Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie - mathematik

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Grundlagen der Arithmetik
und Zahlentheorie
1.0
Teilbarkeit
In diesem Abschnitt werden wir einerseits die ganzen Zahlen an sich studieren und dabei besonders
wichtige Zahlen, die Primzahlen, entsprechend herausstellen.
Eine der bedeutendsten Beziehungen, die zwei ganze Zahlen miteinander haben können, ist die
Teilerbeziehung.
Definition:
Seien a und b ganze Zahlen. Wir sagen, dass die Zahl a die Zahl b teilt (oder gleichbedeutend, dass b ein
Vielfaches der Zahl a ist), falls es eine ganze Zahl x gibt mit der Eigenschaft
b = x⋅ a
Das bedeutet, dass bei der Division von b durch a kein Rest über bleibt.
Wir notieren diese Eigenschaft kurz mit a|b.
Wissen wir also, dass die a die Zahl b teilt, also a|b : ⇔ ∃ x ∈ ] , so dass ax = xa= b gilt.
Beispiel:
(i)
Es gilt:
3|6, -3|6, 3|-6 und –3|-6.
(ii)
Für jede ganze Zahl a gilt:
a|a (setze x:=1).
(iii)
Für jede ganze Zahl gilt:
a|0, d.h. ex gilt x0 = 0x = 0.
(iv)
Die einzigen Teiler der Zahl 1 sind 1 und –1.
Im folgenden Lemma halten wir einige weitere wichtige Eigenschaften fest:
Lemma 1.1:
Seien a, b, b’, c ∈ ] . Dann gilt
(i)
(ii)
(iii)
a|b ⇒ a|-b und umgekehrt.
a|b ⇒ a|bc
a|b und a|b’ ⇒ a|(b+b’) bzw.
a|(b-b’).
Beweis:
(i) Da a|b: ⇔ ∃ x ∈ ] , so dass ax=b. Mit x’:= -x folgt sofort ax’= -ax=-b.
(ii) Da a|b: ⇔ ∃ x ∈ ] , so dass ax=b. Multiplizieren wir diese Gleichung mit c, so erhalten wir axc=bc. Es
existiert also eine ganze Zahl x’, nämlich x’:=xc, so dass ax’=bc gilt.
(iii) Da a|b: ⇔ ∃ x ∈ ] , so dass ax=b und da a|b’: ⇔ ∃ x’ ∈ ] , so dass ax’=b’. Addieren wir diese
Gleichungen, so erhalten wir ax + ax’ = b +b’ ⇔ a(x+x’) = b+b’ und dies zeigt definitionsgemäß
gerade die Behauptung. Analog für a|(b-b’).
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Beispiel:
(a)
Sei a eine natürliche Zahl, die 235 und 252 teilt. Dann ist a=1 oder a=17. Denn a muss nach
Lemma 1.1 auch 252-235 = 17 teilen.
Da 17 eine Primzahl ist, muss also a=1 oder a=17 sein.
(b)
Sei a eine natürliche Zahl, die zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen teilt. Dann ist a
ungerade. Denn aus a|b2 und a|(b+1)2 ⇒ a|2b+1.
Also teilt a die Zahl 2b+1, welche bekanntlich für alle b aus ] ungerade ist und da alle Teiler
einer ungerade Zahl ungerade sind, gilt die Behauptung.
Wie wir bereits gesehen haben, ist es für die Teilbarkeit unerheblich, ob wir die Zahl a oder –a betrachten.
Daher genügt es i.d.R. sich mit der positiven der beiden zu beschäftigen.
Der Betrag einer Zahl a ist ebenso definiert wie in den übrigen mathematischen Disziplinen auch.
Eine weitere wichtige Beziehung ist, dass – jedenfalls bei positiven Zahlen – ein Teiler nie größer als das
Vielfache sein kann. Das wird in folgendem Hilfssatz präzisiert.
Lemma 1.2:
Seien a, b ∈ ] mit a|b. Wenn b ≠ 0 ist, dann gilt |a| ≤ |b|.
Genauer gesagt gilt entweder |a|=|b| oder sogar |a| ≤ |b|/2.
Insbesondere folgt für positive Zahlen a und b aus a|b auch a ≤ b.
Beweis:
Zunächst seien a und b positive Zahlen aus ] .
Da a|b: ⇔ ∃ x ∈ ] , so dass ax=b, dabei muss x ebenfalls positiv sein.
Ist x=1, so folgt sofort a=b und anderenfalls ist x ≥ 2. Daraus ergibt sich dann
ax=b ⇒ a = b/x ≤ b/2.
Der allgemeine Fall ergibt sich, da aus a|b auch stets folgt, dass der Absolutbetrag |a| von a den
Absolutbetrag |b| von b teilt.
Beispiel:
(c)
Jede ungerade Zahl, die 57218 und 57884 teilt, ist nicht größer als 333.
Wenn a sowohl 57218 also auch 57884 teilt, teilt a auch die Differenz, d.h. a teilt auch 666.
Daher ist entweder a=666 oder a ≤ 666/2=333. Da a ungerade ist a=666 unmöglich und es folgt
die Behauptung.
Korollar 1.1:
Seien a, b ∈ ] und -(a-1) ≤ b ≤ (a-1).
Gilt
a|b ⇒ b=0.
Diese Behauptung kann man relativ einfach durch einen Widerspruchbeweis erhalten.
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2.0
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Division mit Rest, Modulare Arithmetik
Ein weiteres wichtiges Werkzeug der Arithmetik (bzw. Zahlentheorie) ist die Division mit Rest.
Folgender Satz sichert nicht nur die Existenz sondern auch die Eindeutigkeit der darin vorkommenden
Zahlen q und r. Es wird sich zeigen, dass die Eindeutigkeit mindestens so wichtig ist, wie die Existenz.
Satz 2.1:
Seien a, b ∈ ] mit a ≠ 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit
b = qa+r,
und 0 ≤ r<|a|.
Die Eindeutigkeit hängt übrigens wesentlich von der Bedingung 0 ≤ r<|a| ab.
Beweis:
Angenommen, es sind Zahlenpaare (q,r) und (q’,r’) ∈ ] 2 gegeben mit
b = qa+r
b = q’a+r’
mit
mit
0 ≤ r<|a|
0 ≤ r’<|a|.
und
Setzen wir die Gleichungen gleich und formen etwas um, so ergibt sich
qa+r = q’a+r’
(q-q’)a = r’ – r.
Also teilt a die Zahl r’-r und da r’ als auch r zwischen 0 und |a|-1 liegen, liegt die Zahl r’-r zwischen
–(|a|-1) und |a|-1. Mit dem Korollar 1.1 folgt, dass r’-r = 0 gilt, also wegen a ungleich 0 r=r’ und damit
q=q’.
Die Existenz wird an dieser Stelle nicht bewiesen.
In vielen Fällen interessiert uns nicht so sehr der Divisor q, sondern vor allem der Rest r. Aus diesem
Grund erhält der Rest eine spezielle Bezeichnung.
Definition:
Seien a und b ganze Zahlen mit a ≠ 0. Seien q und r die eindeutig bestimmten ganzen Zahlen mit
b = qa +r
und
0 ≤ r<|a|.
Dann wird die Zahl r mit b mod a bezeichnet.
Das bedeutet:
b mod a ist eine Zahl, und zwar die kleinste nichtnegative Zahl r, so dass b-r durch a teilbar ist. Wir
können auch schreiben b= qa + (b mod a).
Eine eng damit verwandte Definition ist die folgende.
Definition:
Seien a und b ganze Zahlen, und sei m eine positive ganze Zahl. Wir schreiben a ≡ b [mod m], wenn m die
Zahl (b-a) teilt.
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Dabei wird a ≡ b [mod m] gelesen als „a ist kongruent zu b, modulo m“. Die Zahl m wird der Modulus
genannt.
Das bedeutet:
b mod a ist eine Zahl, und zwar die kleinste nichtnegative Zahl r, so dass b-r durch a teilbar ist. Wir
können auch schreiben b= qa + (b mod a).
Um diese beiden Definitionen in Zusammenhang zu bringen, teilen wir a und b durch m mit Rest:
Wir erhalten a=qm+r und b=q’m+r’, wobei q und q’ ganze Zahlen sind und r und r’ wieder die
entsprechende Ungleichung von oben erfüllen.
Bemerkung:
Es gilt a ≡ b [mod m] ⇔ r=r’.
Definition:
Wenn wir a durch a mod m ersetzen, sagen wir, dass a reduziert wird modulo m.
Beispiel:
(d)
(e)
(f)
8 mod 3 = 5, d.h. wir reduzieren 8 modulo 3.
–2 mod 5 = 3
Für jede natürliche Zahl a, mit a<b gilt a mod b = a.
Zu (e) sei angemerkt, dass die Bedingung 0 ≤ r’<|a| nicht vergessen werden darf, d.h. r bzw. a mod b
muss positiv sein!
Es sei erwähnt, dass mit Hilfe der Modulo-Rechnung als Verknüpfung ein bedeutender Ring, nämlich der
Ring ] /n ] definiert werden kann. Die zugrunde gelegte Menge der Rerstklassen R:={0, …,n-1} ist
endlich.
Die Verknüpfungen selbst wird aber mit beliebigen ganzen Zahlen definiert – hier ist die Reduktion modulo
m ausschlaggebend.
Definition:
Seien a und b ganze Zahlen. Dann gilt
(a +b) mod m
:=
(a mod m + b mod m) mod m
ab mod m
:=
((a mod m)(b mod m)) mod m.
und
Das diese Verknüpfungen in der Tat adäquat auf der Menge R funktioniert kann man beweisen – dies sei
hier jedoch nicht weiter verfolgt.
3.0
Der euklidische Algorithmus
Seien wieder a und b ganze Zahlen, die nicht beide 0 sind. Wir betrachten die Menge der natürlichen
Zahlen T, die sowohl a als auch b teilen.
Wir wissen, dass T nichtleer ist, denn die Zahl 1 (erzeugendes Element) ist Teiler einer jeden ganzen Zahl.
Außerdem ist die Menge T der Teiler zweier Zahlen a und b beschränkt, denn keiner der Teiler ist größer
als |a| bzw. |b|. Also existiert eine ausgezeichnete Zahl d ∈ ` aus T, die sowohl a als auch b teilt und
dabei die größte Zahl aus T ist.
Diese nennen wir den größten gemeinsamen Teiler von a und b und schreiben für diese Zahl ggT(a,b).
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Definition:
Seien a, b und c ganze Zahlen, die nicht beide Null sind. Eine natürliche Zahl d heißt größter gemeinsamer
Teiler von a und b, falls die folgenden beiden Eigenschaften gelten:
(i)
d|a und d|b
(ii)
Für alle ganze Zahlen c, für welche gilt
⇒
c|d.
c|a und c|b
Beispiel:
Sei a=210 und b=-2002. Die ganzen Zahlen, die a und b teilen sind
T:={-14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14}.
Die negativen Zahlen kommen als ggT nicht in Frage. Die Zahl 14 ist positiv, teilt 210 und -2002 und
wird von allen Teilern von 210 und –2002 geteilt. Es ist also ggT(210, -2002)=ggT(-2002, 210)=14.
Auch hier könnte man nachweisen, dass der ggT zweier Zahlen eindeutig bestimmt ist.
Für größere Zahlen ist es ohne weitere Hilfsmittel nicht einfach den ggT zu berechnen. Ein sehr einfaches
Werkzeug dagegen, um den ggT auch von größeren Zahlen zu berechnen, ist der sog. euklidische
Algorithmus. Seine Funktion beruht im Wesentlichen auf folgendem Satz.
Satz 3.1:
Seien a, b ∈ ] mit a ≠ 0. Seien q und r die eindeutig bestimmte Zahlen q und r mit
b = qa+r,
und 0 ≤ r<|a|. Dann gilt
ggT(b,a) = ggT(a, r).
Beweis:
Wir zeigen, dass die Menge der Teiler von b und a gleich der Menge der Teiler von a und r ist. Daraus
ergibt sich dann, dass auch die jeweils größten Elemente dieser Menge übereinstimmen.
Sei also zunächst t eine Zahl, die sowohl b als auch a teilt. Dann teilt t auch qa und somit nach
Lemma 1.1 (iii) auch b-qa=r. Also ist t auch ein ggT von a und r.
Sei d ein ggT von a und r. Dann teilt t auch qa und damit qa + r = b. Somit ist d eine Zahl, die sowohl b
als auch a teilt.
Beispiel:
ggT(17459, 1587) = ggT(1587, 2) = 1, denn es ist 17459 = 11 ⋅ 1587+2.
Obiger Satz 3.1 führt also die Berechnung des ggT von großen Zahlen a und b auf die Berechnung des
ggT kleinerer Zahlen zurück. Wenn diese Zahlen noch zu groß sind, wiederholt man den Prozess, bis der
Rest gleich 0 ist.
Dieser Ansatz führt auf den
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Satz 3.2 (Euklidischer Algorithmus):
Seien a, b ∈ ] mit a>0. Dann kann man den ggT(a,b) wie folgt bestimmen:
1.Schritt:
Berechne die Zahlen q und r mit b=qa+r und 0 ≤ r<a.
2.Schritt:
Wenn r ≠ 0 ist, dann setze b:=a und a:=r und führe erneut den 1.Schritt durch.
Abbruchbedingung:
Wenn r=0 ist, dann ist a der gesuchte ggT.
Der Beweis des Euklidischen Algorithmus kann man mit Satz 3.1 führen.
Beispiel:
Wir berechnen den ggT(4711, 1024) mit dem euklidischen Algorithmus:
4711 = 4 ⋅ 1024 +615
1024 = 1 ⋅ 615 +409
615 = 1 ⋅ 409 +206
409 = 1 ⋅ 206 +203
206 = 1 ⋅ 203 +3
203 = 67 ⋅ 3 +2
3 = 1 ⋅ 2 +1
2 = 2 ⋅ 1 +0
ggT(4711, 1024)=ggT(1024, 615)
ggT(1024, 615)=ggT(615, 409)
ggT(615, 409)=ggT(409, 206)
ggT(409, 206)=ggT(206, 203)
ggT(206, 203)=ggT(203, 3)
ggT(203, 67)=ggT(3, 2)
ggT(3, 2)=ggT(2, 1)
ggT(2, 1)=ggT(1, 0)= 1.
Definition:
Wie nennen zwei ganze Zahlen a und b teilerfremd, falls ihr ggT(a,b)=1 ist.
Teilerfremd bedeutet also nicht, dass die beiden Zahlen keinen ggT haben, sondern nur, dass sie so wenig
gemeinsame Teiler wie möglich haben.
Beispiel:
(g)
(h)
(i)
(j)
36 und 55 sind teilerfremd.
Je zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind teilerfremd.
Je zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen sind teilerfremd.
Jede Zahl a ∈ ] \{pi} (i ∈ ` ) ist zu einer Primzahl p teilerfremd.
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4.0
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Zentrale Sätze der Arithmetik bzw. Zahlentheorie
Folgende Sätze sind nicht nur bedeutend für die Zahlentheorie sondern finden häufig auch Einsatz in
anderen bedeutenden Resorts der Mathematik, wie z.B. der Algebra oder der Krypthogrphie.
Lemma 4.1 (Vielfachsummendarstellung von Bézout):
Seien a, b ∈ ] und sei d:=ggT(a,b). Dann gibt es ganze Zahlen a’ und b’ mit
d = aa’ + bb’.
Insbesondere gilt :
Wenn a und b teilerfremd sind, d.h. 1=ggT(a,b), gibt es ganze Zahlen a’ und b’ mit
1 = aa’ +bb’.
Um diese Erkenntnisse zu festigen, werden wir vor dem eigentlichen Beweis einige Beispiele betrachten:
Beispiel:
Es ist der ggT(8,5)=1. Mit a’=2 und b’=-3 folgt 1 = 2 ⋅ 8+(-3) ⋅ 5.
Wir bemerken: Wenn a und b positiv sind, dann muss eine der Zahlen a’, b’ negativ sein.
Beweis:
Den Beweis kann man relativ einfach und sehr konstruktiv führen.
Sei ohne Einschränkung a ≠ 0. Falls b=q1a mit q1 ∈ ] , so ist |a|=ggT(a, b). Dann sind t=0 und s=1 oder
s=-1 die gesuchten Zahlen. Anderenfalls führen wir den Euklidischen Algorithmus durch und erhalten die
Gleichung:
b
a
r1
=
=
=
rn-2
rn-1
=
=
q1a+r1
q2r1+r2
q3r2+r3
#
qnrn-1+rn
qn+1rn
, 0<r1<|a|
, 0<r2< r1
, 0<r3< r2
, 0<rn< rn-1
Obiges Lemma verrät noch nicht, wie man die Zahlen a’ und b’ konkret ausrechnen kann. Dies ist mit dem
sog. erweiterten euklidischen Algorithmus möglich. Wir wollen uns dieses Verfahren an einem
Beispiel klar machen.
Beispiel:
Sei etwa a=35 und b=101. Das Verfahren besteht aus zwei Großschritten. Der erste Schritt besteht darin,
mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den ggT von a und b zu berechnen:
101 = 2 ⋅ 35 +31
35 = 1 ⋅ 31 +4
31 = 7 ⋅ 4 +3
4 = 1 ⋅ 3 +1
3 = 3 ⋅ 1 +0
ggT(101, 35)= ggT(35, 31)
ggT(35, 31)= ggT(31, 4)
ggT(31, 4)= ggT(4, 3)
ggT(4, 3)= ggT(3, 1)
ggT(3, 1)= ggT(1, 0)=1
Im zweiten Schritt gehen wir jetzt vom ggT aus und dröseln die obigen Gleichungen „von unten nach
oben“ der Reihe nach auf.
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Stellen wir obige Gleichungen auf der linken Seite um, so erhalten wir
101 -2 ⋅ 35 = 31
35 -1 ⋅ 31 = 4
31 -7 ⋅ 4 = 3
4 -1 ⋅ 3 = 1
und daraus kann man durch wiederholte Substitution gewinnen:
⇒
1 = 4 -1 ⋅ 3 = 4 -1 ⋅ (31-7 ⋅ 4)
1 = -1 ⋅ 31+8 ⋅ 4
Nach der Substitution ist es entscheidend, dass man die gemeinsamen Faktoren zusammenfasst und erst
dann weiter substituiert. Dies ist nun in jedem weiteren Schritt notwendig.
⇒
⇒
1 = -1 ⋅ 31+8 ⋅ (35 -1 ⋅ 31)
1 = -9 ⋅ 31+8 ⋅ 35
Schließlich fassen wir die 31 als Rest der ersten Gleichung auf und erhalten durch Einsetzen:
⇒
⇒
⇒
1 = -9 ⋅ (101 -2 ⋅ 35)+8 ⋅ 35
1 = -9 ⋅ 101 +18 ⋅ 35 +8 ⋅ 35
1 = -9 ⋅ 101 +26 ⋅ 35.
Der erweiterte euklidische Algorithmus liefert also die Werte a’=26 und b’=-9.
Aus dem Lemma von Bézout folgt eine Aussage, die v.a. in der Algebra von großem Nutzen sein wird.
Satz: (Modulare Inverse)
Seien a und n teilerfremde positive Zahlen. Dann gibt es eine ganze Zahl a’ ∈ {1, 2, …, n-1} mit
aa’ ≡ 1 (mod n).
Man nennt a’ die modulare Inverse bez. der Multiplikation von a modulo n.
Beweis:
Da ggT(a, n)=1 ist, existieren nach dem Lemma von Bézout ganze Zahlen a’ und n’ mit aa’+nn’=1. Wenn
wir diese modulo n lesen, ergibt sich aa’=1 mod n.
Beispiel:
Sei n=21. Die zu 21 teilerfremden ( d.h. ggT(a, 21)=1, ∀ a ∈ A ) Zahlen ≤ 21 sind:
A:={1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20}.
Manche der Zahlen aus A sind zu sich selbst invers, manche haben eine andere Inverse. Dies kann man
wie folgt einsehen:
1 ⋅ 1=1
8 ⋅ 8=64=3 ⋅ 21+1
2 ⋅ 11 = 22 = 21 +1
13 ⋅ 13=169=8 ⋅ 21+1
4 ⋅ 16=64=3 ⋅ 21+1
5 ⋅ 17=85=4 ⋅ 21+1
10 ⋅ 19=190=9 ⋅ 21+1
20 ⋅ 20=400=19 ⋅ 21+1
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Das bedeutet:
Betrachtet man sich die Zahlen 1, 8, 13 und 20 so wird man feststellen, dass diese mit sich selbst
multipliziert gerade den Rest 1 haben mod 21, also zu sich selbst invers sind.
Dagegen sind die Zahlen 2, 11, 4, 16, 5 und 17, sowie 10 und 19 jeweils zueinander invers sind.