Netzwerke mit hyp. Geometrie

Algorithmische Methoden zur
Netzwerkanalyse
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke
Institut für Theoretische Informatik
1
Institutund
für Theoretische
KIT –Henning
Universität desMeyerhenke,
Landes Baden-Württemberg
nationales
Forschungszentrum
in der Helmholtz-Gemeinschaft
Algorithmische
Methoden
zur Netzwerkanalyse
Informatik
www.kit.edu
Vorlesung 14
Programm des Tages: Generierung von Graphen
Übungsaufgaben 11 und 12
Netzwerke mit hyperbolischer Geometrie
2
Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Wiederholung
BA-Modell
CL-Modell
R-MAT-Modell
Graph500
3
Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Inhalt
Modelle für (Zufalls)Graphen
Netzwerke mit hyperbolischer Geometrie
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Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Modelle für (Zufalls)Graphen
Netzwerke mit hyperbolischer Geometrie
Einführung
Geometrische Netzwerke in der euklidischen Ebene:
Durchschnittlicher Knotengrad abhängig vom Radius um Knoten
Gradverteilung entspricht Binomialverteilung
Geometrische Netzwerke in der hyperbolischen Ebene:
Gradverteilung entspricht Potenzgesetz, Exponent abhängig von der
Raumkrümmung
Natürliche Hierarchie spiegelt sich wider
Literaturverweis
D. Krioukov, F. Papadopoulos, M. Kitsak, A. Vahdat, M. Boguna:
Hyperbolic Geometry of Complex Networks.
Phys. Rev. E 82, 036106 (2010).
http://arxiv.org/pdf/1006.5169v2.pdf
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Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Modelle für (Zufalls)Graphen
Netzwerke mit hyperbolischer Geometrie
Bsp. hyperbolischer Geometrie
L2
L1
[Krioukov et al.]
2
L3
A
B
a
b
L1
c
C
P1
P2
P3
P3
P2
P1
L3
L2
(a)
(b)
(c)
FIG. 1: (Color online) Poincaré disk model. In (a), L1,2,3 and P1,2,3 are examples of hyperbolic lines. Lines L1,2,3 intersect
to form triangle ABC. The sum of its angles a + b + c < ⇡. As opposed to Euclidean geometry, there are infinitely many
lines (examples are P1,2,3 ) that are parallel to line L1 and go through a point C that does not belong to L1 . In (b), a
{7, 3}-tessellation of the hyperbolic plane by equilateral triangles, and the dual {3, 7}-tessellation by regular heptagons are
shown. All triangles and heptagons are of the same hyperbolic size but the size of their Euclidean representations exponentially
decreases as a function of the distance from the center, while their number exponentially increases. In (c), the exponentially
increasing number of men illustrates the exponential expansion of hyperbolic space. The Poincaré tool [1] is used to construct
a {7, 7}-tessellation of the hyperbolic plane, rendering a fragment of The Vitruvian Man by Leonardo da Vinci.
as usual—by a non-analyticity
of the partition
function.bei
clidean
(flat), spherical
(positively curved),
and hyperHyperbolische
Geraden
werden
euklid.
Darstellung
gekrümmt
This phase transition separates two regimes in the enbolic (negatively curved). Hyperbolic spaces of constant
semble,
cold
and
hot.
Complex
networks
belong
to
the
curvature
are
difficult
to
envisage
because
they
Der
hyperbolische Raum expandiert
auf exponentielle Weisecannot be
cold regime, while in the hot regime, the standard configisometrically embedded into any Euclidean space. The
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uration model [18] and classical random graphs [19] turn
out to be two limiting cases with degenerate geometric
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structures, Section IX. Sections VII and VIII analyze the
Algorithmische
Methoden
zur Netzwerkanalyse
degree distribution
and clustering
as functions of temper-
reason is, informally, that the former are “larger” and
have more “space” than the latter.
Modelle für (Zufalls)Graphen
Because of the fundamental difficulties in representNetzwerke mit hyperbolischer Geometrie
ing spaces of constant negative curvature as subsets of
Grundlagen
3
Drei Typen isotroper Räume:
TABLE I: Characteristic properties of Euclidean, spherical,
and hyperbolic geometries. Parallel lines is the number of
lines that are parallel to a line andpthat go through a point
not belonging to this line, and ⇣ = |K|.
Property
Curvature K
Parallel lines
Triangles are
Euclidean
0
1
normal
Shape of triangles
Sum of 4 angles ⇡
Circle length
2⇡r
Disk area
2⇡r2 /2
7
Spherical
>0
0
thick
Hyperbolic
<0
1
thin
>⇡
<⇡
2⇡ sin ⇣r
2⇡ sinh ⇣r
2⇡(1 cos ⇣r) 2⇡(cosh ⇣r
1)
That
is, Meyerhenke,
the distance
two
points is approximately Modelle für (Zufalls)Graphen
Henning
Institutbetween
für Theoretische
Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
mit hyperbolischer Geometrie
the
sum of their radial coordinates, minus some Netzwerke
✓-
Poincaré-Modell
t 2 = x 2 + y 2 + 1, konstante Krümmung −1
Hyperbolischer Raum
repräsentiert durch
Hyperboloiden
Perspektivische Projektion
auf (x , y )-Einheitskreis von
(t = −1, x = 0, y = 0) aus
gesehen
Rand des Einheitskreises
nicht Teil der hyperb. Ebene
(Punkte unendlicher Distanz)
Hyperbolische Geodäten
sind euklidisch
Kreisdurchmesser und
Kreisbögen
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http://en.wikipedia.org/wiki/File:HyperboloidProjection.png
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Poincaré und andere Modelle
Euklidische Winkel zwischen hyperbolischen Geraden entsprechen
den hyperbolischen Winkeln
Bei Distanzen und Fläche ist das nicht der Fall
Verallgemeinerung auf größere d möglich
Modelle allgemein:
Hyperbolische Räume konstanter Krümmung sind schwierig zu
visualisieren
Grund (informell): Hyperbolische Räume sind “größer” und haben
mehr “Platz”
Daher gibt es mehrere äquivalente Modelle hyperbolischer Räume
Jedes Modell fokussiert auf andere Aspekte der hyperb. Geometrie
Kein Modell hat gleichzeitig alle Eigenschaften
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Polarkoordinaten (euklidisch)
Distanz r vom Nullpunkt
Winkel θ
Siehe Tafel!
Umrechnung polar - kartesisch: x = r cos θ, y = r sin θ
p
Umrechnung kartesisch - polar: r = x 2 + y 2 ,


arctan yx + π für x < 0



y


für x > 0
arctan x
π
θ= 2
für x = 0 und y > 0


π

−2
für x = 0 und y < 0



unbestimmt
für x = y = 0
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Eigenschaften des hyperbolischen
Modells
Von nun an: Abstände haben ihren wahren hyperbolischen Wert
2D-hyperb. Raum H2ζ mit konstanter Krümmung K = −ζ 2 < 0, ζ > 0
Eigenschaften:
Kreislänge bei Radius r :
L(r ) = 2π sinh ζr
(1)
A(r ) = 2π (cosh ζr − 1)
(2)
Kreisfläche bei Radius r :
⇒ Kreislänge und -fläche wachsen mit r gemäß eζr
Hyperbolische Distanz x zweier Punkte (r , θ ) und (r 0 , θ 0 ):
cosh ζx = cosh ζr cosh ζr 0 − sinh ζr sinh ζr 0 cos ∆θ ,
dabei ist ∆θ = π − |π − |θ
11
− θ 0 ||
(3)
der Winkel zwischen den Punkten
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Netzwerke mit hyperbolischer Geometrie
Ähnlichkeit zu Bäumen
b-ärer Baum (siehe Tafel):
Analogie zur Kreislänge: Zahl der Knoten mit Abstand genau r von
der Wurzel
Analogie zur Kreisfläche: Zahl der Knoten mit Abstand höchstens r
von der Wurzel
# Knoten mit genau Abstand r : (b + 1)br −1
# Knoten mit höchstens Abstand r : [(b + 1)br − 2]/(b − 1)
Beides wächst gemäß br (und somit exponentiell) in r
Also: Für ζ = ln b wächst alles gemäß e ζr
Informell: b-äre Bäume sind diskrete hyperbolische Räume H2ln b
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Hierarchische Struktur von Daten
Dendrogramm zur Visualisierung
Abbildung: Quelle: Wikipedia
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Hierarchische Struktur in Netzwerken
Euklidischer Kreis R2 repräsentiere Sammlung von Attributen für
einen Knoten im Netzwerk
Hierarchie durch überlappende Kreisscheiben
(größere Überlappung = größere Ähnlichkeit = hyperbolisch näher)
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Hierarchische Struktur, R2 und H3
Seien zwei Kreise in R2 mit Radius r und r 0 gegeben
Sei das Verhältnis gegeben durch: 1/C ≤ r /r 0 ≤ C
Sei die euklidische Distanz zwischen den Kreismittelpunkten ≤ Cr
Dann gilt: Die hyperbolische Distanz zwischen den beiden Knoten im
H3 ist ≤ C 0
C 0 hängt nur von C ab, nicht von r , r 0 oder der Lage der
Kreismittelpunkte
Umgekehrt gilt das auch!
Also: Distanzen von Knoten hinsichtlich ihrer (metrischen)
Knotenattribute können auf Distanzen im hyperbolischen Raum
abgebildet werden!
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Generierung eines Netzwerks
Krümmungsparameter ζ = 1
Wirf N 1 Punkte zufällig in Kreisscheibe mit Radius R 1
R korrespondiert mit der Tiefe der Baumstruktur
Gleichverteilung für θ, daher Dichte ρ(θ ) = 1/(2π )
Dichte für r :
ρ (r ) =
sinh r
≈ e r −R ∼ e r
cosh R − 1
(4)
Kante zwischen Knoten mit hyp. Abstand x gdw. x ≤ R
Beschleunigung der Kantenabfrage durch geometrische
Datenstrukturen (angepasst an hyperbolische Geometrie!)
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Modelle für (Zufalls)Graphen
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Durchschnittlicher Knotengrad
Proposition
Der durchschnittliche Knotengrad k (r ) für einen Knoten mit Abstand r
vom Nullpunkt kann für große R folgendermaßen approximiert werden:
4
4 −r /2
(5)
e
− ( − 1 )e −r
k (r ) = N
π
π
4
≈ Ne−r /2 (für große r )
(6)
π
Der durchschnittliche Knotengrad k im Netzwerk ist dann:
k≈
17
8
Ne −R/2
π
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(7)
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Knotengradverteilung
Proposition
Dünn besetzte Netzwerke haben die Gradverteilung:
pk = 2
k
2
!2
Γ(k − 2, k /2)
∼ k −3
k!
(8)
Also haben wir eine Power-Law-Gradverteilung mit Exponent 3.
Erstaunliches Ergebnis:
Ergibt sich ohne unser explizites Zutun aus der Geometrie!
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Diskussion
Vorteile:
Hierarchische Struktur
Power-Law-Gradverteilung
Zahl der Dreiecke meist im passablen Bereich
Generierung kann parallel erfolgen
(Achtung: Parallele Datenstrukturen!)
Nachteile:
Hyperbolische Geometrie wenig intuitiv
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