2 Streutheorie

2
25
STREUTHEORIE
2
Streutheorie
Wir interessieren uns nun dafür, Vorhersagen
für Streuprozesse zu machen. Dabei wird es im
Wesentlichen um Prozesse gehen, in denen Teilchen (a1 und a2 ) aufeinander geschossen werden,
und neue Teilchen entstehen, etwa
a1
•
•
•
•
a1 + a2 → b 1 + b 2 + . . . b n .
Das Folgende startet mit einer Diskussion der
foirmaleren Aspekte, dann werden wir uns damit beschäftigen, wie man in der Praxis relevante Messgrössen (Wirkungsquerschnitte etc.) berechenet. Die Beispiele in diesem Abschnitt beziehen sich auf die QED, die Methoden werden
aber später auf andere Wechselwirkungen angewandt werden.
2.1
(i)
b1
b2
a2
bn
Streuprozesse
S- und T -Matrix
S-Matrix.
Das S-Matrix-Element Sf i ist definiert über
Sf i = hf | S |ii ,
(2.1)
wobei der Operator S den Übergang des asymptotisch freien Anfangszustand |ii in einen
anderen Zustand beschreibt, der dann auf den ebenfalls asymptotisch freien Endzustand
|f i projiziert wird. Die Wechselwirkungen werden zu endlichen Zeiten ein“- und ausge”
”
schaltet“.
Bemerkung: Auf die Schwierigkeiten, die sich aus der den asymptotisch freien Zuständen
ergeben, soll hier nicht näher eingegangen werden. Man fordert letztlich für φ(x) die sogenannte schwache asymptotische Bedingung, nämlich dass für beliebige Vektoren im Fockraum |ai und |bi gilt
lim ha| Φ(x) |bi = a| φout
in (x) |b .
t→±∞
T -Matrix. Die T -Matrix wird mit dem konventionsabhängigen Normierungsfaktor N
definiert durch
Sf i = δf i + i N hf | T |ii .
| {z }
(2.2)
:=Tf i
Der Grund für ist die Normierung ist: Sf i soll für die Übergangsamplitude stehen. Die
Zustände haben in unserer Konvention die Kontinuumsnormierung. Für eine Interpretation
als Übergangsamplitude benötigt man aber auf 1 normierte Zustände.
Mit (2.2) enthält die T -Matrix den nicht-trivialen Anteil der Propagation, sie erzeugt
nur noch zusammenhängende Diagramme. Die S- und die T - Matrixelemente sind Lorentzinvariant. Das T -Matrixelement hängt eng mit dem invarianten Matrixelement Mf i , das
2
26
STREUTHEORIE
wir später mit den Feynman-Regeln berechnen werden, und den n-Punkt Greensfunktionen
zusammen.
Der Normierungsfaktor ist in der hier verwendeten Konvention
Y 1 Y 1
√
p
.
(2.3)
N =
2Ei f
2Ef
i
(ii)
Das erzeugende Funktional S[J, φ0 ]
Es geht darum, die S- und T -Matrixelemente im Pfadintegralformalismus zu berechnen.
Der Weg, diese Matrixelemente zu berechnen, soll nun kurz skizziert werden. Zunächst
erinnert man sich, dass das Pfadintegral mit festen Anfangs- und Endfeldkonfigurationen,
Z
Z
4
(2.4)
Dφ exp i d x L0 + Lint ,
I[φin , φout ] =
φin
φout
gerade die Übergangsamplitude von φin nach φout wiedergibt. Könnte man dieses Pfadintegral einfach berechnen, hätte man bereits die S-Matrix-Elemente bestimmt.
Das ist nun leider nicht der Fall. Daher bedarf es einiger Anstrengungen, um hier weiterzukommen; wir folgen im Wesentlichen [2, S. 55 ff.]. Ein wesentlicher Schritt ist, ein
erzeugendes Funktional mit festen Grenzen zu definieren,
Z
Z
4
Dφ exp i d x L0 + L1 + J φ .
(2.5)
S[J, φ0 ] =
φ0
φ0
Den Wechselwirkungsterm kann man auf die übliche Weise herausziehen.
Bemerkung: Im Operatorkalkül wählt man als Ausgangspunkt die Formel für den T Operator in einem Formalismus, der sich aus Überlegungen der kanonischen Quantisierung
und der Pfadintegraldarstellung zusammensetzt (vgl. z.B. [8, S. 217 ff.]). Man erhält im
Fall von Skalarfeldern
T =

Z

: exp
dx φin (x) K

δ 
: W [J]J=0 .
δJ(x)
(2.6)
Die Verallgemeinerung auf Diracfelder führt auf analoge Resultate. Das Funktional W [J]
erzeugt nur die zusammenhängenden Greensfunktionen und K ist der Differentialoperator
der Klein-Gordon-Gleichung,
K = + m2 .
Außerdem ist φin (x) der Feldoperator für asymptotisch freie Teilchen.
2
27
STREUTHEORIE
Zusammenhang S ↔ Z. Die Bedingung der festen Grenzen des Funktionalintegrals
kann umgeschrieben werden. Man erhält für S[J, φ0 ]
Z
δ
4
2
Z[J] .
(2.7)
S[J, φ0 ] = exp
d x φ0 (x) ( + m )
δJ(x)
Damit kann man einen Zusammenhang zwischen den n-Punkt Funktionen τ (n) (x1 , . . . xn )
und den Streuamplituden, bei denen n Teilchen beteiligt sind, finden. Zumeist formuliert
man die Übergangsamplituden im Impulsraum, die Gegenstand des folgenden Abschnittes
sind.
(iii)
Betrachtungen im Fourierraum
Das erzeugende Funktional kann als Funktional für die Quellfeldkonfigurationen im Ortsb
raum, J(x), oder alternativ für deren Fouriertransformierte J(k)
erklärt werden. Der Zusammenhang zwischen J(x) und Jb(k) ist, wie üblich,
Z
d4 k −i k·x b
J(x) =
e
J(k) .
(2.8)
(2π)4
Damit ergibt sich
Z
Z
i
−
d4 x d4 y J(x) ∆F (x − y) J(y)
2
Z 4
Z
Z
d p1 d4 p2 d4 k
i
4
d
x
d4 y
= −
2
(2π)4 (2π)4 (2π)4
b 1 ) e−i (p1 +k)·x e−i (p2 −k)·y J(p
b 2)
J(p
= −
i
2
Z
k 2 − m2 + i ε
b
b
d k J(k) J(−k)
.
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
4
Dafür kann man genausogut schreiben
Z
Z
d4 x d4 y J(x) ∆F (x − y) J(y) =
(2.9)
Z
d4 p
(2π)4
Z
d4 q b (2π)4 δ (4) (p + q) b
J(p)
J(q) .
(2π)4
k 2 − m2 + i ε
(2.10)
Dies kann man in das erzeugende Funktional der wechselwirkungsfreien Theorie einsetzen,
Z
Z
d4 p
d4 q b (2π)4 δ (4) (p + q) b
i
J(p)
J(q)
.
(2.11)
Z0 [J] = exp −
2
(2π)4
(2π)4
p 2 − m2 + i ε
n-Punkt-Funktionen.
Man nennt
τ (x1 , x2 ) = h−| T φ(x1 ) φ(x2 ) |−i
oft Zweipunkt-Funktion und entsprechend
τ (x1 , . . . xn ) = h−| T φ(x1 ) . . . φ(xn ) |−i
n-Punkt-Funktion. Diese können durch n-fache Funktionalableitung des erzeugenden Funktionals gewonnen werden,
δn
n
τ (x1 , . . . xn ) = (−i)
Z0 [J]
.
(2.12)
δJ(x1 ) · · · δJ(xn )
J=0
2
28
STREUTHEORIE
Gleichung (2.11) zeigt, dass die Zwei-Punkt-Funktionen im Fourierraum automatisch
eine δ-Distribution enthalten. Dazu führt man die Funktionalableitung formal durch,
τb(2) (p1 , p2 ) :=
=
δ
δ
Z0 [J]
b
b
i δ J(p1 ) i δ J(p2 )
i
δ (4) (p1 + p2 )
.
p21 − m2 + i ε
(2.13)
Hier tritt offensichtlich die δ-Distribution auf. Diese impliziert Viererimpulserhaltung, d.h.
Energie und räumliche Impulserhaltung. Diese Tatsache rührt daher, dass der Propagator
nur eine Funktion des Abstands der Variablen x und y ist.
∆F (x, y) = ∆F (x − y) .
Dies wiederum ist eine Folge der Translationsinvarianz.
Green’sche Funktionen G (n) . Offensichtlich ist die in den n-Punkt-Funktionen auftretende δ-Funktion störend. Daher definiert man die Greensfunktionen in einer Weise,
dass diese bereits herausgekürzt ist. Man setzt spezifisch
G (n) (2π)4 δ (4) (p1 + · · · + pn ) :=
Z
d4 x1 · · · d4 xn τ (x1 , . . . xn ) e−i (p1 x1 +···+pn xn ) .
(2.14)
Green’sche Funktionen G(n) . Völlig analog transformiert man auch die zusammenhängenden n-Punktfunktionen in den Fourierraum,
G(n) (2π)4 δ (4) (p1 + · · · + pn ) :=
Z
d4 x1 · · · d4 xn Φ(x1 , . . . xn ) e−i (p1 x1 +···+pn xn ) .
(iv)
(2.15)
S-Matrix und Green’sche Funktionen
Wir interessieren uns nun konkret für einen Prozess, in dem im Anfangszustand m asymptotisch freie Teilchen mit Impulsen {pi }m
i=1 und im Endzustand n − m asymptotisch freie
Teilchen mit den Impulsen {pi }ni=m+1 auftreten. Hierfür wird erst eine Formel (vgl. [2]
(6.50a) auf S. 69. Für die Herleitung siehe [2], S. 54 ff.) zitiert:
δ n S[φ0 ]
−1
Sf i = {ρ(p1 ) · · · ρ(pn )}
, (2.16)
∗
∗
δa(p1 ) · · · δa(pm ) δa (pm+1 ) · · · δa (pn ) a=a∗ =0
wobei
und
ρ(p) = (2π)−3 (2p0 )−1 ,
Z
d3 p 1
φ0 =
a(p) e−i p·x + a∗ (p) ei p·x
3
(2π) 2ωp
S[φ0 ] = exp
Z
δ
d x φ0 (x) ( + m )
δJ(x)
4
2
(2.17)
(2.18)
Z[J]
J=0
.
(2.19)
2
29
STREUTHEORIE
Die S-Matrix ergibt sich als
Sf i = (2π)4 δ (4) (p1 + p2 + . . . pm − pm+1 − · · · − pn ) Mf i ,
(2.20)
Mf i = (−i)n (p21 − m2 ) · · · (p2n − m2 ) G (n) (p1 , . . . pm , −pm+1 , · · · − pn ) .
(2.21)
wobei Mf i gegeben ist durch
In diesem Matrixelement sind noch die trivialen Anteile enthalten, in denen anschaulich
die Teilchen ohne Wechselwirkung aneinander vorbeifliegen.
Die Berechnung dieser Übergangsamplitude entspricht üblicherweise nicht der Problemstellung, vielmehr ist man an der T -Matrix (vgl. (2.2)) interessiert. Es lässt sich nun
zeigen, dass diese bei der Betrachtung spezieller Prozesse (siehe [2], S. 70), auf die wir
uns im Folgenden beschränken, mit den zusammenhängenden n-Punktfunktionen G(n) im
Zusammenhang steht. Es gilt


X
X
pi −
(2.22)
Tf i = (2π)4 δ (4) 
pf  M f i ,
i
f
wobei
Mf i = (−i)n
n
Y
i=1
(p2i − m2 ) G(n) (p1 , . . . pm , −pm+1 , · · · − pn ) .
(2.23)
Das hier definierte invariante Matrixelement Mf i hängt wie oben angegeben mit den
zusammenhängenden n-Punkt-Greensfunktionen in der Fourierdarstellung zusammen.
Man kann damit die Feynmanregeln ablesen, mit denen dann die Konstruktion der Matrixelemente für spezielle Terme der n-Punkt Funktion möglich ist.2
Anschauliche Interpretation. Die graphische Veranschaulichung zeigt, dass jede äußere Linie in den n-Punkt-Funktionen einem Propagator entspricht. Die Multiplikation mit
−i (p2i − m2 ) kürzt gerade diesen Propagator, sodass man die S- bzw. T -Matrix erhält,
indem man die Propagatoren aus den äußeren Beinen entfernt.
Dieses Ergebnis lässt sich auch auf den Fall von Dirac-Feldern übertragen.
2.2
Berechnung messbarer Größen
Übergangswahrscheinlichkeiten dwf i . Die Übergangswahrscheinlichkeit ist gegeben
durch
|Tf i |2
dwf i =
dNf
(2.24)
T
mit der Zeit T , die der Prozess in Anspruch nimmt, und dem infinitesimalen Phasenraumelement dNf im Endzustand. Hierbei sind zwei Dinge zu beachten:
(1) Der Ausdruck für dwf i krankt an einem Term der Form:
2

X
X
(2π)4 δ (4) (
pi −
pf ) .
i
f
(2) Letztlich will man den Prozess charakterisieren durch Größen, die nicht von T
abhängen.
2 Die
negativen Vierer-Impulse können – wie üblich – in positive ‘umgewandelt’ werden, indem man
von der Teilchen- in die Anti-Teilchen-Sprache wechselt, d.h. (Teilchen-)Lösungen zu negativer Energie als
Anti-Teilchen mit positiver Energie (um-)interpretiert.
2
30
STREUTHEORIE
Fermis Trick. Um den Ausdruck
2


X
X
(2π)4 δ (4) 
pi −
pf   .
i
f
zu behandeln, benutzt man Fermis Trick für große V und T ,
2


Z Y
X
X
pi −
pf  F (pf )
d4 pf (2π)4 δ (4) 
pf
i
f


P
P
Z Y
Z
X
X
i ( pi − pf ) x
f
pi −
pf  F (pf )
(2π)4 δ (4) 
d4 pf
→
d4 x e i
pf
=
i
V,T
4
V T (2π)
Z Y
pf

d4 pf δ (4) 
X
i
pi −
X
f
f

pf  F (pf ) ,
(2.25)
für beliebige Funktionen F (pf ).
Formal können wir also schreiben:



2



X
X
X
X
Fermis
Trick
pi −
pf  .(2.26)
−−−−−−−−→ V T (2π)4 δ (4) 
pi −
pf 
(2π)4 δ (4) 


i
i
f
f
Man sieht sofort, dass das auftretende T mit dem T in der Definition von dwf i kürzt.
Das Phasenraumelement (im Impulsraum) für den Endzustand ist
dNf =
Y d3 pf 1
Se ,
(2π)3 2Ef
(2.27)
f
wobei
Se =
Y 1
µf
µf : Vielfachheit der Teilchen im Endzustand
f
ein kombinatorischer Symmetriefaktor ist. Damit gewinnt man für die Übergangsrate den
Ausdruck:


X
X
Y d3 pf 1
dwf i = V (2π)4 δ (4) 
Se .
(2.28)
pi −
pf  |Mf i |2
(2π)3 2Ef
i
f
f
Dieser ist aufgrund der verwendeten Normierung der Zustände proportional zum betrachteten Volumen V . Um eine davon unabhängige Größe zu erhalten, teilt man durch die
über das Volumen integrierte Flussdichte der einlaufenden Teilchen.
Fluss. Die Flussdichte eines Teilchens in einem Bezugssystem ist
|~
p|
(2.29)
E
mit der Teilchendichte ρ. Bei der Betrachtung zweier Teilchen ist die Verallgemeinerung
dieser Formel gegeben durch:
φ = ρ·v
mit v =
φ = ρ1 ρ2 · vrel
mit vrel = |~v1 − ~v2 | .
(2.30)
2
31
STREUTHEORIE
Die Dichten ρi sind dabei durch die 0-ten Komponenten der Stromdichte gegeben,
ρi = 2Ei .
Der Gesamtfluss ist die über das Volumen integrierte Flussdichte,
Φ = φ·V .
Streuquerschnitt.
Der differentielle Streu- oder Wirkungsquerschnitt ist definiert durch
dwf i
.
Φ
(2.31)
dσ =
Man sieht, dass sowohl wf i als auch Φ proportional zu V sind, so dass dσ unabhängig von
dem betrachteten Volumen wird.
Die Interpretation des differentiellen Streuquerschnitts ist aus der Quantenmechanik
bekannt,
dσ(θ, ϕ) =
Strom der in Richtung (θ, ϕ) gestreuter Teilchen × r2 dΩ
,
Strom der einfallenden Teilchen
(2.32)
wo (r, θ, ϕ) die üblichen Kugelkoordinaten in drei Dimensionen bezeichnen, bzw.
dσ
=
dΩ
Strom der in Richtung (θ, ϕ) gestreuter Teilchen
× r2 .
Strom der einfallenden Teilchen
(2.33)
Der differentielle Wirkungsquerschnitt hat die Dimension einer Fläche. Man gibt ihn oft
in barn an,
1 barn = 1 b = 10−24 cm2 .
Wir werden häufig Situationen betrachten, in denen zwei Teilchen-Strahlen, etwa A und
B, aufeinandergeschossen werden. In solchen Situationen ist es eine Frage der Konvention,
ob (in der Sprache der QM 2) A das Projektil und B das Target ist oder umgekehrt. Die
Definition der Flussdichte (2.30) ist gerade so gewählt, dass sie dieser Symmetrie gerecht
wird.
Betrachtet man speziell zwei Teilchen im Anfangszustand, so ist der Streuquerschnitt
dσ gegeben durch
dσ(a1 + a2 → f ) =
wf i
dNf
φi
mit der Übergangswahrscheinlichkeit (und nach Anwendung von Fermis Trick)


X
X
pi −
wf i = (2π)4 δ (4) 
pf  |Mf i |2 ,
i
(2.34)
(2.35)
f
und der Flussdichte
1/2
.
φi = 2E1 2E2 vrel = 4 (p1 · p2 )2 − m21 m22
(2.36)
2
32
STREUTHEORIE
Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem.
und 2 Endzustände (C, D), d.h. der Prozess ist
Hat man 2 Anfangszustände (A, B)
A+B → C +D ,
so lässt sich dieser Ausdruck im Schwerpunktsystem p~A = −~
pB vereinfachen und es lässt
sich der differentielle Wirkungsquerschnitt in folgender Form angeben (mit: ECM = (EA +
EB )):
|~
pA |
1
dσ
=
| M f i |2 .
(2.37)
2
dΩ CM
2EA 2EB |~vA − ~vB | (2π) 4ECM
Im Falle gleicher Massen aller vier Teilchen wird daraus
dσ
|Mf i |2
=
(vier identische Massen) .
2
dΩ CM
64 π 2 ECM
(2.38)
Zerfallsraten. Die Zerfallsrate dΓ ist ein Spezialfall von dwf i mit nur einem einlaufenden Teilchen (siehe z.B. [3]).
2
33
STREUTHEORIE
2.3
Feynmanregeln der QED
Mit den Feynmanregeln kann man das invariante Matrixelement Mf i für Streuprozesse, wie
z.B. für den rechtsstehenden,
a1
b1
b2
•
•
a1 + a2 → b 1 + b 2 + . . . b n ,
berechnen. Die Prozesse werden graphisch so dargestellt, dass die Anfangszustände |ai links und
die Endzustände |bi rechts sind.
•
•
a2
Faktor
bn
Einlaufende Fermionlinie
u(s) (p)
- im Anfangszustand
p
v (s) (p)
- im Endzustand
p
Auslaufende Fermionlinie
v (s) (p)
- im Anfangszustand
p
u(s) (p)
- im Endzustand
p
Einlaufendes Photon
Auslaufendes Photon
εµ
ε∗µ
Vertex
−i e γ µ
Innere Fermionlinie
Innere Photonlinie
Fermionring
p
q
i SF (p) = i
p
+m
p 2 − m2 + i ε
i Dµν (q) = − i
η µν + (α − 1)
qµ qν
q2
q2 + i ε
(−1)
Vorgehensweise:
• Die Elemente (Spinoren, γ-Matrizen, Propagatoren, Spinoren) werden so angeordnet,
dass sie, von links nach rechts gelesen, die Reihenfolge entgegengesetzt der Pfeile der
Feynmangraphen bilden.
• Für jede Fermion-Schleife nimmt man die Spur über die Spinor-Indizes.
• Jeden Impuls
q, der nicht durch Viererimpulserhaltung festgelegt ist, integriert man
R
(2π)−4 d4 q.
• Ein Faktor (−1) zwischen zwei Graphen, die sich nur durch Vertauschung zweier
äußerer Fermionlinien unterscheiden.
2
2.4
(i)
34
STREUTHEORIE
QED auf Tree-Level: Beispiele
Der Prozess e+ e− → µ+ µ−
In führender Ordnung Störungtheorie trägt zum Prozess der durch das folgende FeynmanDiagramm dargestellte Term zum Matrixelement bei:
µ−
e+
k
′
p
q=p+p′ =k+k′
µ
ν
.
p
k′
µ+
e−
Bei der Berechnung des unpolarisierten Wirkungsquerschnitts geht man wie folgt vor:
Vom Diagramm zum Matrixelement Mf i . Nach den Feynman-Regeln wandelt man
das Diagramm in einen Ausdruck für das Matrixelement um:
• Man verfolgt die Pfeile entgegen der Pfeilrichtung.
′
• Das auslaufende e+ im Anfangszustand erhält einen Faktor v̄ (s ) (p′ ), der Vertex
liefert −i eγ µ und das einlaufende e− u(s) (p).
• Die innere Photonenlinie trägt den Photonenpropagator i Dµν bei.
• Mit den auslaufenden Fermionen verfährt man wie mit den einlaufenden.
Man erhält also in erster Ordnung Störungsentwicklung


qµ qν
−i
η
+
(α
−
1)
µν

′
q2 
 v̄ (s′ ) (p′ ) (−i eγ µ ) u(s) (p) .
i Mf i = ū(r) (k) (−i eγ ν ) v (r ) (k ′ ) 


2
q + iε
(2.39)
Quadrieren von Mf i , Spinmittelung und weitere Vereinfachungen. Um einen
unpolarisierten Wirkungsquerschnitt zu erhalten, mittelt man über die Spins der Anfangszustände und summiert über die Spins der Endzustände. Des Weiteren verwenden wir
Feynman-Eichung, d.h. α = 1.
Dabei ist zu beachten: Zuerst wird |Mf i |2 gebildet und dann summiert bzw. gemittelt. Dies bedeutet anschaulich, dass die einzelnen Prozesse mit definiertem Spin nicht
miteinander interferieren.
Zu berechnen ist somit
1 X 1 XXX
|Mf i |2 .
(2.40)
2 s 2 ′ r
′
s
r
2
35
STREUTHEORIE
Bei der Berechnung von |Mf i |2 = Mf i M†f i hat man Terme der Form (v̄ Γ u)† auszuwerten,
(v̄ Γ u)† = u† Γ† (v † γ 0 )†
(γ 0 γ 0 =1)
=
u† γ 0 γ 0 Γ† γ 0 v = ū Γ v .
| {z } | {z }
=ū
Man erhält also
(v̄ Γ u)† = ū Γ v
(2.41)
:=Γ
mit Γ := γ 0 Γ† γ 0 .
(2.42)
Insbesondere gilt
γµ = γµ ,
(2.43)
denn für µ = 0 ist
3
= γ0
γ0 = γ0
und für i = 1, 2, 3 ist
2
†
= γi .
γi = γ0 γi γ0 = − γ0 γi γ0 = γi γ0
Wir haben es nun mit Ausdrücken wie z.B.
X
′
′
′
ξ :=
ū(r) (k) γ ν v (r ) (k ′ ) v̄ (r ) (k ′ ) γ ν u(r) (k)
r,r ′
X
=
r,r ′
′
′
′ δε αβ
(γ ν )
v (r ) (k ′ )
v̄ (r ) (k ′ )
γν
ū(r) (k)
u(r) (k)
β
α
δ
ε
(2.44)
zu tun, wo wir in der zweiten Zeile die Spinor-Indizes explizit zeigen. Dabei ist die Summenkonvention zu verwenden, d.h. über wiederholt auftetende Indizes zu summieren. Diesen
Ausdruck kann man umarrangieren,
′
′ δε
i
X ′
X h
αβ
v (r ) (k ′ )
v̄ (r ) (k ′ )
γν
u(r) (k)
ū(r) (k)
(γ ν )
ξ =
ε
r
(C.13)
=
=
α
r′
β
′ δε
αβ ′
k − mµ βδ γ ν
k + mµ εα (γ ν )
n
′ o
,
tr k + mµ (γ ν ) k′ − mµ γ ν
δ
(2.45)
wobei wir ausgenutzt haben, dass die in auftretende Summation über ε als Spur über
das Produkt der Dirac-Matrizen aufgefasst werden kann. Das analoge Vorgehen für den
e+ e− -Anteil“ von |Mf i |2 führt auf die Form
”
h
i
1 X
e4
′
µ
µ′
tr
(
p
−
m
)
γ
(
p
+
m
)
γ
·
|Mf i |2 =
e
e
4 ′ ′
4 [q 2 ]2
ss rr
i
h
′
(2.46)
· tr (k ′ − mµ ) γ ν (k + mµ ) γ ν ηµν ηµ′ ν ′ ,
wo wir den +i ε-Term“ im Photon-Propagator weglassen konnten.
”
2
36
STREUTHEORIE
Auswerten der Spur. Die Rechenregeln für diese Art von Spuren sind in Anhang D
beschrieben. Unter Ausnutzung der zyklischen Invarianz der Spur und der Relationen der
Clifford-Algebra finden wir
tr [γ µ γ ν γ ρ γ σ ] =
=
=
=
=
tr [γ ν γ ρ γ σ γ µ ]
tr [γ ν γ ρ (−γ µ γ σ ) + 2η µσ · 14 ]
− tr [γ ν γ ρ γ µ γ σ ] + 2 tr [γ ν γ ρ ] · η µσ
tr [γ ν γ µ γ ρ γ σ ] + 8η νρ η µσ − 8η νσ η µρ
− tr [γ µ γ ν γ ρ γ σ ] + 8 (η νρ η µσ − η νσ η µρ + η µν η ρσ ) .
Damit ergibt sich
tr [γ µ γ ν γ ρ γ σ ] = 4 (η µν η ρσ + η νρ η µσ − η νσ η µρ ) .
Wir erhalten deshalb
i
h
′
=
tr k′ γ ν k γ ν
=
(2.47)
i
h ′
′
(k ′ )µ′ kµ tr γ µ γ ν γ µ γ ν
h
i
′
′
′
4 p′ν pν + p′ν pν − p · p′ η νν .
(2.48)
Durch die analogen Schritte für die verbleibenden Terme ergibt sich
1 X
|Mf i |2
4 ′ ′
=
ss rr
8e4
[(p · k) (p′ · k ′ ) + (p · k ′ ) (p′ · k)
[q 2 ]2
+ m2µ (p · p′ ) + m2e (k · k ′ ) + 2 m2e m2µ .
(2.49)
Einsetzen der kinematischen Größen. Wir setzten uns in das Schwerpunktsystem
von e+ e− . Weiter vernachlässigen wir die Elektronmasse me gegen die Energie, d.h. p2 =
(p′ )2 = m2e = 0.
Aufgrund dieser Näherung und der
Wahl des Schwerpunkt-Systems als
Bezugssystem kann man die Impulse p und p′ wie in der Skizze rechts
schreiben. Für den Impuls des Myons gilt
q
|~k| =
E 2 − m2µ
k = (E, ~k)
p = (E, E ~ez )
ϑ
p′ = (E, −E ~ez )
•
und
~k · ~ez = |~k| cos ϑ .
Natürlich muss man als Bedingung
k ′ = (E, −~k)
für den Prozess E > mµ fordern,
d.h. die Schwerpunktsenergie muss
ausreichen, um 2 Myonen zu erzeugen.
Um den Ausdruck (2.49) umformen zu können, benötigt man die Produkte der ViererImpulse p, p′ , k, k ′ und den Impulsübertrag q 2 . Man erhält
q2
=
(p + p′ )2 = 4E 2 ,
2
37
STREUTHEORIE
p · p′
=
2E 2 ,
=
p · k′
=
p′ · k ′ = E 2 − E |~k| cos ϑ ,
p′ · k = E 2 + E |~k| cos ϑ .
p·k
Durch Einsetzen dieser Relationen in (2.49) ergibt sich
i
1 X
e4 h 2
~k|2 cos2 ϑ + m2 .
E
+
|
|Mf i |2 =
µ
4 ′ ′
E2
(2.50a)
(2.51)
ss rr
Mandelstam-Variablen. Speziell für Prozesse der Form
A+B → C +D ,
d.h. mit jeweils zwei Teilchen im Anfangs- bzw. Endzustand, ist es oft vorteilhaft, lorentzinvariante Größen einzuführen,
s
t
=
=
u =
(pA + pB )2 = (pC + pD )2 ,
(pA − pC )2 ,
(pA − pD )2 .
(2.52a)
(2.52b)
(2.52c)
Diese sind nicht unabhängig voneinander, denn es gilt
s+t+u
=
=
(pA + pB )2 + (pA − pC )2 + (pA − pD )2
3p2A + 2pA · pB − (pC + pD ) + p2B + p2C + p2D
| {z }
=pA +pB
=
m2A + m2B + m2C + m2D .
(2.53)
Wesentlich ist, dass man einige Streuquerschnitte alleine durch die Mandelstam-Variablen
s, t und u ausdrücken kann.
Betrachte z.B. die Spinsumme (2.49) im ultrarelativistischen Limes. Wir haben
s
t
2
u
2
=
=
=
(2.50)
(p + p′ )2 = q 2 ,
1
(2.50)
(p − k)2 = − p · k = − p′ · k ′ ,
2
1
(2.50)
(p − k ′ )2 = − p · k ′ = − p′ · k .
2
(2.54a)
(2.54b)
(2.54c)
Damit lässt sich die Übergandawahrscheinlichkeit alleine durch die Mandelstam-Variablen
ausdrücken,
)
( 2
u 2
1 X
t
8e4
2
.
(2.55)
+
|Mf i | = 2
4 ′ ′
s
2
2
ss rr
Es sei bemerkt, dass für diesen Prozess die Definition der Mandelstam-Variablen t und
u nicht eindeutig ist, d.h. wir hätten sie ebenfalls umgekehrt definieren können.3 Die
Spinsumme (2.55) ist invariant unter der entsprechenden Vertauschung t ↔ u.
Interpretation der Mandelstam-Variablen im ultrarelativistischen Limes. Offensichtlich kann man s als Quadrat der Schwerpunktsenergie interpretieren. Im ultrarelativistischen Grenzfall eine Deutung der anderen beiden Variablen in Abhängigkeit des
Streuwinkels
3 Ich
danke für den entsprechenden Hinweis während der Vorlesung.
2
38
STREUTHEORIE
ϑ = ∢(~
pA , ~
pC )
p~C
im Schwerpunktsystem möglich,
t =
u =
ϑ
−s sin2 ϑ/2 ,
−s cos2 ϑ/2 .
p~A
Kreuzungssymmetrie. Man kann sich allgemein überlegen, was passiert, wenn man in
einer Reaktion ein einlaufendes Teilchen durch ein auslaufendes Antiteilchen ersetzt. Es
zeigt die Formel (2.16)
= M · · · → · · · + φ(−p) ,
M φ(p) + · · · → . . .′
(2.56)
φ(−p)
=
.
φ(p)
Man beachte, dass mit p niemals −p ein physikalischer Impuls sein kann. (2.56) besagt,
dass zwei Übergangsamplituden durch analytische Fortsetzung zusammenhängen. Diese
Betrachtung zeigt eine Symmetrie die S- bzw. T -Matrix als analytische Funktion der Impulsvariablen. Man spricht von Kreuzungssymmetrie.
Kreuzungssymmetrie und Mandelstamvariablen. Betrachte nun z.B. den Prozess
(−−)
D
C
A(p) + C(k) → D(p′ ) + B(k ′ )
und den gekreuzten Prozess
p′1
k
A(p1 ) + B(p2 ) → C(p′1 ) + D(p′2 ) .
p′
q=p+k=p′ +k′
p′2
In der vorangegangenen Diskussion wären beiq=p1 −p′1
spielsweise A und C Elektronen (und entsprep2
p
chend C ein Anti-Elektron, d.h. ein Positron)
p1
k′
und D und B Myonen. Dieser Prozess wird beschrieben durch Feynmandiagramme, die gegenüber
(−−)
denen des Ausgangsprozesses gekippt sind bzw. A
B
bei denen die Richtung des Zeitflusses um 90◦
gedreht sind. In der rechtsstehenden Diagramm
muss man für den ersten Prozess das Diagramm
links nach rechts“ und für den zweiten von von
”
”
unten nach oben“ lesen. Dabei sind die Impulse
jeweils links bzw. rechts von den Fermionlinien
angezeigt.
Wir sehen, dass die Übersetzungsregeln für die Viererimpulse gegeben sind durch
p → p1 ,
p′ → p2 ,
k → − p′1
und
k ′ → − p2 .
(2.57)
2
39
STREUTHEORIE
Wir überlegen uns nun, was die Mandelstam-Variablen sind,
A(p) + C(k)
s
t
u
→
=
=
=
D(p′ ) + B(k ′ ) ,
(p + k)2 ,
(p − p′ )2 ,
(p − k ′ )2 ,
A(p1 ) + B(p2 ) → C(p′1 ) + D(p′2 ) ,
s = (p1 + p2 )2 ,
t = (p1 − p′1 )2 ,
u = (p1 − p′2 )2 .
Offensichtlich geht unter den Ersetzungen (2.57)
s → t,
t → u
und u → s
(2.58a)
und u → t .
(2.58b)
mit der Umkehrung
s → u,
t → s
Die Kreuzungssymmetrie bringt somit den Vorteil, bei der Berechnung der Streuquerschnitte von gekreuzten Reaktionen viel Zeit sparen zu können.
Anwendung: e− -µ− -Streuung. Durch Kreuzen, d.h. durch Ausnutzen der Kreuzungssymmetrie, kann man sich durch Permutation der Mandelstamvariablen (2.58a) die Spinsumme für die e− –µ− -Streuung im ultrarelavistischen Limes besorgen,
µ−
µ−
:
1 X
8e4 s 2 u 2
2
.
+
|M| = 2
4
t
2
2
Spins
e−
e−
Von Mf i zum Wirkungsquerschnitt. Betrachten wir wieder den ursprünglichen Prozess e+ e− → µ+ µ− . Hier ist der differentielle Wirkungsquerschnitt von Interesse. Das
Matrixelement erhält man durch Einsetzen von (2.50) in (2.49) und daraus berechnet sich
der differentielle Wirkungsquerschnitt nach der Formel (2.37). In der Näherung E ≫ mµ
kann die vereinfachte Form (2.38) verwendet werden und man erhält
α2
dσ
2
=
(2.59)
2 (1 + cos ϑ)
dΩ
4ECM
mit ECM = 2E.
Interpretation des Ergebnisses. Zunächst erinnern wir uns daran, dass der Wirkungsquerschnitt die Dimension einer Fläche hat. Für grosse Schwerpunktenergien ist ECM die
2
einzige relevante dimensionsbehaftete Größe; wir hätten also die 1/ECM
-Abhängigkeit aus
der Dimensionsanalyse erschliessen können. Die ϑ-Abhängigkeit hat ebenfalls eine einfache Interpretation. Für ϑ = 90◦ ist der Wirkungsquerschnitt unterdrückt. Das lässt sich
mit der Forderung nach Helizitätserhaltung plausibel machen (siehe [3, S. 131 ff.] für eine
Diskussion des polarisierten Wirkungsquerschnitts).
2
40
STREUTHEORIE
(ii)
Møller-Streuung
Betrachte die Streuung von Elektronen an Elektronen,
e− (p1 ) + e− (p2 ) → e− (p′1 ) + e− (p′2 ) .
In niedrigster Ordnung tragen zwei Diagramme bei,
p′2
p′2
p2
p2
−
q=p1 −p′1
.
q=p1 −p′2
p1
p1
p′1
p′1
Das relative Vorzeichen −“ kommt von den Antikommutations-Eigenschaften der fermio”
nischen Felder; es bewirkt, dass die Matrix Mf i antisymmetrisch unter dem Austausch
der beiden Elektronen, d.h. antisymmetrisch unter p′1 ↔ p′2 , ist.
Das Übergangsmatrixelement Mf i ist gegeben durch
1
2
u(p′1 ) γµ u(p1 )
u(p′2 ) γ µ u(p2 )
Mf i = e
(p1 − p′1 )2 + i ε
1
′
′
µ
u(p1 ) γ u(p2 ) .
(2.60)
− u(p2 ) γµ u(p1 )
(p1 − p′2 )2 + i ε
Die zweite Zeile geht aus der ersten durch die Vertauschung (p′1 ↔ p′2 ) hervor. Bildung des
Betragsquadrats und Spinsummation wie in (2.46) führt auf drei Terme, die wir wie folgt
bezeichnen wollen:
1 X
I
II
2
|Mf i | =
+
2
2
4
′
2
4e
[(p1 − p1 ) + i ε]
[(p1 − p′2 )2 + i ε]
Spins
+
III
.
[(p1 − p′1 )2 + i ε] [(p1 − p′2 )2 + i ε]
(2.61)
Man erhält (mit m = me )
′
µ
′
ν
= tr [(p
1 + m) γµ (p
1 + m) γν ] tr [(p
2 + m) γ (p
2 + m) γ ] ,
II = I mit (p′1 ↔ p′2 ) ,
′
µ
ν
′
III = − tr [γµ (p
1 + m) γν (p
2 + m) γ (p
2 + m) γ (p
1 + m)]
I
+ (p′1 ↔ p′2 ) .
(2.62a)
(2.62b)
(2.62c)
Die Spuren können wieder mit den Methoden in Anhang D ausgewertet werden,
′
tr [γν (p
1 + m) γµ (p1 + m)] =
tr [γµ (p
1 + m)
′
γν ( p
2
µ
4 [(p1 )ν (p′1 )µ − ηνµ p1 · p′1
+ (p1 )µ (p′1 )ν + m2 ηµν ,
ν
(2.63)
′
(p
1
+ m) γ (p
γ
+ m)]
2 + m)
2
= −32 (p1 · p2 ) − 2m2 p1 · p2 .
(2.64)
2
41
STREUTHEORIE
Durch Zusammenzählen erhalten wir
(
1 X
(p1 · p2 )2 + (p1 · p′2 )2 + 2m2 (p1 · p′2 − p1 · p2 )
2
|Mf i | = 8
2
4
4e
[(p1 − p′1 )2 ]
Spins
(p1 · p2 )2 − 2m2 p1 · p2
,
+ (p′1 ↔ p′2 ) + 2 ′
(p1 − p1 )2 (p′2 − p1 )2
(2.65)
wobei die i ε Terme“ weggelassen wurden. Durch Rechnung ergibt sich der Streuquer”
schnitt
dσ
α2 (s − 2m2 )2 (t2 + u2 ) + u t (−4m2 s + 12m4 + u t) .
=
dΩ
s t2 u 2
(2.66)
Hierbei haben wir die Mandelstam-Variablen verwendet,
s
t
=
=
u =
(p1 + p2 )2 = 2m2 + 2p1 · p2 ,
(p1 − p′1 )2 = 2m2 − 2p1 · p′1 ,
(2.67a)
(2.67b)
(p1 − p′2 )2 = 2m2 − 2p1 · p′2 = t|p′1 ↔p′2 .
(2.67c)
p~1′
Im Schwerpunktsystem hat man
s
t
=
=
u =
4 E2 ,
−4 (E 2 − m2 ) sin2 ϑ/2 ,
p~1
−4 (E 2 − m2 ) cos2 ϑ/2 .
ϑ
p~2
•
Dabei ist ϑ der Winkel zwischen den einlaufenden und auslaufenden Teilchen.
Im Schwerpunktsystem erhält man für den Streup~2′
querschnitt die Møllersche Formel
3
(E 2 − m2 )2
dσ
4
4
α2 (2E 2 − m2 )2
. (2.68)
−
+
1+
=
dΩ
4E 2 (E 2 − m2 )2 sin4 ϑ sin2 ϑ (2E 2 − m2 )2
sin2 ϑ
Man kann die Formel im ultrarelativistischen Grenzfall auch durch Mandelstamvariablen
ausdrücken, indem man von (2.65) ausgeht,
dσ
2s2
α2 s2 + u2
s 2 + t2
.
(2.69)
+
=
+
dΩ
2s
t2
ut
u2
Verwendet man die Formeln
t
=
u =
−s sin2 ϑ/2 ,
−s cos2 ϑ/2 ,
mit dem Ablenkwinkel ϑ im Schwerpunktsystem, so kann man den Streuquerschnitt auch
folgendermaßen aufspalten:
dσ
α2 n 1 + cos4 ϑ/2
2
1 + sin4 ϑ/2 o
=
+
+
.
dΩ
8E 2
cos4 ϑ/2
sin4 ϑ/2
sin2 ϑ/2 cos2 ϑ/2
{z
}
|
{z
} |
{z
} |
direkter
Beitrag
InterferenzTerm
AustauschBeitrag.
(2.70)
2
42
STREUTHEORIE
Die etwas naive Interpretation der einzelnen Terme ist in der folgenden Skizze dargestellt:
ϑ
ϑ
direkt“
Austausch“
”
”
Selbstverständlich kann auf dem Quantenniveau, auf dem die beiden Elektronen im Endzustand ununterscheidbar sind, nicht zwischen den verschiedenen ‘Trajektorien’ unterschieden werden.
dσ
nicht von s abhängt. Dies kann man einsehen, inDes Weiteren sehen wir, dass s dΩ
dem man bemerkt, dass die einzige einheitenbehaftete Größe im ultrarelativistischen Limes die (Schwerpunkt-)Energie der Elektronen ist (die Masse wurde ja vernachlässigt).
dσ
kann nur von Quotienten von einheitenbehafteten Größen
Die einheitenlose Größe s dΩ
abhängen, und somit ergibt sich im Fall von nur einer einheitenbehafteten Größe eine
triviale Abhängigkeit. Gäbe es eine weitere einheitenbehaftet Größe in dem Problem, etwa eine “Ausdehnung” von Elektronen, würde man ein anderes Verhalten erwarten. Wir
werden später sehen, dass sich auch aufgrund von Quanteneffekten ein unterschiedliches
Verhalten ergibt.
dσ
dΩ
Ausserdem weist der Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von ϑ
eine Achsensymmetrie bzgl. des Winkels ϑ = 90◦ auf. Das ist eine offenϑ
|
sichtliche Konsequenz der Symmetrien des Problems.
90◦
(iii)
Bhabha-Streuung
Betrachte nun die Streuung von Elektronen an Positronen,
e− (p1 ) + e+ (p2 ) → e− (p′1 ) + e+ (p′2 ) .
In niedrigster Ordnung tragen wieder zwei Diagramme bei,
p′2
p′2
p2
p2
q=p1 +p2
−
p1
.
q=p1 −p′1
p1
p′1
p′1
Nach Rechnung ergibt sich für den Streuquerschnitt im Schwerpunktsystem die längliche
Formel von Bhabha, die wir uns hier sparen. Im ultrarelativistischen Limes wird der Vorteil
der Mandelstam-Variablen offenkundig: Durch die Vertauschung (2.58b), d.h. s → u, u → t
2
43
STREUTHEORIE
und t → s, für das Betrags-Quadrat des Matrixelements kann man den Streuquerschnitt
aus der Møllerschen Formel gewinnen,
2u2
α2 s2 + u2
u 2 + t2
dσ
.
(2.71)
+
=
+
dΩ
2s
t2
st
s2
Man beachte, dass der Vorfaktor 1/s aus der Relation zwischen dem Betrags-Quadrat des
Matrixelements und dem differentiellen Strequerschnitt kommt (vgl. Gleichungen (2.38)
und (2.37) ). Im Schwerpunktsystem wird dies zu
dσ
1 + cos4 ϑ/2
α2
cos4 ϑ/2 1
2
=
−2 2
+ (1 + cos ϑ) ,
dΩ
8E 2
σ 4 ϑ/2
2
sin ϑ/2
im nichtrelativistischen Limes erhält man
1
α2
dσ
=
dΩ
m2 16 v 4 sin4 ϑ/2
mit der Relativgeschwindigkeit v. Die ϑ-Abhängigkeit ist wie beim Rutherford-Streuquerschnitt,
der in der Quantenmechanik II Vorlesung diskutiert wurde.
(iv)
Compton-Streuung
Die elastische Streuung eines Elektrons an einem Photon heißt Compton-Streuung. Wir
betrachten also
γ(k) + e− (p) → γ(k ′ ) + e− (p′ ) .
In niedrigster Ordnung gibt es zwei relevante Diagramme,
ε′
ε
ε
k′
ε′
k′
k
k
q=p+k
+
p
p
p′
q=p−k′
p′
Für den Wirkungsquerschnitt (vgl. Übungen) im Ruhessystem des Elektrons im Anfangszustand ergibt sich nach Rechnung die Klein-Nishina-Formel ,
′ 2 ′
dσ
ω
α2
ω
ω
′ 2
·
+
4
(ε
·
ε
)
−
2
.
(2.72)
=
+
dΩ
2m2 ω
ω
ω′
Dabei ist ε bzw. ε′ der Polarisationsvektor des Photons im Anfangs- bzw. Endzustand;
m ist die Masse des Elektrons. Bei diesem Streuquerschnitt wurde also nicht über die
Photonenspins – wohl aber über die Elektronenspins – gemittelt.
2
44
STREUTHEORIE
~k ′
Man kann auch über die Spins der Photonen gemittelten Streuquerschnitt angeben,
2 ′
dσ
α2 ω ′
ω
ω
2
·
=
+ ′ − sin ϑ .
dΩ
2m2 ω
ω
ω
~k
ϑ
•
Dabei ist ϑ der Ablenkwinkel des Photons im Ruhesystem des einlaufenden Elektrons.
(v)
~p ′
Paarvernichtung
Die Annihilation eines Elektrons und eines Positrons in zwei Photonen4 wird als Paarvernichtung bezeichnet:
e− (p) + e+ (p′ ) → γ(k) + γ(k ′ ) .
In niedrigster Ordnung tragen zwei Diagramme bei,
k′
ε′
ε′
k′
p′
p′
+
q=p−k
.
q=p−k′
p
p
k
k
ε
ε
Dieser Prozess ergibt sich also durch Kreuzen aus der Compton-Streuung. Für den Wirkungsquerschnitt ergibt sich nach Rechnung
′
α2 (m + E ′ )
ω
ω
dσ
′ 2
·
(2.73)
=
+ ′ − 4(ε · ε ) + 2 .
dΩ
8|~
p ′ | (m + E ′ − |~
p ′ | cos ϑ)2
ω
ω
Dabei ist ε bzw. ε′ der Polarisationsvektor des
Photons mit Impuls k bzw. k ′ . m ist die Masse des Elektrons. E ist die Energie des Positrons
und schließlich ϑ der Winkel zwischen den Impulsen des Positrons und eines der Photonen im
Ruhesystem des Elektrons.
Für grosse Energien hat man
α2 1 + cos2 ϑ
dσ
=
.
dΩ
s
sin2 ϑ
4 Annihilation
~k
~′
p
ϑ
•
~k ′
in ein Photon ist aus Gründen der Energie-Impulserhaltung nicht möglich.
(2.74)