ε1 E1 cos α1 = ε 2 E2 cos α 2
Die Division beider Gleichungen
ergibt:
E1,⊥
1
α2
E2
ε1
tan α1 =
1
ε2
tan α1 ε1
=
tan α 2 ε 2
tan α 2
E2,||
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Feld einer Punktladung vor einer Grenzfläche, die zwei Medien trennt
ε 2 > ε1
ε 2 < ε1
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Dielektrische Kugel im äußeren elektrischen Feld
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Z-5.2 Magnetisches Feld
(i) Senkrechte Komponente
B2,⊥
Die 2. Maxwell-Gleichung lautet:
B ⋅ dA = 0
Anwenden auf die „infinitesimale Dose“
rechts ergibt:
B ⋅ dA = B1,⊥ ∆A + B2,⊥ (−∆A) = 0
B1,⊥ ∆A = B2,⊥ (−∆A)
B1,⊥ = B2,⊥ , µ1 H1,⊥ = µ 2 H 2,⊥
Die senkrechte Komponente des B-Feldes
ist an einer Grenzfläche stetig.
B1,⊥
µ1
µ2
(ii) Tangentiale Komponente
Da an der Grenzfläche keine äußeren
Ströme fließen, liefert das Ampèresche
Gesetz für den Weg entlang des
„infinitesimalen Rechtecks“:
H ⋅ dr = 0
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Merkregel: "BNET"
H 2 ,⊥
H 1, ⊥
µ1
Die Normalkomponenten des B-Feldes
und die Tangentialkomponenten des
E-Feldes sind stetig.
µ2
Also folgt:
H ⋅ dr = H1,|| ∆r + H 2,|| (−∆r ) = 0
H1,|| ∆r = H 2,|| (− ∆r )
H1,|| = H 2,|| ,
B1,||
µ1
=
B2,||
µ2
Die tangentiale Komponente des B-Feldes
ist an der Grenzfläche unstetig.
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